第04讲 集合的含参问题讲义（思维导图+知识要点+解题技巧+题型归纳+配套习题）-2027届高三数学二轮复习集合专题（全国通用）

该高中数学高考复习讲义聚焦集合中的含参问题，覆盖元素关系、元素个数、集合相等、包含关系、交并补运算五大核心题型，按基础有限数集到综合二次方程解集的逻辑层次构建知识体系，通过考情分析明确高考定位，知识要点梳理方法策略，题型归纳结合变式训练，帮助学生系统突破空集讨论、端点取舍等难点。 讲义创新采用分层达标设计和固定解题步骤教学法，如根据集合包含关系求参时先讨论空集再画数轴分析端点，培养学生分类讨论的数学思维和用数轴表达区间关系的数学语言，设置基础巩固到拔高层练习确保复习效果，助力教师精准把控复习节奏，提升学生应考能力。

第04讲 集合中的含参问题 目 录 思维导图 2 考情分析 2 学习目标 3 知识要点 4 解题策略 5 题型归纳 5 题型01：根据元素与集合的关系求参数 5 题型02：根据元素的个数求参数 9 题型03：根据集合相等关系求参数 14 题型04：根据集合间的包含关系求参数 18 题型05：根据集合的交并补运算求参数 25 一. 考试定位（新高考/高一同步） 1.高一月考、期中、期末高频中档题，选择、填空、简答均会出现，是集合章节难点； 2.高考极少单独大题，多作为选择题压轴小综合、或与充分必要条件结合命题； 3.分值：选择5分，解答8–12分，区分基础生与中等生，是典型拉分点。 二. 核心考查题型 1. 已知集合包含关系，求参数取值； 2. 已知交/并/补运算结果求参数； 3. 方程解集型集合：一次、二次方程根构成集合含参数； 4. 不等式区间集合：一次、二次不等式解集含参数； 5. 综合题型：集合参数 + 充分必要条件互化。 三. 必考核心陷阱（命题固定设坑点） 1. 忽略空集：，绝大多数学生漏解丢分； 2. 二次方程无解对应集合为空集，判别式 易遗忘； 3. 数轴区间端点等号取舍错误，多解或少解； 4. 参数取值后不回代检验，出现集合元素互斥（互异性）矛盾； 5. 混淆等价转化： 6. 二次项含参数时，忘记讨论二次项系数为0（退化为一次方程）。 四. 命题趋势 1.基础考法：有限数集含参，利用元素互异性求参； 2.常规中档：不等式区间包含、交集为空求参数范围； 3.拔高综合：二次方程解集+空集讨论+检验互异性； 4.高考结合：集合含参作为载体，判断充分、必要条件。 五. 失分特点 不属于难题，但套路固定、细节极多，学生普遍存在漏情况、不检验、端点出错，是集合板块主要失分题型。 一. 知识目标 1. 掌握等价转化公式： 2. 明确空集判定： ①一元一次不等式无解； ②一元二次方程 根的判别式<0； ③二次项系数为0后一次方程仍无解； 3. 牢记集合元素三大性质，尤其互异性，求出参数必须回代验证； 4. 熟练利用数轴处理区间含参集合，准确判断端点能否取等； 5. 分清两类含参集合解法：列举型（解方程）、区间型（解不等式）。 二. 能力目标 1. 分类讨论逻辑能力 看到子集关系自动分两类：A=∅、A≠∅；含二次式先讨论二次项系数是否为0； 2. 数形结合能力 区间含参必画数轴，通过区间覆盖关系列出不等式组； 3. 等价转化能力 把“交集、并集条件”全部转化为子集关系简化题目； 4. 检验纠错能力 养成求出参数后代入原题检验，排除违反互异性、区间矛盾的解。 三. 应试解题规范目标 固定标准解题步骤： 1. 翻译条件，转化为子集/交集关系； 2. 讨论空集情况，列出对应不等式/判别式； 3. 非空情况画图列不等式组； 4. 联立求解参数范围； 5. 回代检验，舍去矛盾解； 6. 写出最终参数取值/取值范围。 四. 分层达标目标 1. 基础层：有限数字集合含参，会用互异性求简单参数； 2. 进阶层：区间不等式子集、A∩B=∅ 题型，不漏空集、端点判断正确； 3. 拔高层：二次方程解集含参、二次项带参数、结合充分必要条件综合大题，完整分类讨论、规范检验不丢解。 一、已知一个元素属于集合，求集合中所含的参数值． （1）确定性的运用：利用集合中元素的确定性解出参数的所有可能值； （2）互异性的运用：根据集合中元素的互异性对集合中元素进行检验． 二、利用两个集合之间的关系确定参数的取值范围 由集合间关系求解参数的三部曲 第一步：弄清两个集合之间的关系，谁是谁的子集； 第二步：看集合中是否含有参数，若， 且A中含参数应考虑参数使该集合为空集的情形； 第三步：将集合间的包含关系转化为方程(组)或不等式(组)，求出相关的参数的值或取值范围. 常采用数形结合的思想，借助数轴解答.[ 三、根据集合运算的结果确定参数的取值范围 方法一：根据集合运算结果确定集合对应区间的端点值之间的大小关系，从而确定参数的取值范围.[来 方法二：（1）化简所给集合； （2）用数轴表示所给集合； （3）根据集合端点间关系列出不等式（组）； （4）解不等式（组）；（5）检验. 【注意】（1）确定不等式解集的端点之间的大小关系时，需检验能否取“=”； （2）千万不要忘记考虑空集。 解决与集合有关的参数问题的对策 （1）如果是离散型集合，要逐个分析集合的元素所满足的条件，或者画韦恩图分析． （2）如果是连续型集合，要数形结合，注意端点能否取到． （3）在解集合的含参问题时，一定要注意空集和元素的互异性． （4）由集合间关系求解参数的步骤：①弄清两个集合之间的关系，谁是谁的子集；②看集合中是否含有参数，若，且A中含参数应考虑参数使该集合为空集的情形；③将集合间的包含关系转化为不等式（组）或方程（组），求出相关的参数的取值范围或值． （5）经常采用数形结合的思想，借助数轴巧妙解答． 题型01：根据元素与集合的关系求参数 【典型例题1】（多选）已知集合中有个元素，，，且当时，，则可能为（ ） A． B． C． D．或或 【答案】AB 【解析】对于A，当时，，满足题意，A正确； 对于B，当时，，满足题意，B正确； 对于C，当时，，不合题意，C错误； 对于D，由ABC知：或，D错误.故选：AB. 【典型例题2】已知，则a的值为 ． 【答案】/ 【解析】因为，所以，解得：， 故答案为：． 【典型例题3】已知，若，且，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意建立不等式求解即可. 【详解】由题意，且， 解得， 故选：B 【典型例题4】已知集合由3个元素：构成，且，试求实数a的值. 【答案】1 【分析】由，所以或，求出a的可能值，由集合的互异性对求得的值进行检验即可得出答案. 【详解】因为，所以或. 若a2=1，则. 当时，集合中的元素是1，2，0，符合要求; 当时，集合中的元素是1，0，0，不符合元素的互异性. 若，则，集合中的元素是0，1，0，不符合元素的互异性. 综上可知，实数a的值为1. 【变式训练1-1】已知集合A中元素x满足，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵，∴，解得， 又∵，∴，解得， ∴．故选：D． 【变式训练1-2】（多选）已知，且，，，则取值可能为（ ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】选项A：当时，，，故，A错误； 选项B：当时，，，故，B正确； 选项C：当时，，，故，C正确； 选项D：当时，，，故，D正确. 故答案为：BCD. 【变式训练1-3】已知集合，，则集合中所有的元素之和为（    ） A．0 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据集合的定义求出集合后可得结论． 【详解】，， ①当时，， 时，，； 时，，满足条件； ②当时，，，满足条件； ③当时，，，满足条件； ④当时，，，满足条件． 从而得到， 所以集合中所有元素之和为． 故选：D． 【变式训练1-4】已知集合A的所有元素为2，4，6，若，且有，则a的值是 . 【答案】2或4 【分析】对，分类讨论即可. 【详解】若，则，符合题意； 若，则，符合题意； 若，则，不符合题意. 故答案为:2或4. 【变式训练1-5】已知，、，则的情况有 种． 【答案】 【分析】先讨论a的取值，得到对应b的值，再整体考虑即可． 【详解】当a＝﹣3时，0种， 当a＝﹣2时，2种， 当a＝﹣1时，4种； 当a＝0时，6种， 当a＝1时，4种； 当a＝2时，2种， 当a＝3时，0种， 故共有：2+4+6+4+2＝18． 故答案为：18． 【变式训练1-6】若，且，则的取值范围为 . 【答案】 【解析】由于，所以，解得， 故答案为： 【变式训练1-7】已知集合，若，则实数 . 【答案】1 【解析】由，可得， 故答案为：1 【变式训练1-8】设集合，，已知且，则的取值集合为 . 【答案】 【解析】因为，即， 所以或， 若，则或； 若，即，则或. 由与互异，得， 故或， 又，即，所以，解得且， 综上所述，的取值集合为. 故答案为： 【变式训练1-9】已知集合，且，则实数a的值为 . 【答案】或 【解析】因为，， 所以，解得或， 故答案为：或 【变式训练1-10】已知集合中有三个元素：，，，集合中也有三个元素：0，1，． (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值． 【答案】(1)的值为0或 (2)的值为 【分析】（1）若，则或，再结合集合中元素的互异性，能求出的值． （2）当取0，1，时，都有，集合中的元素都有互异性，由此能求出实数的值． 【详解】（1）集合中有三个元素：，，，， 或， 解得或， 当时，，，，成立； 当时，，，，成立． 的值为0或． （2）集合中也有三个元素：0，1，，， 当取0，1，时，都有， 集合中的元素都有互异性，，， ． 实数的值为． 题型02：根据元素的个数求参数 【典型例题1】已知集合中有且仅有一个元素，那么的可能取值为（ ） A．-1 B．2 C． D．0 【答案】C 【解析】或， 当时，，符合题意. 当时，，不符合题意. 当时，要使集合有且仅有一个元素， 则需， 解得或（舍去） 综上所述，的可能取值为或，C选项符合.故选：C 【典型例题2】已知，集合中有且只有三个整数，则符合条件的实数a的一个值是 ． 【答案】2（答案不唯一） 【分析】由题设得求参数范围，即可得结果. 【详解】由题设且，可得， 所以，符号条件的一个a值为2. 故答案为：2（答案不唯一） 【典型例题3】若关于x的方程的解集是单元集，求实数m的值. 【答案】0或 【分析】由题意，方程有唯一解，分，两种情况讨论，当时，令，求解即可 【详解】由于关于的方程的解集为单元素集合， 即方程有唯一解 （1）当时，，方程有唯一解； （2）当时，， 即，解得. 综上0或. 【变式训练2-1】（多选）关于的方程的解集中只含有一个元素，则的可能取值是（    ） A． B．0 C．1 D．5 【答案】ABD 【分析】由方程有意义可得且，并将方程化为；根据方程解集中仅含有一个元素可分成三种情况，由此可解得所有可能的值. 【详解】由已知方程得：，解得：且； 由得：； 若的解集中只有一个元素，则有以下三种情况： ①方程有且仅有一个不为和的解，，解得：， 此时的解为，满足题意； ②方程有两个不等实根，其中一个根为，另一根不为； 由得：，，此时方程另一根为，满足题意； ③方程有两个不等实根，其中一个根为，另一根不为； 由得：，，此时方程另一根为，满足题意； 综上所述：或或. 故选：ABD 【变式训练2-2】（若集合只有两个子集，则实数取值集合 . 【答案】 【分析】由子集个数判断集合只有一个元素，结合一元二次方程判别式即可求解. 【详解】因为集合只有两个子集，所以只有一个元素，所以，解得，所以实数取值集合为. 故答案为： 【变式训练2-3】（已知集合，若集合为单元素集，则的取值为（    ） A．1 B． C．或1 D．或或1 【答案】C 【解析】若集合为单元素集，则方程只有一个实根. 当,可得，满足题意； 当时，,解得. 故的取值是0或1. 故选:C. 【变式训练2-4】（已知集合A＝{x|ax2﹣3x+2＝0}只有一个元素，则实数a的值为（    ） A． B．0 C．或0 D．1 【答案】C 【解析】时，，满足题意； 时，，，此时，满足题意． 所以或． 故选：C 【变式训练2-5】（已知，若集合A中恰好有5个元素，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可知，可得. 故选：D 【变式训练2-6】（若集合恰有8个整数元素，写出a的一个值： ． 【答案】7（答案不唯一，实数a满足即可） 【分析】由题意知区间长度大于7不大于9，据此求出集合中最小整数，得到集合中最大整数为10，建立不等式求解. 【详解】依题意可得，解得， 则． 所以集合的整数元素的最小值为3，从而最大值为10， 所以，解得． 故答案为：7（答案不唯一）. 【变式训练2-7】（若关于的不等式组有且仅有两个整数解，则实数的取值范围是____________. 【答案】 【解析】由可得， 由可得， 又不等式组有且仅有两个整数解， ∴ ，∴ ，∴ 实数的取值范围是. 【变式训练2-8】（已知A为方程的所有实数解构成的集合，其中a为实数. (1)若A是空集，求a的范围； (2)若A是单元素集合，求a的范围： (3)若A中至多有一个元素，求a的取值范围. 【答案】(1)； (2)或； (3)或. 【分析】（1）讨论，根据可得结果； （2）讨论，根据可得结果； （3）转化为方程至多有一个解，由（1）（2）可得结果. 【详解】（1）若A是空集，则方程无解， 当时，方程有解，不符合题意； 当时，，得. 综上所述：. （2）若A是单元素集合，则方程有唯一实根， 当时，方程有唯一解，符合题意； 当时，，得. 综上所述：或. （3）若A中至多有一个元素，则方程至多有一个解， 当方程无解时，由（1）知，； 方程有唯一实根时，由（2）知，或. 综上所述：或. 【变式训练2-9】（已知集合． （1）若，求集合A（用列举法表示）； （2）若A中至多有一个元素，求实数a的取值范围． 【答案】（1）；（2）或． 【解析】（1）因为，所以，解得， 解方程可得或， 所以集合． （2）当时，方程为， 此时集合， 当时，集合中至多有一个元素只需判别式， 即，即， 综上所述，a的取值范围是或 题型03：根据集合相等关系求参数 【典型例题1】（已知集合，，若，则 ． 【答案】5 【解析】根据集合的元素具有无序性和互异性可得，，所以. 故答案为：5. 【典型例题2】已知集合，若，求实数a，b的值． 【答案】 【分析】根据集合中的元素相等，且满足互异性，即可求解. 【详解】由于，由于集合中有元素0，而集合中的不能为0，所以必然是，此时集合， 由于集合中有元素1， 若，则， 故 【变式训练3-1】已知集合，若，求实数q的值． 【答案】 【解析】由元素的互异性得， 若，则有以下两种情况： ①，不符合题意舍去； ②或（舍去）， 综上，. 【变式训练3-2】若集合，实数的值为 【答案】 【分析】由已知中集合，根据集合相等对应元素分别相等，我们可以分若、、，三种情况进行分类讨论，结合集合元素的性质，即可得到答案． 【详解】令,,，,,， ,,，，， 若，则，则,,，,,，满足要求； 若，则，而中元素，矛盾； 若，则，则,,，,,，满足要求； 故实数的值为. 故答案为： 【变式训练3-3】已知集合， 若， 则 （ ） A．3 B．4 C． D． 【答案】D 【解析】因为且，所以，且， 又， 所以和为方程的两个实数根， 所以；故选：D 【变式训练3-4】若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由集合的表示法可知是方程的两个实数根，从而利用韦达定理即可得解. 【详解】因为， 所以关于的方程的两个实数根是， 则，故， 故选：D. 【变式训练3-5】已知集合，．若，则值为 ． 【答案】5 【解析】依题意，， 所以1和2为方程的两根， 由根与系数的关系得， 解得，所以. 故答案为：5 【变式训练3-6】集合P中含有两个元素1和4，集合Q中含有两个元素1和，若P与Q相等，则a＝ . 【答案】 【解析】因为集合P含有两个元素1和4，集合Q含有两个元素1和，且P和Q相等， 所以，解得. 故答案为： 【变式训练3-7】已知，，且，则 ． 【答案】 【解析】因为，，且，则，解得， 因此，. 故答案为：. 【变式训练3-8】设集合，，且A＝B，求实数a、b的值. 【答案】. 【分析】利用集合相等以及集合的特征即可求解. 【详解】因为集合，， 所以或， 解得或或 ， 根据集合的元素的互异性可得，且， 所以. 【变式训练3-9】已知集合. (1)若集合，且，求的值； (2)若集合，且与有包含关系，求的取值范围. 【解析】（1）因为，且， 所以或， 解得或， 故. （2）因为A与C有包含关系，，至多只有两个元素， 所以. 当时，，满足题意； 当时， 当时，，解得，满足题意； 当时，且，此时无解； 当时，且，此时无解； 当时，且，此时无解； 综上，a的取值范围为. 题型04：根据集合间的包含关系求参数 【典型例题1】已知集合，，若，则（ ） A．1 B．0或1或3 C．0或3 D．3 【答案】C 【解析】因为，所以或. 若，则，满足； 若，则或， 当时，，满足； 当时，，集合不满足元素的互异性，不符合题意； 综上所述：或，故选：C. 【典型例题2】已知集合，，若，则实数m可能的取值为 . 【答案】0、1、 【分析】分，和三种情况，进行求解，得到答案. 【详解】若时，，满足要求， 若，则， 若，则，解得， 综上：实数m可能的取值为0、1、. 故答案为：0、1、 【典型例题3】已知集合，若，则实数a的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由于，故时，则且， 若中只有一个元素， ①中的方程为一元二次方程，则，此时,不合题意，舍去； ②中的方程为一元一次方程，则，则，则，此时不符合，舍去， 当时，则符合题意， 综上可知：或， 故选：D. 【典型例题4】已知全集，集合，，则使成立的实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】分类讨论或两种情况，求出，再根据子集的定义分析求解即可. 【详解】当时，即，解得：， 此时，所以当时，， 当，即，解得：， 此时或， 因为，所以或，解得：或， 又，所以， 综上，使成立的实数m的取值范围是或， 故选：D. 【变式训练4-1】已知，，全集 （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）当时，， 所以或，又， 所以. （2）由题可得：当时，有， 解得a的取值范围为； 当时有，解得a的取值范围为， 综上所述a的取值范围为. 【变式训练4-2】设集合且，则的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意知，所以，或， 当时，得，不符合题意； 当时，得，或， 当，不符合题意，时，，符合题意. 故选：B 【变式训练4-3】已知集合，，，则实数m的值为（    ） A．－1 B．0 C．1 D．2 【答案】B 【解析】 或（不可能，舍去）或（不可能，舍去） 故选：B 【变式训练4-4】（多选）已知集合，，若，则实数的取值可以是（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】AC 【分析】分和两种情况讨论集合中的原式，即可求解. 【详解】当时，，满足条件， 当时，若，则，无解， 若，则，无解， 若，则，无解， 若，则，得， 综上可知，或，只有AC符合条件. 故选：AC 【变式训练4-5】已知集合，若，则的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由可得，若时，则， 若时，则由可得或，故或，则或， 故的取值集合为， 故选:D 【变式训练4-6】已知，，且，则a的取值范围为_________． 【答案】 【解析】由题意，集合， 当时，即，解得，此时满足， 当时，要使得，则或， 当时，可得，即，此时，满足； 当时，可得，即，此时，不满足， 综上可知，实数的取值范围为. 故答案为：. 【变式训练4-7】已知集合，若，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据集合间的包含关系即可求解. 【详解】由于，所以， 故答案为： 【变式训练4-8】已知集合，且，则实数m的取值范围是 . 【答案】. 【分析】根据集合间的包含关系，分和，两种情况讨论，即可求解. 【详解】由集合， 若时，可得，此时满足； 若时，要是得到，则满足，解得， 综上可得，实数的取值范围是. 故答案为：. 【变式训练4-9】已知集合，，则使成立的实数a的取值范围是 ． 【答案】 【解析】因为，所以，解得， 故实数a的取值范围是.故答案为： 【变式训练4-10】设全集，集合，． （1）当时，求； （2）若，求a的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）由题意可得集合，， 故. 【变式训练4-11】已知集合，求： (1)若集合至多有1个元素，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由集合元素的个数转化为方程根的个数列不等式即可求得实数的取值范围； （2）根据集合关系，讨论或只有负根，列不等式即可求得实数的取值范围. 【详解】（1）若集合至多有1个元素，则至多一个实根 所以，故； （2）由题意得或只有负根， 当时，，故， 当只有负根时，，无解， 综上，实数的取值范围为. 【变式训练4-12】已知全集为实数集，集合，.    (1)若，求图中阴影部分的集合； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题图知，再根据已知及集合的交补运算求集合M即可. （2）讨论、，根据集合的包含关系列不等式组求参数范围. 【详解】（1）解：时，，由图知，， 因为，所以， 所以. （2）当时，，解得，此时成立； 当时，，解得， 因为，所以，解得， 所以； 综上可得，实数的取值范围是. 题型05：根据集合的交并补运算求参数 【典型例题1】已知集合，，若，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，得，所以， 因为，所以，故．故选：C． 【典型例题2】已知全集，，，且． (1)求集合，； (2)若集合，求实数的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由得，，将2代入等式，解出a，b的值，得M，N； （2）由的结果列出方程组，解得m的值. 【详解】（1）因为，所以，且， 又因为，所以，得，， 因为，所以，得，， 综上，，. （2）由（1）得， 所以，得. 【典型例题3】已知集合，B＝{x|≤x≤a+5}． (1)当a＝2时，求，； (2)若＝R，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将集合表示出来，然后再运算即可；（2）先分析出两集合的关系，再找边界的大小即可. 【详解】（1） ， （2）＝R，，解之：. 【典型例题4】已知集合． (1)当时求 (2)若，求实数的取值范围． 【解析】（1） ，当时， 所以 或， 所以或 或 （2） 当时满足满足； 当时满足 综上： 【变式训练5-1】已知集合，，若，则（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】由，得，易知集合非空， 则，解得．故选：B. 【变式训练5-2】设集合或，若，则的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】B 【分析】先求出，根据，可求得结果. 【详解】由集合或，得，又集合且，则2或，即或. 故选：B. 【变式训练5-3】已知集合，，且，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出集合B的补集，结合条件可得实数a的取值范围. 【详解】，，， 又，且， 【变式训练5-4】已知集合，若，求实数m的取值范围． 【答案】或 【分析】利用一元二次方程以及集合的交集、补集运算进行求解. 【详解】因为，所以当时，；当时，， 因为，所以， 因为，所以当时，显然不满足； 当时，或，解得或， 所以实数m的取值范围为或. 【变式训练5-5】已知集合，，全集为. (1)求集合； (2)若，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)由已知结合集合补集的运算即可求解； (2)由，则，然后对是否为空集进行分类讨论即可求解. 【详解】（1）， . （2）由得，， 当时，由，可得，即； 当时，由，且， 可得，解得， 综上所述，实数m的取值范围为. 【变式训练5-6】设集合，或，全集． （1）若，求实数a的取值范围； （2）若，求实数b的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）因为，所以，解得， 所以a的取值范围是； （2）， 因为，所以，所以，解得， 所以b的取值范围是． 【变式训练5-7】已知，. （1）若，求； （2）从①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面横线上，并进行解答. 问题：若__________，求实数的所有取值构成的集合. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】（1）;（2）条件选择见解析， 【解析】（1）当时，， 又因为，故. （2）若选①，当时，，则，满足， 当时，，若，则或，解得或. 综上所述，； 若选②，，则. 当时，，满足； 当时，，因为，则或，解得或. 综上所述，； 若选③，当时，，满足； 当时，则，因为，则或，解得或. 综上所述，. （2），或， 若，则， 即a的取值范围为. 【变式训练5-8】设集合，． (1)当时，求和； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1）当时，解出集合，再由集合的交集和并集的定义，即可求解. （2）求出，由，得，再分类讨论是否为空集，由此求出实数的取值范围. 【详解】（1）当时，， 所以，. （2）由题意得，或， 因为，所以， 若，则； 若，则，且， 因为，或， 所以，解得. 综上，实数的取值范围是. 【变式训练5-9】已知集合. (1)若，求的取值范围； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)； (2)或． 【分析】(1)根据可知，列出不等式组即可求解． (2)分和两种情况讨论即可． 【详解】（1）∵，∴， ∴， ∴的范围是． （2）(i)若，则，即，此时满足； (ii)若，则， 若，则或，解得或， ∴或； 综上，或． 【变式训练5-10】已知集合，，求： (1)； (2)； (3)若且，求m的取值范围. 【解析】（1）由题意知集合，， 故； （2）或，故； （3）因为，且，故， 故. 【变式训练5-11】在①，②且，这两个条件中任选一个补充在下面的问题中，并解答该问题． 已知非空集合，________，若，求实数的取值集合． 【解析】若选①，则， 因为非空集合且， 所以，解得，即实数的取值集合为； 若选②且， 又非空集合且， 所以，解得或，即实数的取值集合为. 【变式训练5-12】已知集合 (1)当时，求； (2)若______，求实数的取值范围. 请从①；②；这两个条件中选择一个填入②中横线处，并完成第②问的解答.（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分） 【解析】（1）当时，， ． （2）（2）若选择①， 当时，，即， 当时，，即， 或，即或． 实数的取值范围是，，． 若选择条件②，由得，解得． 实数的取值范围是，． 【变式训练5-13】已知R为全集，集合，集合． (1)求； (2)若，求实数a的值． 【解析】（1）因为R为全集，集合， 所以或； （2）因为，集合，， 所以，解得. 【变式训练5-14】记不等式的解集为A，集合或． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 【解析】（1），，即， 当时，，又集合或 ； （2）由已知， ， . 【变式训练5-15】在①，②，③这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并求解下列问题： 已知集合，若__________，求实数的取值范围. 【解析】由解得，所以，. 若选择①：，则是的子集，, ， 当，即时，，满足题意； 当时，或,解得， 综上可得，实数的取值范围是. 若选择②：， 当时，即，即时，满足题意； 当时，或，解得. 综上可知，实数的取值范围是. 若选择③：，则， 当，即时，，满足题意； 当时，，解得； 综上可知，实数的取值范围是. 【变式训练5-16】设，集合， (1)若，求 (2)若，求的取值范围. 【解析】（1）当时， 所以. （2）集合，所以 因为，所以且. 则，即，解得. 【变式训练5-17】已知集合，或. (1)求； (2)若，求实数a的取值范围. 【解析】（1）∵或， ∴； （2）∵， ∴， ∴当，满足，此时； 当，则，所以， 综上，实数a的取值范围是. 【变式训练5-18】已知集合，，全集为. (1)求集合； (2)若，求实数m的取值范围. 【解析】（1）， . （2）由得，， 当时，由，可得，即； 当时，由，且， 可得，解得， 综上所述，实数m的取值范围为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 集合中的含参问题 目 录 思维导图 1 考情分析 1 学习目标 2 知识要点 4 解题策略 4 题型归纳 5 题型01：根据元素与集合的关系求参数 5 题型02：根据元素的个数求参数 6 题型03：根据集合相等关系求参数 8 题型04：根据集合间的包含关系求参数 9 题型05：根据集合的交并补运算求参数 12 一. 考试定位（新高考/高一同步） 1.高一月考、期中、期末高频中档题，选择、填空、简答均会出现，是集合章节难点； 2.高考极少单独大题，多作为选择题压轴小综合、或与充分必要条件结合命题； 3.分值：选择5分，解答8–12分，区分基础生与中等生，是典型拉分点。 二. 核心考查题型 1. 已知集合包含关系，求参数取值； 2. 已知交/并/补运算结果求参数； 3. 方程解集型集合：一次、二次方程根构成集合含参数； 4. 不等式区间集合：一次、二次不等式解集含参数； 5. 综合题型：集合参数 + 充分必要条件互化。 三. 必考核心陷阱（命题固定设坑点） 1. 忽略空集：，绝大多数学生漏解丢分； 2. 二次方程无解对应集合为空集，判别式 易遗忘； 3. 数轴区间端点等号取舍错误，多解或少解； 4. 参数取值后不回代检验，出现集合元素互斥（互异性）矛盾； 5. 混淆等价转化： 6. 二次项含参数时，忘记讨论二次项系数为0（退化为一次方程）。 四. 命题趋势 1.基础考法：有限数集含参，利用元素互异性求参； 2.常规中档：不等式区间包含、交集为空求参数范围； 3.拔高综合：二次方程解集+空集讨论+检验互异性； 4.高考结合：集合含参作为载体，判断充分、必要条件。 五. 失分特点 不属于难题，但套路固定、细节极多，学生普遍存在漏情况、不检验、端点出错，是集合板块主要失分题型。 一. 知识目标 1. 掌握等价转化公式： 2. 明确空集判定： ①一元一次不等式无解； ②一元二次方程 根的判别式<0； ③二次项系数为0后一次方程仍无解； 3. 牢记集合元素三大性质，尤其互异性，求出参数必须回代验证； 4. 熟练利用数轴处理区间含参集合，准确判断端点能否取等； 5. 分清两类含参集合解法：列举型（解方程）、区间型（解不等式）。 二. 能力目标 1. 分类讨论逻辑能力 看到子集关系自动分两类：A=∅、A≠∅；含二次式先讨论二次项系数是否为0； 2. 数形结合能力 区间含参必画数轴，通过区间覆盖关系列出不等式组； 3. 等价转化能力 把“交集、并集条件”全部转化为子集关系简化题目； 4. 检验纠错能力 养成求出参数后代入原题检验，排除违反互异性、区间矛盾的解。 三. 应试解题规范目标 固定标准解题步骤： 1. 翻译条件，转化为子集/交集关系； 2. 讨论空集情况，列出对应不等式/判别式； 3. 非空情况画图列不等式组； 4. 联立求解参数范围； 5. 回代检验，舍去矛盾解； 6. 写出最终参数取值/取值范围。 四. 分层达标目标 1. 基础层：有限数字集合含参，会用互异性求简单参数； 2. 进阶层：区间不等式子集、A∩B=∅ 题型，不漏空集、端点判断正确； 3. 拔高层：二次方程解集含参、二次项带参数、结合充分必要条件综合大题，完整分类讨论、规范检验不丢解。 一、已知一个元素属于集合，求集合中所含的参数值． （1）确定性的运用：利用集合中元素的确定性解出参数的所有可能值； （2）互异性的运用：根据集合中元素的互异性对集合中元素进行检验． 二、利用两个集合之间的关系确定参数的取值范围 由集合间关系求解参数的三部曲 第一步：弄清两个集合之间的关系，谁是谁的子集； 第二步：看集合中是否含有参数，若， 且A中含参数应考虑参数使该集合为空集的情形； 第三步：将集合间的包含关系转化为方程(组)或不等式(组)，求出相关的参数的值或取值范围. 常采用数形结合的思想，借助数轴解答.[ 三、根据集合运算的结果确定参数的取值范围 方法一：根据集合运算结果确定集合对应区间的端点值之间的大小关系，从而确定参数的取值范围.[来 方法二：（1）化简所给集合； （2）用数轴表示所给集合； （3）根据集合端点间关系列出不等式（组）； （4）解不等式（组）；（5）检验. 【注意】（1）确定不等式解集的端点之间的大小关系时，需检验能否取“=”； （2）千万不要忘记考虑空集。 解决与集合有关的参数问题的对策 （1）如果是离散型集合，要逐个分析集合的元素所满足的条件，或者画韦恩图分析． （2）如果是连续型集合，要数形结合，注意端点能否取到． （3）在解集合的含参问题时，一定要注意空集和元素的互异性． （4）由集合间关系求解参数的步骤：①弄清两个集合之间的关系，谁是谁的子集；②看集合中是否含有参数，若，且A中含参数应考虑参数使该集合为空集的情形；③将集合间的包含关系转化为不等式（组）或方程（组），求出相关的参数的取值范围或值． （5）经常采用数形结合的思想，借助数轴巧妙解答． 题型01：根据元素与集合的关系求参数 【典型例题1】（多选）已知集合中有个元素，，，且当时，，则可能为（ ） A． B． C． D．或或 【典型例题2】已知，则a的值为 ． 【典型例题3】已知，若，且，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典型例题4】已知集合由3个元素：构成，且，试求实数a的值. 【变式训练1-1】已知集合A中元素x满足，且，则（ ） A． B． C． D． 【变式训练1-2】（多选）已知，且，，，则取值可能为（ ） A． B． C． D． 【变式训练1-3】已知集合，，则集合中所有的元素之和为（    ） A．0 B．2 C． D． 【变式训练1-4】已知集合A的所有元素为2，4，6，若，且有，则a的值是 . 【变式训练1-5】已知，、，则的情况有 种． 【变式训练1-6】若，且，则的取值范围为 . 【变式训练1-7】已知集合，若，则实数 . 【变式训练1-8】设集合，，已知且，则的取值集合为 . 【变式训练1-9】已知集合，且，则实数a的值为 . 【变式训练1-10】已知集合中有三个元素：，，，集合中也有三个元素：0，1，． (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值． 题型02：根据元素的个数求参数 【典型例题1】已知集合中有且仅有一个元素，那么的可能取值为（ ） A．-1 B．2 C． D．0 【典型例题2】已知，集合中有且只有三个整数，则符合条件的实数a的一个值是 ． 【典型例题3】若关于x的方程的解集是单元集，求实数m的值. 【变式训练2-1】（多选）关于的方程的解集中只含有一个元素，则的可能取值是（    ） A． B．0 C．1 D．5 【变式训练2-2】（若集合只有两个子集，则实数取值集合 . 【变式训练2-3】（已知集合，若集合为单元素集，则的取值为（    ） A．1 B． C．或1 D．或或1 【变式训练2-4】（已知集合A＝{x|ax2﹣3x+2＝0}只有一个元素，则实数a的值为（    ） A． B．0 C．或0 D．1 【变式训练2-5】（已知，若集合A中恰好有5个元素，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-6】（若集合恰有8个整数元素，写出a的一个值： ． 【变式训练2-7】（若关于的不等式组有且仅有两个整数解，则实数的取值范围是____________. 【变式训练2-8】（已知A为方程的所有实数解构成的集合，其中a为实数. (1)若A是空集，求a的范围； (2)若A是单元素集合，求a的范围： (3)若A中至多有一个元素，求a的取值范围. 【变式训练2-9】（已知集合． （1）若，求集合A（用列举法表示）； （2）若A中至多有一个元素，求实数a的取值范围． 题型03：根据集合相等关系求参数 【典型例题1】（已知集合，，若，则 ． 【典型例题2】已知集合，若，求实数a，b的值． 【变式训练3-1】已知集合，若，求实数q的值． 【变式训练3-2】若集合，实数的值为 【变式训练3-3】已知集合， 若， 则 （ ） A．3 B．4 C． D． 【变式训练3-4】若，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-5】已知集合，．若，则值为 ． 【变式训练3-6】集合P中含有两个元素1和4，集合Q中含有两个元素1和，若P与Q相等，则a＝ . 【变式训练3-7】已知，，且，则 ． 【变式训练3-8】设集合，，且A＝B，求实数a、b的值. 【变式训练3-9】已知集合. (1)若集合，且，求的值； (2)若集合，且与有包含关系，求的取值范围. 题型04：根据集合间的包含关系求参数 【典型例题1】已知集合，，若，则（ ） A．1 B．0或1或3 C．0或3 D．3 【典型例题2】已知集合，，若，则实数m可能的取值为 . 【典型例题3】已知集合，若，则实数a的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【典型例题4】已知全集，集合，，则使成立的实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【变式训练4-1】已知，，全集 （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围. 【变式训练4-2】设集合且，则的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【变式训练4-3】已知集合，，，则实数m的值为（    ） A．－1 B．0 C．1 D．2 【变式训练4-4】（多选）已知集合，，若，则实数的取值可以是（    ） A．0 B．1 C． D． 【变式训练4-5】已知集合，若，则的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【变式训练4-6】已知，，且，则a的取值范围为_________． 【变式训练4-7】已知集合，若，则实数的取值范围是 . 【变式训练4-8】已知集合，且，则实数m的取值范围是 . 【变式训练4-9】已知集合，，则使成立的实数a的取值范围是 ． 【变式训练4-10】设全集，集合，． （1）当时，求； （2）若，求a的取值范围． 【变式训练4-11】已知集合，求： (1)若集合至多有1个元素，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 【变式训练4-12】已知全集为实数集，集合，.    (1)若，求图中阴影部分的集合； (2)若，求实数的取值范围. 题型05：根据集合的交并补运算求参数 【典型例题1】已知集合，，若，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【典型例题2】已知全集，，，且． (1)求集合，； (2)若集合，求实数的值． 【典型例题3】已知集合，B＝{x|≤x≤a+5}． (1)当a＝2时，求，； (2)若＝R，求a的取值范围． 【典型例题4】已知集合． (1)当时求 (2)若，求实数的取值范围． 【变式训练5-1】已知集合，，若，则（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式训练5-2】设集合或，若，则的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 【变式训练5-3】已知集合，，且，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练5-4】已知集合，若，求实数m的取值范围． 【变式训练5-5】已知集合，，全集为. (1)求集合； (2)若，求实数m的取值范围. 【变式训练5-6】设集合，或，全集． （1）若，求实数a的取值范围； （2）若，求实数b的取值范围． 【变式训练5-7】已知，. （1）若，求； （2）从①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面横线上，并进行解答. 问题：若__________，求实数的所有取值构成的集合. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【变式训练5-8】设集合，． (1)当时，求和； (2)若，求实数的取值范围． 【变式训练5-9】已知集合. (1)若，求的取值范围； (2)若，求的取值范围. 【变式训练5-10】已知集合，，求： (1)； (2)； (3)若且，求m的取值范围. 【变式训练5-11】在①，②且，这两个条件中任选一个补充在下面的问题中，并解答该问题． 已知非空集合，________，若，求实数的取值集合． 【变式训练5-12】已知集合 (1)当时，求； (2)若______，求实数的取值范围. 请从①；②；这两个条件中选择一个填入②中横线处，并完成第②问的解答.（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分） 【变式训练5-13】已知R为全集，集合，集合． (1)求； (2)若，求实数a的值． 【变式训练5-14】记不等式的解集为A，集合或． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 【变式训练5-15】在①，②，③这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并求解下列问题： 已知集合，若__________，求实数的取值范围. 【变式训练5-16】设，集合， (1)若，求 (2)若，求的取值范围. 【变式训练5-17】已知集合，或. (1)求； (2)若，求实数a的取值范围. 【变式训练5-18】已知集合，，全集为. (1)求集合； (2)若，求实数m的取值范围. 2 学科网（北京）股份有限公司 $