第02讲 集合间的基本关系讲义（思维导图+知识要点+解题技巧+题型归纳+配套习题）-2027届高三数学二轮复习集合专题（全国通用）

该高中数学高考复习讲义聚焦集合间的基本关系，覆盖子集、真子集、空集、集合相等及含参问题等核心考点，按概念辨析、性质应用、题型突破的逻辑架构知识体系，通过考点梳理、方法指导、分层题型训练及易错点分析，帮助学生系统构建集合关系认知框架，突破空集应用、参数范围求解等难点。 资料以10类典型题型为载体，创新采用“概念-策略-应用”三阶教学法，如含参问题中通过分类讨论空集与非空情况培养数学思维，利用数轴分析数集关系强化数学语言表达，设置基础巩固与能力提升分层练习，确保高效突破高考高频易错点，为教师精准把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支撑。

第02讲 集合间的基本关系 目 录 思维导图 2 高考分析 2 学习目标 3 知识要点 3 解题策略 6 题型01：判断集合的子集（真子集）的个数 7 题型02：根据子集（真子集）个数求参数 11 题型03：求集合的子集（真子集） 13 题型04：判断两个集合是否相等 17 题型05：根据集合相等求参数 22 题型06：空集的概念判断以及性质与应用 26 题型07： Venn图表示集合的关系 32 题型08：判断集合与集合的关系 35 题型09：根据集合的包含关系求参 40 （一）由集合间的关系确定参数的取值范围 50 （二）数形结合思想（利用数轴求参数的取值范围） 51 （三）分类讨论思想 51 易错点1：忽视空集导致出错 53 易错点2：忽视高次项系数导致出错 54 易错点3：忽视判别式导致出错 54 题型10：集合关系的新定义 55 巩固提升 64 一．考查地位 集合是高中数学开篇基础内容，属于必考、低难度、送分题型，是高考、学考、期中期末统考的高频考点。集合间的基本关系是集合运算、函数定义域值域、不等式解集问题的基础铺垫，贯穿整个高中数学学习。 二．考查题型 1.选择题、填空题为主，极少出解答题，分值固定（高考一般5分）； 2.题型固定，以基础辨析、参数求值、子集个数计算为核心。 三．核心考查角度 1. 概念辨析：区分子集、真子集、相等集合、空集的定义，判断集合间包含、相等关系，高频考查空集的特殊性（易错点）； 2. 子集个数计算：已知有限集合，求子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数，为高频基础考点； 3. 含参集合问题：已知两个集合的包含关系，求解参数取值范围，常结合一元一次、一元二次不等式考查，是本节唯一中档易错题型； 4. 等价转化考查：将集合相等、包含关系，转化为元素对应相等、解集包含关系，衔接后续不等式、函数考点。 四：命题特点与易错点 1.命题侧重基础，不偏不怪，重点考查细心程度； 2.高频丢分点：忽略空集是任何集合的子集、是任何非空集合的真子集、含参问题遗漏空集情况、混淆子集与真子集个数公式、端点取值取舍错误。 一 .知识目标 1. 精准掌握子集、真子集、集合相等、空集的严格定义，熟记对应的数学符号，能准确区分符号含义，杜绝符号混用； 2. 牢记有限集合子集相关公式：若集合A中有n个元素，则 （1）A的子集的个数有2n个． （2）A的非空子集的个数有2n－1个． （3）A的真子集的个数有2n－1个． （4）A的非空真子集的个数有2n－2个． 3. 明确空集的特殊性质，掌握空集与任意集合的关系。 二 .能力目标 1. 能快速判断两个具体数集、点集之间的包含、相等关系； 2. 熟练运用子集个数公式，快速计算各类子集数量； 3. 掌握含参集合恒成立解题思路，能根据集合包含关系求解参数范围，养成优先讨论空集的解题习惯； 4. 具备数形结合能力，能借助数轴分析数集的包含关系，精准判断区间端点取舍。 三 . 应试目标 1. 做到本节基础题型零失误、秒解题，稳稳拿下集合板块基础分值； 2. 规避空集遗漏、符号写错、公式记混等高频低级错误； 3. 建立“集合关系或不等式范围”的转化思维，为后续集合运算、函数、不等式综合题打好基础。 知识点一： 子集 1.概念：一般地，如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B 的子集. 2.记法：A⊆B（或B⊇A）. 3.读法：A包含于B（或"B包含A"）. 4.如果A不是B的子集，记作AB（或B A），读作“A不包含于B”（或“B不包含A”）. 5.性质：A⊆ A；∅⊆A. （1）反身性：； （2）传递性：如果，且，那么. 6.图形表示： 知识点二：真子集 1.概念：一般地，如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A称为集合B的真子集. 2.记法：A⫋ B（或BA）. 3.读法：A真包含于B（或“B真包含A”）. 4.性质：对于集合A，B，C，①如果A ⊆B,B⫋C,则A⫋C ②如果A⫋B，B⫋C，则A⫋C； 5.图形表示： 6.如果集合A中含有n个元素，则有 （1）A的子集的个数有2n个． （2）A的非空子集的个数有2n－1个． （3）A的真子集的个数有2n－1个． （4）A的非空真子集的个数有2n－2个． 注：①空集是所有集合的子集； ②所有集合都是其本身的子集； ③空集是任何非空集合的真子集 【思考】任何两个集合之间是否有包含关系？ 提示：不一定．如集合A＝{0,1,2}，B＝{－1,0,1}，这两个集合就没有包含关系． 【特别提醒】 符号“∈”与“⊆”的区别：符号“∈”表示元素与集合间的关系，而“⊆”表示集合与集合之间的关系． 知识点三：空集 1、定义：一般地，把不含任何元素的集合叫做空集，记为∅，规定：空集是任何集合的子集． 在这个规定的基础上，结合子集和真子集的有关概念，可以得到： （1） 空集只有一个子集，即它本身； （2）空集是任何非空集合的真子集． （3）空集是任何集合的子集（即∅⊆A）； 2、0，{0}，∅，{∅}的关系 ∅与0 ∅与{0} ∅与{∅} 相同点 都表示无的意思 都是集合 都是集合 不同点 ∅是集合； 0是实数 ∅中不含任何元素； {0}含一个元素0 ∅不含任何元素； {∅}含一个元素，该元素是∅ 关系 0∉∅ ∅{0} ∅{∅}或∅∈{∅} 【思考】{0}与∅表示同一集合吗？ 提示：{0}表示一个集合，且集合中有且仅有一个元素0；而∅表示空集，其不含有任何元素，故{0}≠∅. 知识点四：Venn图 用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图。表示集合的Venn图的边界是封闭曲线，它可以是圆、矩形、椭圆，也可以是其他封闭曲线。 韦恩图可以直观、形象地表示出集合之间的关系 知识点五： 集合的相等与子集的关系 1.定义：如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等 2.图形表示： 3.如果 A⊆B，且B⊆A则 A= B. 4.如果A=B则A⊆B且B⊆A. （1）对集合A和集合B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A等于集合B，记作A＝B．就是如果A⊆B，同时B⊆A，那么就说这两个集合相等，记作 A＝B． （2）对于两个有限数集A＝B，则这两个有限数集 A、B中的元素全部相同，由此可推出如下性质： ①两个集合的元素个数相等； ②两个集合的元素之和相等； ③两个集合的元素之积相等． 由此知，以上叙述实质是一致的，只是表达方式不同而已．上述概念是判断或证明两个集合相等的依据． 【注意】空集是任何集合的子集，因此在解A⊆B(B≠∅)的含参数的问题时，要注意讨论A＝∅和A≠∅两种情况，前者常被忽视，造成思考问题不全面． 1.集合与集合之间的关系判断是通过两个集合间的元素是否相同，注意跟集合与元素之间的属于关系进行区分，通过集合的列举、描述、图示法等进行判断. 2.判断集合关系的方法. （1）观察法：一一列举观察. （2）元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系. （3）数形结合法：利用数轴或Venn图. 提醒：若A⊆B和AB同时成立，则AB更能准确表达集合A，B之间的关系. 3.求集合子集、真子集个数的3个步骤 4.子集、真子集个数有关的4个结论 假设集合A中含有n个元素，则有 (1)A的子集的个数有2n个． (2)A的非空子集的个数有2n－1个． (3)A的真子集的个数有2n－1个． (4)A的非空真子集的个数有2n－2个． 5．两集合相等常见考法及解法： (1)若两个集合相等，则所含元素完全相同，与顺序无关，但要注意检验，排除与集合元素互异性或与已知相矛盾的情形． (2)若两个集合中元素均有无限多个，则要看两集合的代表元素是否一致，再看代表元素满足的条件是否一致．若均一致，则两集合相等． (3)证明集合A与B相等的常用思路是“证A⊆B且B⊆A”． 6．集合与集合之间的关系，元素与集合之间的关系是用不同的符号表示的，特别注意空集是不含有任何元素的集合，且规定∅⊆∅. 7．求解含参数的集合是确定集合的子集或真子集时，应考虑该集合为空集的特殊情况，因此本题求解的易错之处是忽视集合B为空集的特殊情况而导致漏解．本题若改为A⊆B时，则不需要考虑集合B为空集的特殊情况． 8.利用集合的关系求参数问题 (1)利用集合的关系求参数的范围问题，常涉及两个集合，其中一个为动集合(含参数)，另一个为静集合(具体的)，解答时常借助数轴来建立变量间的关系，需特别注意端点问题． (2)空集是任何集合的子集，因此在解A⊆B(B≠∅)的含参数的问题时，要注意讨论A＝∅和A≠∅两种情况，前者常被忽视，造成思考问题不全面． 题型01：判断集合的子集（真子集）的个数 【典型例题1】已知集合，则集合的子集有（    ） A．7个 B．6个 C．4个 D．3个 【答案】C 【分析】列举出集合的子集即可得解. 【详解】因为集合， 所以集合的子集有共个. 故选：C. 【典型例题2】已知，则符合条件的集合的个数是（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】由条件分析集合的元素的特征，列举满足条件的的个数即可得解. 【详解】因为， 所以或或或，即满足条件的集合的个数为4. 故选：B． 【典型例题3】集合，则的子集的个数为（ ） A．4 B．8 C．15 D．16 【答案】D 【解析】集合，, ， 故有个子集.故选：D． 【典型例题4】已知集合，，则集合的真子集个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出集合，利用集合的真子集个数公式可求得集合的真子集个数. 【详解】因为，则， 所以，集合的真子集个数为. 故选：A. 【变式训练1-1】集合的子集的个数是（ ） A．16 B．8 C．7 D．4 【答案】B 【解析】集合，集合含有3个元素， 所以集合的子集个数是.故选：B. 【变式训练1-2】已知非空集合，且A中至多有一个奇数，则这样的集合共有 个． 【答案】5. 【分析】列举出满足条件的集合即可得答案. 【详解】若A中没有奇数，则，共1个； 若A中有一个奇数，A可能为：，共4种可能性. 则满足条件的集合有5个. 故答案为：5. 【变式训练1-3】已知非空集合满足:对任意，总有，且.若，则满足条件的的个数是（    ） A．11 B．12 C．15 D．16 【答案】A 【分析】由题意得，集合是集合的非空子集，且去掉元素2，4同时出现的集合，即可求解. 【详解】当中有元素时，， 当中有元素时，， 所以， 所以集合是集合的非空子集，且去掉元素2，4同时出现的集合， 故满足题意的集合有，共11个. 故选：A. 【变式训练1-4】若一个集合含有n个元素，则称该集合为“n元集合”.已知集合，则其“2元子集”的个数为（    ） A．6 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【分析】根据子集的定义即可求解. 【详解】集合的所有“2元子集”为，，，，，共6个. 故选：A. 【变式训练1-5】若集合A满足⫋，则集合A所有可能的情形有（    ） A．3种 B．5种 C．7种 D．9种 【答案】C 【分析】由集合的包含关系讨论A所含元素的可能性即可. 【详解】由⫋，可知集合A必有元素，即至少有两个元素，至多有四个元素， 依次有以下可能：七种可能. 故选：C 【变式训练1-6】设集合，且，若，，则集合M的非空真子集的个数为（    ） A．4 B．6 C．7 D．15 【答案】B 【分析】求得集合，即可求得结果. 【详解】根据题意知，集合且，其非空真子集的个数为. 故选：B 【变式训练1-7】集合，,且，则集合的真子集的个数为（    ） A．5 B．15 C．31 D．32 【解题思路】根据题意，写出集合，根据集合所包含的元素个数，得到其真子集的个数. 【解答过程】由，， 所以，集合中含有5个元素， 所以集合的真子集个数为个. 故选：C. 【变式训练1-8】已知集合,，则集合的真子集个数为（    ） A．3 B．5 C．7 D．15 【答案】C 【分析】由知道为奇数，从而求出集合，然后由集合的真子集公式求得结果. 【详解】∵，∴为奇数，∴，∴集合中有3个元素，∴集合的真子集个数为：. 故选：C 【变式训练1-9】设集合，则集合A的子集个数为（   ） A．4 B．16 C．8 D．9 【答案】B 【分析】根据条件，先化简集合A，再利用子集个数的计算公式，即可求解. 【详解】由， 则集合A的子集个数为. 故选：B. 【变式训练1-10】设集合均为质数的真子集的个数为 ． 【答案】31 【分析】利用列举法表示集合，进而求出其真子集个数. 【详解】依题意，， 所以集合的真子集的个数为. 故答案为：31 【变式训练1-11】已知集合，，则满足条件的集合C的个数为 ，满足条件⫋B的集合C的个数为 ． 【答案】 4 3 【分析】分别求出集合A，B，根据集合间的包含关系求出集合C即可. 【详解】解：，解得或，则， 由，可得， 满足条件的集合为或或或，共4个， 满足条件⫋B的集合为或或，共3个， 故答案为：4；3． 题型02：根据子集（真子集）个数求参数 【典型例题1】若集合有且仅有两个子集，则实数的值是 . 【答案】 【分析】通过集合有且仅有两个子集，可知集合中只有一个元素，根据二次项系数是否为分类讨论. 【详解】由集合有且仅有两个子集，得中只有一个元素. 当即时，，符合题意. 当即时， 解得. 故答案为： 【典型例题2】已知集合恰有两个非空真子集，则m的值可以是 ．（说明：写出满足条件的一个实数m的值） 【答案】（答案不唯一） 【分析】先根据题意得集合A中所含元素个数，再通过二次方程得答案. 【详解】集合恰有两个非空真子集, 则集合A中含有2个元素，即方程由2个不等实根， ， 解得且. 故答案为：（答案不唯一）. 【变式训练2-1】已知集合A＝{x|（a﹣1）x2+3x﹣2＝0}有且仅有两个子集，则实数a＝　 　． 【解答】解：若A恰有两个子集， 所以关于x的方程恰有一个实数解， ①当a＝1时，，满足题意； ②当a≠0时，Δ＝8a+1＝0，所以， 综上所述，a＝1或． 故答案为：1或． 【变式训练2-2】已知集合A＝{x|（m﹣1）x2+3x﹣2＝0}恰有两个非空真子集，则m的值可以是 　．（说明：写出满足条件的一个实数m的值） 【解答】解：集合A＝{x|（m﹣1）x2+3x﹣2＝0}恰有两个非空真子集， 则集合A中含有2个元素，即方程（m﹣1）x2+3x﹣2＝0有两个不等实根， ∴， 解得m＞﹣且m≠1． 故答案为：2．（答案不唯一）． 【变式训练2-3】集合． (1)若是，求实数的取值范围 (2)是否存在这样的实数，使得集合有且仅有两个子集，若存在，求出实数及对应的子集，若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)当时，对应的两个子集为和；当时，对应的两个子集为和. 【分析】（1）若，对应的方程没有实数根，可求实数的取值范围； （2）要使集合A有且仅有两个子集，集合A有且只有一个元素，即对应的方程有且只有一个实根，可求实数的值． 【详解】（1）若，方程没有实数根，当时，方程有实数根不合题意；则，二次方程没有实数根，，解得. 所以实数的取值范围为 （2）要使集合A有且仅有两个子集，则集合A有且只有一个元素，即对应的方程有且只有一个实根， 当时，方程化为，解得，此时，对应的两个子集为和； 当，二次方程只有一个实根，，解得，此时，对应的两个子集为和. 题型03：求集合的子集（真子集） 【典型例题1】（多选）下列是集合的子集的为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】写出集合的所有子集即可得解. 【详解】集合的子集为． 故选：ABD 【典型例题2】已知集合且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二元一次方程组求解方程组的根，进而可得集合,由子集的性质即可求解. 【详解】由，又且,所以， 故选：B 【典型例题3】设，． (1)写出集合A的所有子集； (2)若B为非空集合，求a的值． 【答案】(1)； (2)3 【分析】（1）求解即可得； （2）由B为非空集合，得或或，分别将元素代入解出a即可. 【详解】（1）由解得或，则， 故集合A的子集为：； （2）B为非空集合，得或或， 由或代入可得，故a的值为3. 【变式训练3-1】若，则 . 【答案】 【分析】由题意可知B是由A集合的子集构成的集合，利用列举法写出集合B即可. 【详解】因为， 所以集合中的元素是集合的子集：， 则集合. 故答案为：. 【变式训练3-2】集合的子集有 ；其中真子集有 ． 【答案】 【分析】根据子集和真子集的定义求解即可. 【详解】集合{a，b，c}的子集有：； 真子集有：. 故答案为：； 【变式训练3-3】设集合，列出集合A 的子集. 【答案】A的子集为 【分析】先由条件确定集合的元素，再根据子集的定义写出其所有子集. 【详解】由化简可得， 所以A的子集为 【变式训练3-4】已知集合，且. (1)求的值； (2)写出集合的所有真子集. 【答案】(1) (2)，，，，，，. 【分析】（1）由，求得或，结合元素的特征，即可求解； （2）由（1）知集合，根据集合子集的概念，即可求解. 【详解】（1）当时，，不满足集合元素的互异性，不合题意； 当时，解得或，不合题意， 当时，，符合题意； 综上，； （2）由（1）可得，故集合A的所有真子集为： ，，，，，，. 【变式训练3-5】已知集合 (1)若，请写出集合的所有子集； (2)若集合，且，求的取值范围. 【答案】(1)、、、 (2) 【分析】（1）当时，求出集合，即可写出集合的所有子集； （2）对集合中的元素个数进行分类讨论，结合可得出关于实数的等式或不等式，综合可得出实数的取值范围. 【详解】（1）解：当时，， 所以，集合的所有子集有：、、、. （2）解：因为，分以下几种情况讨论： ①当时，对于方程，，解得； ②当集合只有一个元素时，对于方程，，可得， 此时，，此时，； ③当集合有两个元素时，因为，则，即， 即关于的方程的两根分别为、， 所以，，无解. 综上所述，实数的取值范围是. 【变式训练3-6】已知集合且，且 (1)写出集合的子集，真子集； (2)求集合的子集数，非空真子集数． 【答案】(1)答案见解析 (2)16，14 【分析】（1）根据集合的子集和真子集的概念即可求解； （2）利用集合的子集和非空真子集个数的求解公式，即可得出其相应的个数． 【详解】（1）， 的子集有：，，，，，，，； 的真子集有：，，，，，，． （2）， 有4个元素，的子集数为个， 的非空真子集数为个． 题型04：判断两个集合是否相等 【典型例题1】下列每组集合是相等集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据集合相等的概念判断四个选项即可. 【详解】对于A，，，故，所以A错误； 对于B，为点集，为数集，故，所以B错误； 对于C，，，故，所以C错误； 对于D，数集和数集元素一样，故，所以D正确， 故选：D. 【典型例题2】集合，，的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合包含关系的定义和集合相等的定义判断即可. 【详解】根据集合的概念可知集合表示所有被除余的数以及所构成的集合， 集合表示所有被除余的数所构成的集合， 所以， 集合表示所有被除余的数所构成的集合， 任取，则，，所以，， 又，，所以， 综上， 故选：A 【变式训练4-1】给出以下集合，其中是相等集合的有（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据集合相等的定义逐项判断即可. 【详解】对于A，中只有一个元素， 中有两个元素，，故，不是相等的集合； 对于B，，，是空集，中有一个元素， 故，不是相等的集合； 对于C，，，和中各有一个元素，但元素不相同，故，不是相等的集合； 对于D，解一元二次方程可得，或，故， 解一元二次方程可得，或，故， 和都只有两个元素，，所以和是相等的集合． 故选：D． 【变式训练4-2】（多选）给出以下几组集合，其中相等的集合有（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】相等集合即集合中的元素完全一致，通过此定义逐一判定各选项即可. 【详解】对于选项A，是点集,是数集，所以不是相等集合； 对于选项B, , 都表达的是奇数集，所以是相等集合； 对于选项C，,所以是相等集合； 对于选项D, 是空集没有元素，有元素为0，所以不是相等集合. 故选：BC. 【变式训练4-3】（多选）下列各组中M，P表示相同集合的是（ ） A．M = { x∣x = 2n，n∈Z }，P = { x∣x = 2（n + 1），n∈Z } B．M = { y∣y = x2 + 1，x∈R }，P = { x∣x = t2 + 1，t∈R } C．M = { x∣∈Z，x∈N }，P = { x∣x = 2k，1≤k≤4，k∈N } D．M = { y∣y = x2－1，x∈R }，P = {（x，y）∣y = x2－1，x∈R } 【答案】ABC 【分析】根据相同集合的意义，逐项分析判断作答. 【详解】对于A，因为n∈Z，则n+1∈Z，因此集合M ，P都表示所以偶数组成的集合，A正确， 对于B，M = { y∣y = x2 + 1，x∈R }，P = { x∣x = t2 + 1，t∈R }，即B正确， 对于C，M，P因此C正确， 对于D，集合M的元素是实数，集合P的元素是有序实数对，因此D不正确. 故选：ABC 【变式训练4-4】已知集合，则下列与相等的集合为 ．（填序号） ①    ；②； ③    ；④． 【答案】①② 【分析】解方程组可化简①，由偶次根式有意义可计算②，分别研究为奇数、为偶数可计算③，由N的定义可得④，依次判断即可求得结果． 【详解】对于①，； 对于②，中解得， 故； 对于③，当为奇数时，；当为偶数时，， 所以； 对于④，． 故答案为：①②. 【变式训练4-5】已知集合，则与集合相等的集合为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对A，，故A错误； 对B，中，解得， 故，故B错误； 对C，，故C错误； 对D，，故D正确.故选：D. 【变式训练4-6】下面关于集合的表示正确的序号是 . ①； ②； ③； ④. 【答案】③④ 【解析】∵集合中的元素具有无序性，∴，∴①不成立； ∵是点集，而不是点集，∴②不成立； ∵与都表示大于1的实数组成的集合，∴③成立； ∵与都表示奇数组成的集合，∴④成立. 故答案为：③④. 【变式训练4-7】已知集合，，则N、P满足的关系是（    ） A． B． C． D．N与P交集为空集 【解题思路】首先变形两个集合的形式，再根据特殊数集，进行比较，即可判断选项. 【解答过程】，， 因为，表示整数，，表示整数，所以两个集合元素相同，即. 故选：B. 题型05：根据集合相等求参数 【典型例题1】已知，若，则 ． 【答案】1 【分析】先根据分式有意义可得到的值，再根据相等集合以及集合元素的互异性得到的值，即可求得结果. 【详解】由已知得，则，所以， 于是，即或， 又由集合中元素的互异性知应舍去，故， 所以． 故答案为：1. 【典型例题2】（多选）若集合 ，则的值可能为（ ） A． B． C．0 D． 【答案】AB 【解析】根据题意， 只有一个实数根， 当 时，化为， 所以； 当 时，， 则， 又是方程的解， 所以， 得． 故答案为: 【变式训练5-1】已知集合，，若，则（    ） A．或2 B．或1 C． D．1 【答案】D 【分析】由集合相等即可求得结果. 【详解】集合，， 因为，所以， 解得， 故选：D. 【变式训练5-2】已知集合，，且，则（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】根据集合相等结合集合的互异性可得的值，即可得结果. 【详解】，， 若，则，或， 解得，或，或， 经验证，当时，不满足集合中元素的互异性，舍去， 所以当时，； 当时，， 故选：C. 【变式训练5-3】已知集合，，若，则实数（    ） A．0 B．1 C．1或2 D．2 【解题思路】利用集合的确定性和互异性，翻译集合相等这一条件即可. 【解答过程】由题意可知，解得 故选：D. 【变式训练5-4】已知集合，集合，若，则实数的值是 ． 【答案】 【分析】根据集合相等解方程即可求得结果. 【详解】因为，所以； 依题意可得且. 即实数的值是. 故答案为： 【变式训练5-5】已知集合，若，则 . 【答案】 【分析】根据建立方程，求解出参数，得到答案即可. 【详解】因为集合， 所以，解得，从而 故答案为： 【变式训练5-6】已知，，若，则（ ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以或，解得或或， 又集合中的元素需满足互异性，所以， 则．故选：C. 【变式训练5-7】已知集合，若，求实数q的值． 【答案】 【分析】由集合相等的定义一一讨论元素对应关系即可. 【详解】由元素的互异性得， 若，则有以下两种情况： ①，不符合题意舍去； ②或（舍去）， 综上，. 【变式训练5-8】已知集合，集合. （1）若，求的值； （2）若，求实数的值； （3）是否存在实数，使. 【答案】（1）0或；（2）；（3）不存在. 【分析】（1）中不可能等于，让另外两个元素分别等于求得检验； （2）让中元素分别等于，求得，然后检验； （3）由，令和分别求得，然后检验是否符合题意． 【详解】（1）集合中有三个元素：，，，， 或， 解得或， 当时，，，，成立； 当时，，，，成立. 的值为0或. （2）集合中也有三个元素：0，1，.， 当取0，1，时，都有， 集合中的元素都有互异性，，， . 实数的值为. （3）， 若，则，，5，， 若，则，，，， 不存在实数，，使. 题型06：空集的概念判断以及性质与应用 【典型例题1】下列四个集合中是空集的是（  ） A． B． C．，或 D． 【答案】B 【分析】根据空集的定义进行判断可得答案. 【详解】对于A，不是空集，故A错误；     对于B，无解，所以集合是空集，故B正确； 对于C，集合，或不是空集，故C错误； 对于D，集合不是空集，故D错误. 故选：B. 【典型例题2】若集合，则实数a的取值范围 ． 【答案】 【分析】利用判别式小于0求解 【详解】故无解则 故答案为： 【典型例题3】关于的不等式组的解集为，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由题意得，解不等式即可得出答案. 【详解】由题意得：，所以． 故答案为：. 【变式训练6-1】下列四个集合中是空集的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空集的定义，结合选项即可求解. 【详解】对于A,集合中有一个元素，故不是空集， 对于B,方程无实数解，∴集合为空集， 对于C，是无限集，所以不是空集， 对于D, ，不是空集. 故选：B． 【变式训练6-2】下列集合中为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合的表示方法，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，由集合中有一个元素，不符合题意； 对于B中，由集合中有一个元素，不符合题意； 对于C中，由方程，即，此时方程无解，可得，符合题意； 对于D中，不等式，解得，，不符合题意. 故选：C. 【变式训练6-3】下列四个说法中，正确的有（    ） ①空集没有子集； ②空集是任何集合的真子集； ③若，则； ④任何集合至少有两个子集． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【分析】根据空集的性质判断即可. 【详解】①空集是任何集合的子集，所以①错； ②空集是任何非空集合的真子集，所以②错； ③空集是任何集合的子集，集合不一定等于空集，所以③错； ④空集只有自己本身一个子集，所以④错. 故选：A. 【变式训练6-4】下列命题中正确的是（    ） A．空集没有子集 B．空集是任何一个集合的真子集 C．任何一个集合必有两个或两个以上的子集 D．设集合，那么，若，则 【答案】D 【解析】根据集合的相关概念，逐项判断，即可得出结果 【详解】A选项，空集是其本身的子集，A错； B选项，空集是任一非空集合的真子集，B错； C选项，空集只有一个子集，即是空集本身；C错； D选项，若，则中元素都在中，中没有的元素，则中也没有；故D正确. 故选：D. 【变式训练6-5】（多选）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由题意得，根据相等集合和子集的定义即可判断. 【详解】由题意得，， 则且，可得A，C，D正确. 故选：ACD. 【变式训练6-6】若集合是空集，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用空集的意义，结合一元二次方程根的情况求得答案. 【详解】集合是空集，则关于的方程无实根， 当时，方程为有两个不等实根，不符合要求， 当时，，方程无实根， 所以的取值范围是. 故选：B 【变式训练6-7】若集合有且仅有1个子集，则a的值可以为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据子集个数确定是空集，然后由方程无实数解得参数范围，确定正确选项． 【详解】由集合A有且仅有1个子集可知，A是， 当时，，不符合题意； 当时，由可得． 故选：C． 【变式训练6-8】已知a是实数，若集合是任何集合的子集，则a的取值范围值是 . 【答案】 【分析】根据题意分析可知方程无解，结合判别式分析求解. 【详解】由题意可知：集合是空集，即方程无解， 则，解得， 所以a的取值范围值是. 故答案为：. 【变式训练6-9】已知集合，则实数k的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据空集的定义，要使集合，则，解之即可求解. 【详解】∵，∴， 解得，因此实数k的取值范围是. 故答案为：. 【变式训练6-10】下列集合中为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合的表示方法，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，由集合中有一个元素，不符合题意； 对于B中，由集合中有一个元素，不符合题意； 对于C中，由方程，即，此时方程无解，可得，符合题意； 对于D中，不等式，解得，，不符合题意. 故选：C. 【变式训练6-11】已知六个关系式①；②；③；④；⑤；⑥，它们中关系表达正确的个数为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【解析】根据元素与集合、集合与集合关系： 是的一个元素，故，①正确； 是任何非空集合的真子集，故、，②③正确； 没有元素，故，④正确；且、，⑤错误，⑥正确； 所以①②③④⑥正确.故选：C 【变式训练6-12】若集合 为空集，则实数的取值范围是 . 【答案】或 【分析】根据不等式的解集为空集，比较左右端点值的大小，列式即可求解. 【详解】因为集合为空集，所以，即或. 故答案为：或 【变式训练6-13】已知集合A＝{x|ax2﹣3x+2＝0，a∈R}． （1）若A是空集，求a的取值范围； （2）若A中至多只有一个元素，求a的取值范围． 【解答】解：（1）当a＝0时，方程ax2﹣3x+2＝0化为﹣3x+2＝0，解集非空； 当a≠0时，要使A是空集，则Δ＝（﹣3）2﹣8a＜0，解得a＞． ∴使A是空集的a的取值范围是（）； （2）当a＝0，集合A中有一个元素； 当a≠0时，若A中有两个元素，则Δ＝（﹣3）2﹣8a＞0，解得a＜． 综上，使A中至多只有一个元素的a的取值范围是{0}∪[）． 题型07： Venn图表示集合的关系 【典型例题1】下列表示集合和的关系的Venn图正确的是． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先用列举法表示,根据与的关系判断Venn图即可 【详解】由,即,可知, 故选B 【点睛】本题考查列举法表示集合,Venn图表示集合之间的关系 【典型例题2】已知集合，则M与N的关系可用Venn图表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由集合关系与Venn图的关系判断． 【详解】由已知，选项D符合． 故选：D． 【变式训练7-1】能正确表示集合和集合的关系的Venn图是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题先解出中的一元二次方程，再利用集合间关系的判断以及用venn图表示集合的关系即可得出答案. 【详解】根据题意，易得为方程的解集，解可得或，则， 而，易得；分析选项可得，B符合； 故选：B. 【变式训练7-2】下列Venn图能正确表示集合和关系的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】确定集合，的关系，然后选择合适的图象即可. 【详解】，又， 所以，选项B符合， 故选：B. 【变式训练7-3】下列Venn图能正确表示集合和关系的是（    ） A．   B．   C．   D．   【解题思路】确定集合，的关系，然后选择合适的图象即可. 【解答过程】，又， 所以，选项B符合， 故选：B. 【变式训练7-4】已知集合，，若图中的阴影部分为空集，则构成的集合为 A． B． C． D． 【解题思路】先化简集合，注意，由题意可知，，确定即可 【解答过程】 或，图中的阴影部分为空集， 或 ，即或 又，， 故选D. 题型08：判断集合与集合的关系 【典型例题1】若，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】求出集合后，根据集合间的关系逐项判断即可. 【解答过程】，是以空集为元素的集合，不是集合A的子集，故A错误； ，故B错误；，故C错误；，故D正确. 故选：D. 【典型例题2】下列集合之间关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】化简各选项中的集合，利用集合相等和集合的包含关系逐项判断即可. 【详解】对于A选项，，，故，A错； 对于B选项，，， 故，B对； 对于C选项，为数集，为点集，则、无包含关系，C错； 对于D选项，， 故，D错. 故选：B. 【典型例题3】已知集合，，则的关系（    ） A．⫋ B．⫋ C．⫋⫋ D．⫋⫋ 【解题思路】将集合化为与相同的形式，即可判断集合间的关系. 【解答过程】由，， 而为奇数，为整数，又， 所以⫋. 故选：B. 【变式训练8-1】已知集合，，则（    ） A．⫋ B． C． D． 【答案】A 【分析】用列举法写出集合A，利用集合间的基本关系判断． 【详解】，，则⫋. 故选：A. 【变式训练8-2】下列集合关系中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合与集合的关系判断即可. 【详解】对于A：集合为点集，含有元素，集合含有两个元素，， 所以不包含于，故A错误； 对于B：，故B正确； 对于C：，故C正确； 对于D：因为，所以，故D正确； 故选：A 【变式训练8-3】下列关系式正确的为（ ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】对于A.元素与集合间是属于与不属于的关系，故A错误； 对于B.含有一个元素0，不是空集，故B错误； 对于C.集合的元素具有无序性，以及任何集合都是它本身的子集，故C正确； 对于D.空集是任何集合的子集，故D正确. 【变式训练8-4】下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据元素与集合、集合与集合的关系逐项判断即可. 【详解】对于A选项，，A错； 对于B选项，，B错； 对于C选项，，C错； 对于D选项，，D对. 故选：D. 【变式训练8-5】已知集合，则（    ） A． B． C．⫋ D．⫋ 【答案】C 【分析】由集合，即可判断集合间的关系. 【详解】由，显然为奇数， 而，所以⫋. 故选：C 【变式训练8-6】下列六个关系式：①；②；③；④；⑤；⑥，其中正确的个数为（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】①根据子集的定义判断；②根据集合中的元素的特征判断；③根据集合中有一个元素0判断；④根据元素与集合的关系判断；⑤根据集合与集合的关系判断；⑥根据空集是任意集合的子集判断. 【详解】依据子集定义，任何集合都是自身的子集，①正确； 集合中的元素具有无序性，②正确； 集合中有一个元素0，不是空集，③正确； 0是集合中的元素，所以，④正确； 空集和集合两个集合的关系为包含关系不是属于关系，⑤错误； 由于空集是任意集合的子集，则，⑥正确； 故选：C 【变式训练8-7】已知集合，，则集合M与N的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解方程确定集合，然后由子集、真子集的定义判断． 【详解】解方程，得或，则， 因为且，且，所以．又因为但，所以． 故选：C． 【变式训练8-8】指出下列各对集合之间的关系： (1)，； (2)，； (3)为正整数}，，为正整数}． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据已知条件，结合子集的定义，举例即可求解； （2）根据已知条件，结合子集的定义，理解的倍数一定是的倍数，的倍数不一定是的倍数，即可求解； （3）根据已知条件，结合子集的定义，注意奇数1即可求解． 【详解】（1）解：的唯一元素， 又， ； （2）解：，， ，， 的倍数一定是的倍数， 的倍数不一定是的倍数， 例如：， ； （3）解：为正整数}正奇数， ，为正整数}不小于3的正奇数， ． 【变式训练8-9】已知集合，则集合与的关系是（    ） A． B．⫋ C．⫋ D．且 【解题思路】 分别求出集合 和 ，根据集合间的基本关系进行判断即可. 【解答过程】 由题意可知， 则，都有；而，且，故⫋. 故选：B. 【变式训练8-10】若，，则必有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】先判断P是实数集合，再判断Q是点集，然后得出结果. 【详解】是大于等于零的实数构成的集合， 而是由抛物线上的点构成的集合，两个不同属性的集合没有关系，所以ABD都不对， 故选：C. 【变式训练8-11】集合，，则下列关系错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】将两个集合化简后比较分子的关系可得两个集合的关系. 【详解】因为， 表示整数，表示奇数， 故，故选项A、B、D错误，选项C正确， 故选：ABD. 【变式训练8-12】若集合，，，则的关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】已知，，， 显然可表示整数，而只能表示偶数； 所以.故选：A． 题型09：根据集合的包含关系求参 【典型例题1】已知集合，若，则的值为（    ） A．1 B． C． D．2或 【答案】A 【分析】由集合包含关系，分，两类情况讨论即可. 【详解】. 当时，，则，不符合题意； 当时，，则，即，符合题意. 故选：A 【典型例题2】已知集合. (1)若，求实数的取值集合. (2)若的子集有两个，求实数的取值集合. (3)若且，求实数的取值集合. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据，可得，再分和两种情况讨论即可； （2）由题意可得集合中只有一个元素，再分和两种情况讨论即可； （3）先根据求出，进而求出集合，再分和两种情况讨论即可. 【详解】（1）因为，所以， 当时，则，与题意矛盾， 当时，则，解得， 综上所述，实数的取值集合为； （2）因为的子集有两个，所以集合中只有一个元素， 当时，则，符合题意， 当时，则，解得， 综上所述，实数的取值集合为； （3）因为， 所以，解得， 所以， 当时，， 当时，， 因为，所以或，解得或， 综上所述，实数的取值集合为. 【典型例题3】已知集合，，且，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】根据集合的基本关系得出不等式组计算即可. 【详解】由于，在数轴上表示A，B，如图， 可得解得 所以的取值范围是． 【典型例题4】已知集合，，若，求实数的取值范围． 【答案】． 【分析】先将集合化简，再分与讨论，即可得到结果. 【详解】由解得，所以，且， 当时，符合， 则，解得， 当时，即时， 要使，则，解得， 综上所述，实数的取值范围为. 【变式训练9-1】已知集合，，若，则（   ） A．1 B． C．1或0 D．1或 【答案】D 【分析】由得或求出值，并根据集合元素互异性检验得解. 【详解】因为，当，即时，，，符合题意； 当，即时，，，符合题意． 综上，或． 故选：D． 【变式训练9-2】已知集合，，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用集合间的包含关系求解. 【详解】因为，，且， 所以，所以实数的取值范围是， 故选:D. 【变式训练9-3】已知，，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合的基本关系分类讨论计算求参即可. 【详解】因为，所以当，即时，，满足，即； 当，即时，，满足，即； 当，即时，由，得，，即； 综上，． 故选：C． 【变式训练9-4】已知集合，，且，则实数的值为 . 【答案】 【分析】由集合包含关系得到即可求解； 【详解】由题意可知， 解得：， 故答案为： 【变式训练9-5】若集合，，且，求实数的值. 【答案】或0 【分析】根据，可分类讨论，，时的值，从而可求解. 【详解】由题意知， 当时，，符合题意； 当时，； 当时，， 综上，的值为或. 【变式训练9-6】设集合，，且． (1)若，求实数的值； (2)若，且，求实数的值． 【答案】(1)， (2)或 【详解】（1）由解得，所以， 因为，所以是集合中元素， 所以将代入得，解得，. （2）因为，由（1）得是集合中元素， 当即时，此时符合题意； 当时，①，此时符合题意； ②，此时不满足集合元素的互异性，舍去； 综上或.． 【变式训练9-7】已知关于的一元二次方程有实根对应的取值构成集合，集合. (1)求集合； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据判别式求解出结果； （2）分类讨论和，列出不等式组求解出的取值范围. 【详解】（1）因为有实根， 所以，解得， 所以. （2）因为， 当时，满足，此时，解得； 当时，因为，所以，解得， 综上所述，的取值范围是或. 【变式训练9-8】设集合． (1)当时，求A的非空真子集的个数； (2)若，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2){或} 【分析】（1）先解不等式确定集合A，再由元素个数计算非空真子集即可； （2）根据集合间的基本关系，分类讨论B是否为空集计算即可. 【详解】（1）由知，且可得， 所以A的非空真子集的个数为； （2）因为，若，则，可得； 若，则，解之得； 综上所述：实数m的取值范围为{或}. 【变式训练9-9】已知全集为实数集，集合，.    (1)若，求图中阴影部分的集合； (2)若，求实数的取值范围. 【解题思路】（1）由题图知，再根据已知及集合的交补运算求集合M即可. （2）讨论、，根据集合的包含关系列不等式组求参数范围. 【解答过程】（1）解：时，，由图知，， 因为，所以， 所以. （2）当时，，解得，此时成立； 当时，，解得， 因为，所以，解得， 所以； 综上可得，实数的取值范围是. 【变式训练9-10】已知集合 (1)若A中只有一个元素，求a的值 (2)若A中至多有一个元素，求a的取值范围 (3)若，求a的取值范围 【解题思路】（1）分和两种情况，结合二次方程的判别式分析求解； （2）分A中有一个元素或两种情况，结合二次方程的判别式分析求解； （3）分类讨论A是否为空集以及是否为0，结合二次方程的判别式和韦达定理分析求解. 【解答过程】（1）若时，，符合题意； 当时，可知方程为一元二次方程，则，解得； 综上所述：或. （2）若A中至多有一个元素，即A中有一个元素或， 若A中有一个，由（1）可知：或； 若，则，解得； 综上所述：a的取值范围为 . （3）因为，则有： 若，由（2）可知：； 若，则有： 若时，由（1）可知，符合题意； 当时，则，解得； 综上所述：a的取值范围为. 【变式训练9-11】已知集合，.若，求实数的取值范围. 【答案】或. 【分析】由题意，求得，再根据，结合韦达定理分和两种情况讨论即可求出答案． 【详解】由，则. ， 为方程的解集. ①若，则， 或或， 当时有两个相等实根，即不合题意，同理， 当时，符合题意； ②若则，即， 综上所述，实数的取值范围为或 【变式训练9-12】设集合. (1)当时，求的非空真子集的个数； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)254 (2) 【分析】（1）由题得即可解决.（2）根据得，即可解决. 【详解】（1）由题知，， 当时，共8个元素， 的非空真子集的个数为个； （2）由题知， 显然， 因为， 所以，解得， 所以实数的取值范围是. 【变式训练9-13】已知集合. (1)若，则实数a的值是多少? (2)若，则实数a的取值范围是多少? (3)若B⫋A，则实数a的取值范围是多少? 【答案】(1) (2) (3) 【分析】利用集合相等的性质及集合的包含关系，结合数轴法求解即可. 【详解】（1）因为集合，， 所以. （2）因为，如图，    由图可知，即实数a的取值范围是. （3）因为B⫋A，如图，    由图可知，即实数a的取值范围是. 【变式训练9-14】已知集合，， (1)若，求实数的取值范围； (2)若⫋，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】根据集合之间的包含关系，建立不等式组，解得答案. 【详解】（1）因为， 当时：，即符合题意； 当时，，， 综上所述：. （2）因为⫋， 当时，， ，解得，无解， 当时，或， ， 综上所述：. （一）由集合间的关系确定参数的取值范围 【典型例题】已知集合A＝{﹣2，3，6m﹣6}，若{3，6}⊆A，则m＝　 ． 【解答】解：因为集合A＝{﹣2，3，6m﹣6}，且{3，6}⊆A， 则6m﹣6＝6，得m＝2， 【变式训练9-1】已知A＝{x|﹣1＜x＜3}，B＝{x|x＜a}，若A⊆B，则实数a的取值范围是 　． 【解答】解：A＝{x|﹣1＜x＜3}，B＝{x|x＜a}，A⊆B， 则a≥3， 故实数a的取值范围是[3，+∞）． 【变式训练9-2】已知集合A＝{x|ax﹣6＝0}，B＝{x|2x2﹣3x＝0}，且A⊆B，则a＝　 　． 【解答】解：， 当A＝∅时，A⊆B成立，此时a＝0， 当A≠∅时，， 因为A⊆B，所以，得a＝4， 综上a＝0或a＝4， 故答案为：0或4． （二）数形结合思想（利用数轴求参数的取值范围） 【典型例题】已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意知，， 所以. 【变式训练9-1】设集合A＝{x|﹣1≤x＜2}，B＝{x|x＜a}，若A⊆B，则a的取值范围（　　） A．a≥﹣1 B．a≥2 C．a＞﹣1 D．﹣1＜a≤2 【解答】解：∵A＝{x|﹣1≤x＜2}，B＝{x|x＜a}，A⊆B， 则画出数轴如下， ∴a≥2， 故选：B． （三）分类讨论思想 【典型例题】若集合A＝{x|kx2+4x+4＝0}中只有一个元素，则实数k的值为（　　） A．0或1 B．1 C．0 D．k＜1 【解答】解：当k＝0 时，集合A＝{x|kx2+4x+4＝0}＝{x|x＝﹣1}，满足条件． 当k≠0时，由判别式等于0可得 16﹣16k＝0，解得 k＝1，此时，集合A＝{x|kx2+4x+4＝0}＝{x|x2+4x+4＝0}＝{﹣2}，满足条件． 综上可得，实数k的值为0或1． 故选：A． 【变式训练9-1】已知集合，，若，求a的取值范围． 【答案】 【详解】当时，，解得， 当时，因为，则，解得， 综上. 【变式训练9-2】已知集合. (1)若集合，且，求的值； (2)若集合，且与有包含关系，求的取值范围. 【答案】(1)5 (2) 【详解】（1）因为，且， 所以或， 解得或， 故. （2）因为A与C有包含关系，，至多只有两个元素， 所以. 当时，，满足题意； 当时， 当时，，解得，满足题意； 当时，且，此时无解； 当时，且，此时无解； 当时，且，此时无解； 综上，a的取值范围为. 【变式训练9-3】已知集合，，且，求实数a的取值范围． 【答案】或 【详解】由题意知，若，则，解得， 若， ，解得或， 当时，则方程为，解得，此时，不合题意，舍去， 当时，则方程为，解得，，不合题意，舍去， 当，即，解得或，则由题意知， 则1,4为方程两根，根据韦达定理得， 综上所述的范围是或. 易错点1：忽视空集导致出错 【典型例题】已知集合A＝{x|x＜1或x＞2}，B＝{x|﹣m＜x＜m}，若B⊆A，求m的取值范围． 【答案】m≤1． 【详解】∵B⊆A， 若B＝∅，则m≤0，满足B⊆A， 若B≠∅，则m＞0，由B⊆A，得m≤1，解得，0＜m≤1． 综上所述：实数m的取值范围为m≤1． 易错点点睛：容易漏掉的情形. 1.已知集合A＝{x|(x＋1)(x－6)≤0}，B＝{x|m－1≤x≤2m＋1}．若B⊆A，则实数m的取值范围为______． 【错解】由题意得，A＝{x|－1≤x≤6}．因为B⊆A，则 解得0≤m≤.综上，m＜－2或0≤m≤. 【错因】忽略了集合B为空集的情况。 【正解】由题意得，A＝{x|－1≤x≤6}． 当B＝∅时，m－1>2m＋1，即m<－2，满足B⊆A. 当B≠∅时，若B⊆A，则解得0≤m≤. 综上，m＜－2或0≤m≤. 易错点2：忽视高次项系数导致出错 1.已知集合，，若，则实数的值构成的集合是（ ） A． B． C． D． 【错解】由得：或，即；， ，或，解得：或； 综上所述：实数的值构成的集合是 【错因】忽略了对一次项系数a的讨论。 【正解】由得：或，即； ①当时，，满足，符合题意； ②当时，， ，或，解得：或； 综上所述：实数的值构成的集合是. 易错点3：忽视判别式导致出错 1.已知，，若，求的取值范围. 【错解】，，且. 由韦达定理可得，解得.所以实数的取值范围是. 【错因】忽略了集合B中的一元二次方程方程根的的个数。 【正解】，， 对于方程，，且. ①时，集合，可得，合乎题意； ②时，集合中只有一个元素，可得， 此时，合乎题意； ③时，集合中有两个元素，，则，解得. 综上所述，实数的取值范围是或. 题型10：集合关系的新定义 【典型例题1】定义集合运算，若，则集合的子集个数为（　　） A．14 B．0 C．31 D．32 【解题思路】列举出满足条件的元素a，b并求出其和，据互异性，即可得出新集合的元素个数，进一步求出其子集个数. 【解答过程】因为，且， 所以， 可知集合中共有5个元素， 所以集合的所有子集的个数为. 故选：D. 【典型例题2】（多选）已知，记为集合中元素的个数，为集合中的最小元素．若非空数集，且满足，则称集合为“阶完美集”．记为全部阶完美集的个数，下列说法中正确的是（    ） A． B．将阶完美集的元素全部加1，得到的新集合，是阶完美集 C．若为阶完美集，且，满足条件的集合的个数为 D．若为阶完美集，且，满足条件的集合的个数为 【答案】ABD 【分析】通过对不同阶数完美集的子集情况进行分析来确定集合个数，同时依据完美集的性质判断相关结论的正确性. 【详解】当非空数集是子集中含个元素的子集时，.根据“n阶完美集”的定义，中大于等于的数有、、、共个，所以此时可以是、、、. 当非空数集是子集中含个元素的子集时，.中大于等于的数有、、共个，所以此时可以是、、. 当非空数集是子集中含个元素的子集时，.中大于等于的数有、共个，不满足“n阶完美集”的定义，所以中个元素的子集不满足. 同理，中含个元素的子集也不满足. 综上，4阶完美集有、、、、、、，所以，故A正确. 若将“n阶完美集”中元素全部加，中元素个数不变，但加变大，均不违背“阶完美集”的定义，所以得到的新集合是一个“阶完美集”，故B正确. 若，满足条件的集合的个数为7，而,C错误； 对于满足“阶完美集”的所有，不属于所有，可视为退化为“阶完美集”的情况，总个数为. 又因为，所以满足条件的集合要排除掉“阶完美集”中只含有个元素的情形（排除个单元素集合），因此满足条件的集合的个数均为，D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：新定义题型，关键就是读懂题意，将陌生的概念转化为熟悉的知识，再借助旧知解题即可. 【典型例题3】对非空数集及实数，定义，，已知． (1)当时，若集合为单元素集，求； (2)当时，若集合，求的所有取值构成的集合； (3)若中有3个元素，求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】（1）代入，根据列出方程求解出的值，则结果可知； （2）代入，根据列出方程组，化简方程组结合韦达定理求解出结果； （3）根据进行分类讨论，结合方程组解的情况进行分类讨论，由此求解出结果. 【详解】（1）时，设，由，得， 所以，即， 得或1，故或. （2）时，，由，得， 得或，即或， 当时，是方程的两根，故， 当时，两式相减得， 由集合中元素的互异性得，所以， 故，即，同理， 故是方程的两根，所以， 故ab的所有取值构成的集合为. （3）设，由，得， ①若，故是方程的三个不等的实数根， 而此方程最多有两个实数根，不可能有三个实数根，故不成立； ②若，当时，，令，得， 对，，两式相减得，因为，所以， 代入，得，同理， 故为方程的两个不相等的实根，令，得， 当时，与均有两个不相等的实根，且这两个方程的根不完全相同，故符合题意； ③若，则， 由得， 则，， ， 得，因为， 所以，令, 则由上式得, ， ， 所以，即此种情况下， 综上，实数k的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：本题属于集合中的新定义问题，解答问题的关键在于对定义的理解；前两问通过将新定义的集合中元素关系转化为方程问题进行直接求解；第三问需要对可能成立的方程组进行是否有解的分析与判断，注意元素的不同对应关系. 【变式训练10-1】定义，设集合，集合，则集合的子集的个数是（    ） A．14 B．15 C．16 D．17 【解题思路】根据题中定义，运用列举法、集合子集个数公式进行求解即可. 【解答过程】因为， 所以集合的子集的个数是， 故选：C. 【变式训练10-2】定义：若一个位正整数的所有数位上数字的次方和等于这个数本身，则称这个数是自恋数.已知集合，，则的子集个数为（    ） A．16 B．8 C．4 D．2 【解题思路】利用自恋数的定义和子集的个数求解. 【解答过程】解：因为所以4是自恋数， 因为，所以26不是自恋数； 因为，所以81不是自恋数； 因为，所以153是自恋数； 因为，所以370是自恋数； 所以， 则子集个数为. 故选：B. 【变式训练10-3】对于非空集合（，），其所有元素的几何平均数记为，即．若非空数集满足下列两个条件：①⫋；②，则称为的一个“保均值真子集”，则集合的“保均值真子集”的个数为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】先求出，再结合“保均值真子集”的概念列举集合的“保均值真子集”即可得到答案. 【详解】因为集合，则， 所以集合的“保均值真子集”有：,,,,,，共6个． 故选：C 【变式训练10-4】设集合，对和，定义：．已知集合是的子集，对任意，满足：当，时，为偶数，否则为奇数，则中元素个数的最大值为 ． 【答案】 【分析】先列举出两个元素和的取值，再结合条件，进行分类讨论，即可求解. 【详解】集合中任取两个元素和对应坐标计算结果如下表： 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 因为当，时，为偶数，所以集合中任一元素含有1的个数为0，2或4， 分别如下：①；②，，，，，；③， 根据题意，可知集合中至多含以上8个元素．当和不同时，因为为奇数， 所以和的四个对应位置都为1的恰有1个或3个， 若中不含第②类元素，则中至多1个元素， 若中含第②类元素，不妨设，则第①和③类的两个元素不在中， 对于第②类元素中，不在中，其余都可以是的元素， 所以集合中元素个数的最大值为5， 故答案为：. 【变式训练10-5】对于给定的集合，若存在满足如下条件的集合：①，若，则；②，若，则，则称为的共轭集合． (1)若，求的存在共轭集合； (2)若，，存在恰有个元素的共轭集合，求证：； (3)若集合存在共轭集合，且，求集合中的元素个数的最大值． 【答案】(1)； (2)证明见详解； (3)4. 【分析】（1）根据共轭集合的定义，以及，可知，再说明集合中没有第4个元素即可得解； （2）设，假设，由条件①结合条件②推出矛盾，假设不成立，即可得证； （3）由题意设，由条件①和条件②逐步分析得即可由得解. 【详解】（1）因为，由题意可得：，即， 此时，满足题意； 假设集合中还有第4个元素，则由题意知： 若，即或，此时，故不成立， 若，则，所以或4或8，这与元素的互异性矛盾， 综上所述，集合中没有第4个元素，所以的共轭集合. （2）不妨设，恰有个元素的共轭集合为， 假设，即，则，，且， 由条件②，因为，故有，即， 所以，则. 因为集合有4个元素，故设， 若，则或，此时，矛盾. 若，则，所以或或， 即或或，这与集合元素的互异性矛盾. 故假设不成立，即. （3）不妨设，的共轭集合为，. 所以，，又因为，所以. 同理. 若，由（2）可知：，从而. 对于任意的，有，即， 所以，解得. 若，即，， 故， 所以， 故，从而， 对任意的，必有， 即， 所以，解得. 综上所述，的最大值为4. 当时，，符合题意. 【点睛】思路点睛：在理解相关新概念、新定义时，运用学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等解决问题.在新环境下研究“旧”性质，主要是将新性质应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质，此题的落脚点仍然是集合中元素的互异性，确定性，无序性. 一、单选题 1．已知集合 ，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查集合间的包含关系，根据题意，分析集合之间的关系，进而作出判断即可. 【详解】因为， 所以， 即， 故选项D正确，选项A、B、C错误. 故选：D. 2．若集合，，则集合B的真子集个数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】先用列举法求出集合，在根据真子集的公式求解. 【详解】由题意可知，所以集合的真子集个数为个. 故选：C 3．已知集合，，集合满足，则所有满足条件的集合的个数为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据集合的定义求得，再根据集合的包含关系，即可求得. 【详解】，又，， 故集合为包含元素和，且为的子集， 故集合可以为：，则集合的个数是个. 故选：B. 4．定义两集合的差集：且，已知集合，，则的子集个数是（    ）个． A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【分析】根据题意求得集合，从而求得其子集的个数. 【详解】因为，， 所以， 所以，有两个元素， 则的子集个数是个． 故选：B． 二、多选题 5．关于下图说法正确的是（    ） A．集合A中的元素既是集合B中的元素也是集合U中的元素 B．集合A、B、U中有相同的元素 C．集合U中有元素不在集合B中 D．集合A、B、U中的元素相同 【答案】ABC 【分析】由图形可知集合间的包含关系，对选项中的结论进行判断. 【详解】由韦恩图可得，ABU，且，结合真子集的定义可知， 集合A中的元素既是集合B中的元素也是集合U中的元素，A选项正确； 集合A、B、U中有相同的元素，B选项正确； 集合U中有元素不在集合B中，C选项正确； 集合A、B、U不相等，D选项错误. 故选：ABC. 6．下列说法正确的有（    ） A．集合有16个真子集 B．对于任意集合A， C．任何集合都有子集，但不一定有真子集 D．若，则 【答案】BCD 【分析】根据集合的真子集个数公式判断A；利用空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集判断B、C、D. 【详解】集合有4个元素，故其有个真子集，故A错误； 空集是任何集合的子集，则，故B正确； 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，故C正确； 空集是任何非空集合的真子集，若，则，故D正确. 故选：BCD. 7．已知，集合与集合相等，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据题意，利用集合相等的概念，结合集合中元素的互异性可解． 【详解】根据题意，，或， 当时，，不合题意； 当时，，， 则，解得（舍）或， 所以，， 故选：BCD． 8．（22-23高一上·新疆乌鲁木齐·期中）下列关系中正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据元素与集合、集合与集合的关系及空集的性质、集合相等的定义判断各项的正误. 【详解】A：是集合中的元素，故，正确； B：是任意非空集合的真子集，故，正确； C：是的真子集，故，正确； D：研究数值，而研究有序数对，故它们不相等，错误. 故选：ABC 9．已知集合，，则下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则或 D．若，则或或 【答案】ABC 【分析】解一元二次方程求得集合，根据集合包含关系，集合相等的定义和集合的概念即可逐一判断． 【详解】依题意可得， 对于A，若，则，解得，故A正确； 对于B，若，则，解得，故B正确； 对于C，当时，则，解得或，故C正确； 对于D，当时，，故D错误． 故选：ABC． 10．已知集合，且，则实数可能的取值是（    ） A． B．0 C．-1 D． 【答案】ABC 【分析】首先求出集合A，然后结合的条件，对集合B中的参数a分类讨论即可得答案. 【详解】解：，且，则： ①当时，或，解得或，A适合题意； ②若，则，解得， ③若，则，此时无解， ④若，则，此时无解，不合题意； 综上：的值为0和. 故选：ABC. 三、填空题 11．设集合，则集合的真子集个数为 ． 【答案】63 【分析】依题意求出集合，即可求得其真子集个数． 【详解】由可知是的正因数， 即可取，故可得的值依次取， 即， 故集合的真子集有个． 故答案为：63. 12．已知集合，，则满足的集合的个数为 . 【答案】7 【分析】化简集合，结合求集合的子集的结论即可求得结果. 【详解】因为， ， 所以满足的集合中必有元素2，3， 所以求满足的集合的个数，即求集合的真子集个数， 所以满足的集合的个数为个. 故答案为：7. 四、解答题 13．指出下列各组集合之间的关系： (1)，； (2)，； (3)，． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用数轴即可判断集合关系； （2）利用集合所表示的含义即可判断； （3）求出集合即可判断. 【详解】（1）在数轴上表示出集合A，B，如图所示，由图可知． （2）∵集合A是偶数集，集合B是4的倍数集，∴． （3）．在集合B中，当n为奇数时，， 当n为偶数时，，∴，∴． 14．确定下列每组两个集合的包含关系或相等关系： (1)A={为12的正约数}与； (2)与{为4的正整数倍}. 【答案】(1) (2)为的真子集 【分析】（1）用列举法表示出集合可得答案； （2）根据集合与里元素的性质可得答案. 【详解】（1）因为，所以； （2）因为，， 所以为.的真子集. 15．设，写出集合的子集，并指出其中哪些是它的真子集． 【答案】答案见解析 【分析】解出集合，按元素个数进行分类写出其子集即可. 【详解】由，得， 解方程得或或，故集合. 由0个元素构成的子集为； 由1个元素构成的子集为； 由2个元素构成的子集为； 由3个元素构成的子集为, 因此集合A的子集为:，，，． 真子集为:，，. 16．已知集合，，若BA，求实数m的取值范围. 【答案】 【分析】由集合的包含关系，列不等式求m的取值范围. 【详解】当时，由，得. 当时，如图所示.    则，得，即， 综上可得，实数m的取值范围是. 17．已知集合． (1)若，为常数，求实数m的取值范围． (2)若，为常数，求实数m的取值范围． (3)若为常数，是否存在实数m，使得？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）由集合的包含关系，分和两种情况，列不等式求实数m的取值范围； （2）由集合的包含关系，列不等式求实数m的取值范围； （3）由集合的相等关系，列方程组求实数m的值. 【详解】（1）①若，满足，则，解得． ②若，满足，则解得． 由①②可得，符合题意的实数m的取值范围为． （2）若，数轴表示如下： 依题意有即 此时m的取值范围是． （3）假设存在满足题意的实数m．若， 则必有且，此时无解，即不存在使得的实数m． 18．已知集合． (1)若，求实数m的取值范围； (2)若AB，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意首先有，得，结合包含关系列出方程组即可求解. （2）结合A是B的真子集列出不等式组即可求解. 【详解】（1）因为为非空数集，得，解得， 若，则，解得，即实数m的取值范围是. （2）若AB，则（等号不同时取得），解得，即实数m的取值范围是. 19．设集合 (1)若，试判断集合与的关系； (2)若，求的值组成的集合． 【答案】(1)，是的真子集； (2)． 【分析】（1）当时求出集合A与B，再判断关系； （2）求出集合B，注意对与分类讨论，根据，列方程求解． 【详解】（1） 当时，， 所以B是A的真子集． （2）． 若，则，是真子集成立； 若，则，因为是A真子集， 或，所以或． 所以的值组成的集合． 20．已知集合，其中是关于的方程的两个不同的实数根. (1)若，求出实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据得到，结合方程的两根得到方程，求出； （2），故，结合方程的两根得到不等式，求出. 【详解】（1）因为，故， 又的两根分别为， 故， 故； （2）因为，故， 又的两根分别为， 故，解得， 故实数的取值范围是. 21．已知集合 (1)若A中只有一个元素，求a的值 (2)若A中至多有一个元素，求a的取值范围 (3)若，求a的取值范围 【答案】(1)0或 (2) (3) 【分析】（1）分和两种情况，结合二次方程的判别式分析求解； （2）分A中有一个元素或两种情况，结合二次方程的判别式分析求解； （3）分类讨论A是否为空集以及是否为0，结合二次方程的判别式和韦达定理分析求解. 【详解】（1）若时，，符合题意； 当时，可知方程为一元二次方程，则，解得； 综上所述：或. （2）若A中至多有一个元素，即A中有一个元素或， 若A中有一个，由（1）可知：或； 若，则，解得； 综上所述：a的取值范围为. （3）因为，则有： 若，由（2）可知：； 若，则有： 若时，由（1）可知，符合题意； 当时，则，解得； 综上所述：a的取值范围为. 22．已知集合. (1)若，存在集合使得为 的真子集且为的真子集，求这样的集合； (2)若集合是集合的一个子集，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）确定，并求出集合，写出的真子集即得； （2）分类讨论，时满足题意，时，由集合中的元素属于集合，分别代入求出参数，得集合检验即可． 【详解】（1）当时，方程的根的判别式，所以. 又，故. 由已知，得应是一个非空集合，且是的一个真子集， 用列举法可得这样的集合共有6个，分别为. （2）当时，是的一个子集，此时对于方程， 有，所以. 当时，因为，所以当时， ，即，此时， 因为，所以不是的子集； 同理当时，，，也不是的子集； 当时，，，也不是的子集. 综上，满足条件的的取值范围是. 23．已知，对于，若且，则称k为A的“孤立元”.给定集合，则A的所有子集中，只有一个“孤立元”的集合的个数为（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】D 【分析】根据“孤立元”概念，分类讨论求解即可. 【详解】“孤立元”为的集合为，，，， “孤立元”为的集合为，， “孤立元”为的集合为， “孤立元”为的集合为，， “孤立元”为的集合为，，，， 综上：满足题意的集合有13个. 故选：D 24．定义A⊗B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}．设集合A＝{0，2}，B＝{1，2}． (1)求集合A⊗B的所有元素之和． (2)写出集合A⊗B的所有真子集． 【答案】(1)9 (2)∅，{0}，{4}，{5}，{0，4}，{0，5}，{ 4，5} 【分析】（1）分别将A，B中的元素代入，从而求出A⊗B中的元素，进而求出元素之和； （2）由（1）A⊗B＝{0，4，5}，逐项写出即可． 【详解】（1）因为 A⊗B＝{0，4，5}， 所以集合所有元素和 9 （2）∅，{0}，{4}，{5}，{0，4}，{0，5}，{ 4，5}共7种可能． 25．已知集合，集合，定义为中元素的最小值，当取遍的所有非空子集时，对应的的和记为，则 . 【答案】120 【分析】确定最小值分别为时相应的集合A的个数，再求和即可. 【详解】设，对M的任意非空子集A共有个， 其中最小值为1的有，最小值为2的有个，…，最小值为6的只有个， ． 故答案为：120 26．含有有限个元素的数集，定义“元素和”如下：把集合中的各数相加；定义“交替和”如下：把集合中的数按从大到小的顺序排列，然后从最大的数开始交替地减加各数.例如的元素和是；交替和是；而的元素和与交替和都是5. (1)写出集合的所有非空子集的交替和的总和； (2)已知集合，根据提示解决问题.求集合所有非空子集的元素和的总和； 【答案】(1)12； (2)672. 【分析】（1）先求出集合的所有非空子集，根据“交替和”的定义分别求和后可得所有的“交替和”的和； （2）根据提示可计算每个元素出现的次数求所有非空子集的元素和的总和. 【详解】（1）集合的非空子集为，，，，，，， 集合，，的交替和分别为1，2，3， 集合的交替和为， 集合的交替和为， 集合的交替和为， 集合的交替和为， 所以集合的所有非空子集的交替和的总和为； （2）在集合所有非空子集中，数字1与中的元素构成子集， 故数字1在集合所有非空子集中共出现次， 同理2，3，4，5，6各出现次， 所以集合所有非空子集的元素和的总和为. 【点睛】关键点睛：本题的关键是在第（2）问中求集合的所有非空子集. 27． 是正整数集的子集，满足：，并有如下性质：若、，则，其中表示不超过实数的最大整数，则的非空子集个数为 ． 【答案】 【分析】根据题意，先判断中相邻两数不可能大于等于2，可得2，3，，，从而求出，再根据子集的个数与集合元素个数之间的关系即可得答案． 【详解】由题意可知：若，，则，，，均属于， 而事实上，若，中， 所以， 故，中有正整数， 从而中相邻两数不可能大于等于2， 故2，3，，， 若，，则有，与矛盾， 当时，， 当时，则， 所以，， 所以，2，，， 所以非空子集有个． 故答案为：． 【点睛】新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决. 28．已知集合的子集B满足：对任意，有，则集合B中元素个数的最大值是（    ）． A．1005 B．1006 C．1007 D．1008 【答案】B 【分析】假设B中元素最大是2012，再将其余元素分组，再结合抽屉原理即可得解. 【详解】假设B中元素最大是2012， 将其余元素分组：共1005组， 一定不包含， 若B中元素多于1006个， 由抽屉原理可知，必有两个数在同一组，两数和为2012，与已知矛盾， 所以B中元素最多为1006个， 同理可知，当B中最大元素小于2012时，元素个数不超过1006个， 又满足题意，元素个数为1006个． 所以B中元素个数的最大值为1006． 故选：B. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于对不等关系进行等价转化，找出便于理解的处理方式，当然此题解法不唯一，可以讨论极限情况，可以分类列举观察规律. 29．定义：表示集合中元素的个数，.已知集合，集合，集合，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．且 【答案】D 【分析】由题意，，由，得或，分类讨论集合B中元素个数即可. 【详解】，， ，又，或， 方程的解为； 方程可能有0个解，2个相同的解，2个不同的解， 或或，故只需要排除， 若，①当，即时， 时方程的解为，时方程的解为， 或，成立， ②若是方程的根，则，方程的解为和， ，成立， ③若1是方程的根，则，方程的解为和， ，成立， 0不可能是方程的根， 综上所述，当且仅当或时，， 故的取值范围是且. 故选：D． 30.判断下列集合、是否表示同一集合，若不是，请说明理由. (1)，； (2)，； (3)，； (4)，. 【答案】(1)是； (2)否，理由：和是两个不同元素； (3)是； (4)否，理由：是数集，是点集. 【详解】（1），元素一样，是同一集合； （2）表示不同的点，故，集合不同 （3），表示的范围相同，是同一集合 （4）不是同一集合，是数集，是点集. 31.已知集合有且仅有两个子集，求实数的值及对应的两个子集. 【答案】实数的值是1或2．当时，集合的两个子集是，；当，此时集合的两个子集是，． 【解析】若恰有两个子集，则为单元素集，所以关于的方程恰有一个实数解，分类讨论能求出实数的取值范围． 【详解】解：由题意可得集合为单元素集 （1）当时，此时集合的两个子集是， （2）当时则解得，此时集合的两个子集是， 实数的值是1或2．当时，集合的两个子集是，；当，此时集合的两个子集是，． 【点睛】本题考查根据子集与真子集的概念，实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意分析法、讨论法和等价转化法的合理运用． 32.已知条件，条件，且是的必要条件，求的取值集合． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的解法解命题p可得A={－3,2}，B={x|mx＋1＝0}，结合必要条件的定义可得B⊆A，分类讨论B的情况即可求值. 【详解】条件p：{x|x2＋x－6＝0}＝{－3,2}＝A，条件q：{x|mx＋1＝0}＝B， 因为p是q的必要条件，所以B⊆A. 所以或{－3}或{2}． 当m＝0时，满足题意． 当m≠0时， 若B＝{－3}，则－3m＋1＝0，解得m＝. 若B＝{2}，则2m＋1＝0，解得m＝－. 综上可得，m的取值集合是. 33.已知集合 （1）当时，求实数的值； （2）当时，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2） 【详解】分析：利用一元二次不等式的解法，化简集合化简集合（1）利用集合相等的定义可得结果；（2）利用子集的定义可得结果. 详解：由，可得， 所以 由可得， 集合 （1）因为，所以； （2）因为，所以， 即实数的范围是. 点睛：本题主要考查集合相等与集合子集的定义，意在考查对基本概念掌握与理解的熟练程度. 34.已知集合. (1)若，，求实数的取值范围； (2)若，，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)分为空集和不为空集两种情况分别求解，最后再求并集即可； (2)，则是的子集，列出不等式组求解即可. 【详解】（1）①若，则，即，此时； ②若，则，解得. 综合①②，得实数的取值范围是. （2）（2）若，则，解得， 所以实数的取值范围是. 35.对于函数，记，． (1)若，求集合A，B； (2)对于任意函数，求证：． 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】(1)根据集合中函数的定义进行求解即可； (2)根据条件和集合的包含关系即可求解. 【详解】（1）若，则，解得，， 即． 若，则， 解得，，，，即． （2）设对，即， 则有，所以， 故． 36.已知. (1)若，求a的值； (2)若，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2)或或. 【分析】（1）先求出集合，再利用条件，根据集合与集合间的包含关系，即可求出值； （2）对集合进行分类讨论：和，再利用集合与集合间的包含关系，即可求出的范围； 【详解】（1）由方程，解得或 所以，又，， 所以，即方程的两根为或， 利用韦达定理得到：，即； （2）由已知得，又， 所以时，则，即，解得或； 当时， 若B中仅有一个元素，则，即，解得， 当时，，满足条件；当时，，不满足条件； 若B中有两个元素，则，利用韦达定理得到，，解得，满足条件. 综上，实数a的取值范围是或或. 37.设有限集合，对于集合，给出两个性质： ①对于集合A中任意一个元素，当时，在集合A中存在元素，使得，则称A为的封闭子集； ②对于集合A中任意两个元素，都有，则称A为的开放子集. (1)若，集合，判断集合为的封闭子集还是开放子集；（直接写出结论） (2)若，且集合A为的封闭子集，求的最小值； (3)若，且为奇数，集合A为的开放子集，求的最大值. 【答案】(1)A为的封闭子集，B为E的开放子集 (2)9 (3) 【分析】对于（1），利用封闭子集，开放子集定义可得答案； 对于（2），，设. 因集合A中任意一个元素，当时，在集合A中存在元素，使得，则，其中.据此可得，得，后排除8，再说明9符合题意即可； 对于（3），因，且为奇数，当时，得； 当，将里面的奇数组成集合A，说明集合A为E开放子集，且为最大值即可. 【详解】（1）对于A，因， 且，则A为E的封闭子集； 对于B，由题可得，注意到其中任意两个元素相加之和都不在B中，任意元素也不是其他两个元素之和，且，故B为E的开放子集； （2）由题：， 设. 因集合A中任意一个元素，当时，在集合A中存在元素，使得，则，其中. 得，，， .因，则. 若，则，则在A中存在元素，使它们的和为. 又，则当时，， 得，则在A中存在元素，使它们的和为. 又当时，，得，则在A中存在元素，使它们的和为.注意到奇数，且，故不存在元素，使，这与集合A为的封闭子集矛盾，故. 当，取，易得其符合的封闭子集的定义，故的最小值为9； （3）因，且为奇数，当时，得； 当，将里面的奇数组成集合A，则， 因A中每个元素都是奇数，而任意两个奇数之和为偶数，且，则A为E开放子集，此时集合A元素个数为.下面说明为最大值. 时，显然成立；当，若，则中至少有一个属于的偶数，设为，则，得为属于集合中的奇数，这与E开放子集的定义矛盾，故. 综上：的最大值为. 【点睛】关键点点睛：本题考查集合新定义，难度较大. （1）问主要考查对于定义的理解；（2）问从定义出发，得到，得，继而结合定义分析出；（3）问，由任意两个奇数之和为偶数可构造出集合A. 38．已知：集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若A和B有且只有一个是，求实数a的取值范围. 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）（2）根据给定条件，利用空集的意义，结合一元二次方程判别式列出不等式组并求解即得. 【详解】（1）由，得，解得， 所以实数a的取值范围是. （2）由A和B有且只有一个是，得且或且， 则有或，解得或， 所以实数a的取值范围是或. 能力提升 1．若集合的三个子集满足⫋⫋，则称为集合的一组“亲密子集”.已知集合，则的所有“亲密子集”的组数为（   ） A．9 B．12 C．15 D．18 【答案】D 【分析】先确定出的子集，然后根据集合中元素个数分类讨论，由此可求结果. 【详解】的所有子集有：； （1）若，为单元素集合，为双元素集合，符合要求的有： ⫋⫋，⫋⫋，⫋⫋，⫋⫋， ⫋⫋，⫋⫋，共组； （2）若，为单元素集合，为三元素集合，符合要求的有： ⫋⫋，⫋⫋，⫋⫋，共组； （3）若，为双元素集合，为三元素集合，符合要求的有： ⫋⫋，⫋⫋，⫋⫋，共组； （4）若为单元素集合，为双元素集合，为三元素集合，符合要求的有： ⫋⫋，⫋⫋，⫋⫋， ⫋⫋，⫋⫋，⫋⫋，共组； 综上所述，满足要求的“亲密子集”一共有组. 故选：D. 2．设集合为非空集合，且，若，则，满足上述条件的集合的个数为（    ） A．12 B．15 C．31 D．32 【答案】B 【分析】写出72在大于3时的全部因数，为了满足题意集合中的元素需要成对出现，所以看作只有4个元素的集合，求非空子集的个数即可得到结果. 【详解】∵， ∴满足“，则”的的集合是的子集， 但3和24，4和18，6和12，8和9需同时出现， ∴将集合看作有4个元素，求其非空子集个数为：. 故选：B. 3．若且则称集合为“和谐集”．已知集合，则集合的子集中“和谐集”的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】由“和谐集”定义对集合中的元素逐一讨论可得只有可以作为“和谐集”中的一组元素，可得结果. 【详解】根据题意可知，当时，，所以不是“和谐集”中的元素； 当时，；当时，；当时，； 所以是“和谐集”中的一组元素； 当时，，当时，无意义，所以不是“和谐集”中的元素； 综上可知，集合的子集中“和谐集”的个数只有1个，即. 故选：B 4．若集合恰有1个真子集，则的取值是（    ） A．-1 B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据题意，由条件可得集合有且只有一个元素，然后分与讨论，即可得到结果. 【详解】因为集合恰有1个真子集，则集合有且只有一个元素， 当时，即，则，符合题意； 当时，即，则关于的方程只有一个实数解， 则，解得； 综上所述，或. 故选：D 5．满足条件的所有集合的个数是（    ） A．32 B．31 C．16 D．15 【答案】B 【分析】根据已知所给的集合关系将问题转化求集合真子集即可. 【详解】由集合满足条件， 所以集合至少含元素1,2，将1,2看成一个整体用来表示， 则上述集合关系式变成：， 则此时集合为集合的真子集， 问题转化为求集合的真子集的个数即：， 故满足题意的集合有31个. 故选：B. 6．下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥，正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据元素与集合的关系、集合间的基本关系逐一判断即可. 【详解】①根据子集定义可知，①错误； ②集合与集合相等，满足子集定义，②正确； ③空集是任何集合的子集，③正确； ④空集中不含任何元素，集合中有一个元素，空集与集合不相等，④错误； ⑤集合中有两个元素，集合中有一个元素，元素形式不一致，⑤错误； ⑥是元素，是集合，元素与集合之间的关系是属于与不属于的关系，应该为，⑥错误. 故选：B. 7．含有有限个元素的数集，定义“交替和”如下：把集合中的数按从小到大的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数，例如的交替和是；而的交替和是5，则集合的所有非空子集的交替和的总和为（    ） A．12 B．32 C．80 D．192 【答案】B 【分析】求出集合的所有非空子集，再利用交替和的定义求解即得. 【详解】集合的所有非空子集为 ， 所以交替和的总和为 . 故选：B 8．已知集合，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分、和三种情况求解集合，并结合即可求解. 【详解】当时，即恒成立，故此时，满足； 当时，由得，故此时， 因为，，所以且， 所以； 当时，由得，故此时， 因为，，所以且， 所以. 综上，实数a的取值范围为. 故选：A. 9．已知集合，，，则的关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将集合中元素化为统一形式，然后进行判断即可. 【详解】， , ， 故 故选：B. 10．含有有限个元素的数集，定义其“交替和”如下：把集合中的数按从小到大的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数，例如的“交替和”是；而的交替和是，则集合的所有非空子集的“交替和”的总和为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将集合的子集两两配对：使且，从而有集合与集合的交替和之和为4，再利用符合条件的集合对有个，即可求解. 【详解】由题知， 将集合的子集两两配对：使且，则符合条件的集合对有个， 又由题设定义有集合与集合的交替和之和为4， 所以交替和的总和为. 故选：A. 11．（多选）下列说法中正确的是（    ） A．任何集合都是它自身的真子集 B．集合共有4个子集 C．集合 D．集合 【答案】BC 【分析】根据集合的性质依次判断即可. 【详解】对A，空集不是它自身的真子集，故A错误； 对B，因为集合中有2个元素，所以有个子集，故B正确； 对C，因为两个集合中的元素均为被3除余1的所有整数，所以两个集合相等，故C正确； 对D，因为， 当时，，所以，但，故两个集合不相等，故D错误. 故选：BC. 12．（多选）已知集合，，下列说法正确的是（    ） A．不存在实数使得 B．当时， C．当时， D．存在实数使得 【答案】AD 【分析】选项A由集合相等列方程组验算；选项B由得，故不满足；选项C、D通过假设求出实数的取值范围可判定. 【详解】选项A：若集合，则有，因为此方程组无解，所以不存在实数使得集合，故选项A正确. 选项B：当时，，不满足，故选项B错误. 若，则 ①当时，有，； ②当时，有此方程组无实数解； 所以若，则有，故选项C错误，选项D正确. 故选：AD. 13．（多选）已知集合，，下列命题正确的是 A．不存在实数a使得 B．存在实数a使得 C．当时， D．当时， E．存在实数a使得 【答案】AE 【分析】利用集合相等判断A选项错误，由建立不等式组，根据是否有解判断B选项； 时求出B，判断是否可得C错误，分B为空集，非空集两种情况讨论可判断D选项，由D选项判断过程可知E选项正确. 【详解】A选项由相等集合的概念可得解得且，得此方程组无解， 故不存在实数使得集合A=B，因此A正确； B选项由，得即，此不等式组无解，因此B错误； C选项当时，得为空集，不满足，因此C错误； D选项当，即时，，符合；当时，要使，需满足解得，不满足，故这样的实数不存在，则当时不正确，因此D错误； E选项由D选项分析可得存在实数使得，因此E正确. 综上AE选项正确. 故选：AE. 【点睛】本题主要考查了集合相等，子集的概念，考查了推理运算能力，属于中档题. 14．已知集合，. (1)若，求的值； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)的值为或 (2) 【分析】（1）由条件可得，代入计算，然后检验，即可得到结果； （2）化简集合，分，以及讨论，代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）因为，所以，将代入中的方程， 得，解得或， 当时，，满足条件； 当时，，满足条件， 综上，的值为或. （2）对于集合，. 当，即时，，此时； 当，即时，，此时； 当，即时，要想使，则， 此时，该方程组无解， 综上的取值范围是. 15．对集合及其每一个非空子集，定义一个唯一确定的“递嬗和”如下：将中的数按照递减的次序排列，然后第一个数减第二个数，再加上第三个数，再减去第四个数，…，减加交替所得的结果，例如的“递嬗和”是的“递嬗和”足的“递嬗和”是2．定义一个唯一确定的“递嬗积”如下：将中的数按照递减的次序排列，然后第一个数除以第二个数，再乘第三个数，再除以第四个数，…，除乘交替所得的结果，例如，的“递嬗积”是的“递嬗积”是的“递嬗积”是2． (1)①求所有非空子集的“递嬗和”的总和； ②求所有非空子集的“递嬗积”的总和． (2)集合． ①求集合所有非空子集的“递嬗和”的总和； ②求集合所有非空子集的“递嬗积”的总和． 【答案】(1)①12; ②-1 (2)①13184; ②-1 【分析】（1）根据“递嬗和”和“递嬗积”的新定义，找出符合条件的元素，再求和即可. （2）根据“递嬗和”和“递嬗积”的新定义，结合集合子集概念和结论，运用组合一起求和即可. 【详解】（1）①的所有非空子集为， 其“递嬗和”分别是， 则所有非空子集的“递嬗和”的总和为． ②的所有非空子集为， ， 其“递嬗积”分别是， 则所有非空子集的“递嬗和”的总和为． （2）因为， 所以集合． ①集合的子集中，除去外还有个非空子集， 把这个非空子集两两组合后分别计算每一组中“递嬗和”的和， 组合原则是设，集合的元素为集合中去掉103的所有元素， 把和结合为一组，显然每组的“递嬗和”的和为103，共有组， 所以所有“递嬗和”的总和为． ②集合的子集中，其中除去外还有个非空子集， 把这个非空子集两两组合后分别计算每一组中“递嬗积”的和， 组合原则是设，集合的元素为集合中去掉的所有元素， 把和结合为一组，显然每组的“递嬗积”的和为0，共有组， 所以所有“递嬗积”之和应该为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 集合间的基本关系 目 录 思维导图 2 高考分析 2 学习目标 3 知识要点 3 解题策略 6 题型01：判断集合的子集（真子集）的个数 7 题型02：根据子集（真子集）个数求参数 9 题型03：求集合的子集（真子集） 10 题型04：判断两个集合是否相等 12 题型05：根据集合相等求参数 14 题型06：空集的概念判断以及性质与应用 15 题型07： Venn图表示集合的关系 18 题型08：判断集合与集合的关系 20 题型09：根据集合的包含关系求参 22 （一）由集合间的关系确定参数的取值范围 26 （二）数形结合思想（利用数轴求参数的取值范围） 27 （三）分类讨论思想 27 易错点1：忽视空集导致出错 27 易错点2：忽视高次项系数导致出错 28 易错点3：忽视判别式导致出错 28 题型10：集合关系的新定义 28 巩固提升 33 一．考查地位 集合是高中数学开篇基础内容，属于必考、低难度、送分题型，是高考、学考、期中期末统考的高频考点。集合间的基本关系是集合运算、函数定义域值域、不等式解集问题的基础铺垫，贯穿整个高中数学学习。 二．考查题型 1.选择题、填空题为主，极少出解答题，分值固定（高考一般5分）； 2.题型固定，以基础辨析、参数求值、子集个数计算为核心。 三．核心考查角度 1. 概念辨析：区分子集、真子集、相等集合、空集的定义，判断集合间包含、相等关系，高频考查空集的特殊性（易错点）； 2. 子集个数计算：已知有限集合，求子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数，为高频基础考点； 3. 含参集合问题：已知两个集合的包含关系，求解参数取值范围，常结合一元一次、一元二次不等式考查，是本节唯一中档易错题型； 4. 等价转化考查：将集合相等、包含关系，转化为元素对应相等、解集包含关系，衔接后续不等式、函数考点。 四：命题特点与易错点 1.命题侧重基础，不偏不怪，重点考查细心程度； 2.高频丢分点：忽略空集是任何集合的子集、是任何非空集合的真子集、含参问题遗漏空集情况、混淆子集与真子集个数公式、端点取值取舍错误。 一 .知识目标 1. 精准掌握子集、真子集、集合相等、空集的严格定义，熟记对应的数学符号，能准确区分符号含义，杜绝符号混用； 2. 牢记有限集合子集相关公式：若集合A中有n个元素，则 （1）A的子集的个数有2n个． （2）A的非空子集的个数有2n－1个． （3）A的真子集的个数有2n－1个． （4）A的非空真子集的个数有2n－2个． 3. 明确空集的特殊性质，掌握空集与任意集合的关系。 二 .能力目标 1. 能快速判断两个具体数集、点集之间的包含、相等关系； 2. 熟练运用子集个数公式，快速计算各类子集数量； 3. 掌握含参集合恒成立解题思路，能根据集合包含关系求解参数范围，养成优先讨论空集的解题习惯； 4. 具备数形结合能力，能借助数轴分析数集的包含关系，精准判断区间端点取舍。 三 . 应试目标 1. 做到本节基础题型零失误、秒解题，稳稳拿下集合板块基础分值； 2. 规避空集遗漏、符号写错、公式记混等高频低级错误； 3. 建立“集合关系或不等式范围”的转化思维，为后续集合运算、函数、不等式综合题打好基础。 知识点一： 子集 1.概念：一般地，如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B 的子集. 2.记法：A⊆B（或B⊇A）. 3.读法：A包含于B（或"B包含A"）. 4.如果A不是B的子集，记作AB（或B A），读作“A不包含于B”（或“B不包含A”）. 5.性质：A⊆ A；∅⊆A. （1）反身性：； （2）传递性：如果，且，那么. 6.图形表示： 知识点二：真子集 1.概念：一般地，如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A称为集合B的真子集. 2.记法：A⫋ B（或BA）. 3.读法：A真包含于B（或“B真包含A”）. 4.性质：对于集合A，B，C，①如果A ⊆B,B⫋C,则A⫋C ②如果A⫋B，B⫋C，则A⫋C； 5.图形表示： 6.如果集合A中含有n个元素，则有 （1）A的子集的个数有2n个． （2）A的非空子集的个数有2n－1个． （3）A的真子集的个数有2n－1个． （4）A的非空真子集的个数有2n－2个． 注：①空集是所有集合的子集； ②所有集合都是其本身的子集； ③空集是任何非空集合的真子集 【思考】任何两个集合之间是否有包含关系？ 提示：不一定．如集合A＝{0,1,2}，B＝{－1,0,1}，这两个集合就没有包含关系． 【特别提醒】 符号“∈”与“⊆”的区别：符号“∈”表示元素与集合间的关系，而“⊆”表示集合与集合之间的关系． 知识点三：空集 1、定义：一般地，把不含任何元素的集合叫做空集，记为∅，规定：空集是任何集合的子集． 在这个规定的基础上，结合子集和真子集的有关概念，可以得到： （1） 空集只有一个子集，即它本身； （2）空集是任何非空集合的真子集． （3）空集是任何集合的子集（即∅⊆A）； 2、0，{0}，∅，{∅}的关系 ∅与0 ∅与{0} ∅与{∅} 相同点 都表示无的意思 都是集合 都是集合 不同点 ∅是集合； 0是实数 ∅中不含任何元素； {0}含一个元素0 ∅不含任何元素； {∅}含一个元素，该元素是∅ 关系 0∉∅ ∅{0} ∅{∅}或∅∈{∅} 【思考】{0}与∅表示同一集合吗？ 提示：{0}表示一个集合，且集合中有且仅有一个元素0；而∅表示空集，其不含有任何元素，故{0}≠∅. 知识点四：Venn图 用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图。表示集合的Venn图的边界是封闭曲线，它可以是圆、矩形、椭圆，也可以是其他封闭曲线。 韦恩图可以直观、形象地表示出集合之间的关系 知识点五： 集合的相等与子集的关系 1.定义：如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等 2.图形表示： 3.如果 A⊆B，且B⊆A则 A= B. 4.如果A=B则A⊆B且B⊆A. （1）对集合A和集合B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A等于集合B，记作A＝B．就是如果A⊆B，同时B⊆A，那么就说这两个集合相等，记作 A＝B． （2）对于两个有限数集A＝B，则这两个有限数集 A、B中的元素全部相同，由此可推出如下性质： ①两个集合的元素个数相等； ②两个集合的元素之和相等； ③两个集合的元素之积相等． 由此知，以上叙述实质是一致的，只是表达方式不同而已．上述概念是判断或证明两个集合相等的依据． 【注意】空集是任何集合的子集，因此在解A⊆B(B≠∅)的含参数的问题时，要注意讨论A＝∅和A≠∅两种情况，前者常被忽视，造成思考问题不全面． 1.集合与集合之间的关系判断是通过两个集合间的元素是否相同，注意跟集合与元素之间的属于关系进行区分，通过集合的列举、描述、图示法等进行判断. 2.判断集合关系的方法. （1）观察法：一一列举观察. （2）元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系. （3）数形结合法：利用数轴或Venn图. 提醒：若A⊆B和AB同时成立，则AB更能准确表达集合A，B之间的关系. 3.求集合子集、真子集个数的3个步骤 4.子集、真子集个数有关的4个结论 假设集合A中含有n个元素，则有 (1)A的子集的个数有2n个． (2)A的非空子集的个数有2n－1个． (3)A的真子集的个数有2n－1个． (4)A的非空真子集的个数有2n－2个． 5．两集合相等常见考法及解法： (1)若两个集合相等，则所含元素完全相同，与顺序无关，但要注意检验，排除与集合元素互异性或与已知相矛盾的情形． (2)若两个集合中元素均有无限多个，则要看两集合的代表元素是否一致，再看代表元素满足的条件是否一致．若均一致，则两集合相等． (3)证明集合A与B相等的常用思路是“证A⊆B且B⊆A”． 6．集合与集合之间的关系，元素与集合之间的关系是用不同的符号表示的，特别注意空集是不含有任何元素的集合，且规定∅⊆∅. 7．求解含参数的集合是确定集合的子集或真子集时，应考虑该集合为空集的特殊情况，因此本题求解的易错之处是忽视集合B为空集的特殊情况而导致漏解．本题若改为A⊆B时，则不需要考虑集合B为空集的特殊情况． 8.利用集合的关系求参数问题 (1)利用集合的关系求参数的范围问题，常涉及两个集合，其中一个为动集合(含参数)，另一个为静集合(具体的)，解答时常借助数轴来建立变量间的关系，需特别注意端点问题． (2)空集是任何集合的子集，因此在解A⊆B(B≠∅)的含参数的问题时，要注意讨论A＝∅和A≠∅两种情况，前者常被忽视，造成思考问题不全面． 题型01：判断集合的子集（真子集）的个数 【典型例题1】已知集合，则集合的子集有（    ） A．7个 B．6个 C．4个 D．3个 【典型例题2】已知，则符合条件的集合的个数是（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【典型例题3】集合，则的子集的个数为（ ） A．4 B．8 C．15 D．16 【典型例题4】已知集合，，则集合的真子集个数为（   ） A． B． C． D． 【变式训练1-1】集合的子集的个数是（ ） A．16 B．8 C．7 D．4 【变式训练1-2】已知非空集合，且A中至多有一个奇数，则这样的集合共有 个． 【变式训练1-3】已知非空集合满足:对任意，总有，且.若，则满足条件的的个数是（    ） A．11 B．12 C．15 D．16 【变式训练1-4】若一个集合含有n个元素，则称该集合为“n元集合”.已知集合，则其“2元子集”的个数为（    ） A．6 B．8 C．9 D．10 【变式训练1-5】若集合A满足⫋，则集合A所有可能的情形有（    ） A．3种 B．5种 C．7种 D．9种 【变式训练1-6】设集合，且，若，，则集合M的非空真子集的个数为（    ） A．4 B．6 C．7 D．15 【变式训练1-7】集合，,且，则集合的真子集的个数为（    ） A．5 B．15 C．31 D．32 【变式训练1-8】已知集合,，则集合的真子集个数为（    ） A．3 B．5 C．7 D．15 【变式训练1-9】设集合，则集合A的子集个数为（   ） A．4 B．16 C．8 D．9 【变式训练1-10】设集合均为质数的真子集的个数为 ． 【变式训练1-11】已知集合，，则满足条件的集合C的个数为 ，满足条件⫋B的集合C的个数为 ． 题型02：根据子集（真子集）个数求参数 【典型例题1】若集合有且仅有两个子集，则实数的值是 . 【典型例题2】已知集合恰有两个非空真子集，则m的值可以是 ．（说明：写出满足条件的一个实数m的值） 【变式训练2-1】已知集合A＝{x|（a﹣1）x2+3x﹣2＝0}有且仅有两个子集，则实数a＝　 　． 【变式训练2-2】已知集合A＝{x|（m﹣1）x2+3x﹣2＝0}恰有两个非空真子集，则m的值可以是 　．（说明：写出满足条件的一个实数m的值） 【变式训练2-3】集合． (1)若是，求实数的取值范围 (2)是否存在这样的实数，使得集合有且仅有两个子集，若存在，求出实数及对应的子集，若不存在，说明理由． 题型03：求集合的子集（真子集） 【典型例题1】（多选）下列是集合的子集的为（    ） A． B． C． D． 【典型例题2】已知集合且，则（    ） A． B． C． D． 【典型例题3】设，． (1)写出集合A的所有子集； (2)若B为非空集合，求a的值． 【变式训练3-1】若，则 . 【变式训练3-2】集合的子集有 ；其中真子集有 ． 【变式训练3-3】设集合，列出集合A 的子集. 【变式训练3-4】已知集合，且. (1)求的值； (2)写出集合的所有真子集. 【变式训练3-5】已知集合 (1)若，请写出集合的所有子集； (2)若集合，且，求的取值范围. 【变式训练3-6】已知集合且，且 (1)写出集合的子集，真子集； (2)求集合的子集数，非空真子集数． 题型04：判断两个集合是否相等 【典型例题1】下列每组集合是相等集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【典型例题2】集合，，的关系是（   ） A． B． C． D． 【变式训练4-1】给出以下集合，其中是相等集合的有（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式训练4-2】（多选）给出以下几组集合，其中相等的集合有（    ） A． B． C． D． 【变式训练4-3】（多选）下列各组中M，P表示相同集合的是（ ） A．M = { x∣x = 2n，n∈Z }，P = { x∣x = 2（n + 1），n∈Z } B．M = { y∣y = x2 + 1，x∈R }，P = { x∣x = t2 + 1，t∈R } C．M = { x∣∈Z，x∈N }，P = { x∣x = 2k，1≤k≤4，k∈N } D．M = { y∣y = x2－1，x∈R }，P = {（x，y）∣y = x2－1，x∈R } 【变式训练4-4】已知集合，则下列与相等的集合为 ．（填序号） ①    ；②； ③    ；④． 【变式训练4-5】已知集合，则与集合相等的集合为（ ） A． B． C． D． 【变式训练4-6】下面关于集合的表示正确的序号是 . ①； ②； ③； ④. 【变式训练4-7】已知集合，，则N、P满足的关系是（    ） A． B． C． D．N与P交集为空集 题型05：根据集合相等求参数 【典型例题1】已知，若，则 ． 【典型例题2】（多选）若集合 ，则的值可能为（ ） A． B． C．0 D． 【变式训练5-1】已知集合，，若，则（    ） A．或2 B．或1 C． D．1 【变式训练5-2】已知集合，，且，则（   ） A．0 B．1 C． D． 【变式训练5-3】已知集合，，若，则实数（    ） A．0 B．1 C．1或2 D．2 【变式训练5-4】已知集合，集合，若，则实数的值是 ． 【变式训练5-5】已知集合，若，则 . 【变式训练5-6】已知，，若，则（ ） A．0 B．1 C． D． 【变式训练5-7】已知集合，若，求实数q的值． 【变式训练5-8】已知集合，集合. （1）若，求的值； （2）若，求实数的值； （3）是否存在实数，使. 题型06：空集的概念判断以及性质与应用 【典型例题1】下列四个集合中是空集的是（  ） A． B． C．，或 D． 【典型例题2】若集合，则实数a的取值范围 ． 【典型例题3】关于的不等式组的解集为，则实数的取值范围为 ． 【变式训练6-1】下列四个集合中是空集的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练6-2】下列集合中为的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练6-3】下列四个说法中，正确的有（    ） ①空集没有子集； ②空集是任何集合的真子集； ③若，则； ④任何集合至少有两个子集． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式训练6-4】下列命题中正确的是（    ） A．空集没有子集 B．空集是任何一个集合的真子集 C．任何一个集合必有两个或两个以上的子集 D．设集合，那么，若，则 【变式训练6-5】（多选）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练6-6】若集合是空集，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练6-7】若集合有且仅有1个子集，则a的值可以为（   ） A．1 B． C． D． 【变式训练6-8】已知a是实数，若集合是任何集合的子集，则a的取值范围值是 . 【变式训练6-9】已知集合，则实数k的取值范围是 . 【变式训练6-10】下列集合中为的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练6-11】已知六个关系式①；②；③；④；⑤；⑥，它们中关系表达正确的个数为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式训练6-12】若集合 为空集，则实数的取值范围是 . 【变式训练6-13】已知集合A＝{x|ax2﹣3x+2＝0，a∈R}． （1）若A是空集，求a的取值范围； （2）若A中至多只有一个元素，求a的取值范围． 题型07： Venn图表示集合的关系 【典型例题1】下列表示集合和的关系的Venn图正确的是． A． B． C． D． 【典型例题2】已知集合，则M与N的关系可用Venn图表示为（    ） A． B． C． D． 【变式训练7-1】能正确表示集合和集合的关系的Venn图是(　　) A． B． C． D． 【变式训练7-2】下列Venn图能正确表示集合和关系的是（    ） A．   B．   C．   D．   【变式训练7-3】下列Venn图能正确表示集合和关系的是（    ） A．   B．   C．   D．   【变式训练7-4】已知集合，，若图中的阴影部分为空集，则构成的集合为 A． B． C． D． 题型08：判断集合与集合的关系 【典型例题1】若，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【典型例题2】下列集合之间关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【典型例题3】已知集合，，则的关系（    ） A．⫋ B．⫋ C．⫋⫋ D．⫋⫋ 【变式训练8-1】已知集合，，则（    ） A．⫋ B． C． D． 【变式训练8-2】下列集合关系中错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练8-3】下列关系式正确的为（ ） A． B． C． D． 【变式训练8-4】下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练8-5】已知集合，则（    ） A． B． C．⫋ D．⫋ 【变式训练8-6】下列六个关系式：①；②；③；④；⑤；⑥，其中正确的个数为（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式训练8-7】已知集合，，则集合M与N的关系是（   ） A． B． C． D． 【变式训练8-8】指出下列各对集合之间的关系： (1)，； (2)，； (3)为正整数}，，为正整数}． 【变式训练8-9】已知集合，则集合与的关系是（    ） A． B．⫋ C．⫋ D．且 【变式训练8-10】若，，则必有（    ） A． B． C． D． 【变式训练8-11】集合，，则下列关系错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练8-12】若集合，，，则的关系是（ ） A． B． C． D． 题型09：根据集合的包含关系求参 【典型例题1】已知集合，若，则的值为（    ） A．1 B． C． D．2或 【典型例题2】已知集合. (1)若，求实数的取值集合. (2)若的子集有两个，求实数的取值集合. (3)若且，求实数的取值集合. 【典型例题3】已知集合，，且，求实数的取值范围． 【典型例题4】已知集合，，若，求实数的取值范围． 【变式训练9-1】已知集合，，若，则（   ） A．1 B． C．1或0 D．1或 【变式训练9-2】已知集合，，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练9-3】已知，，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练9-4】已知集合，，且，则实数的值为 . 【变式训练9-5】若集合，，且，求实数的值. 【变式训练9-6】设集合，，且． (1)若，求实数的值； (2)若，且，求实数的值． 【变式训练9-7】已知关于的一元二次方程有实根对应的取值构成集合，集合. (1)求集合； (2)若，求的取值范围. 【变式训练9-8】设集合． (1)当时，求A的非空真子集的个数； (2)若，求实数m的取值范围． 【变式训练9-9】已知全集为实数集，集合，.    (1)若，求图中阴影部分的集合； (2)若，求实数的取值范围. 【变式训练9-10】已知集合 (1)若A中只有一个元素，求a的值 (2)若A中至多有一个元素，求a的取值范围 (3)若，求a的取值范围 【变式训练9-11】已知集合，.若，求实数的取值范围. 【变式训练9-12】设集合. (1)当时，求的非空真子集的个数； (2)若，求的取值范围. 【变式训练9-13】已知集合. (1)若，则实数a的值是多少? (2)若，则实数a的取值范围是多少? (3)若B⫋A，则实数a的取值范围是多少? 【变式训练9-14】已知集合，， (1)若，求实数的取值范围； (2)若⫋，求实数的取值范围. （一）由集合间的关系确定参数的取值范围 【典型例题】已知集合A＝{﹣2，3，6m﹣6}，若{3，6}⊆A，则m＝　 ． 【变式训练9-1】已知A＝{x|﹣1＜x＜3}，B＝{x|x＜a}，若A⊆B，则实数a的取值范围是 　． 【变式训练9-2】已知集合A＝{x|ax﹣6＝0}，B＝{x|2x2﹣3x＝0}，且A⊆B，则a＝　 　． （二）数形结合思想（利用数轴求参数的取值范围） 【典型例题】已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练9-1】设集合A＝{x|﹣1≤x＜2}，B＝{x|x＜a}，若A⊆B，则a的取值范围（　　） A．a≥﹣1 B．a≥2 C．a＞﹣1 D．﹣1＜a≤2 （三）分类讨论思想 【典型例题】若集合A＝{x|kx2+4x+4＝0}中只有一个元素，则实数k的值为（　　） A．0或1 B．1 C．0 D．k＜1 【变式训练9-1】已知集合，，若，求a的取值范围． 【变式训练9-2】已知集合. (1)若集合，且，求的值； (2)若集合，且与有包含关系，求的取值范围. 【变式训练9-3】已知集合，，且，求实数a的取值范围． 易错点1：忽视空集导致出错 【典型例题】已知集合A＝{x|x＜1或x＞2}，B＝{x|﹣m＜x＜m}，若B⊆A，求m的取值范围． 1.已知集合A＝{x|(x＋1)(x－6)≤0}，B＝{x|m－1≤x≤2m＋1}．若B⊆A，则实数m的取值范围为______． 易错点2：忽视高次项系数导致出错 1.已知集合，，若，则实数的值构成的集合是（ ） A． B． C． D． 易错点3：忽视判别式导致出错 1.已知，，若，求的取值范围. 题型10：集合关系的新定义 【典型例题1】定义集合运算，若，则集合的子集个数为（　　） A．14 B．0 C．31 D．32 【典型例题2】（多选）已知，记为集合中元素的个数，为集合中的最小元素．若非空数集，且满足，则称集合为“阶完美集”．记为全部阶完美集的个数，下列说法中正确的是（    ） A． B．将阶完美集的元素全部加1，得到的新集合，是阶完美集 C．若为阶完美集，且，满足条件的集合的个数为 D．若为阶完美集，且，满足条件的集合的个数为 【典型例题3】对非空数集及实数，定义，，已知． (1)当时，若集合为单元素集，求； (2)当时，若集合，求的所有取值构成的集合； (3)若中有3个元素，求实数的取值范围． 【变式训练10-1】定义，设集合，集合，则集合的子集的个数是（    ） A．14 B．15 C．16 D．17 【变式训练10-2】定义：若一个位正整数的所有数位上数字的次方和等于这个数本身，则称这个数是自恋数.已知集合，，则的子集个数为（    ） A．16 B．8 C．4 D．2 【变式训练10-3】对于非空集合（，），其所有元素的几何平均数记为，即．若非空数集满足下列两个条件：①⫋；②，则称为的一个“保均值真子集”，则集合的“保均值真子集”的个数为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式训练10-4】设集合，对和，定义：．已知集合是的子集，对任意，满足：当，时，为偶数，否则为奇数，则中元素个数的最大值为 ． 【变式训练10-5】对于给定的集合，若存在满足如下条件的集合：①，若，则；②，若，则，则称为的共轭集合． (1)若，求的存在共轭集合； (2)若，，存在恰有个元素的共轭集合，求证：； (3)若集合存在共轭集合，且，求集合中的元素个数的最大值． 一、单选题 1．已知集合 ，则（    ） A． B． C． D． 2．若集合，，则集合B的真子集个数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 3．已知集合，，集合满足，则所有满足条件的集合的个数为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．定义两集合的差集：且，已知集合，，则的子集个数是（    ）个． A．2 B．4 C．8 D．16 二、多选题 5．关于下图说法正确的是（    ） A．集合A中的元素既是集合B中的元素也是集合U中的元素 B．集合A、B、U中有相同的元素 C．集合U中有元素不在集合B中 D．集合A、B、U中的元素相同 6．下列说法正确的有（    ） A．集合有16个真子集 B．对于任意集合A， C．任何集合都有子集，但不一定有真子集 D．若，则 7．已知，集合与集合相等，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（22-23高一上·新疆乌鲁木齐·期中）下列关系中正确的有（    ） A． B． C． D． 9．已知集合，，则下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则或 D．若，则或或 10．已知集合，且，则实数可能的取值是（    ） A． B．0 C．-1 D． 三、填空题 11．设集合，则集合的真子集个数为 ． 12．已知集合，，则满足的集合的个数为 . 四、解答题 13．指出下列各组集合之间的关系： (1)，； (2)，； (3)，． 14．确定下列每组两个集合的包含关系或相等关系： (1)A={为12的正约数}与； (2)与{为4的正整数倍}. 15．设，写出集合的子集，并指出其中哪些是它的真子集． 16．已知集合，，若BA，求实数m的取值范围. 17．已知集合． (1)若，为常数，求实数m的取值范围． (2)若，为常数，求实数m的取值范围． (3)若为常数，是否存在实数m，使得？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由． 18．已知集合． (1)若，求实数m的取值范围； (2)若AB，求实数m的取值范围． 19．设集合 (1)若，试判断集合与的关系； (2)若，求的值组成的集合． 20．已知集合，其中是关于的方程的两个不同的实数根. (1)若，求出实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 21．已知集合 (1)若A中只有一个元素，求a的值 (2)若A中至多有一个元素，求a的取值范围 (3)若，求a的取值范围 22．已知集合. (1)若，存在集合使得为 的真子集且为的真子集，求这样的集合； (2)若集合是集合的一个子集，求的取值范围. 23．已知，对于，若且，则称k为A的“孤立元”.给定集合，则A的所有子集中，只有一个“孤立元”的集合的个数为（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 24．定义A⊗B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}．设集合A＝{0，2}，B＝{1，2}． (1)求集合A⊗B的所有元素之和． (2)写出集合A⊗B的所有真子集． 25．已知集合，集合，定义为中元素的最小值，当取遍的所有非空子集时，对应的的和记为，则 . 26．含有有限个元素的数集，定义“元素和”如下：把集合中的各数相加；定义“交替和”如下：把集合中的数按从大到小的顺序排列，然后从最大的数开始交替地减加各数.例如的元素和是；交替和是；而的元素和与交替和都是5. (1)写出集合的所有非空子集的交替和的总和； (2)已知集合，根据提示解决问题.求集合所有非空子集的元素和的总和； 27． 是正整数集的子集，满足：，并有如下性质：若、，则，其中表示不超过实数的最大整数，则的非空子集个数为 ． 28．已知集合的子集B满足：对任意，有，则集合B中元素个数的最大值是（    ）． A．1005 B．1006 C．1007 D．1008 29．定义：表示集合中元素的个数，.已知集合，集合，集合，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．且 30.判断下列集合、是否表示同一集合，若不是，请说明理由. (1)，； (2)，； (3)，； (4)，. 31.已知集合有且仅有两个子集，求实数的值及对应的两个子集. 32.已知条件，条件，且是的必要条件，求的取值集合． 33.已知集合 （1）当时，求实数的值； （2）当时，求实数的取值范围. 34.已知集合. (1)若，，求实数的取值范围； (2)若，，求实数的取值范围. 35.对于函数，记，． (1)若，求集合A，B； (2)对于任意函数，求证：． 36.已知. (1)若，求a的值； (2)若，求实数a的取值范围. 37.设有限集合，对于集合，给出两个性质： ①对于集合A中任意一个元素，当时，在集合A中存在元素，使得，则称A为的封闭子集； ②对于集合A中任意两个元素，都有，则称A为的开放子集. (1)若，集合，判断集合为的封闭子集还是开放子集；（直接写出结论） (2)若，且集合A为的封闭子集，求的最小值； (3)若，且为奇数，集合A为的开放子集，求的最大值. 38．已知：集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若A和B有且只有一个是，求实数a的取值范围. 能力提升 1．若集合的三个子集满足⫋⫋，则称为集合的一组“亲密子集”.已知集合，则的所有“亲密子集”的组数为（   ） A．9 B．12 C．15 D．18 2．设集合为非空集合，且，若，则，满足上述条件的集合的个数为（    ） A．12 B．15 C．31 D．32 3．若且则称集合为“和谐集”．已知集合，则集合的子集中“和谐集”的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．若集合恰有1个真子集，则的取值是（    ） A．-1 B． C． D．或 5．满足条件的所有集合的个数是（    ） A．32 B．31 C．16 D．15 6．下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥，正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．含有有限个元素的数集，定义“交替和”如下：把集合中的数按从小到大的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数，例如的交替和是；而的交替和是5，则集合的所有非空子集的交替和的总和为（    ） A．12 B．32 C．80 D．192 8．已知集合，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 9．已知集合，，，则的关系为（   ） A． B． C． D． 10．含有有限个元素的数集，定义其“交替和”如下：把集合中的数按从小到大的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数，例如的“交替和”是；而的交替和是，则集合的所有非空子集的“交替和”的总和为（    ） A． B． C． D． 11．（多选）下列说法中正确的是（    ） A．任何集合都是它自身的真子集 B．集合共有4个子集 C．集合 D．集合 12．（多选）已知集合，，下列说法正确的是（    ） A．不存在实数使得 B．当时， C．当时， D．存在实数使得 13．（多选）已知集合，，下列命题正确的是 A．不存在实数a使得 B．存在实数a使得 C．当时， D．当时， E．存在实数a使得 14．已知集合，. (1)若，求的值； (2)若，求的取值范围. 15．对集合及其每一个非空子集，定义一个唯一确定的“递嬗和”如下：将中的数按照递减的次序排列，然后第一个数减第二个数，再加上第三个数，再减去第四个数，…，减加交替所得的结果，例如的“递嬗和”是的“递嬗和”足的“递嬗和”是2．定义一个唯一确定的“递嬗积”如下：将中的数按照递减的次序排列，然后第一个数除以第二个数，再乘第三个数，再除以第四个数，…，除乘交替所得的结果，例如，的“递嬗积”是的“递嬗积”是的“递嬗积”是2． (1)①求所有非空子集的“递嬗和”的总和； ②求所有非空子集的“递嬗积”的总和． (2)集合． ①求集合所有非空子集的“递嬗和”的总和； ②求集合所有非空子集的“递嬗积”的总和． 2 学科网（北京）股份有限公司 $