第8讲 抽象函数与函数方程 讲义-2027届高三数学二轮专题复习

该高中数学讲义聚焦抽象函数与函数方程高考核心考点，按赋值求值、性质推导、单调性判断、递推迭代、新定义函数五大模块系统梳理，通过考点清单（如万能赋值点、条件翻译表）、方法指导（代换方程组、双对称出周期）、分层真题训练（例题+变式题），帮助学生构建从基础到综合的解题体系。 资料以“问题类型-方法模型-素养提升”为主线，创新设计“洗包装”构造、嵌套去壳等解题技巧，通过奇偶周期推导培养数学思维（推理能力），以新定义函数翻译强化数学语言（模型观念）。设置基础到压轴难度的变式题，配合即时方法总结，助力学生高效突破抽象函数难点，为教师把控复习节奏提供精准教学资源。

第8讲 抽象函数与函数方程 赋值法求值·函数方程推性质·抽象模型与单调性·递推与迭代·新定义函数 一、赋值法:给值求值与求解析式 1. 抽象函数是什么. 不给解析式,只给一个方程(如 )或若干性质;全部信息都藏在方程里,解题动作只有两个——赋值与变形. 2. 万能赋值点清单. 令 求 ;令 得一元递推;令 把 挂进来;令 试奇偶;令 得 .目标是 ,就想”哪个特殊值能让括号里出现它”. 3. 两大模型要背. 加法型 ⟹ ;乘法型 ⟹ ( 为正整数).证明都用数学归纳法或逐次递推. 4. 代换方程组. 方程同时出现 与 时,换元 再写一条方程,联立消元解出 . 【通法】见“对任意 ”先赋值:、、、 是四个万能起点. 【通法】大自变量(2025)不慌:先找周期或建立 的递推、解析式,再回代. 【通法】代换型:换元再写一条方程,消元即得. 例1（单选·★★★☆☆） 是定义在上的函数，满足对都成立，则 = （ ） A. B. C. D. 【切入点】方程里 与 成对出现:先用特殊值 把 全部解出来,再令 收网. :;:,两式相减得 ; :. 三条联立,设 、: 且 ,解得 . :,故 ,得 .故选 B. 【关键】“代换方程组”的本质:让 取遍 ,每代一次就多一条方程;方程够了, 在这些点的值就被唯一锁死. 【答案】 例2（单选·★★★☆☆） 已知函数的定义域为，，，则 = （ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【切入点】含 的方程,先令 、 各探一条性质,再令 建立对称. :,得 , 是奇函数; :,而 不恒为零(如 时为 ),故 ; :,即 ,图象关于直线 对称. 奇函数 + 轴 ⟹ ,即 ,周期为 . 所以 .故选 C. 【通法】“和差方程”三连赋值: 给奇偶、 给特殊值、 = 常数给对称;对称与奇偶一联手,周期自动出现.本题模型 可作全程检验. 【答案】C 变式1（单选·★★★☆☆） 已知函数满足对且，则的值为（ ） A. 1012 B. 1012.5 C. 1013 D. 1013.5 【切入点】 是”伪装的常数”:令 得 ,令 得 与 的关系. :,故 ; :.记 ,则 从每个整数到下一个都增加常数 , 取 :,由 得 ,故 . 所以 .故选 B. 【易错】两边约去 必须说明 ,这正是题设”“的用途;求完再用 代回原方程验一遍,防止”推出的”与”真满足的”不一致. 【答案】B 变式2（单选·★★★☆☆） 已知定义在上的函数满足对于任意实数x，y均有，且，则 = （ ） A. 675 B. 1350 C. 2025 D. 4050 【切入点】 中令 :左边变 ,右边留 ,二元立刻降为一元. 令 :,即 ,. 代入 :,得 ,故 . 所以 .故选 D. 【关键】看见 这种”乘法宗量”,优先令一个变元为 ——它把宗量打成另一个变元本身. 【答案】D 变式3（填空·★★★☆☆） 已知定义在R上的函数满足且，则 = ________． 【切入点】令 得差分:,这是一个”差为递增整数”的累加. . 于是 ,,,, 故 . 【关键】“加 项”的加法型,固定 后交叉项退化为 ,差分立刻可累加;结果 就是二次函数 ,它与条件完全相容. 【答案】 变式4（单选·★★★☆☆） 已知函数的定义域为，，，，且，则（ ） A. B. C. D. 【切入点】把 读成 :原方程即 ,标准乘法型;结合 得模型 . 中以 代 :. :,由 知 不恒为零,故 ; :,故 ; . 逐项清点:A:,错;B:,错;C:(因 ),错;D:,对.故选 D. 【易错】乘法型下 恒正(),这条”恒正”是判断 C、D 的隐藏台阶,别只盯着整数点. 【答案】D 二、函数方程推性质:奇偶·对称·周期 1. 条件翻译表(务必默写). ⟹ 周期 ; ⟹ 周期 ;(即 )⟹ 关于直线 对称; ⟹ 关于点 中心对称. 2. 复合宗量的对称翻译. “ 是奇函数”即 :把两个宗量求平均得 ,所以 关于点 中心对称.口诀:括号里两个宗量取平均,横坐标就是对称轴(心). 3. 双对称出周期. 两个对称中心相距 ⟹ 周期 ;两条对称轴相距 ⟹ 周期 ;一条对称轴与一个对称中心相距 ⟹ 周期 .第3讲的结论,这里全部改用方程形式落地. 4. 求和先周期化. 遇 或 :先用周期把大数折回已知区间,再用奇偶把负数翻到正半轴,最后才代入已知的表达式. 【通法】每拿到一条方程,先翻译成“轴 / 中心 / 周期”标签,再串联推理. 【通法】复合宗量条件:括号内两宗量取平均,即得对称位置. 【通法】大数求值两步走:先 mod 周期,再用奇偶翻转. 例3（单选·★★☆☆☆） 已知函数为上的偶函数，且满足，当时，，则 = （ ） A. B. 1 C. D. 2 【切入点】 配上偶函数 ,立刻化成周期. 由偶函数,,故 ,周期为 . 故选 C. 【关键】 单独看是对称,一旦知道 的奇偶性,它就升级为周期——“对称 + 奇偶 ⟹ 周期”是本讲最常用的组合拳. 【答案】C 变式5（单选·★★★☆☆） 已知是定义在上的奇函数，，且，则 = （ ） A. 4 B. 2 C. 0 D. 【切入点】 即 ,升级为 ,周期 ;再逐个定出 . ⟹ 周期 ;又 令 :,奇函数给 ,故 . ; 一个周期内 . ,故所求和为 .故选 D. 【易错】 别漏;求和时先算”一个整周期的和”,剩下的零头再单独算,次序不能乱. 【答案】D 变式6（单选·★★☆☆☆） 已知定义域为的函数满足，且为奇函数，则一定有（ ） A. B. C. D. 【切入点】两条方程分别翻译: 是”对称”,“ 为奇函数”按宗量取平均是 关于 对称. 为奇函数:,两宗量 与 的平均是 ,故 取 :,得 ; 又 ,结合上式:,即 . 故 .故选 C. 【易错】“ 是奇函数”说的是整体 ,不是 关于原点对称;对称中心在宗量中点 处. 【答案】C 变式7（单选·★★☆☆☆） 已知定义在上的函数满足，且是奇函数，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【切入点】 换元写成 ,周期 ; 为奇函数翻译成 关于 对称. 为奇函数:,即 关于点 中心对称,故 ,A 正确; 中心对称给 ;周期式给 ,故 ,B 正确; (取 ),(取 ),故 ,C 正确; ,D 错误. 题目选错误项,故选 D. 【关键】周期 来自 用两次:四个点的函数值构成 的交替,减半看就是周期 的”反号镜面”. 【答案】D 变式8（多选·★★★☆☆） 已知是定义在上的函数，对任意，满足，，若时，，则下列说法正确的是（ ） A. 是奇函数 B. ， C. D. 在区间上，有2027个零点 【切入点】两条对称方程分别翻译成”中心对称”,双中心推周期;分段表达式用对称翻转迁移到 . :关于 中心对称,即 ; :令 即 ,关于 中心对称. 两中心相距 ⟹ 周期 :由 验证无误. A:, 是奇函数,正确; B:对称翻转 (),而 时 ,故 ,正确; C:一个周期内 ,共 个整周期,余下 ,和不等于 ,错误; D:零点只出现在整数处: 时 给 ; 时 给 .周期延拓后 上的零点恰为整数 ,共 个,正确. 故选 ABD. 【关键】周期求和用”整周期清零 + 零头单独算”;数零点时先证”零点只能是整数”,再用周期清点——两件事都别企图硬算 项. 【答案】ABD 变式9（填空·★★★★☆） 已知定义在上的偶函数满足，且时，，若是的一个零点，则a的值为____________． 【切入点】 配偶函数 得周期 ;把 折回 . 由 ,周期为 . 由偶函数 ,再由周期 . ,故 ,得 ,即 . 【易错】 不在已知区间 里,要靠”偶翻转 + 周期平移”两步搬进去:,一步都不能省. 【答案】 变式10（单选·★★★★☆） 已知定义在上的偶函数，满足，且当时，若，，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【切入点】 即周期 ;把三个自变量全部压进 ,再用 的单调性比大小. ——周期把 折到 ,偶函数再翻到 ; ; ,故 ,而 ,由偶函数 比较指数:,故 ;又 最小.所以 .故选 C. 【通法】周期 + 奇偶是”搬运工”:任何大数、负数先搬进已知段;剩下的就是比较 的指数大小,不急不躁逐个算. 【答案】C 三、抽象模型与单调性 1. 加法型判单调. 时,:只要知道” 时 的正负”,单调性立刻落地—— 时 ⟹ 递增; 时 ⟹ 递减. 2. 三个”洗包装”的构造. 常数项: ⟹ 令 ;权系数: ⟹ 令 ;交叉项: ⟹ 拆出 .洗完全部回到标准加法型. 3. 结构识别. 是指数型; 是正切和角公式的抽象化; 是正弦和角公式的抽象化.识破结构,函数值立刻具体化. 4. 多选防坑. “ 是增函数”“ 无最值”这类选项,需要符号条件或连续性作支撑;只凭函数方程推不出正负号时,它往往就是错项——找反例或直说”条件不足”. 【通法】判单调一句话:作差 ,符号由已知条件继承. 【通法】见到“系数不齐”先构造:平移洗常数、除权洗系数、配凑洗交叉项. 【通法】多选压轴:能推导的推导到底,推不动的找特值反例. 例4（多选·★★★☆☆） 已知定义在R上的函数，满足对任意的实数x，y，均有，且当时，，则（ ） A. B. C. 函数为减函数 D. 函数的图象关于点对称 【切入点】常数项 用平移洗掉:令 ,则 ,标准加法型;条件” 时 “变成” 时 “. A::,故 ,即 ,正确; B:,故 ,,错误; C: 时 (), 递减, 递减,正确; D:, 是奇函数,图象关于原点对称,上移 后 关于点 对称,正确. 故选 ACD. 【通法】加法型的”减函数”证明只写一行:;对称中心随平移同步移动:原点对称上移 个单位变 . 【答案】ACD 变式11（单选·★★★☆☆） 已知函数的定义域为，，，且，则（ ） A. B. C. D. 【切入点】 是指数型, 指向模型 ;先用赋值把 A、B 清掉. :,因 知 不恒为零,故 ,A 错; ,故 ,B 错; 恒正:,故 ,C 正确; D:,而 ,由 得 ,与选项的不等号方向相反,错. 故选 C. 【关键】乘法型的隐藏台阶” 恒正”再次出场:它既救活 C,也判死 D——两个选项全靠它. 【答案】C 变式12（多选·★★★★☆） 已知函数的定义域为，，，则（ ） A. B. 是增函数 C. D. 【切入点】两侧的 权系数用除法洗掉:令 ,则 标准加法型,且 . A::,故 ,正确; B:加法型只保证” 时 的正负决定增减”,题目没有给符号条件或连续性,推不出 递增,错误; C:整数点直接递推:,归纳得 ,故 ,正确; D:错位相减:记 ,则 两式错位相减(,同指数对齐): 而 ,故 ,正确. 故选 ACD. 【易错】B 是经典陷阱:“加法型 + 一点函数值”推不出单调性,必须另有” 时 的符号”或连续性;数学系里那些病态加法函数就是反例来源. 【答案】ACD 变式13（多选·★★★★☆） 已知函数的定义域为，其图象是一条连续不断的曲线，且对于任意实数，恒有，若，则（ ） A. B. 是奇函数 C. 是的必要不充分条件 D. 的零点个数为3 【切入点】交叉项 对 对称——令 它直接消失,奇偶性一步到手. :,得 ; :,故 , 是奇函数,B 正确,,A 正确; :;一般地 故 或 .于是”“能推出结论(充分),但 也使结论成立(不必要)—— 是充分不必要条件,C 说反了,错误; D:取模型 :由 ,逐项验算得 ,且 ,全部条件吻合;其零点满足 ,即 ,共 个,正确. 故选 ABD. 【关键】“充要条件”类选项先把结论解出来再判方向;识别出 这个模型后,零点个数一眼看穿——对称交叉项几乎总在暗示某个具体多项式. 【答案】ABD 变式14（多选·★★★☆☆） 已知函数的定义域为R，当时，，且对于任意的，都有，则（ ） A. B. 为偶函数 C. 当时， D. 当时， 【切入点】 是正切和角公式的抽象化;不识破也能做——全用赋值与”凑宗量”. A:(满足 ):,故 ,正确; B:取 :, 是奇函数,不是偶函数,错误; C: 时 ,由条件 、,故 ,正确; D:先证 在 递增:任取 ,构造 ,验证 且 ,故 ;而 给 ,所以 .于是 时 ⟹ ,正确. 故选 ACD. 【关键】“凑宗量”是抽象方程里的万能扳手:想要 ,就去找一个 使 经运算恰好合成 ;正切结构下 是现成答案. 【答案】ACD 变式15（多选·★★★★☆） 已知定义域与值域均为的函数满足，，，且，则（ ） A. B. C. ，是奇函数 D. ，满足 【切入点】两层嵌套 先用特例 与 剥掉,再把原方程化成加法型. :,故 ,A 正确; :,即 ; 代回原方程:,令 ( 可取任意实数): 令 ,则 ,加法型,; B:,而 给 ,得 ,故 ; C: 是加法型,自动满足 (奇函数),即 存在,正确; D:,取 :,正确. 故选 ACD. 【通法】嵌套方程的剥壳次序:先特例()拿具体值,再一般化()拆掉外层 ,最后换元化成加法型;常数项 用 洗掉,与洗 方向相反. 【答案】ACD 四、递推型方程与迭代 1. 递推三式. :每平移 累加 ,等差式增长;:等比式放大; 型:移项成二阶递推 ,老老实实列出前几项,周期自然现形. 2. 裂项模板. 型:两边同除 ,令 ,右边出现 ,裂项相消. 3. 嵌套去壳. 递增时,:若 ,则 ,矛盾; 同理.单调性是嵌套方程的解套钥匙. 4. 迭代周期化. 形如 的迭代,换元 后出现 ,由 再迭代一次就锁定周期. 【通法】递推求值:乘除一个因子构造 ,让 变成等差、等比或裂项. 【通法】二阶递推:列 到 ,周期自己现形,不要硬猜. 【通法】嵌套方程:先验单调,再脱壳. 例5（单选·★★★☆☆） 对于任意，，且，则 = （ ） A. B. 1 C. 2025 D. 4049 【切入点】 与 各带一个系数,两边同除 ,让 的系数齐次化. 令 ,则 ,裂项相消累加( 从 到 ): 故 .验算: 满足原方程, ✓. 所以 .故选 D. 【通法】“系数不齐”的递推,除以宗量的连线函数 是标准起手;裂项相消后,通项 应当代回原方程验根. 【答案】D 变式16（单选·★★☆☆☆） 已知函数满足，当时，，则 = （ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 18 【切入点】 是等比放大:每往回退 个单位,函数值折半;把 退回 . 由 得 (连用 次). ,且 ,取 : 故选 C. 【关键】退到基础区间后,指数上的对数用 化掉;先判 落在哪个单位区间,再定退几步. 【答案】C 变式17（单选·★★★☆☆） 函数满足：，若，，则 = （ ） A. 1 B. C. 5 D. 【切入点】移项成二阶递推 ,设 、,列出前七项找周期. 周期为 .由 得 ; ,故 .故选 D. 【易错】 对应周期内第 项不是第 项;,两个余数别搞混.二阶线性递推的周期上界是 ,列到 见到 才算证毕. 【答案】D 变式18（多选·★★★★☆） 已知对于任意非零实数，函数均满足，，下列结论正确的有（ ） A. B. 关于点中心对称 C. 关于轴对称 D. 【切入点】两条方程的宗量 与 在指数坐标下是平移:令 ,则 、. 由题意:(关于直线 对称); (关于点 中心对称). A:取 :,故 ,正确; B: 即 关于 中心对称,正确; C:(用轴 的 ),而 (用中心 ),故 ;模型 同时满足两条对称(可验证),其 ,即 不关于 对称,错误; D:对称轴 与对称中心 相距 ,由第3讲结论得周期 ;再算值:,又 得 ,而 ,故 ,和为 ,正确. 故选 ABD. 【关键】 的嵌套关系在换底 后变成左右平移——对数坐标是把”倒数宗量”拉直的标准手段;两条对称链复合出周期 . 【答案】ABD 变式19（单选·★★★★☆） 已知函数的定义域为，当时，，对任意，有．若是增函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【切入点】递推 把定义域切成 每段形状相同、纵向缩放 倍;“增函数”就是段内递增 + 段间衔接不回落. 段内: 的导数 ,递增 ✓(缩放 后同理). 衔接:在 上 ,左端上确界()为 ,右段起点值为 递增要求 ,即 (由 取正值知 ). 故选 D. 【易错】衔接比较的是”左段的上确界”( 处取不到)与”右段的起点值”: 而 ,粗心算成 就会错选 A、B. 【答案】D 变式20（填空·★★★☆☆） 若定义在上的函数满足，则的最大值是______． 【切入点】根号内 给出 ,从而 ;换元 把迭代洗成半角形式. 迭代两次: 再迭代一次 ,故 的周期为 , 也是周期 . 于是 ,所求即 . 设 ,则 , 此时 . 【关键】 迭代两次必出 ,而 再迭代就是周期——“迭代出绝对值”是周期化的信号;最后的 用一次求导收尾,驻点 在定义域内,端点值 更小. 【答案】 变式21（填空·★★★☆☆） 设函数，若方程在区间上有解，则实数的取值范围为______. 【切入点】 时 在 递增();单调函数是嵌套方程的解套钥匙. :若 ,由 递增得 ,矛盾;若 ,同理 ,矛盾. 故 ,即 令 ,:在 递减、 递增; ,,, 值域为 ,这就是 的取值范围. 【关键】“单调 ⟹ 等价于 ”这一步夹逼论证,把嵌套问题降维;端点 不是巧合,来自 . 【答案】 五、新定义函数 1. 新定义题的读法. 定义给的是新记号、新运算或新常数;第一件事是翻译——把新记号代两个具体值,写出具体例子,看清它”其实是”什么. 2. 三类常客. 分段拼合型(如”真指数”,本质是分段函数,按定义域逐段验证);计数递推型( 与 的关系,作差找规律);隐零点常数型(把某方程的解记为常数,一切性质都从定义方程推). 3. 选项判断的次序. 先代特值排除明显错项;再对存留项按定义推导;含”最值”的选项必须检查取等条件与端点行为. 【通法】新定义 = 旧知识 + 翻译;先算两个特例,再谈一般. 【通法】选项含具体数值:直接代入检验,最快. 【通法】隐常数的性质全部来自定义方程:移项、取对数、换底. 例6（单选·★★★☆☆） 定义”真指数”(为自然对数的底数),则（ ） A. B. C. D. 【切入点】“真指数”就是分段函数: 时恒取 , 时是 .判断四条运算律,逐条代特值. A:取 :,而 ,错; B:取 :,而 ,错; C:分三类.双正:即 ,均值不等式 ✓;双负:即 ✓;一负一正():若 ,右端为 ,不超过 ✓;若 ,由 得右端小于 ,后者由均值不等式不超过 ✓.恒成立,正确; D:取 :,而 ,错. 故选 C. 【易错】“分段定义”破坏运算律的方式很隐蔽: 落在不同段时指数法则会漏底.判断恒成立命题必须分类完整——三种符号组合一个都不能少. 【答案】C 变式22（多选·★★★★☆） 我们把半径相等的圆称为等圆.在平面上过同一点有个等圆，其中任何两个圆都有两个不同的交点，但任何三个圆除点外无其它公共点，记这个等圆共有个交点，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 存在，使得 D. 任意且，都有 【切入点】把”交点数”翻译成组合计数:每两个圆恰有一个 之外的交点,且条件”任何三个圆除 外无公共点”保证不同圆对的交点互不重合. 个圆共 对,每对贡献 个新交点,再加公共点 本身: A: ✓;B: ✓; C: 即 ,,判别式 不是完全平方数,无整数解,错; D: ✓. 故选 ABD. 【通法】计数型新定义:先写 的封闭式(或递推式 ),选项全部化为代数运算;“存在 使 ”就是判别式问题. 【答案】ABD 变式23（多选·★★★★☆） 我们把方程的实数解称为欧米加常数，记为，和一样，都是无理数，还被称为在指数函数中的“黄金比例”.下列有关的结论正确的是（ ） A. B. C. ，其中 D. 函数的最小值为 【切入点】 满足定义方程 ;一切性质都从这里出发:取对数得 ,两边除以 得 . A:设 递增,,,故 ,正确; B: 两边取对数得 ,即 ;于是 正确; C: 时 ,于是 正确; D:数值检验:, 而 ,故最小值不在 处,错误. 故选 ABC. 【关键】隐常数的选项判断=定义方程的变形接力: 一条式子,取对数、取倒数、换底,连出 B、C 两问;含最值的选项,两个具体函数值的大小比较就够否证. 【答案】ABC 学科网（北京）股份有限公司 $ 第8讲 抽象函数与函数方程 赋值法求值·函数方程推性质·抽象模型与单调性·递推与迭代·新定义函数 一、赋值法:给值求值与求解析式 1. 抽象函数是什么. 不给解析式,只给一个方程(如 )或若干性质;全部信息都藏在方程里,解题动作只有两个——赋值与变形. 2. 万能赋值点清单. 令 求 ;令 得一元递推;令 把 挂进来;令 试奇偶;令 得 .目标是 ,就想”哪个特殊值能让括号里出现它”. 3. 两大模型要背. 加法型 ⟹ ;乘法型 ⟹ ( 为正整数).证明都用数学归纳法或逐次递推. 4. 代换方程组. 方程同时出现 与 时,换元 再写一条方程,联立消元解出 . 例1（单选·★★★☆☆） 是定义在上的函数，满足对都成立，则 = （ ） A. B. C. D. 例2（单选·★★★☆☆） 已知函数的定义域为，，，则 = （ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 变式1（单选·★★★☆☆） 已知函数满足对且，则的值为（ ） A. 1012 B. 1012.5 C. 1013 D. 1013.5 变式2（单选·★★★☆☆） 已知定义在上的函数满足对于任意实数x，y均有，且，则 = （ ） A. 675 B. 1350 C. 2025 D. 4050 变式3（填空·★★★☆☆） 已知定义在R上的函数满足且，则 = ________． 变式4（单选·★★★☆☆） 已知函数的定义域为，，，，且，则（ ） A. B. C. D. 二、函数方程推性质:奇偶·对称·周期 1. 条件翻译表(务必默写). ⟹ 周期 ; ⟹ 周期 ;(即 )⟹ 关于直线 对称; ⟹ 关于点 中心对称. 2. 复合宗量的对称翻译. “ 是奇函数”即 :把两个宗量求平均得 ,所以 关于点 中心对称.口诀:括号里两个宗量取平均,横坐标就是对称轴(心). 3. 双对称出周期. 两个对称中心相距 ⟹ 周期 ;两条对称轴相距 ⟹ 周期 ;一条对称轴与一个对称中心相距 ⟹ 周期 .第3讲的结论,这里全部改用方程形式落地. 4. 求和先周期化. 遇 或 :先用周期把大数折回已知区间,再用奇偶把负数翻到正半轴,最后才代入已知的表达式. 例3（单选·★★☆☆☆） 已知函数为上的偶函数，且满足，当时，，则 = （ ） A. B. 1 C. D. 2 变式5（单选·★★★☆☆） 已知是定义在上的奇函数，，且，则 = （ ） A. 4 B. 2 C. 0 D. 变式6（单选·★★☆☆☆） 已知定义域为的函数满足，且为奇函数，则一定有（ ） A. B. C. D. 变式7（单选·★★☆☆☆） 已知定义在上的函数满足，且是奇函数，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 变式8（多选·★★★☆☆） 已知是定义在上的函数，对任意，满足，，若时，，则下列说法正确的是（ ） A. 是奇函数 B. ， C. D. 在区间上，有2027个零点 变式9（填空·★★★★☆） 已知定义在上的偶函数满足，且时，，若是的一个零点，则a的值为____________． 变式10（单选·★★★★☆） 已知定义在上的偶函数，满足，且当时，若，，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 三、抽象模型与单调性 1. 加法型判单调. 时,:只要知道” 时 的正负”,单调性立刻落地—— 时 ⟹ 递增; 时 ⟹ 递减. 2. 三个”洗包装”的构造. 常数项: ⟹ 令 ;权系数: ⟹ 令 ;交叉项: ⟹ 拆出 .洗完全部回到标准加法型. 3. 结构识别. 是指数型; 是正切和角公式的抽象化; 是正弦和角公式的抽象化.识破结构,函数值立刻具体化. 4. 多选防坑. “ 是增函数”“ 无最值”这类选项,需要符号条件或连续性作支撑;只凭函数方程推不出正负号时,它往往就是错项——找反例或直说”条件不足”. 例4（多选·★★★☆☆） 已知定义在R上的函数，满足对任意的实数x，y，均有，且当时，，则（ ） A. B. C. 函数为减函数 D. 函数的图象关于点对称 变式11（单选·★★★☆☆） 已知函数的定义域为，，，且，则（ ） A. B. C. D. 变式12（多选·★★★★☆） 已知函数的定义域为，，，则（ ） A. B. 是增函数 C. D. 变式13（多选·★★★★☆） 已知函数的定义域为，其图象是一条连续不断的曲线，且对于任意实数，恒有，若，则（ ） A. B. 是奇函数 C. 是的必要不充分条件 D. 的零点个数为3 变式14（多选·★★★☆☆） 已知函数的定义域为R，当时，，且对于任意的，都有，则（ ） A. B. 为偶函数 C. 当时， D. 当时， 变式15（多选·★★★★☆） 已知定义域与值域均为的函数满足，，，且，则（ ） A. B. C. ，是奇函数 D. ，满足 四、递推型方程与迭代 1. 递推三式. :每平移 累加 ,等差式增长;:等比式放大; 型:移项成二阶递推 ,老老实实列出前几项,周期自然现形. 2. 裂项模板. 型:两边同除 ,令 ,右边出现 ,裂项相消. 3. 嵌套去壳. 递增时,:若 ,则 ,矛盾; 同理.单调性是嵌套方程的解套钥匙. 4. 迭代周期化. 形如 的迭代,换元 后出现 ,由 再迭代一次就锁定周期. 例5（单选·★★★☆☆） 对于任意，，且，则 = （ ） A. B. 1 C. 2025 D. 4049 变式16（单选·★★☆☆☆） 已知函数满足，当时，，则 = （ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 18 变式17（单选·★★★☆☆） 函数满足：，若，，则 = （ ） A. 1 B. C. 5 D. 变式18（多选·★★★★☆） 已知对于任意非零实数，函数均满足，，下列结论正确的有（ ） A. B. 关于点中心对称 C. 关于轴对称 D. 变式19（单选·★★★★☆） 已知函数的定义域为，当时，，对任意，有．若是增函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 变式20（填空·★★★☆☆） 若定义在上的函数满足，则的最大值是______． 变式21（填空·★★★☆☆） 设函数，若方程在区间上有解，则实数的取值范围为______. 五、新定义函数 1. 新定义题的读法. 定义给的是新记号、新运算或新常数;第一件事是翻译——把新记号代两个具体值,写出具体例子,看清它”其实是”什么. 2. 三类常客. 分段拼合型(如”真指数”,本质是分段函数,按定义域逐段验证);计数递推型( 与 的关系,作差找规律);隐零点常数型(把某方程的解记为常数,一切性质都从定义方程推). 3. 选项判断的次序. 先代特值排除明显错项;再对存留项按定义推导;含”最值”的选项必须检查取等条件与端点行为. 例6（单选·★★★☆☆） 定义”真指数”(为自然对数的底数),则（ ） A. B. C. D. 变式22（多选·★★★★☆） 我们把半径相等的圆称为等圆.在平面上过同一点有个等圆，其中任何两个圆都有两个不同的交点，但任何三个圆除点外无其它公共点，记这个等圆共有个交点，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 存在，使得 D. 任意且，都有 变式23（多选·★★★★☆） 我们把方程的实数解称为欧米加常数，记为，和一样，都是无理数，还被称为在指数函数中的“黄金比例”.下列有关的结论正确的是（ ） A. B. C. ，其中 D. 函数的最小值为 学科网（北京）股份有限公司 $