第2讲 单调性与奇偶性 讲义-2027届高三数学二轮专题复习

该高中数学高考复习讲义聚焦函数单调性与奇偶性核心考点，涵盖奇偶性判断、含参奇偶性、单调性应用及对称周期交汇问题，按基础判断—综合应用—性质交汇的逻辑层次展开。通过考点梳理（如“两步走”判断奇偶性）、方法指导（如“符号地图”解不等式）、真题训练（分单选多选填空例题及变式），帮助学生系统构建知识网络，突破难点。 资料创新采用“积木式”奇偶性质归纳与“符号地图”可视化策略，如例7通过绘制奇函数符号分布快速解不等式，培养学生数学眼光与逻辑推理能力。设置分层练习（★★☆到★★★★☆），强调参数回代验证，确保复习精准高效。助力学生提升函数性质综合应用能力，为教师把控复习节奏提供清晰教学路径。

第2讲 单调性与奇偶性 奇偶性的判断·含参奇偶·单调性应用·三个性质交汇 一、奇偶性的判断与求参数 1. 奇偶性判断两步走. 第一步看定义域:必须关于原点对称,否则直接判非奇非偶;第二步算 并与 、 比较.含绝对值、对数的式子(如 )先想图象或取特值. 2. 求参数的两种武器. ①特殊值法:奇函数若 在定义域内则 ;偶函数常取 、 列方程.②展开比较法:算出 ,整理成与 恒等的形式,对比结构求参数.求出的参数都要回代验证. 3. 常见奇偶”积木”. 、、、 是奇;、常数、、 是偶;而 、 这类混合结构,靠 展开对比定参数. 例1（多选·★★★☆☆） 下列函数中既是偶函数，又在上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 例2（多选·★★★☆☆） 已知函数，则（ ） A. 为偶函数 B. C. 无零点 D. 在上单调递减 例3（填空·★★☆☆☆） 已知函数是偶函数，则 = __________. 例4（填空·★★☆☆☆） 已知是偶函数，则 = __________. 例5（填空·★★☆☆☆） 设实数，函数为奇函数，则 = ______________. 例6（单选·★★☆☆☆） 已知函数，当函数为奇函数时，为（ ） A. B. C. 0 D. 变式1（单选·★★☆☆☆） 若函数为偶函数，则 = （ ） A. B. C. D. 变式2（填空·★★☆☆☆） 若函数（，且）是偶函数，且，则 = ______. 变式3（填空·★★☆☆☆） 已知函数是偶函数，则 = ______. 二、单调性与奇偶性的综合应用 1. 奇函数+单调性的”符号地图”. 奇函数图象关于原点对称:若在 上递减且 ,则 在 上也递减且 ,并且 的区间是 , 的区间是 .解不等式前,先把这张”符号地图”画出来. 2. 解 型不等式的流程. ①由奇偶性、单调性、零点画出 的符号分布;②把 看成整体落进”正区间/负区间”;③解出 ,注意端点是否取到. 3. 偶函数的单调性分界. 偶函数在 与 上单调性相反.解偶函数不等式 时,转化为比较 与 (离对称轴越远,函数值越靠近递增方向). 例7（单选·★★☆☆☆） 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 例8（单选·★★☆☆☆） 已知是定义在上的奇函数，且在上单调递减，，则的解集为（ ） A. B. C. D. 例9（单选·★★★★☆） 定义域为的偶函数在上单调递减，且，若关于的不等式的解集为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 变式4（单选·★★☆☆☆） 已知是上的奇函数，且，若在上单调递减，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 变式5（多选·★★★☆☆） 已知连续函数是定义域为的偶函数，且在区间上单调递增，则下列说法正确的是（ ） A. 函数在上单调递增 B. 函数在上单调递增 C. 函数存在极小值点 D. “”是“”的充要条件 变式6（单选·★★★☆☆） 已知函数的最小正周期为，将所有的正零点按从小到大的顺序排列得到数列，则数列的前12项的和为（ ） A. B. C. D. 三、对称·周期·奇偶的交汇 1. 三条”翻译”规则. ①(或 ) 图象关于直线 对称;② 关于点 对称;③ 周期为 .含参数的(如 为奇函数),先整体替换:对称中心/轴在括号内使式子为零的位置—— 为奇函数 关于点 对称,即 . 2. 两个对称推出周期. 一条轴 加一个中心 :周期为 ;两条轴 、:周期为 ;两个中心:周期为 .推导都靠连续两次代入. 3. 周期函数求值与求和. 先用 把大自变量拉回基础区间;数列求和按”一个周期内各位置函数值的和”乘以周期数,再补余项. 例10（多选·★★★☆☆） 已知函数和均为上的偶函数，则（ ） A. 在单调递增 B. C. D. 例11（单选·★★★★☆） 若定义在上的函数满足，是奇函数，，设函数，则 = （ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 例12（单选·★★★★☆） 已知函数和的定义域均为.若是奇函数，是偶函数，且，则 = （ ） A. B. C. D. 变式7（单选·★★★☆☆） 若定义在 上的函数 满足 为奇函数， 为偶函数，且 ，则 = （ ） A. -1 B. 0 C. 1 D. 变式8（单选·★★★☆☆） 已知函数的定义域为，若满足为偶函数，且为奇函数，则下列选项一定正确的是（ ） A. B. C. D. 变式9（单选·★★★★☆） 已知函数和的定义域均为，且为偶函数，为奇函数，若，均有，则 = （ ） A. 575 B. 598 C. 621 D. 624 变式10（多选·★★★★☆） 已知函数是定义在R上的奇函数，且满足，当时，，则下列结论正确的是（ ） A. 的图象关于直线对称 B. C. 在区间上单调递增 D. 当时，方程的所有解的和为 变式11（多选·★★★★☆） 已知定义在上的偶函数满足，设在上的导函数为，则（ ） A. B. C. D. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2讲 单调性与奇偶性 奇偶性的判断·含参奇偶·单调性应用·三个性质交汇 一、奇偶性的判断与求参数 1. 奇偶性判断两步走. 第一步看定义域:必须关于原点对称,否则直接判非奇非偶;第二步算 并与 、 比较.含绝对值、对数的式子(如 )先想图象或取特值. 2. 求参数的两种武器. ①特殊值法:奇函数若 在定义域内则 ;偶函数常取 、 列方程.②展开比较法:算出 ,整理成与 恒等的形式,对比结构求参数.求出的参数都要回代验证. 3. 常见奇偶”积木”. 、、、 是奇;、常数、、 是偶;而 、 这类混合结构,靠 展开对比定参数. 【通法】判断奇偶性:先定义域对称,再算 比较. 【通法】奇函数且 定义域 . 【通法】偶函数求参:取 、 列方程,回代验证. 例1（多选·★★★☆☆） 下列函数中既是偶函数，又在上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 【切入点】判断”既是偶函数又在 上递减”,逐个选项过两关:先看奇偶,再看单调性. A.(),是偶函数,但在 上递增,不合; B.,偶函数,且 时幂指数为负,递减,合; C.,偶函数,且 时 递减,合; D.,偶函数,但 时 递增,不合. 故选 BC. 【易错】A 选项 化简时要注意定义域: 要求 ,化简后 的定义域同样要去掉 ,不能当成 上的函数处理. 【答案】BC 例2（多选·★★★☆☆） 已知函数，则（ ） A. 为偶函数 B. C. 无零点 D. 在上单调递减 【切入点】 的图象是 的图象左右对称拼接,定义域 ,逐项检验. A.,偶函数,正确; B.,错误; C.令 得 ,有两个零点,错误; D. 时 递减,外层 递增,同增异减,故 递减,正确. 故选 AD. 【通法】 这类”绝对值+单调函数”的组合是偶函数,图象关于 轴对称拼合;判断单调性时按 、 两段分别用”同增异减”. 【答案】AD 例3（填空·★★☆☆☆） 已知函数是偶函数，则 = __________. 【切入点】偶函数即 对一切 成立.先算 ,整理对比. . 令 ,即 , 移项得 . 由 恒成立,得 . 回代:,确为偶函数.故 . 【易错】由 求 时,因为 恒成立,才能两边约去;若因式可能为零,则需逐段讨论. 【答案】 例4（填空·★★☆☆☆） 已知是偶函数，则 = __________. 【切入点】同上,用 展开.本题分母含参数,展开后化简,再用待定验证. . 由 ,通分整理: 要此式对一切 恒成立,比较指数结构可得 ,即 . 验证 :,则 故 . 【答案】 例5（填空·★★☆☆☆） 设实数，函数为奇函数，则 = ______________. 【切入点】先用”奇函数”定参数 ,再代值.本题 不在定义域内,改用 展开. 由 : 交叉相乘展开: 对比得 ,即 ,又 ,故 . 于是 ,而 ,所以 【答案】 例6（单选·★★☆☆☆） 已知函数，当函数为奇函数时，为（ ） A. B. C. 0 D. 【切入点】奇函数且 在定义域内,先由 定 . ,得 . 由 ,得 . 故 .故选 A. 【易错】 的处理:底数换成 ,指数式化为 ,不要算成 . 【答案】A 变式1（单选·★★☆☆☆） 若函数为偶函数，则 = （ ） A. B. C. D. 解:偶函数用 列方程: 即 ,得 ,. 回代验证 对一切 成立. 故 .故选 D. 【答案】D 变式2（填空·★★☆☆☆） 若函数（，且）是偶函数，且，则 = ______. 解:偶函数说明图象关于 轴对称,即对称轴 . 于是 ,由 得 ,又 且 ,故 . 【答案】 变式3（填空·★★☆☆☆） 已知函数是偶函数，则 = ______. 解:. 令 ,即 , 得 ,故 . 【答案】 二、单调性与奇偶性的综合应用 1. 奇函数+单调性的”符号地图”. 奇函数图象关于原点对称:若在 上递减且 ,则 在 上也递减且 ,并且 的区间是 , 的区间是 .解不等式前,先把这张”符号地图”画出来. 2. 解 型不等式的流程. ①由奇偶性、单调性、零点画出 的符号分布;②把 看成整体落进”正区间/负区间”;③解出 ,注意端点是否取到. 3. 偶函数的单调性分界. 偶函数在 与 上单调性相反.解偶函数不等式 时,转化为比较 与 (离对称轴越远,函数值越靠近递增方向). 【通法】奇函数解不等式:先画符号地图(零点两侧正负交替),再套复合条件. 【通法】偶函数比较大小:转化为比较自变量到对称轴的距离. 例7（单选·★★☆☆☆） 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【切入点】 时 ,在 内的零点为 .由奇函数性质 ,故 也是零点.把 上的符号地图画出来. 时 ; 时由对称性 . 所以 . 于是 或 , 解得 或 .故选 B. 【关键】奇函数的零点成对出现:.注意 只是 段解析式 的根,不在 内,根本不是 的零点——先定零点集合,再画符号地图. 【答案】B 例8（单选·★★☆☆☆） 已知是定义在上的奇函数，且在上单调递减，，则的解集为（ ） A. B. C. D. 【切入点】 拆成两类: 且 ,或 且 .先画 的符号地图. 奇函数且在 递减,:由奇函数在对称区间上单调性相同, 在 上也递减,且 . 符号地图:;. ① 且 :得 ; ② 且 :得 . 综上,解集为 ,故选 D. 【易错】奇函数在原点两侧的零点也对称: 对应 .漏掉 这个零点,符号地图就错一半. 【答案】D 例9（单选·★★★★☆） 定义域为的偶函数在上单调递减，且，若关于的不等式的解集为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【切入点】不等式两边都有 ,但 (偶函数),先合并;解集是 ,反推参数关系——由解集反推条件是本题的破题点. 偶函数:,于是原不等式等价于 令 ,,则不等式为 ,其解集为 . 的符号: 或 时 ; 时 . 要乘积非负:① 时需 ;② 时需 . 代入端点 取等:,得 .检验: 时一次式为 ,① 时 ✓;② 时 ✓. 故 .于是 , 当且仅当 即 时取等.故最小值为 ,选 C. 【答案】C 变式4（单选·★★☆☆☆） 已知是上的奇函数，且，若在上单调递减，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 解:奇函数在 递减,则它在 上也递减,且 、、. 符号地图:. 故选 A. 【答案】A 变式5（多选·★★★☆☆） 已知连续函数是定义域为的偶函数，且在区间上单调递增，则下列说法正确的是（ ） A. 函数在上单调递增 B. 函数在上单调递增 C. 函数存在极小值点 D. “”是“”的充要条件 解:A. 时 与 都递增,相加仍递增,正确; B.反例:取 (偶,在 递增),则 在 上递减,错误; C. 是”外增内偶”: 在 处取最小值,由外层递增,复合函数在 处取最小值,即存在极小值点,正确; D.令 ,条件即 .必要性:取 (即 ),得 ;充分性:若 ,由 偶且在 递增,对一切 有 ,而 在 时不超过 (于 取到)、在 时非正,故恒成立.正确. 故选 ACD. 【答案】ACD 变式6（单选·★★★☆☆） 已知函数的最小正周期为，将所有的正零点按从小到大的顺序排列得到数列，则数列的前12项的和为（ ） A. B. C. D. 【提示】本题化为 后由周期 得 ,属三角函数性质与数列求和的综合:相邻正零点间隔依次为 循环,前 项分成 组,每组第 组和为 ,合计 .系统解法见三角专题. 【答案】A 三、对称·周期·奇偶的交汇 1. 三条”翻译”规则. ①(或 ) 图象关于直线 对称;② 关于点 对称;③ 周期为 .含参数的(如 为奇函数),先整体替换:对称中心/轴在括号内使式子为零的位置—— 为奇函数 关于点 对称,即 . 2. 两个对称推出周期. 一条轴 加一个中心 :周期为 ;两条轴 、:周期为 ;两个中心:周期为 .推导都靠连续两次代入. 3. 周期函数求值与求和. 先用 把大自变量拉回基础区间;数列求和按”一个周期内各位置函数值的和”乘以周期数,再补余项. 【通法】对称翻译: 是轴 ; 是中心 . 【通法】组合出周期:轴+中心相距 则周期 ;两轴或两中心相距 则周期 . 【通法】抽象函数求 型:化归到基础区间,再按周期拉回. 例10（多选·★★★☆☆） 已知函数和均为上的偶函数，则（ ） A. 在单调递增 B. C. D. 【切入点】 的表达式里含未知的 ,直接看不出来.抓住” 是偶函数”这一条件,写出 ,把 解出来. 由 : 移项得 ,约分得 逐一检验: A.,当 时导数为 ,递增,正确; B.,不恒 ,错误; C.,正确; D.,错误. 故选 AC. 【答案】AC 例11（单选·★★★★☆） 若定义在上的函数满足，是奇函数，，设函数，则 = （ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【切入点】 即 ,说明周期为 ; 是奇函数,即 关于点 对称.要算的 ,关键是把 逐个求出. 由 为奇函数:,换元 ,得 于是::取 ,则 ,得 ; ; ; . 所以 故选 A. 【答案】A 例12（单选·★★★★☆） 已知函数和的定义域均为.若是奇函数，是偶函数，且，则 = （ ） A. B. C. D. 【切入点】要求 ,需要两层:先由 为偶函数把 转成 ,再在关系式 中选合适的 值把 和 串起来. 第一步: 为奇函数 关于点 对称 . 第二步:在关系式中取 :,得 ;由 为偶函数,. 第三步:取 :,得 . 第四步: 为奇函数给出 ,取 :. 于是 .故选 D. 【关键】抽象函数求值的关键是选点代入:利用对称性把目标自变量(、)与关系式中”好算”的 (如 )挂上钩,一次代入解一个未知值. 【答案】D 变式7（单选·★★★☆☆） 若定义在 上的函数 满足 为奇函数， 为偶函数，且 ，则 = （ ） A. -1 B. 0 C. 1 D. 解: 为奇函数 关于点 对称,即 ; 为偶函数 关于直线 对称,即 . 联立两条对称关系可推 ,周期为 . 于是 以 为周期循环( 三个一循环). 由 ;由对称轴 得 ,而取 代入 得 ,故 ,即 ;再由 得 . 一个周期内和为 . ,故总和 .故选 B. 【答案】B 变式8（单选·★★★☆☆） 已知函数的定义域为，若满足为偶函数，且为奇函数，则下列选项一定正确的是（ ） A. B. C. D. 解: 为偶函数 关于直线 对称,即 ; 为奇函数 关于点 对称,即 . 取 代入第二式:,故 ; 取 :第二式给 ;第一式取 :; 取 :第一式给 ,于是 ,即 .故选 C. 【答案】C 变式9（单选·★★★★☆） 已知函数和的定义域均为，且为偶函数，为奇函数，若，均有，则 = （ ） A. 575 B. 598 C. 621 D. 624 【切入点】求 ,把两个对称条件”翻译”到 与 之间的关系: 为偶函数给出 ,故 ; 为奇函数给出 ,故 . 在 中: 取 :; 取 :,即 . 又 . 三式联立:前两式相减得 ;与 相加得 ,从而 ,. 故 .故选 C. 【答案】C 变式10（多选·★★★★☆） 已知函数是定义在R上的奇函数，且满足，当时，，则下列结论正确的是（ ） A. 的图象关于直线对称 B. C. 在区间上单调递增 D. 当时，方程的所有解的和为 解:A.,由奇函数性质 ,又 ,故 ,图象关于直线 对称,正确; B.,错误; C.周期为 , 恰为一个周期,起始位置对应 段, 在其上连续且单调递增,正确; D.每个周期段 内方程有两个解 与 ,和为 ; 含 共 组,和为 ,再加 内的解 ,总计 ,错误. 故选 AC. 【答案】AC 变式11（多选·★★★★☆） 已知定义在上的偶函数满足，设在上的导函数为，则（ ） A. B. C. D. 【切入点】 说明 关于点 对称,且可推出 ,进而周期为 ;而 的性质由求导继承. 对 两边求导,得 ,故 ,周期为 ; 又 为偶函数,则 为奇函数,. A.,故 ;对 求导得 ,取 得 ,故 ,即 ,正确; B. 的值无法由对称性与奇偶性唯一确定,错误; C.由 求导得 ,正确; D.一个周期内 (由 配对:,,),且 、; ,故总和 ,正确. 故选 ACD. 【答案】ACD 学科网（北京）股份有限公司 $