第06讲 高考集合题型专练讲义（思维导图+知识要点+解题技巧+题型归纳+配套习题）-2026-2027年高中数学复习集合专题（全国通用）

该高中数学高考复习讲义聚焦集合核心考点，涵盖元素关系、集合运算、参数取值、充分必要条件等11类题型，按基础到综合逻辑架构知识体系。通过题型梳理、数轴法指导、真题训练等环节，帮助学生构建集合问题的解题框架，突破抽象关系分析难点。 资料以数轴法为核心突破策略，将抽象集合关系转化为直观数轴表示，培养学生数学思维（推理能力）和数学语言（符号表达）。设置从基础判断到综合参数问题的分层练习，配合即时方法总结，确保高效提升学生集合问题的解题能力，为教师把控复习节奏提供系统支持。

第05讲 数轴法解集合问题专练 目 录 题型01：元素与集合关系的判断 1 题型02：集合的表示法 1 题型03：集合的基本关系 2 题型04：集合的包含关系判断及应用 2 题型05：子集与真子集 3 题型06：集合关系中的参数取值问题 4 题型07：交集及其运算 7 题型08：交、并、补集的混合运算 9 题型09：充分条件与必要条件 13 题型10．一元二次不等式及其应用 14 题型11．区间与无穷的概念 15 题型01：元素与集合关系的判断 1．设集合S，T，S⊆N•，T⊆N•，S，T中，至少有两个元素，且S，T满足：①对于任意x，y∈S，若x≠y，都有xy∈T；②对于任意x，y∈T，若x＜y，则．若S有4个元素，则S∪T有 　　个元素． 【分析】可根据题意设出S＝{2，4，8，16}，T＝{8，16，32，64，128}，然后进行并集的运算求出S∪T，从而可得出S∪T中的元素个数． 【解答】解：根据题意设S＝{2，4，8，16}，T＝{8，16，32，64，128}， ∴S∪T＝{2，4，8，16，32，64，128}， ∴S∪T的元素个数为7． 故答案为：7． 【点评】本题考查了子集的定义，列举法的定义，并集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题． 题型02：集合的表示法 （多选）2．给定数集M，若对于任意a、b∈M（b≠0），有a•b∈M且，则称集合M为封闭集合．则下列说法中正确的是（　　） A．集合不是封闭集合 B．有理数集是封闭集合 C．无理数集是封闭集合 D．若集合A1、A2为封闭集合，且A1⊆R，A2⊆R，则A1∩A2也是封闭集合 【分析】M为封闭集合的定义是集合中的任意两个元素的乘法、除法运算后得到的数仍然是该集合的元素． 【解答】解：对于A：当a＝b＝时，ab＝×＝∉M，故集合不是封闭集合，故A正确； 对于B：任意两个有理数集相乘和相除（除数不为0之外）结果均为有理数，故有理数集是封闭集合，故B正确； 对于C：当a＝，b＝时，ab＝2为有理数，则无理数集不是封闭集合，故C错误； 对于D：集合A1、A2为封闭集合，则集合的元素都满足封闭集合的定义，则交集一定满足其定义，故也为封闭集合，故D正确． 故选：ABD． 【点评】本题考查了新定义“封闭集合”的判定与应用，考查了推理能力，属于中档题． 题型03：集合的基本关系 3．已知集合A＝{x|x＜4}，B＝{x|＜3}，则下列判断正确的是（　　） A．﹣2∉A B．∈B C．B⊆A D．A∩B＝{x|x＜4} 【分析】化简集合B，根据元素与集合，集合与集合的关系逐一判断即可． 【解答】解：A＝{x|x＜4}，B＝{x|＜3}＝{x|0≤x＜9}， 对于A，﹣2∈A，A错误； 对于B，∈B，B正确； 对于C，B⊈A，C错误； 对于D，A∩B＝{x|0≤x＜4}，D错误． 故选：B． 【点评】本题考查元素与集合，集合与集合之间的关系，是基础题． 题型04：集合的包含关系判断及应用 4．已知集合A＝{x|﹣1＜x＜6}，B＝{x|2＜x＜3}，则（　　） A．A∈B B．A⊆B C．A＝B D．B⊆A 【分析】由集合间的包含关系即可解决． 【解答】解：由集合A＝{x|﹣1＜x＜6]，B＝{x|2＜x＜3}， 选项A．A，B两个数集之间应是包含关系不能用属于关系，故不正确． 由条件可得B⊆A，A⊄B，且A≠B，所以选项B，C错误，选项D正确． 故选：D． 【点评】本题考查集合间的包含关系，属于容易题． 5．已知M＝{y|y＝x2﹣1}，P＝{y|y＝|x|﹣1}，则集合M与P的关系是（　　） A．M＝P B．P∈R C．M⫋P D．P⫋M 【分析】由x2≥0，可得y＝x2﹣1≥﹣1，由|x|≥0，可得|x|﹣1≥﹣1，再结合选项，得出两个集合的关系． 【解答】解：集合M＝{y|y＝x2﹣1}＝{y|y≥﹣1}， P＝{y|y＝|x|﹣1}＝{y|y≥﹣1}， 即M＝P， 故选：A． 【点评】本题考查集合的相等关系，考查函数的值域，属于基础题． 6．设集合A＝{x|﹣1≤x＜2}，B＝{x|x＜a}，若A⊆B，则a的取值范围（　　） A．a≥﹣1 B．a≥2 C．a＞﹣1 D．﹣1＜a≤2 【分析】把集合的包含关系，利用数轴求解即可． 【解答】解：∵A＝{x|﹣1≤x＜2}，B＝{x|x＜a}，A⊆B， 则画出数轴如下， ∴a≥2， 故选：B． 【点评】本题考查实数集间的运算利用数轴可直观显现，体现数形结合的数学思想． 题型05：子集与真子集 7．集合{x|1＜x＜6，x∈N*}的非空子集个数为 　 　． 【分析】先将集合用列举法表示，求出该集合中元素的个数，再求出非空子集的个数． 【解答】解：{x|1＜x＜6，x∈N*}＝{2，3，4，5} 该集合中含有4个元素， 所以该集合的非空子集有24﹣1＝15． 故答案为：15． 【点评】本题考查集合非空子集个数的求法，是基础题． 8．已知集合A＝{1，2，3，⋯，2n}（n∈N*），对于A的一个子集S，若存在不大于n的正整数m，使得对S中的任意一对元素s1，s2，都有|s1﹣s2|≠m，则称S具有性质P． （1）当n＝10时，试判断集合B＝{x∈A|x＞9}和C＝{x∈A|x＝3k﹣1，k∈N*}是否具有性质P？并说明理由； （2）当时n＝1010，若集合S具有性质P， ①判断集合T＝{2021﹣x|x∈S}是否一定具有性质P？并说明理由； ②求集合中S元素个数的最大值． 【分析】（1）当n＝10时，A＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10⋯，20}，由题中所给新定义直接判断即可； （2）当n＝1010时，A＝{1，2，3，⋯，2019，2020}，m≤1010，（m∈N*） ①根据T＝{2021﹣x|x∈S}，任取t＝2021﹣x0∈T，其中x0∈S，可得1≤2021﹣x0≤2020，利用性质P的定义加以验证 即可说明集合T＝{2021﹣x|x∈S}具有性质P； ②设集合S有k个元素，由（1）可知，任给x∈S，1≤x≤2020，则x与2021﹣x中必有1个不超过1010，从而得到集合S与T中必有一个集合中至少存在一半元素不超过1010，然后利用性质P的定义进行分析即可求得，即，解此不等式得k≤1346． 【解答】解：（1）当n＝10时，集合A＝{1，2，•••，19.20}，B＝{x∈A|x＞9}＝{10，11，12，•••，19，20}不具有性质P， 因为对任意不大于10的正整数m，都可以找到该集合中的两个元素b1＝10与b2＝10+m，使得么|b1﹣b2|＝m成立， 集合C＝{x∈A|x＝3k﹣1，k∈*N}具有性质P， 因为可取m＝1＜10，．对于该集合中任一元素， c1＝3k1﹣1，c2＝3k2﹣1，（k1，k2∈N*），都有|c1﹣c2|＝3|k1﹣k2|≠1， （2）当n＝1010时，集合A＝{1，2，3，⋯，2019，2020}，m≤1010（m∈N*）， ①若集合S具有性质P，那么集合T＝{2021﹣x|x∈S}一定具有性质P． 首先因为T＝{2021﹣x|x∈S}，任取t＝2021﹣x0∈T，其中x0∈S． 因为S⊆A，所以x0∈{1，2，3，⋯，2020}． 从而1≤2021﹣x0≤2020，即t∈A，所以T⊆A． 由S具有性质P，可知存在不大于1010的正整数m， 使得对s中的任意一对元素s1、s2，都有|s1﹣s2|≠m． 对于上述正整数m，从集合T＝{2021﹣x|x∈S}中任取一对元素t1＝2021﹣x1，t2＝2021﹣x2，其中x1，x2∈S，则有|t1﹣t2|＝|s1﹣s2|≠m． 所以，集合T＝{2021﹣x|x∈S}具有性质P； ②设集合S有k个元素，由（1）可知，若集合S具有性质P，那么集合T＝{2021﹣x|x∈S}一定具有性质P． 任给x∈S，1≤x≤2020，则x与2021﹣x中必有一个不超过1010． 所以集合S与T中必有一个集合中至少存在一半元素不超过1010． 不妨设S中有个元素b1、b2、⋯、bt不超过1010． 由集合S具有性质P，可知存在正整数m≤1010． 使得对S中任意两个元素s1、s2，都有|s1﹣s2|≠m． 所以一定有b1+m、b2+m、⋯，bt+m∉S． 又bi+m≤1000+1000＝2000，故b1+m、b2+m、⋯、b1+m∈A． 即集合A中至少有t个元素不在子集S中， 因此，所以，得k≤1346． 当S＝{1，2，⋯，672，673，⋯1347，⋯，2019，2020}时，取m＝673，则易知对集合S中的任意两个元素y1，y2，都有|y1﹣y2|≠673，即集合S具有性质P． 而此时集合S中有1346个元素，因此，集合S元素个数的最大值为1346． 【点评】本题考查元素与集合的关系，考查学生的综合分析能力，属于难题． 题型06：集合关系中的参数取值问题 9．全集U＝R，若集合A＝{x|3≤x＜8}，B＝{x|2＜x≤6}． （1）求A∩B，A∪B； （2）若集合C＝{x|x＞a}，A∪C＝C，求a的取值范围． 【分析】（1）找出集合A和集合B的公共部分，确定出两集合的交集，找出既属于集合A又属于集合B的部分，确定出两集合的并集； （2）由集合A和C，以及A为C的子集，列出关于a的不等式，求出不等式的解集即可得到a的范围． 【解答】解：（1）∵A＝{x|3≤x＜8}，B＝{x|2＜x≤6}， ∴A∩B＝[3，6]，A∪B＝（2，8）； （2）∵A＝{x|3≤x＜8}，C＝{x|x＞a}，A⊆C， ∴a＜3， 即a的取值范围为（﹣∞，3）． 【点评】此题考查了交、并集的混合运算，以及集合间的包含关系，是高考中常考的基本题型． 10．已知全集U＝R，集合A＝{x|x2﹣4x≤0}，B＝{x|m≤x≤m+2}． （1）若m＝3，求A∩（∁RB）； （2）若A∩B＝∅，求实数m的取值范围． 【分析】（1）根据集合运算定义运算即可； （2）根据集合间关系可解决此问题． 【解答】解：（1）A＝[0，4]，m＝3时B＝[3，5]，A∩（∁RB）＝[0，3）； （2）因为m+2＞m，所以B≠∅， 又因为A∩B＝∅，所以m＞4或m+2＜0， 解得m∈{m|m＜﹣2或m＞4}． 【点评】本题考查集合运算及集合间关系应用，考查数学运算能力，属于基础题． 11．集合A＝{x|x2+2x﹣3＜0}，B＝，C＝{x|2a≤x≤a+3，a∈R}． （1）求（∁RA）∩B； （2）请从①B∩C＝C，②B∩C＝∅，③C⫋B这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数a的取值范围． 【分析】（1）解不等式化简集合A＝（﹣3，1），B＝（﹣1，5），再求∁RA，最后求（∁RA）∩B； （2）选①时，可得C⊆B，从而按C是否为空集分类讨论即可； 选②时，按C是否为空集分类讨论即可； 选③时，由题意知C⫋B，从而按C是否为空集分类讨论即可． 【解答】解：（1）∵x2+2x﹣3＜0，∴（x﹣1）（x+3）＜0， 解得，﹣3＜x＜1，故A＝（﹣3，1）； ∵＞1，∴＞0， 解得，﹣1＜x＜5，故B＝（﹣1，5）； 故∁RA＝（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）， 故（∁RA）∩B＝[1，5）； （2）选①：∵B∩C＝C，∴C⊆B， 当C＝∅，即2a＞a+3，a＞3时，满足题意； 当C≠∅，即2a≤a+3，a≤3时， ， 解得，﹣＜a＜2； 综上所述，实数a的取值范围为（﹣，2）∪（3，+∞）． 选②：当C＝∅，即2a＞a+3，a＞3时，满足题意； 当C≠∅，即2a≤a+3，a≤3时， a+3≤﹣1或2a≥5， 解得，a≤﹣4或a≥； 故a≤﹣4或≤a≤3； 综上所述，实数a的取值范围为（﹣∞，﹣4]∪[，+∞）． 选③：由题意知，C⫋B， 当C＝∅，即2a＞a+3，a＞3时，满足题意； 当C≠∅，即2a≤a+3，a≤3时， ， 解得，﹣＜a＜2； 综上所述，实数a的取值范围为（﹣，2）∪（3，+∞）． 【点评】本题考查了集合的化简与集合间关系的应用，同时考查了不等式的解法，属于中档题． 12．已知集合A＝{x|x2﹣5x﹣6＜0}，B＝{x|x2﹣3ax+2a2+a﹣1≤0}． （1）当a＝﹣1时，求A∩B； （2）若A∪B＝A，求a的取值范围． 【分析】（1）根据集合运算定义运算即可； （2）根据a的范围讨论即可解决此问题． 【解答】解：（1）当a＝﹣1时，B＝{x|x2+3x≤0}＝{x|﹣3≤x≤0}． 因为A＝{x|x2﹣5x﹣6＜0}＝{x|﹣1＜x＜6}， 所以A∩B＝{x|﹣1＜x≤0}； （2）由题意可知A＝{x|﹣1＜x＜6}，B＝{x|[x﹣（2a﹣1）][x﹣（a+1）]≤0}． 因为A∪B＝A，所以B⊆A． 当2a﹣1＞a+1，即a＞2时，B＝{x|a+1≤x≤2a﹣1}， 则解得； 当2a﹣1＝a+1，即a＝2时，B＝{3}，则a＝2符合题意； 当2a﹣1＜a+1，即a＜2时，B＝{x|2a﹣1≤x≤a+1}， 则解得0＜a＜2． 综上，a的取值范围是． 【点评】本题考查集合运算及集合间关系，考查数学运算能力，属于中档题． 题型07：交集及其运算 13．已知集合A＝{x|﹣3≤x＜2}，B＝{x|x≥1}，则A∩B＝（　　） A．{x|x≥﹣3} B．{x|x≥1} C．{x|﹣3≤x＜1} D．{x|1≤x＜2} 【分析】直接根据交集的定义即可求出． 【解答】解：A＝{x|﹣3≤x＜2}，B＝{x|x≥1}，则A∩B＝{x|1≤x＜2}． 故选：D． 【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用． 14．已知A＝{x|x＝2k，k∈Z}，B＝{x|x＝4n，n∈Z}，则A∩B＝（　　） A．∅ B．A C．B D．Z 【分析】直接根据交集的定义即可求出． 【解答】解：A＝{x|x＝2k，k∈Z}，B＝{x|x＝4n，n∈Z}， ∴A是偶数集，B是4的倍数集， ∴A∩B＝B． 故选：C． 【点评】本题主要考查集合的基本运算，属于基础题． 15．已知集合A＝{1，2，3}，B＝{2，4，5}，则（　　） A．A∩B＝{2} B．A∩B＝∅ C．A∪B＝{1，3，4，5} D．A∪B＝{2，3，4，5} 【分析】利用并集和交集法人定义直接求解． 【解答】解：集合A＝{1，2，3}，B＝{2，4，5}， 则A∩B＝{2}，A∪B＝{1，2，3，4，5}． 故选：A． 【点评】本题考查并集和交集的求法，考查并集和交集的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 16．已知集合A＝{x|﹣2≤x≤5}，B＝{x|x≥1}，则A∩B＝（　　） A．[1，5] B．[﹣2，1] C．[﹣2，1） D．（﹣2，1） 【分析】作数轴表示出集合A，B，直接写出化简A∩B即可． 【解答】解：由题意作数轴如下， 故A∩B＝[1，5]， 故选：A． 【点评】本题考查了集合的运算，属于基础题． 17．集合A＝{x|2x+3＜7}，B＝{x∈N|x＞﹣2}，则A∩B＝（　　） A．{0，1} B．{1} C．{0，1，2} D．{1，2} 【分析】求出集合A，然后直接利用集合的交集运算法则求解即可． 【解答】解：集合A＝{x|2x+3＜7}＝（﹣∞，2），B＝{x∈N|x＞﹣2}， 则A∩B＝{0，1}． 故选：A． 【点评】本题考查集合的基本运算，注意集合的交集的求法，考查计算能力． 18．已知集合A＝{x|3≤x≤7}，B＝{x|4＜x＜10}，则A∩B＝（　　） A．{x|3≤x＜10} B．{x|7≤x＜10} C．{x|3≤x＜4} D．{x|4＜x≤7} 【分析】由题意作数轴，取公共部分即可． 【解答】解：由题意，作数轴如下图， 故A∩B＝{x|4＜x≤7}，故选：D． 【点评】本题考查了交集及其运算，是基础题． 19．已知集合A＝{﹣2，2a+1，a2﹣1}，B＝{3，2﹣a，2a﹣4}，且A∩B＝{3}，则a＝　 ． 【分析】根据A∩B＝{3}，得到3∈A，然后根据元素和集合关系，解实数a即可． 【解答】解：集合A＝{﹣2，2a+1，a2﹣1}，B＝{3，2﹣a，2a﹣4}，且A∩B＝{3}， 则2a+1＝3或a2﹣1＝3， 解得a＝1，或a＝±2， 当a＝1时，A＝{﹣2，3，0}，B＝{3，1，﹣2}，此时A∩B＝{﹣2，3}不满足题意， 当a＝﹣2时，A＝{﹣2，﹣3，3}，b＝{3，4，﹣8}，满足题意， 当a＝2时，集合B中2﹣a＝2a﹣4，不满足集合的互异性，故舍去． 综上所述a的值为﹣2． 故答案为：﹣2． 【点评】本题主要考查集合中参数的取值范围问题，集合间的包含关系，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题． 20．设集合A＝{x|a﹣1＜x＜3a﹣1}，B＝{x|≤0}． （1）若A∪B＝A，求实数a的取值范围； （2）若A∩B＝∅，求实数a的取值范围． 【分析】（1）化简集合B＝[0，1），由A∪B＝A可得B⊆A，列不等式可解得； （2）由A∩B＝∅，可讨论A＝∅，或A≠∅求解即可． 【解答】解：（1）集合B＝{x|0}＝[0，1）， ∵A∪B＝A可得B⊆A， ∴， 即≤a＜1， 所以实数a的取值范围为[，1）． （2）∵A∩B＝∅， ∴①若A＝{x|a﹣1＜x＜3a﹣1}＝∅； 即a﹣1≥3a﹣1，a≤0时，A∩B＝∅成立； ②若A＝{x|a﹣1＜x＜3a﹣1}≠∅， 则， 解得0＜a≤或a≥2． 综上所述，实数a的取值范围为（﹣∞，]∪[2，+∞）． 【点评】本题考查了集合的运算与集合之间的包含关系，同时考查了分类讨论的思想，属于基础题． 题型08：交、并、补集的混合运算 21．已知集合A＝{x∈R|x2≤9}，B＝{x∈R|x2+x﹣2＞0}，则（∁RA）∩B＝（　　） A．[﹣3，﹣1）∪（2，3] B．[﹣3，﹣2）∪（1，3] C．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞） 【分析】化简集合A，B，再根据补集与交集的定义，求出（∁RA）∩B． 【解答】解：A＝{x∈R|x2≤9}＝{x|﹣3≤x≤3}，则∁RA＝{x|x＞3或x＜﹣3}， B＝{x∈R|x2+x﹣2＞0}＝{x|x＜﹣2或x＞1}， 则（∁RA）∩B＝（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）， 故选：C． 【点评】本题考查集合的交集、补集的混合运算，是基础题． 22．已知全集U＝R，集合A＝{0，1，2，3}，B＝{x|x＜1}，则A∩（∁UB）等于（　　） A．{0，1} B．{1，3} C．{1，2，3} D．{0，1，2，3} 【分析】直接进行补集和交集的运算即可． 【解答】解：∵A＝{0，1，2，3}，B＝{x|x＜1}，U＝R， ∴∁UB＝{x|x≥1}，A∩（∁UB）＝{1，2，3}． 故选：C． 【点评】本题考查了交集和补集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题． 23．设全集U＝R，A＝{x∈R|﹣1＜x≤5}，B＝{x∈R|x＜2}，则A∩（∁UB）＝（　　） A．（﹣1，2） B．[2，5] C．（﹣1，2] D．（2，5] 【分析】求出B的补集，找出A与B补集的交集即可． 【解答】解：全集U＝R，A＝{x∈R|﹣1＜x≤5}＝（﹣1，5]，B＝{x∈R|x＜2}＝（﹣∞，2）， 则∁UB＝[2，+∞）， ∴A∩（∁UB）＝[2，5]． 故选：B． 【点评】本题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键，属于基础题． 24．已知集合A＝{x|x＜a}，B＝{x|x＜2}，且A∪（∁RB）＝R，则a满足（　　） A．a≥2 B．a＞2 C．a＜2 D．a≤2 【分析】由题意可得，∁RB＝{x|x≥2}，结合数轴可求a得范围 【解答】解：由题意可得，∁RB＝{x|x≥2}， 集合A＝{x|x＜a}，A∪（∁RB）＝R， 结合数轴可得，a≥2 故选：A． 【点评】本题主要考查了集合之间的基本运算，要注意此类问题要注意与数轴结合，属于基础试题． 25．已知全集U＝R，A＝{x|2≤x＜6}，集合B＝{x|5＜x＜8}．求： （1）∁U（A∪B）； （2）A∩（∁UB）． 【分析】（1）根据并集和补集的定义即可求出； （2）根据补集和交集的定义即可求出． 【解答】解：（1）全集U＝R，A＝{x|2≤x＜6}，集合B＝{x|5＜x＜8}， ∴A∪B＝{x|2≤x＜8}， ∴∁U（A∪B）＝{x|x＜2或x≥8}； （2）全集U＝R，A＝{x|2≤x＜6}，集合B＝{x|5＜x＜8}， ∴∁UB＝{x|x≤5或x≥8}， ∴A∩（∁UB）＝{x|2≤x≤5}． 【点评】本题考查了集合的交并补运算，考查了运算求解能力，属于基础题． 26．已知全集U＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，集合A＝{0，1，2}，B＝{﹣2，0，1}，则∁U（A∩B）＝（　　） A．{﹣2，﹣1，0，1} B．{﹣2，﹣1，0} C．{﹣2，﹣1，2} D．{﹣1} 【分析】根据集合运算定义可解决此题． 【解答】解：由全集U＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，集合A＝{0，1，2}，B＝{﹣2，0，1}，得∁U（A∩B）＝{﹣2，﹣1，2}． 故选：C． 【点评】本题考查集合运算，考查数学运算能力，属于基础题． 27．设全集U＝{x|x≥﹣2}，A＝{x|2＜x＜10}，B＝{x|2≤x≤8}，求∁UA，（∁UA）∩B，A∩B，∁U（A∩B）． 【分析】分别根据交、并、补的定义即可求出． 【解答】解：全集U＝{x|x≥﹣2}，A＝{x|2＜x＜10}，B＝{x|2≤x≤8}， 则∁UA＝{x|﹣2≤x≤2或x≥10}， （∁UA）∩B＝{x|﹣2≤x≤2或x≥10}∩{x|2≤x≤8}＝{2}， A∩B＝{x|2＜x＜10}∩{x|2≤x≤8}＝{x|2＜x≤8}， ∁U（A∩B）＝{x|﹣2≤x≤2或x＞8}． 【点评】本题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键，属于基础题． 28．设全集为R，集合A＝{x|x＜5}，B＝{x|x≥3}，求： （1）A∩B； （2）A∪B； （3）（∁RA）∩（∁RB）； （4）∁R（A∩B）． 【分析】根据集合的交并补运算性质即可求出． 【解答】解：（1）A∩B＝{x|x＜5}∩{x|x≥3}＝{x|3≤x＜5}； （2）A∪B＝{x|x＜5}∪{x|x≥3}＝R； （3）∵A＝{x|x＜5}，B＝{x|x≥3}， ∴∁RA＝{x|x≥5}，∁RB＝{x|x＜3}， ∴（∁RA）∩（∁RB）＝∅； （4）∵A∩B＝{x|3≤x＜5}， ∴∁R（A∩B）＝{x|x＜3或x≥5}． 【点评】本题考查了集合的交并补运算，属于基础题． 29．已知{3}⫋B⊆{3，4，5}，写出一个满足条件的集合B，补充在下列问题中的横线上，并求出问题的解． 问题：已知U＝{x|x∈N*，且x＜10}，A＝{x|x是小于10的正偶数}，______．求A∪B，A∩（∁UB）． 【分析】先求出集合B，再根据交并补运算法则即可求出． 【解答】解：{3}⫋B⊆{3，4，5}，则B＝{3，4}或{3，5}或{3，4，5}， 已知U＝{x|x∈N*，且x＜10}＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，A＝{x|x是小于10的正偶数}＝{2，4，6，8}， 当B＝{3，4}时，A∪B＝{2，3，4，6，8}，∁UB＝{1，2，5，6，7，8，9}，A∩（∁UB}＝{2，6，8}， 当B＝{3，5}时，A∪B＝{2，3，4，5，6，8}，∁UB＝{1，2，4，6，7，8，9}，A∩（∁UB}＝{2，4，6，8}， 当B＝{3，4，5}时，A∪B＝{2，3，4，5，6，8}，∁UB＝{1，2，6，7，8，9}，A∩（∁UB}＝{2，6，8}． 【点评】本题考查了集合的交并补运算，属于基础题． 30．已知A＝{x|﹣2＜x＜3}，B＝{x|﹣3＜x≤3}，求∁RA，∁R（A∩B），（∁RA）∩B． 【分析】结合数轴，由图可知∁RA＝{x|x≤﹣2或x≥3}，由A∩B＝{x|﹣2＜x＜3}＝A，能求出∁R（A∩B）和（∁RA）∩B． 【解答】解：A＝{x|﹣2＜x＜3}，B＝{x|﹣3＜x≤3}， ∴结合数轴，由图可知∁RA＝{x|x≤﹣2或x≥3}， 又∵A∩B＝{x|﹣2＜x＜3}＝A， ∴∁R（A∩B）＝∁RA＝{x|x≤﹣2或x≥3}， ∴（∁RA）∩B＝{x|﹣3＜x≤﹣2或x＝3}． 【点评】本题考查补集、交集的求法，考查补集、交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 31．已知集合M＝{x|﹣3＜x≤5}，N＝{x|x＜﹣5或x＞4}，则M∪（∁RN）＝（　　） A．{x|x＜﹣5或x＞﹣3} B．{x|﹣3＜x≤4} C．{x|﹣5≤x≤5} D．{x|x＜﹣3或x＞5} 【分析】先求∁RN，再求M∪（∁RN）即可． 【解答】解：∵N＝{x|x＜﹣5或x＞4}， ∴∁RN＝{x|﹣5≤x≤4}， 又∵M＝{x|﹣3＜x≤5}， ∴M∪（∁RN）＝{x|﹣5≤x≤5}， 故选：C． 【点评】本题考查了集合的运算，属于基础题． 32．已知集合A＝{x∈R|x2﹣4＜0}，B＝{x∈R||x﹣1|≤3}，求：A∩B，A∪B，∁RB． 【分析】集合A＝{x∈R|x2﹣4＜0}＝（﹣2，2），B＝{x∈R||x﹣1|≤3}＝[﹣2，4]，然后可求A∩B，A∪B，∁RB． 【解答】解：∵集合A＝{x∈R|x2﹣4＜0}＝（﹣2，2），B＝{x∈R||x﹣1|≤3}＝[﹣2，4]， ∴A∩B＝（﹣2，2）； A∪B＝[﹣2，4]； ∁RB＝（﹣∞，﹣2）∪（4，+∞）． 【点评】本题考查集合运算，考查数学运算能力，属于基础题． 33．设集合A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|2＜x＜10}，画数轴写答案 （1）A∪B； （2）∁RA； （3）A∩（∁RB）． 【分析】（1）由集合A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|2＜x＜10}，能求出A∪B． （2）由A＝{x|3≤x＜7}，能求出∁RA． （3）由A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|2＜x＜10}，先求出∁RB＝{x|x≤2，或x≥10}，由此能求出A∩（∁RB）． 【解答】解：（1）如图，∵集合A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|2＜x＜10}， ∴A∪B＝{x|2＜x＜10}…（3分） （2）∵A＝{x|3≤x＜7}， ∴∁RA＝{x|x＜3，或x≥7}…（6分） （3）∵A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|2＜x＜10}， ∴∁RB＝{x|x≤2，或x≥10}，…（8分） ∴A∩（∁RB）＝∅…（11分） 【点评】本题考查交集、补集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集、补集定义的合理运用． 34．已知集合A＝{x|1＜x≤5}，B＝{x|4x﹣x2＞0}，C＝{x|m+1＜x＜2m﹣1}． （1）求A∪B，∁R（A∩B）； （2）若x∈B是x∈C的必要不充分条件，求实数m的取值范围． 【分析】B＝{x|4x﹣x2＞0}＝（0，4） （1）根据集合运算的定义运算即可； （2）x∈B是x∈C的必要不充分条件⇔C⫋B． 【解答】解：B＝{x|4x﹣x2＞0}＝（0，4） （1）A＝{x|1＜x≤5}， 得A∪B＝（0，5]，∁R（A∩B）＝（﹣∞，1]∪[4，+∞）； （2）x∈B是x∈C的必要不充分条件⇔C⫋B， C＝{x|m+1＜x＜2m﹣1}． 当C＝∅时m+1≥2m﹣1，即m≤2满足题意， 当C≠∅时，即2＜m≤， 综上，m的取值范围是（﹣∞，]． 【点评】本题考查集合运算及集合间的关系，考查数学运算能力，属于中档题． 35．已知全集U为R，集合A＝{x|0＜x≤2}，B＝{x|x＜﹣3或x＞1}．求： （1）A∩B； （2）∁UA∩∁UB； （3）∁U（A∪B）． 【分析】（1）绘制数轴，结合题意利用交集的运算计算即可； （2）首先求解补集，然后利用交集的定义进行集合的混合运算即可； （3）结合（1）中绘制的数轴，结合并集、补集的定义进行计算即可求得最终结果． 【解答】解：（1）在数轴上画出集合A和B，可知A∩B＝{x|1＜x≤2}． （2）∁UA＝{x|x≤0或x＞2}，∁UB＝{x|﹣3≤x≤1}． 在数轴上画出集合∁UA和∁UB，可知∁UA∩∁UB＝{x|﹣3≤x≤0}． （3）由（1）中数轴可知，A∪B＝{x|x＜﹣3或x＞0}． ∴∁U（A∪B）＝{x|﹣3≤x≤0}． 【点评】本题考查了交集、并集、补集等集合的混合运算等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题． 题型09：充分条件与必要条件 36．已知（x+a）2﹣16＞0”的必要不充分条件是“x≤﹣2或x≥3”，则实数a的最大值为（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1 【分析】由（x+a）2﹣16＞0得x＜﹣4﹣a或x＞4﹣a，根据题意得{x|x≤﹣2或x≥3}真包含{x|x＜﹣4﹣a或x＞4﹣a}，以此可求得a的最大值． 【解答】解：由（x+a）2﹣16＞0得x＜﹣4﹣a或x＞4﹣a，根据题意得{x|x≤﹣2或x≥3}真包含{x|x＜﹣4﹣a或x＞4﹣a}， ∴，解得﹣2≤a≤1，∴实数a的最大值是1． 故选：D． 【点评】本题考查一元二次不等式解法及充分、必要条件应用，考查数学运算能力，属于基础题． 37．设集合A＝{x|﹣1≤x≤2}，集合B＝{x|m＜x＜1}． （1）若m＝﹣2，求（∁RA）∪B； （2）若“x∈A”是“x∈B”的必要条件，求实数m的取值范围． 【分析】（1）若m＝﹣2，B＝{x|﹣2＜x＜1}然后可解决此问题； （2）“x∈A”是“x∈B”的必要条件⇔B⊆A可解决此问题． 【解答】解：（1）若m＝﹣2，B＝{x|﹣2＜x＜1}，则（∁RA）∪B＝{x|x＜﹣1或x＞2}∪{x|﹣2＜x＜1}＝（﹣∞，1）∪（2，+∞）； （2））“x∈A”是“x∈B”的必要条件⇔B⊆A， 当B＝∅时，m≥1满足题意， 当B≠∅时，﹣1≤m＜1， 综上，m的取值范围是[﹣1，+∝）． 【点评】本题考查集合运算及集合间关系，考查数学运算能力，属于基础题． 38．在①A∪B＝B；②“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件；③A∩B＝∅，这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题． 问题：已知集合A＝{x|a﹣1≤x≤a+1}，B＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}． （1）当a＝3时，求A∪B； （2）若___，求实数a的取值范围． 【分析】（1）由代入法求得集合A，由二次不等式的解法可得B，再由并集的定义可得所求集合； （2）选①，可得A⊆B，即有a的不等式组，解不等式可得所求范围；选②，可得A⫋B，即有a的不等式组，解不等式可得所求范围；选③，可得a+1＜﹣1或a﹣1＞3，解不等式可得所求范围． 【解答】解：（1）当a＝3时，A＝{x|2≤x≤4}，B＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}＝{x|﹣1≤x≤3}， 所以A∪B＝{x|﹣1≤x≤4}； （2）选①A∪B＝B，可得A⊆B， 则﹣1≤a﹣1＜a+1≤3，解得0≤a≤2，即a的取值范围是[0，2]； 选②“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，可得A⫋B， 则（等号不同时取得），解得0≤a≤2，即a的取值范围是[0，2]； 选③A∩B＝∅，可得a+1＜﹣1或a﹣1＞3，解得a＜﹣2或a＞4， 即a的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（4，+∞）． 【点评】本题考查集合的运算和包含关系、充分必要条件的定义，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题． 题型10．一元二次不等式及其应用 39．集合P＝{x|0＜x≤5，x∈Z}，M＝{x|x2≤25}，则P∩M＝　 　． 【分析】集合P＝{x|0＜x≤5，x∈Z}＝{1，2，3，4，5}，M＝{x|x2≤25}＝[﹣5，5]，依次可解决此题． 【解答】解：∵集合P＝{x|0＜x≤5，x∈Z}＝{1，2，3，4，5}，M＝{x|x2≤25}＝[﹣5，5]， ∴P∩M＝{1，2，3，4，5}． 故答案为：{1，2，3，4，5}． 【点评】本题考查集合运算，考查数学运算能力，属于基础题． 题型11．区间与无穷的概念 40．集合{x|﹣1≤x＜5，且x≠3}用区间表示为 　 　． 【分析】直接把集合写成区间的形式，注意含有等于号的用闭区间，不含等于号的用开区间． 【解答】解：{x|﹣1≤x＜5，且x≠3}＝[﹣1，3）∪（3，5）． 故答案为：[﹣1，3）∪（3，5）． 【点评】本题考查了区间的概念，属基础题． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第05讲 数轴法解集合问题专练 目 录 题型01：元素与集合关系的判断 1 题型02：集合的表示法 1 题型03：集合的基本关系 1 题型04：集合的包含关系判断及应用 2 题型05：子集与真子集 2 题型06：集合关系中的参数取值问题 2 题型07：交集及其运算 3 题型08：交、并、补集的混合运算 3 题型09：充分条件与必要条件 4 题型10．一元二次不等式及其应用 4 题型11．区间与无穷的概念 4 题型01：元素与集合关系的判断 1．设集合S，T，S⊆N•，T⊆N•，S，T中，至少有两个元素，且S，T满足：①对于任意x，y∈S，若x≠y，都有xy∈T；②对于任意x，y∈T，若x＜y，则．若S有4个元素，则S∪T有 　　个元素． 题型02：集合的表示法 （多选）2．给定数集M，若对于任意a、b∈M（b≠0），有a•b∈M且，则称集合M为封闭集合．则下列说法中正确的是（　　） A．集合不是封闭集合 B．有理数集是封闭集合 C．无理数集是封闭集合 D．若集合A1、A2为封闭集合，且A1⊆R，A2⊆R，则A1∩A2也是封闭集合 题型03：集合的基本关系 3．已知集合A＝{x|x＜4}，B＝{x|＜3}，则下列判断正确的是（　　） A．﹣2∉A B．∈B C．B⊆A D．A∩B＝{x|x＜4} 题型04：集合的包含关系判断及应用 4．已知集合A＝{x|﹣1＜x＜6}，B＝{x|2＜x＜3}，则（　　） A．A∈B B．A⊆B C．A＝B D．B⊆A 5．已知M＝{y|y＝x2﹣1}，P＝{y|y＝|x|﹣1}，则集合M与P的关系是（　　） A．M＝P B．P∈R C．M⫋P D．P⫋M 6．设集合A＝{x|﹣1≤x＜2}，B＝{x|x＜a}，若A⊆B，则a的取值范围（　　） A．a≥﹣1 B．a≥2 C．a＞﹣1 D．﹣1＜a≤2 题型05：子集与真子集 7．集合{x|1＜x＜6，x∈N*}的非空子集个数为 　 　． 8．已知集合A＝{1，2，3，⋯，2n}（n∈N*），对于A的一个子集S，若存在不大于n的正整数m，使得对S中的任意一对元素s1，s2，都有|s1﹣s2|≠m，则称S具有性质P． （1）当n＝10时，试判断集合B＝{x∈A|x＞9}和C＝{x∈A|x＝3k﹣1，k∈N*}是否具有性质P？并说明理由； （2）当时n＝1010，若集合S具有性质P， ①判断集合T＝{2021﹣x|x∈S}是否一定具有性质P？并说明理由； ②求集合中S元素个数的最大值． 题型06：集合关系中的参数取值问题 9．全集U＝R，若集合A＝{x|3≤x＜8}，B＝{x|2＜x≤6}． （1）求A∩B，A∪B； （2）若集合C＝{x|x＞a}，A∪C＝C，求a的取值范围． 10．已知全集U＝R，集合A＝{x|x2﹣4x≤0}，B＝{x|m≤x≤m+2}． （1）若m＝3，求A∩（∁RB）； （2）若A∩B＝∅，求实数m的取值范围． 11．集合A＝{x|x2+2x﹣3＜0}，B＝，C＝{x|2a≤x≤a+3，a∈R}． （1）求（∁RA）∩B； （2）请从①B∩C＝C，②B∩C＝∅，③C⫋B这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数a的取值范围． 12．已知集合A＝{x|x2﹣5x﹣6＜0}，B＝{x|x2﹣3ax+2a2+a﹣1≤0}． （1）当a＝﹣1时，求A∩B； （2）若A∪B＝A，求a的取值范围． 题型07：交集及其运算 13．已知集合A＝{x|﹣3≤x＜2}，B＝{x|x≥1}，则A∩B＝（　　） A．{x|x≥﹣3} B．{x|x≥1} C．{x|﹣3≤x＜1} D．{x|1≤x＜2} 14．已知A＝{x|x＝2k，k∈Z}，B＝{x|x＝4n，n∈Z}，则A∩B＝（　　） A．∅ B．A C．B D．Z 15．已知集合A＝{1，2，3}，B＝{2，4，5}，则（　　） A．A∩B＝{2} B．A∩B＝∅ C．A∪B＝{1，3，4，5} D．A∪B＝{2，3，4，5} 16．已知集合A＝{x|﹣2≤x≤5}，B＝{x|x≥1}，则A∩B＝（　　） A．[1，5] B．[﹣2，1] C．[﹣2，1） D．（﹣2，1） 17．集合A＝{x|2x+3＜7}，B＝{x∈N|x＞﹣2}，则A∩B＝（　　） A．{0，1} B．{1} C．{0，1，2} D．{1，2} 18．已知集合A＝{x|3≤x≤7}，B＝{x|4＜x＜10}，则A∩B＝（　　） A．{x|3≤x＜10} B．{x|7≤x＜10} C．{x|3≤x＜4} D．{x|4＜x≤7} 19．已知集合A＝{﹣2，2a+1，a2﹣1}，B＝{3，2﹣a，2a﹣4}，且A∩B＝{3}，则a＝　 ． 20．设集合A＝{x|a﹣1＜x＜3a﹣1}，B＝{x|≤0}． （1）若A∪B＝A，求实数a的取值范围； （2）若A∩B＝∅，求实数a的取值范围． 题型08：交、并、补集的混合运算 21．已知集合A＝{x∈R|x2≤9}，B＝{x∈R|x2+x﹣2＞0}，则（∁RA）∩B＝（　　） A．[﹣3，﹣1）∪（2，3] B．[﹣3，﹣2）∪（1，3] C．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞） 22．已知全集U＝R，集合A＝{0，1，2，3}，B＝{x|x＜1}，则A∩（∁UB）等于（　　） A．{0，1} B．{1，3} C．{1，2，3} D．{0，1，2，3} 23．设全集U＝R，A＝{x∈R|﹣1＜x≤5}，B＝{x∈R|x＜2}，则A∩（∁UB）＝（　　） A．（﹣1，2） B．[2，5] C．（﹣1，2] D．（2，5] 24．已知集合A＝{x|x＜a}，B＝{x|x＜2}，且A∪（∁RB）＝R，则a满足（　　） A．a≥2 B．a＞2 C．a＜2 D．a≤2 25．已知全集U＝R，A＝{x|2≤x＜6}，集合B＝{x|5＜x＜8}．求： （1）∁U（A∪B）； （2）A∩（∁UB）． 26．已知全集U＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，集合A＝{0，1，2}，B＝{﹣2，0，1}，则∁U（A∩B）＝（　　） A．{﹣2，﹣1，0，1} B．{﹣2，﹣1，0} C．{﹣2，﹣1，2} D．{﹣1} 27．设全集U＝{x|x≥﹣2}，A＝{x|2＜x＜10}，B＝{x|2≤x≤8}，求∁UA，（∁UA）∩B，A∩B，∁U（A∩B）． 28．设全集为R，集合A＝{x|x＜5}，B＝{x|x≥3}，求： （1）A∩B； （2）A∪B； （3）（∁RA）∩（∁RB）； （4）∁R（A∩B）． 29．已知{3}⫋B⊆{3，4，5}，写出一个满足条件的集合B，补充在下列问题中的横线上，并求出问题的解． 问题：已知U＝{x|x∈N*，且x＜10}，A＝{x|x是小于10的正偶数}，______．求A∪B，A∩（∁UB）． 30．已知A＝{x|﹣2＜x＜3}，B＝{x|﹣3＜x≤3}，求∁RA，∁R（A∩B），（∁RA）∩B． 31．已知集合M＝{x|﹣3＜x≤5}，N＝{x|x＜﹣5或x＞4}，则M∪（∁RN）＝（　　） A．{x|x＜﹣5或x＞﹣3} B．{x|﹣3＜x≤4} C．{x|﹣5≤x≤5} D．{x|x＜﹣3或x＞5} 32．已知集合A＝{x∈R|x2﹣4＜0}，B＝{x∈R||x﹣1|≤3}，求：A∩B，A∪B，∁RB． 33．设集合A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|2＜x＜10}，画数轴写答案 （1）A∪B； （2）∁RA； （3）A∩（∁RB）． 34．已知集合A＝{x|1＜x≤5}，B＝{x|4x﹣x2＞0}，C＝{x|m+1＜x＜2m﹣1}． （1）求A∪B，∁R（A∩B）； （2）若x∈B是x∈C的必要不充分条件，求实数m的取值范围． 35．已知全集U为R，集合A＝{x|0＜x≤2}，B＝{x|x＜﹣3或x＞1}．求： （1）A∩B； （2）∁UA∩∁UB； （3）∁U（A∪B）． 题型09：充分条件与必要条件 36．已知（x+a）2﹣16＞0”的必要不充分条件是“x≤﹣2或x≥3”，则实数a的最大值为（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1 37．设集合A＝{x|﹣1≤x≤2}，集合B＝{x|m＜x＜1}． （1）若m＝﹣2，求（∁RA）∪B； （2）若“x∈A”是“x∈B”的必要条件，求实数m的取值范围． 38．在①A∪B＝B；②“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件；③A∩B＝∅，这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题． 问题：已知集合A＝{x|a﹣1≤x≤a+1}，B＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}． （1）当a＝3时，求A∪B； （2）若___，求实数a的取值范围． 题型10．一元二次不等式及其应用 39．集合P＝{x|0＜x≤5，x∈Z}，M＝{x|x2≤25}，则P∩M＝　 　． 题型11．区间与无穷的概念 40．集合{x|﹣1≤x＜5，且x≠3}用区间表示为 　 　． 2 学科网（北京）股份有限公司 $