第01讲 集合的概念及表示方法 讲义（思维导图+知识要点+解题技巧+题型归纳+配套习题）-2027届高三数学二轮复习集合专题（全国通用）

该高中数学高考复习讲义聚焦集合的概念及表示方法，覆盖元素确定性、互异性、无序性，元素与集合关系，列举法、描述法、区间表示等高考核心考点，按“知识要点-解题策略-题型归纳-巩固提升”逻辑架构，通过考点梳理、方法指导和分层训练，帮助学生系统突破基础难点。 讲义突出“数学思维”与“数学语言”培养，如针对元素互异性易错点，设计“参数求解-互异性检验”两步法训练，结合16类典型题型（如根据集合相等求参、集合与方程综合）的真题演练，强化规范表达，助力教师精准把控复习节奏，提升学生快速解题与避坑能力。

第01讲 集合的概念及表示方法 目 录 思维导图 2 高考分析 2 学习目标 3 知识要点 3 解题策略 6 题型归纳 7 题型01：判断元素是否构成集合 7 题型02：判断是否为同一集合 8 题型03：判断元素和集合的关系 10 题型04：根据元素与集合的关系求参 13 题型05：根据集合元素互异性求参 17 题型06：列举法表示集合 19 题型07 : 用描述法表示集合 23 题型08：根据集合元素个数求参 27 题型09：利用集合中元素性质求集合元素个数 31 题型10：集合元素互异性的应用 34 题型11：集合的分类 35 题型12：根据集合相等关系进行计算 37 题型13：根据两个集合相等求参数 39 题型14：区间与集合的相互表示 40 题型15：集合与方程的综合问题 41 题型16：集合的新定义问题 42 巩固提升 45 1. 考查难度：基础低档题，必考送分题，极少出难题 2. 考查题型：选择题1~2题，偶尔填空，不单独出大题 3. 高频考点 ①集合元素确定性、互异性、无序性（易错高频坑） ②元素与集合、集合与集合符号区分（∈ / ⊆） ③列举法、描述法、区间法正确表示集合 ④数集符号：N、N₊、Z、Q、R识别 4. 命题特点 ①常结合不等式定义域、值域考集合化简 ②重点考细节易错点，不考复杂推理 ③高考占分5分左右，属于开篇基础，贯穿整个高中数学 1. 理解集合定义，牢记集合三大特性，会检验互异性陷阱。 2. 熟练辨认常用数集符号，准确区分元素与集合关系符号。 3. 掌握列举法、描述法、图示法，规范书写集合。 4. 能看懂不等式集合、数集、点集，正确转换表达形式。 5. 夯实基础，为后续交集、并集、补集、函数定义域打好铺垫。 6. 规范数学语言，避免符号写错、格式不规范丢分。 知识点一：集合的概念 1.概念 把一些能够确定的、不同的对象汇集在一起，就说由这些对象组成的一个集合（有时简称集），组成集合的每个对象都是这个集合的元素．集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示，元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示． 2.要点辨析 （1）对象：现实生活中我们看到的、听到的、触摸到的、想到的事和物等，都可以看作“对象”，即集合的元素，它具有广泛性，组成集合的对象可以是数、图形、人、物等． （2）集合：集合是一个原式的、不加定义的概念，就如几何重点、线、面一样无法被“定义”； （3）元素：具有共同特征或共同的属性的对象； （4）总体：集合是一个整体，暗含“所有”“全部”的含义，因此，一些对象一旦组成集合，这个集合就是这些对象的全体，而非个体． 3.集合的三个特性： （1）描述性：“集合”是一个原始的不加定义的概念，它同平面几何中的“点”、“线”、“面”等概念一样，都只是描述性地说明. （2）整体性：集合是一个整体，暗含“所有”、“全部”、“全体”的含义，因此一些对象一旦组成了集合，这个集合就是这些对象的总体. （3）广泛性：组成集合的对象可以是数、点、图形、多项式、方程，也可以是人或物等. 知识点二：元素与集合的关系 1.元素与集合的关系 （1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A． （2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A． 2.集合中元素的三大特性 （1）确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”． 注意：如果元素的界限不明确，即不能构成集合。例如著名的科学家；比较高的人等 （2）互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的． 简记为“互异性”． （3）无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”． 知识点三： 集合的表示方法与分类 1.常用数集及其记法 名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 或 （1）正整数集：全体正整数组成的集合叫做正整数集，记作或. （2）自然数集：全体非负整数组成的集合叫做自然数集，记作. （3）整数集：全体整数组成的集合叫做整数集，记作. （4）有理数集：全体有理数组成的集合叫做有理数集，记作. （5）实数集：全体实数组成的集合叫做实数集，记作. 2.集合的表示方法 （1）自然语言：用文字叙述的形式描述集合的方法.如所有正方形组成的集合，所有实数组成的集合.例如，三角形的集合. （2）列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法叫做列举法． ①元素与元素之间必须用“，”隔开； ②集合中的元素必须是明确的； ③集合中的元素不能重复； ④集合中的元素可以是任何事物． （3）描述法：一般地，设A表示一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线． ①首先应弄清楚集合的属性，是数集、点集还是其他的类型．一般地，数集用一个字母代表其元素，而点集则用一个有序数对来表示． ②若描述部分出现元素记号以外的字母，要对新字母说明其含义或取值范围． ③多层描述时，应当准确使用“且”和“或”，所有描述的内容都要写在集合内． （4）图示法：画一条封闭曲线，用它的内部表示集合． 3.集合的分类 （1）一般地，我们把不含任何元素的集合称为空集，记作∅； （2）集合可以根据它含有的元素个数分为两类：含有有限个元素的集合称为有限集；含有无限个元素的集合称为无限集．空集可以看成含有0个元素的集合，所以空集是有限集． 4.集合相等 给定两个集合A和B，如果组成他们的元素完全相同，就称这两个集合相等，记作A=B． 知识点四： 区间的概念 1.一般区间的表示 设a，b是两个实数，而且a<b，我们规定：这里的实数叫做区间的端点. 在用区间表示连续的数集时，包含端点的那一端用中括号表示，不包含端点的那一端用小括号表示. 定义 名称 符号 数轴表示 闭区间 开区间 半开半闭区间 半开半闭区间 2.实数集R 可以用区间表示为(－∞，＋∞)，“∞”读作“无穷大”， “－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”． 3.特殊区间的表示 定义 符号 数轴表示 ≥ ≤ 在数轴上，用实心点表示包括区间的端点，用空心点表示不包括区间的端点． 1.判断一组对象能否组成集合的标准 判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果此组对象满足确定性，就可以组成集合，否则，不能组成集合.同时还要注意集合中元素的互异性、无序性. 2.元素与集合关系的判断方法 （1）直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可． （2）推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征． 3.利用集合中元素的特异性求参数 （1）集合问题的核心即研究集合中的元素，在解决这类问题时，要明确集合中的元素是什么； （2）构成集合的元素必须是确定的(确定性)，且是互不相同的(互异性)，书写时可以不考虑先后顺序(无序性)． （3）利用集合元素的特性求参数问题时，先利用确定性解出字母所有可能值，再根据互异性对集合中元素进行检验，要注意分类讨论思想的应用． 4.集合与方程的综合问题 （1）弄清方程与集合的关系，往往是用集合表示方程的解集．集合中的元素就是方程的实数根． （2）当方程中含有参数时，往往要根据方程实数根的情况来确定参数的值或取值范围，有时还要进行分类讨论．求出参数的值或取值范围后还要检验是否满足集合中元素的特性． 5.集合的新定义问题 解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点： （1）紧扣新定义。首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在． （2）用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质． 题型01：判断元素是否构成集合 【典型例题1】下列各组对象不能构成集合的是（    ） A．上课迟到的学生 B．2026年高考数学难题 C．所有有理数 D．小于的正整数 【答案】B 【分析】由集合元素的确定性即可判断. 【详解】高考数学难题，无法界定故错误；其它三个都是明确可知，故正确. 故选:B 【变式训练1-1】下列四组对象中能构成集合的是（　　） A．宜春市第一中学高一学习好的学生 B．在数轴上与原点非常近的点 C．很小的实数 D．倒数等于本身的数 【答案】D 【分析】根据集合的含义分别分析四个选项，A，B，C都不满足函数的确定性故排除，D确定，满足． 【详解】解：A：宜春市第一中学高一学习好的学生，因为学习好的学生不确定，所以不满足集合的确定性，故A错误； B：在数轴上与原点非常近的点，因为非常近的点不确定，所以不满足集合的确定性，故B错误； C：很小的实数，因为很小的实数不确定，所以不满足集合的确定性，故C错误； D：倒数等于它自身的实数为1与﹣1，∴满足集合的定义，故正确． 故选：D． 【变式训练1-2】下列各组对象的全体能构成集合的有（    ） （1）正方形的全体；（2）高一数学书中所有的难题；（3）平方后等于负数的数；（4）某校高一年级学生身高在1.7米的学生；（5）平面内到线段AB两端点距离相等的点的全体. A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】根据集合中元素的确定性判断可得答案. 【详解】（1）（3）（4）（5）中的对象是确定的，可以组成集合，（2）中的对象是不确定的，不能组成集合. 故选：C. 【变式训练1-3】下列对象能构成集合的是（    ） ①所有很高的山峰；②方程的实根；③所有小于10的自然数；④，，． A．①② B．②③ C．①④ D．③④ 【答案】B 【分析】利用构成集合的元素性质逐一分析各命题即可判断作答. 【详解】对于①，“所有很高的山峰”没有一个明确的标准，去判断哪座山峰是很高的，不符合集合中元素的确定性，“所有很高的山峰”不能能构成集合； 对于②，方程在实数范围内的解是-4，1，是确定的，“方程的实根”能构成集合； 对于③，小于10的自然数是0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，是确定的，“小于10的自然数” 能构成集合； 对于④，因，，，即与相同，不符合集合中元素的互异性，“，，”不能能构成集合. 故选：B 【变式训练1-4】下列所给的对象能构成集合的是__________． （1）高中数学必修第一册课本上所有的难题；（2）高一（3）班的高个子； （3）英文26个字母；（4）中国古代四大发明；（5）方程的实数根. 【答案】（3）（4）（5） 【分析】由集合的三要素即可求解 【详解】（1）：高中数学必修第一册课本上所有的难题，“所有的难题”不确定， （2）：高一（3）班的高个子，“高个子”不确定，不满足集合的确定性，故（2）不能构成集合； （3）：英文26个字母，是确定的且满足互异性，故（3）能构成集合； （4）：中国古代四大发明，是确定的且满足互异性，故（4）能构成集合； （5）方程没有实数根，故能构成空集. 故能构成集合的是（3）（4）（5） 故答案为：（3）（4）（5） 题型02：判断是否为同一集合 【典型例题】下列各组集合中，M与P表示同一集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【解析】根据相同集合的判定方法，逐项判断，即可得出结果. 【详解】A选项，与所含元素不同，故不是同一集合，A错； B选项，与所含元素不同，故不是同一集合，B错； C选项，集合表示点集，集合表示数集，故不是同一集合，C错； D选项，两集合均表示大于等于的全体实数，是同一集合，故D正确； 故选：D 【点睛】本题主要考查同一集合的判定，属于基础题型. 【变式训练2-1】下列说法中正确的是（    ） A．1与表示同一个集合 B．由1，2，3组成的集合可表示为或 C．方程的所有解的集合可表示为 D．集合可以用列举法表示 【答案】B 【分析】根据集合的相关概念以及表示方法，对每个选项进行逐一分析，即可判断选择. 【详解】对于A，1不能表示一个集合，故错误； 对于B，因为集合中的元素具有无序性，故正确； 对于C，因为集合的元素具有互异性，而中有相同的元素，故错误； 对于D，因为集合中有无数个元素，无法用列举法表示，故错误. 故选：B. 【变式训练2-2】（多选）下面表示同一个集合的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】对选项中的集合元素逐一分析判断即可. 【详解】A选项中，集合P中方程无实数根，故，表示同一个集合； B选项中，集合P中有两个元素2，5，集合Q中页有两个元素2，5，表示同一个集合； C选项中，集合P中有一个元素是点，集合 Q中有一个元素是点，元素不同，不是同一集合； D选项中，集合表示所有奇数构成的集合，集合也表示所有奇数构成的集合，表示同一个集合. 故选：ABD. 【变式训练2-3】（多选）下列说法正确的是（　　） A．由组成的集合可表示为或 B．与是同一个集合 C．集合与集合是同一个集合 D．集合与集合是同一个集合 【答案】AD 【分析】根据集合的定义和元素的性质可判断AB的正误，对于CD，可计算出各自集合后判断其正误. 【详解】对于A，根据集合元素的无序性可得、表示同一集合，元素有， 故A正确. 对于B，不是空集，故B错误. 对于C，，而， 故两个集合不是同一个集合，故C错误. 对于D，，故D正确. 故选：AD. 题型03：判断元素和集合的关系 【典型例题1】下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用常用数集，逐项判断即得. 【详解】对于A，由是无理数，得也是无理数，则，A错误； 对于B，自然数集包含元素0，即，B错误； 对于C，表示整数集，即，C错误； 对于D，-2024是实数，即，D正确. 故选：D 【典型例题2】已知集合下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据元素与集合的关系求解. 【详解】因为， 所以A、C错误， 因为，所以，所以B错误， 又，所以，所以D正确， 故选:D． 【典型例题3】已知，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由元素与集合关系的判断， 【详解】对于A，令，得，则，故A错误， 对于B，令，得，则，故B错误， 对于C，令，得，则，故C错误， 对于D，令，得，则，故D正确， 故选：D 【变式训练3-1】已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先化简集合，根据元素与集合的关系可得答案. 【详解】因为，所以. 故选：D. 【变式训练3-2】已知集合，，则与集合A的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对平方后得到，从而得到，. 【详解】∵, ∴， ∴， ∴. 故选：A 【变式训练3-3】下列元素与集合的关系中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用元素与集合的关系逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】，，，. 故选：B. 【变式训练3-4】已知a、b、c为非零实数，记代数式的值所组成的集合为M，则下列判断中正确的是（    ） A．0M B．-4M C．2∈M D．4∈M 【答案】D 【分析】对a，b，c分类讨论求出原代数式所有可能得值即可. 【详解】令， 若全为正数，则 ；若全为负数，则， 若中有2个正数一个负数，则，若中有2个负数，1个正数，则， ； 故选：D. 【变式训练3-5】已知集合，，，若，，则必有（        ） A． B． C． D．不属于集合A、B、C中的任何一个 【答案】B 【分析】设出的表示形式，计算后比较各集合的代表元形式可得． 【详解】由题意设，，其中都是整数， 则，其中是整数，可以是奇数也可以是偶数， ∴， 故选：B． 【变式训练3-6】若是R中的元素，但不是Q中的元素，则a可以是（    ） A．3.14 B．-5 C． D． 【答案】D 【分析】由代表实数集，代表有理数集，对四个数判断是无理数即可. 【详解】由题意知a是实数，但不是有理数，故a应为无理数， 故可以为. 故选：D. 题型04：根据元素与集合的关系求参 【典型例题1】已知集合，且，则等于（   ） A．或 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据元素与集合的关系，分两种情况讨论属于集合的情况，再根据集合元素的互异性进行检验. 【详解】当时，得. 此时. 此时集合. 因为不满足集合元素的互异性，所以不符合题意，舍去. 当时，解方程，即，可得或. 若，则，此时集合. 不满足集合元素的互异性，所以不符合题意，舍去. 若，则，此时集合. 符合集合元素的互异性.   故选：C. 【典型例题2】已知集合A中元素x满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知条件列出不等式求解即可. 【详解】∵，∴，解得， 又∵，∴，解得， ∴． 故选：D． 【典型例题3】已知集合，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可知：，解得， 所以实数的取值范围是.故选：A. 【变式训练4-1】若，则的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合元素与集合的关系计算即可得. 【详解】当时，，不满足集合中元素的互异性，舍去； 当时，则，符合题意， 当时，有或，已知当时符合题意， 当时，则，符合题意， 故的取值集合为. 故选：C. 【变式训练4-2】集合，若，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据元素与集合的关系，列出不等式，解出即可. 【详解】∵，， ∴，所以 故选：C. 【变式训练4-3】已知集合中有三个元素：，，，集合中也有三个元素：0，1，． (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值． 【答案】(1)的值为0或 (2)的值为 【分析】（1）若，则或，再结合集合中元素的互异性，能求出的值． （2）当取0，1，时，都有，集合中的元素都有互异性，由此能求出实数的值． 【详解】（1）集合中有三个元素：，，，， 或， 解得或， 当时，，，，成立； 当时，，，，成立． 的值为0或． （2）集合中也有三个元素：0，1，，， 当取0，1，时，都有， 集合中的元素都有互异性，，， ． 实数的值为． 【变式训练4-4】已知集合S满足:若，则.请解答下列问题: (1)若，则S中必有另外两个元素，求出这两个元素. (2)证明:若，则. (3)在集合S中，元素能否只有一个?若能，把它求出来;若不能，请说明理由. 【答案】(1)和. (2)证明见解析 (3)不能，理由见解析 【分析】（1）由得到，进而求出，得到答案； （2），进而得到，化简得到答案； （3）令，方程无解，得到结论. 【详解】（1）因为，所以， 所以，所以，循环. 所以集合S中另外的两个元素为和. （2）由题意，可知且， 由，得， 即， 所以若，则. （3）集合S中的元素不可能只有一个. 理由如下:令， 即. 因为，所以此方程无实数解，所以. 因此集合S中不可能只有一个元素. 题型05：根据集合元素互异性求参 【典型例题1】已知，求. 【答案】 【分析】利用元素与集合的关系以及集合中元素的互异性可求得的值. 【详解】解：当时，集合为，满足题意； 当时，，集合元素不满足互异性，舍去； 当时，可得（舍）或，且当时，集合为，满足题意. 综上所述，. 【典型例题2】已知集合，，若，，则______. 【答案】 【解析】因为，所以或或， 解得或或， 因为，所以或或， 解得或或， 又因为，所以或，即. 故答案为： 【变式训练5-1】已知集合，若，则实数a的值为 ． 【答案】 【分析】根据集合中元素的特征，用集合元素互异性分析即可. 【详解】由集合中元素的互异性得，故，则，又，所以，解得． 故答案为： 【变式训练5-2】（多选）若集合，则实数的取值可以是（    ） A．2 B．3 C． D．5 【答案】BD 【分析】根据集合中元素的互异性求解. 【详解】集合，则，解得，知BD符合. 故选：BD. 【变式训练5-3】设，，已知，，求的值． 【答案】且且且 【分析】根据，结合集合元素的互异性求得参数a的取值. 【详解】由知，，即， 解得且 又集合元素具有互异性，知，即 解得且 综上所述，a的取值为且且且 【变式训练5-4】已知集合，若，则a的值可能为（    ） A．，3 B． C．，3，8 D．，8 【答案】D 【解析】由题意若，解得或，若，解得， 当时，满足题意， 当时，违背了集合中元素间的互异性， 当时，满足题意， 综上所述，a的值可能为，8.故选：D. 【变式训练5-5】集合中的三个元素分别表示某一个三角形的三边长度，那么这个三角形一定不是（　　） A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【答案】A 【分析】根据集合中元素的互异性可得答案. 【详解】根据集合中元素的互异性得， 故三角形一定不是等腰三角形. 故选：A. 题型06：列举法表示集合 【典型例题1】集合用列举法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意整理可得集合，结合常用数集分析判断即可. 【详解】由题意可得：集合. 故选：B． 【典型例题2】集合，用列举法可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接根据条件列举即可. 【详解】解：因为，可得； 所以. 故选：C 【典型例题3】用列举法表示下列给定的集合： (1)方程的实数根组成的集合C； (2)一次函数与的图象的交点组成的集合D． 【答案】(1) (2) 【分析】通过求解方程和方程组，用列举法表示集合即可. 【详解】（1）解方程得：或，所以集合； （2）解方程组得：，所以集合. 【变式训练6-1】已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合，求解中的元素，即可求出集合. 【详解】因为，所以. 故选：C. 【变式训练6-2】集合用列举法表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据绝对值的意义求解即可. 【详解】因为所以 又因为， 所以 故选：C. 【变式训练6-3】用列举法可将集合表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】列举出集合中的元素，结合集合的列举法，即可求解. 【详解】. 集合表示为. 故选：D. 【变式训练6-4】一次函数与的图像的交点所组成的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】联立与即可求出交点，然后用集合表示出来. 【详解】联立方程，解得，即交点为， 则用集合表示为. 故选：C. 【点睛】本题考查用集合表示点的集合，属于基础题. 【变式训练6-5】已知集合M=且，则M等于（    ） A．{2，3} B．{1，2，3，4} C．{1，2，3，6} D．{，2，3，4} 【答案】D 【分析】由元素具有的性质，是6的正约数，由此可得的值． 【详解】因为集合M=且，，所以5-a可能为1，2，3，6， 即a可能为4，3，2，.所以M={，2，3，4}， 故选：D. 【点睛】本题考查集合的概念，确定集合的元素是解题关键．元素所具有的性质是解题的根据． 【变式训练6-6】用列举法表示集合的结果为 . 【答案】 【分析】根据题意可知为的约数，求得的取值，用列举法表示集合即可. 【详解】由可知为的约数，所以， 因为，所以，此时， 集合为. 故答案为：. 【变式训练6-7】方程的解集用列举法表示为 . 【答案】 【分析】先解方程组，再按列举法表示点集的形式写出即可. 【详解】方程，两式相加得，所以， 代入原式得， 所以原方程组的解为， 解集用列举法表示为. 故答案为：. 【变式训练6-8】用列举法表示下列集合： (1)小于10的所有正整数组成的集合； (2)方程的所有实数根组成的集合； (3)直线与y轴的交点所组成的集合； (4)由所有正整数组成的集合. 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）小于10的正整数有，再写成集合即可； （2）解方程，然后写成集合即可； （3）直线与y轴的交点为，再写成集合即可； （4）所有的正整数有1，2，3，4，，写成集合即可. 【详解】（1）设小于10的所有正整数组成的集合为A，那么. （2）设方程的所有实数根组成的集合为B，那么. （3）将代入，得，即交点是，故交点组成的集合是. （4）正整数有1，2，3，4，，故由所有正整数组成的集合为. 【变式训练6-9】用列举法表示下列集合： (1)既是质数又是偶数的整数组成的集合； (2)大于10而小于20的合数组成的集合； (3)方程组的解集组成的集合； (4)中华人民共和国国旗的颜色名称的集合. 【答案】(1) (2) (3) (4){黄色，红色} 【分析】（1）确定出集合中的元素，然后写出集合；（2）确定出集合中的元素，然后写出集合；（3）解方程组得定出集合中的元素，然后写出集合；（4）易知国旗颜色，用列举法表示即可. 【详解】（1）既是质数又是偶数的整数只有2，集合为； （2）大于10而小于20的合数有12，14，15，16，18，集合表示； （3）由得，方程组的解集可累表示为. （4）易知国旗颜色有黄色与红色，所以集合为{黄色，红色}， 题型07 :用描述法表示集合 【典型例题1】对集合{1，5，9，13，17}用描述法来表示，其中正确的是（    ） A．{ x |是小于18的正奇数} B． C． D． 【答案】D 【分析】对照四个选项一一验证： 对于A：{ x |是小于18的正奇数}=即可判断； 对于B：即可判断； 对于C：即可判断； 对于D：即可判断. 【详解】对于A：{ x |是小于18的正奇数}=，故A错误； 对于B：，故B错误； 对于C：，故C错误； 对于D：，故D正确. 故选：D 【典型例题2】集合用描述法可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】找出集合中元素的规律通式即可. 【详解】由，即，从中发现规律， 故可用描述法表示为. 故选：D. 【点睛】本题考查集合的描述法，属于基础题. 【典型例题3】用描述法表示下列集合： (1)平面直角坐标系中的x轴上的点组成的集合； (2)抛物线上的点组成的集合； (3)使函数有意义的实数x组成的集合． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）（2）（3）根据各项文字描述写出集合的描述形式即可. 【详解】（1）由x轴上的点的特征为，故集合为； （2）由点在抛物线上，故集合为； （3）由，则，故集合为. 【变式训练7-1】集合用描述法可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】集合表示所有的正奇数组成的集合，令，即可得出正确选项. 【详解】集合表示所有的正奇数组成的集合，令，可以排除ABD， 故选：C 【点睛】本题主要考查集合的表示方法，属于基础题. 【变式训练7-2】集合{(x，y)|y＝2x－1}表示(　　) A．方程y＝2x－1 B．点(x，y) C．平面直角坐标系中的所有点组成的集合 D．函数y＝2x－1图像上的所有点组成的集合 【答案】D 【分析】由集合中的元素的表示法可知集合{（x，y）|y=2x﹣1}表示函数y=2x﹣1图象上的所有点组成的集合． 【详解】集合{（x，y）|y=2x﹣1}中的元素为有序实数对（x，y），表示点，所以集合{（x，y）|y=2x﹣1}表示函数y=2x﹣1图象上的所有点组成的集合． 故选D． 【点睛】本题考查了集合的分类，考查了集合中的元素，解答的关键是明确（x，y）表示点，是基础题． 【变式训练7-3】在直角坐标系内，坐标轴上的点构成的集合可表示为（    ） A．{（x，y）|x＝0，y≠0或x≠0，y＝0} B．{（x，y）|x＝0且y＝0} C．{（x，y）|xy＝0} D．{（x，y）|x，y不同时为零} 【答案】C 【分析】根据坐标轴上的点特征判断选项. 【详解】A.表示轴和轴上的点，但不包含原点，故A错误； B.集合中只有一个元素，就是原点，故错误； C.或，即表示坐标轴上点的集合，故C正确； D.表示平面中的点，但不包含原点，故错误. 故选：C. 【变式训练7-4】由大于且小于的偶数所组成的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据元素所满足的性质可得出结果. 【详解】由题意可知，由大于且小于的偶数所组成的集合是. 故选：D. 【变式训练7-5】用描述法表示一元二次方程的全体，应是（    ） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【分析】根据描述法的格式与一元二次方程的一般形式求解即可 【详解】∵一元二次方程的一般形式是，且， 则描述法表示一元二次方程的全体构成的集合为：且 故选：D. 【变式训练7-6】用描述法表示下列集合： (1)平面直角坐标系中第一象限的角平分线上的所有点组成的集合； (2)3的所有倍数组成的集合. 【答案】(1) (2) 【分析】利用集合的描述法即可得解. 【详解】（1）平面直角坐标系中第一象限的角平分线上的所有点组成的集合为； （2）3的所有倍数组成的集合. 【变式训练7-7】用描述法表示下列集合： (1)被3除余1的所有自然数组成的集合； (2)比1大又比10小的所有实数组成的集合； (3)平面直角坐标系中坐标轴上所有点组成的集合. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】利用集合的表示方法即可得解. 【详解】（1）被3除余1的所有自然数组成的集合可表示为； （2）比1大又比10小的所有实数组成的集合可表示为； （3）平面直角坐标系中坐标轴上所有点组成的集合可表示为. 题型08：根据集合元素个数求参 【典型例题1】已知集合，集合A中至少有3个元素，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由集合中至少有3个元素，即可得到的取值范围. 【详解】解：且集合A中至少有3个元素， . 故选：C. 【典型例题2】（多选）集合中有且仅有一个元素，则实数的值可能为（    ） A．1 B． C．0 D．2 【答案】AC 【分析】对方程进行分类讨论，结合一元一次方程、一元二次方程的解法作答． 【详解】集合有且仅有一个元素， 即方程有且仅有一个解， 时，解为，符合， 时，方程为一元二次方程，由，得， 综上，或，可知AC符合． 故选：AC． 【典型例题3】已知，集合. (1)若A是空集，求实数a的取值范围； (2)若集合A中只有一个元素，求集合A； (3)若集合A中至少有一个元素，求实数a的取值范围. 【答案】(1)； (2)当时，；当时，； (3). 【分析】（1）根据空集，结合一元二次方程的判别式求参数范围； （2）（3）讨论、，结合集合元素个数及一元二次方程判别式求集合或参数范围. 【详解】（1）若A是空集，则关于x的方程无解， 此时，且， 所以，即实数a的取值范围是. （2）当时，，符合题意； 当时，关于x的方程应有两个相等的实数根， 则，得，此时，符合题意. 综上，当时；当时. （3）当时，，符合题意； 当时，要使关于x的方程有实数根，则，得. 综上，若集合A中至少有一个元素，则实数a的取值范围为. 【变式训练8-1】由，，3组成的一个集合A，若A中元素个数不是2，则实数a的取值可以是（ ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【解析】由题意由，，3组成的一个集合A，A中元素个数不是2， 因为无解，故由，，3组成的集合A的元素个数为3， 故，即，即a可取2， 即A，B，C错误，D正确，故选：D 【变式训练8-2】已知，若集合A中恰好有5个元素，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知求出集合A，进一步得到m的范围. 【详解】由题意可知，可得. 故选：D 【变式训练8-3】由a2，2－a，4组成一个集合A，且集合A中含有3个元素，则实数a的取值可以是（    ） A．1 B．－2 C．－1 D．2 【答案】C 【分析】利用集合中的元素具有互异性进行求解即可 【详解】由题意知a2≠4，2－a≠4，a2≠2－a，解得a≠±2，且a≠1， 结合选项知C正确， 故选：C. 【变式训练8-4】（多选）已知集合中至多含有一个元素，则实数可以取（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】根据集合至多含有一个元素，得到方程至多有一个根，讨论，两种情况，分别求出对应的的范围，即可得出结果. 【详解】因为集合中至多含有一个元素， 即方程至多有一个根， 当时，方程可化为方程，解得，满足题意； 当时，若方程无解，则，解得或； 若方程只有一个根，则，解得， 综上实数的范围为或或；即ABC都正确，D错误. 故选：ABC. 【点睛】本题主要考查集合中元素个数求参数的问题，属于基础题型. 【变式训练8-5】关于x的方程的解集中只含有一个元素，则k的值不可能是（   ） A．0 B．-1 C．1 D．3 【答案】C 【分析】根据方程解的情况分类讨论求即可. 【详解】关于的方程为①，所以，解得或， ①整理可得，②，解集中只含一个元素，所以方程的解会有以下三种情况： ⑴方程②只有一个解，，解得，此时方程②的解为-1，符合要求； ⑵方程②有两个解，其中一个解为0，此时，代入②中解得或-2，符合要求； ⑶方程②有两个解，其中一个解为1，此时，代入②中解得或-3，符合要求； 综上所述或0或3. 故选：C. 【变式训练8-6】已知集合中的元素满足：，且，又集合中恰有三个元素，则整数 ，集合中的元素是 ． 【答案】 6 3，4，5 【解析】由题意知， 又，，且集合P中恰有三个元素，所以， 此时集合P中的元素是3，4，5． 故答案为：6；3，4，5. 【变式训练8-7】若集合中至多有一个元素，求k的取值范围． 【答案】或 【分析】分和两种情况讨论，结合判别式列式求解即可. 【详解】因为集合中至多有一个元素， 当时，，符合题意； 当时，则，解得； 综上所述：k的取值范围或. 【变式训练8-8】若集合中有2个元素，求k的取值范围． 【答案】且． 【分析】根据一元二次方程根的情况即可由判别式求解. 【详解】由题意得且，解得且. 故实数k的取值范围为且． 题型09：利用集合中元素性质求集合元素个数 【典型例题1】已知集合，，则集合B中元素个数为（    ） A．5 B．6 C．8 D．9 【答案】A 【分析】根据给定条件分析a，b取值即可判断作答. 【详解】集合，， 则当时，有，当时，或，当时，或， 所以，集合B有中5个元素. 故选：A 【典型例题2】由实数所组成的集合，最多可含有（    ）个元素 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解析】把分别可化为，，，，，，根据集合中元素的互异性，即可得到答案． 【详解】由题意，当时所含元素最多， 此时分别可化为，，， 所以由实数所组成的集合，最多可含有3个元素． 故选：B 【典型例题3】“ booknote中字母”构成一个集合，该集合的元素个数是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】由集合中元素不能重复，在booknote中找出不同字母的个数，可得答案. 【详解】booknote中有不同的字母 共6个 所以由 booknote中字母”构成一个集合的元素共有6个 故选：B 【点睛】本题考查集合中元素的特征，元素不能重复，属于基础题. 【变式训练9-1】若A = {2，3，4}，B = {x | x = n·m，m，n∈A，m≠n}，则集合B的元素个数为 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】集合A中取两个不同的元素共有3中不同取法：2和3,2和4 ，3和4， 它们的乘积结果是：， 所以集合B=， 集合B的元素个数为：3 故选B 【变式训练9-2】已知集合，，则中的元素个数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】采用列举法，分别计算出的值，结合集合的互异性，可得集合，从而知集合中的元素个数. 【详解】当，分别为时，可得分别为； 当，分别为时，可得分别为； 当，分别为时，可得分别为. 根据集合的互异性，可知，共有5个元素. 故选：. 【变式训练9-3】定义集合，设集合，，则中元素的个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合的新定义求得，从而确定正确答案. 【详解】因为，， 所以， 故中元素的个数为. 故选：B. 【变式训练9-4】已知集合中所含元素的个数为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】根据题意利用列举法写出集合，即可得出答案. 【详解】解：因为， 所以中含6个元素． 故选：C. 【变式训练9-5】若以方程和的所有的解为元素组成集合，则中元素个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】解一元二次方程，由此求得集合，并求得元素的个数. 【详解】或， 或， 所以，集合有个元素.故选：C 【变式训练9-6】设集合，则中元素的个数为 【答案】4 【分析】根据列举法，写出集合中元素，即可得出结果. 【详解】将满足的整数对列举出来，有（0,0）,（1,0）,（1,1）,（0,1），共4个. 故答案为：4 【变式训练9-7】已知集合，则集合B中有________个元素． 【答案】6 【分析】由题意分类讨论x的取值，确定y的值，即可求得答案. 【详解】因为，所以． 当时，； 当时，或； 当时，． 故集合，即集合B中有6个元素， 故答案为：6 题型10：集合元素互异性的应用 【典型例题】有4根火柴棒的长度可以构成一个四元数集，将这4根火柴棒首尾相接连成一个平面四边形，则这个平面四边形可能是（    ） A．梯形 B．矩形 C．菱形 D．等腰梯形 【答案】A 【分析】根据集合中元素的互异性，可得四个元素互不相等，结合选项，即可求解. 【详解】可得四个元素互不相等，则四条边互不相同， 所以不可能围成矩形、菱形和等腰梯形，有可能连成梯形. 故选：A. 【变式训练10-1】已知一个三角形的三边长为一个集合的3个元素，该三角形一定不可能是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】D 【分析】根据集合元素的互异性可以得出答案 【详解】因为三角形的三边长为一个集合的3个元素，根据集合元素的互异性，三角形的三条边长互不相等，所以一定不可能是等腰三角形. 故选：D. 题型11：集合的分类 【典型例题】（多选）下列集合是有限集的是（    ） A．不超过π的正整数构成的集合 B．平方后等于自身的数构成的集合 C．高一（2）班中体重在55kg以上的同学构成的集合 D．所有小于2的整数构成的集合 【答案】ABC 【分析】不超过的正整数有1，2，3，据此可以判断A；平方后等于自身的数有0和1，据此可以判断B；高一（2）班体重在55以上的同学个数一定，据此可以判断C；所有小于2的整数有无数个，据此可以判断D. 【详解】对于A，不超过的正整数有1，2，3，构成的集合是有限集，A对； 对于B，平方后等于自身的数有0和1，构成的集集合是有限集，B对； 对于C，高一（2）班中体重在以上的同学人数一定，构成的集合是有限集，C对； 对于D，所有小于2的整数有无数个，因此构成的集合属于无限集. 故选：ABC. 【变式训练11-1】下列给出的对象能构成集合并且为无限集（含有无限个元素的集合）的是（    ） A．所有很大的实数组成的集合 B．满足不等式的所有整数解组成的集合 C．所有大于的偶数组成的集合 D．所有到轴距离均为1的点组成的集合 【答案】C 【分析】根据集合的性质、有限和无限集定义，结合各选项的描述判断对应集合是否符合要求即可. 【详解】A：“很大的实数”的标准不确定，故不能组成集合，错误； B：满足不等式的所有整数解为有限集，错误； C：所有大于的偶数组成的集合为，为无限集，正确； D：所有到轴距离均为1的点组成的集合中只有4个元素，错误. 故选：C 【变式训练11-2】设集合A＝{周长为4cm的正方形}，B＝{面积为4cm2的长方形}，则正确的是（    ） A．A，B都是有限集 B．A，B都是无限集 C．A是无限集，B是有限集 D．A是有限集，B是无限集 【答案】D 【分析】先依据集合A限制条件判定其为是有限集；再依据集合B限制条件判定其为无限集，进而得到正确答案. 【详解】集合A：周长为4cm的正方形，可以解得边长1cm，这样的正方形只有1个． 所以为有限集． 集合B：面积为4cm2的长方形，长与宽可以任意变化，这样的长方形有无数个， 所以为无限集． 故选：D． 【变式训练11-3】（多选）下列集合是无限集的是（    ） A．是能被3整除的数 B． C． D．是面积为1的菱形 【答案】ABD 【分析】A选项，能被3整除的数有无数个，A正确；B选项，满足的实数有无数个，B正确；C选项，列举法表示出，为有限集；D选项，面积为1的菱形有无数个，所以为无限集. 【详解】对于A，能被3整除的数有无数个，所以为无限集； 对于B，满足的实数有无数个，所以集合为无限集； 对于C，该集合可表示为，为有限集； 对于D，面积为1的菱形有无数个，所以为无限集． 故选：ABD． 【变式训练11-4】选择适当的方法表示下列集合，并指出哪些是有限集，哪些是无限集． (1)大于1且小于70的正整数构成的集合A； (2)小于8的质数组成的集合C； (3)方程的实数根组成的集合D； (4)函数图象上的所有点组成的集合E； (5)不等式 的解组成的集合F． 【答案】(1)，是有限集 (2)，是有限集 (3)，是有限集 (4)，是无限集 (5)，是无限集 【分析】（1）（2）（3）（4）（5）根据描述写出集合的描述形式，即可判断有限或无限. 【详解】（1）由大于1且小于70的正整数，则，故，是有限集； （2）因为小于8的质数有2，3，5，7，所以，是有限集． （3）方程的实数根为、，所以，是有限集． （4）由表示坐标系中的曲线，故，是无限集． （5）由，得，所以，是无限集． 题型12：根据集合相等关系进行计算 【典型例题】已知集合，．若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据集合的互异性求出和即可. 【详解】由题意可知，两集合元素全部相等，得到或， 若，解得，此时，不满足集合的互异性； 若，解得（舍）或， 当时，，符合题意，所以， 所以. 故选：B 【变式训练12-1】集合，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据集合相等可知方程有相等实根2，即可由根与系数关系求解. 【详解】因为集合， 所以方程有相等实根2， 根据根与系数的关系可知，， 所以， 故选：B 【点睛】本题主要考查了根据集合的元素求参数，一元二次方程，属于容易题. 【变式训练12-2】设a，，若集合，则 . 【答案】0 【分析】利用集合相等以及，可得，即，代入原式可得的值，进而求出答案． 【详解】由题意可知：， 因为，则，可得， 则，可得，且满足， 所以. 故答案为：0. 【变式训练12-3】已知集合，则 . 【答案】1 【分析】根据集合相等结合集合的互异性可得，，即可得结果. 【详解】因为，可知， 可得，则，解得， 若，则，不合题意； 若，则，符合题意； 综上所述：，. 所以. 故答案为：1. 题型13：根据两个集合相等求参数 【典型例题】若集合，且，则实数的值为 （    ）. A．或 B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据集合相等可得，运算求解即可. 【详解】因为，且， 则，解得或. 故选：D. 【变式训练13-1】已知数集，则由实数a的值组成的集合为 ． 【答案】 【分析】让依次等于，得出相应的进行讨论即可求解. 【详解】若，则，此时，故满足题意； 若，则，此时，这违背了集合中元素的互异性，故不满足题意； 若，则，此时，故满足题意； 故所求集合为. 故答案为：. 【变式训练13-2】已知集合M中含有三个元素2，a，b，集合N中含有三个元素2a,2，b2，且两集合相等，求a，b的值． 【答案】a＝0，b＝1或a＝ ，b＝ 【详解】试题分析：根据集合相等的条件:元素完全相同，建立方程即可得到a，b的值,要注意检验是否符合集合元素的互异性. 试题解析： 由题意，得或 解得或或 经检验，a＝0，b＝0不合题意；a＝0，b＝1或a＝，b＝合题意． 所以，a＝0，b＝1或a＝，b＝. 题型14：区间与集合的相互表示 【典型例题】集合用区间表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据集合的表示方法，集合用区间表示为.故选：D. 【变式训练14-1】下列叙述正确的是（    ） A．用区间可表示为 B．用区间可表示为 C．用集合可表示为 D．用集合可表示为 【答案】D 【解析】对于A，用区间可表示为，错误； 对于B，用区间可表示为，错误； 对于C，用集合可表示为，错误； 对于D，用集合可表示为，正确；故选：D 【变式训练14-2】 （1）用区间表示且为 ． （2）已知区间，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】（1）且用区间可表示为， （2）由题意得，得，即的取值范围. 故答案为：；. 题型15：集合与方程的综合问题 【典型例题】已知集合只有一个元素，则实数的值为（   ） A．1或0 B．0 C．1 D．1或2 【答案】A 【解析】若集合只有一个元素，则方程只有一个解， 当时，方程可化为，满足题意， 当时，方程只有一个解，则，解得， 所以或.故选：. 【变式训练15-1】集合有且仅有2个子集，则的取值集合为 【答案】 【解析】因为集合有且仅有2个子集，所以集合只有一个元素， 所以方程即只有一个根， 当时，方程为即，此时，符合题意； 当时，方程为即，此时，符合题意； 当时，原方程化为，所以， 解得，经检验，符合题意，所以的取值集合为. 故答案为：. 【变式训练15-2】已知集合，其中. (1)若集合中有且仅有一个元素，求实数组成的集合. (2)若集合中至多有一个元素，求实数的取值范围. 【答案】(1)；(2)或 【解析】（1）若，方程化为，此时方程有且仅有一个根； 若，则当且仅当方程的判别式，即时， 方程有两个相等的实根，此时集合A中有且仅有一个元素， ∴所求集合； （2）集合A中至多有一个元素包括有两种情况， ①A中有且仅有一个元素，由（1）可知此时或， ②A中一个元素也没有，即，此时，且，解得， 综合①②知的取值范围为或. 题型16：集合的新定义问题 【典型例题1】定义若则中元素个数为（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】D 【解析】因为且， 当时，可能为，此时的取值为：； 当时，可能为，此时的取值为：； 当时，可能为，此时的取值为：； 综上可知：，所以集合中元素个数为5，故选：D. 【典型例题2】用表示非空集合A中元素的个数，定义，若，，且，设实数a的所有可能取值构成集合S，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【解析】由于，，且，则或. 显然，则，故， 当是的根时，则，解得， 此时方程为，解得，满足题意； 当不是的根时，有两个相等的实数根， 故，从而， 综上所述，.故选：B. 【变式训练16-1】设非空数集同时满足条件：①中不含元素；②若，则.则下列结论正确的是（    ） A．集合中至多有2个元素 B．集合中至多有3个元素 C．集合中有且仅有4个元素 D．集合中至少有5个元素 【答案】C 【解析】因为若，则， 所以，，则， 当时，4个元素中，任意两个元素都不相等， 所以集合中有且仅有4个元素，故选：C 【变式训练16-2】设集合含有，1两个元素，含有，2两个元素，定义集合，满足，且，则中所有元素之积为（    ） A． B． C．8 D．16 【答案】C 【解析】由题意，， 由集合的定义可知，集合中有以下元素： ①，②，③，④， 根据集合中元素满足互异性去重得， 所以中所有元素之积为.故选：C. 【变式训练16-3】【多选】若对任意，，则称为“影子关系”集合，下列集合为“影子关系”集合的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据“影子关系”集合的定义逐项分析即可. 【详解】根据“影子关系”集合的定义， 可知，，为“影子关系”集合， 由，得或，当时，，故不是“影子关系”集合． 故选：ABD 【变式训练16-4】设A是整数集的一个非空子集，对于，若，且，则称k是A的一个“孤立元”，集合中的“孤立元”是___________；对给定的集合，由S中的4个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合有___________个． 【答案】 5 6 【分析】①根据题意，依次判断每个元素是否为“孤立元”即可； ②根据①中分析可知，不含“孤立元”是指在集合中有与k相邻的元素，依次写出满足不含“孤立元”的集合即可. 【详解】解：①对于1，，则1不是“孤立元”； 对于2，，且，则2不是“孤立元”； 对于3，，则3不是“孤立元”； 对于5，，且，则5是“孤立元”； ②根据①中分析可知，不含“孤立元”是指在集合中有与k相邻的元素， 所以由S中的4个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合有，，，，，，共6个， 故答案为：5；6. 【变式训练16-5】对于任意两个正整数，，定义运算⊕如下： ①当，奇偶性相同时，； ②当，奇偶性不同时，． 若集合，则的元素个数为__________． 【答案】 【分析】根据定义结合已知条件，对、分都是正偶数，都是正奇数，一个为正偶数，另一个为正奇数三种情况讨论即可求解 【详解】因为， 当、都是正偶数时，则集合中含有，，，，共个元素； 当、都是正奇数时，则集合中含有，，，，，共个元素； 当、一个为正偶数，一个为正奇数，则集合中含有，，，共个元素； 所以的元素共有个. 故答案为： 【变式训练16-6】【多选】当两个集合中一个集合为另一个集合的子集时，称这两个集合构成“全食”；当两个集合有公共元素，但互不为对方子集时，称这两个集合构成“偏食”，对于集合，若与构成“偏食”，则实数取值可以是（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】BD 【分析】根据“偏食”的定义进行求解即可 【详解】因为集合，且与构成“偏食”， 所以或， 当时，得，此时，符合题意， 当时，得，此时，符合题意， 综上，或， 故选：BD （一）选择题 1.下列各组对象不能组成集合的是（    ） A．2019篮球世界杯参数队伍 B．中国文学四大名著 C．抗日战争中著名的民族英雄 D．我国的直辖市 【答案】C 【分析】根据集合中的元素需满足确定性，一一判断即可． 【详解】解：A，B，D所表示的对象都能确定，能组成集合， 选项C抗日战争中著名的民族英雄，怎样算著名不能确定，不能组成集合， 故选：C． 【点睛】本题主要考查集合的概念，集合元素的确定性，难度不大，属于基础题． 2.若，，，为集合中的4个元素，则以，，，为边长构成的四边形可能是（    ） A．菱形 B．平行四边形 C．梯形 D．正方形 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用集合元素的互异性即可判断得解. 【详解】由，，，为集合中的4个元素，得，，，两两不相等， 而菱形、正方形的四边相等，平行四边形两组对边分别相等， 则以，，，为边长构成的四边形不可能为菱形、平行四边形、正方形，ABD不是； 又梯形两底不等，两腰可以不等，因此以，，，为边长构成的四边形可能是梯形，C是. 故选：C 3. 下列命题中正确的是（    ） ①与表示同一个集合 ②由1，2，3组成的集合可表示为或 ③方程的所有解的集合可表示为 ④集合可以用列举法表示 A．只有①和④ B．只有②和③ C．只有② D．以上都对 【答案】C 【分析】由集合的表示方法判断①，④；由集合中元素的特点判断②，③． 【详解】解：对于①，由于“0”是元素，而“”表示含0元素的集合，而不含任何元素，所以①不正确； 对于②，根据集合中元素的无序性，知②正确； 对于③，根据集合元素的互异性，知③错误； 对于④，由于该集合为无限集、且无明显的规律性，所以不能用列举法表示，所以④不正确. 综上可得只有②正确. 故选：C. 4.下列说法正确的是（    ） A．，，，是两个集合 B．中有两个元素 C．是有限集 D．是空集 【答案】C 【分析】根据集合的定义判断． 【详解】在中，由集合中元素的无序性， 得到，，，是同一个集合，故错误； 在中，中有一个元素，故错误； 在中，，2，3，，是有限集，故正确； 在中，，，不是空集，故错误. 故选：. 【点睛】本题考查集合的概念，掌握集合的概念，集合元素的性质：确定性、互异性、无序性是解题关键． 5.已知集合且，则下列判断不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可知集合表示奇数集，集合表示偶数集，是奇数，是偶数，然后依次对，，，进行判断即可得出结果. 【详解】根据集合可知， 集合表示奇数集，集合表示偶数集，又，所以是奇数，是偶数； 对于A，因为两个奇数的乘积为奇数，所以，即A正确； 对于B，因为一个奇数和一个偶数的乘积为偶数，所以，即B正确； 对于C，因为两个奇数的和为偶数，所以，即C正确； 对于D，因为两个奇数与一个偶数的和为偶数，所以，所以D错误； 故选：D 6.若，则的可能值为（    ） A．0，2 B．0，1 C．1，2 D．0，1，2 【答案】A 【分析】根据，分，，讨论求解. 【详解】因为， 当时，集合为，不成立； 当时，集合为，成立； 当时，则（舍去）或，当时，集合为，成立； ∴或. 故选：A 7.已知集合，，则集合中的元素的个数为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】由题知以，即，故，进而得答案. 【详解】解：因为，， 所以，即 所以， 故，即集合中的元素的个数为个. 故选：C 8.给出下列关系：①∈R；②∈Q；③－3Z；④N，其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据数集的定义，即可得答案； 【详解】是实数，①正确；是无理数，②错误；－3是整数，③错误；－是无理数，④正确. 所以正确的个数为2. 故选：B. 9.（多选）下列说法正确的是（    ） A．方程的解集中有两个元素 B． C．2 D． 【答案】CD 【分析】利用集合元素的性质、元素与集合的关系判断作答. 【详解】对于A，方程有等根1，因此方程的解集中只有1个元素，A错误； 对于B，0是自然数，B错误； 对于C，2是最小的质数，C正确； 对于D，是正分数，是有理数，D正确. 故选：CD 10.（多选）已知集合，则下列属于集合A的元素有（    ） A． B．2 C．4 D．6 【答案】BCD 【分析】根据集合中元素的要求求解即可. 【详解】解：由题意得： 的取值为，解得满足要求的为2，4，5，6，7，9，10，11，12，14，20 故选：BCD （二）填空题 1.已知集合，，则的值为 . 【答案】/ 【分析】利用元素与集合的关系得到关于的方程，解之即可得解. 【详解】因为，， 所以是的一个解，即，解得， 经检验，满足题意. 故答案为： 2.已知集合，且，则的值为 . 【答案】3或2 【分析】根据给定条件，利用元素与集合的关系，结合集合元素的性质求解即得. 【详解】由，且， 得或， 解得或， 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不符合元素的互异性，舍； 所以的值为3或2. 故答案为：3或2 3.设集合，则用列举法表示集合为 ． 【答案】 【分析】根据题意可得，则，对代入检验，注意集合的元素为坐标． 【详解】∵，则可得，则 又∵，则当成立，当成立， ∴ 故答案为：． 4.已知集合中有两个元素，则实数m的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题意可知：有2个不同的实数根，利用判别式列式求解即可. 【详解】由题意可知：有2个不同的实数根， 则，解得且， 所以实数m的取值范围是. 故答案为：. 5.已知集合、．若，则 ． 【答案】 【分析】根据、集合的性质可得答案. 【详解】由，解得，或，或，或， 当时，、，满足，则； 当时，，构不成集合，舍去； 当时，，构不成集合，舍去； 当时，、，满足，则； 由，解得，或，或，或， 当时，，构不成集合，舍去； 当时， ，构不成集合，舍去； 当时， 、，满足，则； 当时，、，满足，则， 综上，，. 故答案为：. （三）解答题 1.试用集合表示图中阴影部分（含边界）的点. 【答案】 【分析】直接用集合的描述法将点集表示出来. 【详解】由题意可得， 所以图中阴影部分（含边界）的点组成的集合为. 【点睛】本题考查了用描述法表示点集，属于基础题. 2.已知集合A＝{x|ax2+3x+1＝0}中有且只有一个元素，求由实数a组成的集合． 【答案】 【分析】分a＝0和 a≠0两种情况讨论得解. 【详解】∵集合A＝{x|ax2+3x+1＝0}中有且只有一个元素， 当a＝0时，，符合题意； 当a≠0时，要使A只有一个元素，需要满足Δ＝9﹣4a＝0，即； 综上所述，由实数a组成的集合为． 3.数集M满足条件：若，则. （1）若，求集合M中一定存在的元素； （2）集合M内的元素能否只有一个？请说明理由； （3）请写出集合M中的元素个数的所有可能值，并说明理由. 【答案】（1）；（2）不能，理由见解析；（3）见解析. 【分析】（1）由，令，代入已知关系式，循环代入直到再次出现为止，即可得到集合M中的元素. （2）假设M中只有一个元素a，则，方程无解，即不可能只有一个. （3）由（1）的方法可得集合M中可能出现4个元素分别为：，然后分别检验四个元素是否相等，从而得到元素个数的所有可能值. 【详解】（1）由，令，则由题意关系式可得：，，，而，所以集合M中一定存在的元素有：. （2）不，理由如下： 假设M中只有一个元素a，则由，化简得，无解，所以M中不可能只有一个元素. （3）M中的元素个数为，理由如下： 由已知条件，则，以此类推可得集合M中可能出现4个元素分别为：，由(2)得， 若，化简得，无解，故； 若，化简得，无解，故； 若，化简得，无解，故； 若，化简得，无解，故； 若，化简得，无解，故； 综上可得：，所以集合M一定存在的元素有，当取不同的值时，集合M中将出现不同组别的4个元素，所以可得出集合M中元素的个数为. 【点睛】本题考查集合中元素与集合的关系，考查集合中元素个数的问题，考查分析能力和计算能力，属于基础题. 4.下列集合哪些是空集？哪些是有限集？哪些是无限集？ (1)一元二次方程的全体实数根组成的集合； (2)满足条件的所有实数组（x，y）组成的集合； (3)满足条件和的实数x组成的集合； (4)我国的少数民族组成的集合. 【答案】(1)是有限集 (2)是无限集 (3)是空集 (4)是有限集 【分析】（1）利用判别式判断即可； （2）根据二次一次方程的性质分析判断； （3）解不等式组判断； （4）根据有限集的定义判断. 【详解】（1）因为，所以有两个不相等的实根， 所以一元二次方程的全体实数根组成的集合有两个元素，为有限集； （2）因为方程有无数组解， 所以满足条件的所有实数组（x，y）组成的集合为无限集； （3）由，得，不等式组无解， 所以满足条件和的实数x组成的集合为空集； （4）因为我国的少数民族的个数是有限的， 所以我国的少数民族组成的集合为有限集. 5.选择适当方法表示下列集合： (1)方程的解构成的集合； (2)在自然数集内，小于的奇数构成的集合； (3)不等式的解构成的集合； (4)大于且不大于的自然数的全体构成的集合； (5)方程组的解构成的集合． 【答案】(1) (2)且 (3) (4) (5)或 【分析】（1）（4）（5）用列举法表示即可；（2）（3）用描述法表示即可. 【详解】（1）由，解得或， 所以方程的解构成的集合可表示为； （2）在自然数集内，小于的奇数构成的集合可表示为且； （3）由，解得， 则不等式的解构成的集合可表示为； （4）大于且不大于的自然数有，，，，，， 所以大于且不大于的自然数的全体构成的集合可表示为； （5）由，解得， 所以方程组的解构成的集合可表示为或； 6．用适当的方法表示下列集合： (1)大于0且不超过6的全体偶数组成的集合； (2)被3除余1的所有自然数组成的集合； (3)平面直角坐标系上第二象限的点组成的集合； (4)不等式的解集组成的集合． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 (4)答案见解析 【分析】（1）利用列举法表示集合A. （2）（3）（4）利用描述法表示给定的集合. 【详解】（1）用列举法：. （2）用描述法：. （3）用描述法：且. （4）用描述法：. 7．用适当的方法表示下列集合，并判断它是有限集还是无限集. (1)不等式的解集； (2)二元二次方程组的解集； (3)由大于且小于9的偶数组成的集合. 【答案】(1)，无限集 (2)，有限集 (3)，有限集 【分析】（1）直接解不等式即可，解集为无限，用描述法表示； （2）解方程组，解集为有限，用列举法表示； （3）元素有限个，所以用列举法表示. 【详解】（1）因为，所以解集为，为无限集； （2）二元二次方程组，所以，解得或， 所以解集为，为有限集； （3）大于且小于9的偶数有， 所以解集为，为有限集. 8.已知集合A是由关于x的方程的实数根组成的集合. (1)当A中有两个元素时，求实数a的取值范围； (2)当A中没有元素时，求实数a的取值范围； (3)当A中有且仅有一个元素时，求实数a的值，并求出此元素. 【答案】(1)，且 (2) (3)答案见解析 【分析】（1）由一元二次方程根的情况令，且判别式大于零求解即可； （2）由一元二次方程根的情况令，且判别式小于零求解即可； （3）分与不等于零的情况，当时，令判别式大于零. 【详解】（1）当A中有两个元素时，关于x的方程有两个不相等的实数根，所以，且，解得，且. （2）当A中没有元素时，关于x的方程没有实数根，所以，且，解得. （3）当A中有且仅有一个元素时，关于x的方程有一个实数根或有两个相等的实数根. 当时，方程的根为；当时，令，解得，此时. 综上所述，当时，集合A中有且仅有一个元素；当时，集合A中有且仅有一个元素. 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 集合的概念及表示方法 目 录 思维导图 2 高考分析 2 学习目标 3 知识要点 3 解题策略 6 题型归纳 7 题型01：判断元素是否构成集合 7 题型02：判断是否为同一集合 7 题型03：判断元素和集合的关系 9 题型04：根据元素与集合的关系求参 10 题型05：根据集合元素互异性求参 12 题型06：列举法表示集合 13 题型07 : 用描述法表示集合 15 题型08：根据集合元素个数求参 17 题型09：利用集合中元素性质求集合元素个数 19 题型10：集合元素互异性的应用 21 题型11：集合的分类 21 题型12：根据集合相等关系进行计算 22 题型13：根据两个集合相等求参数 23 题型14：区间与集合的相互表示 23 题型15：集合与方程的综合问题 24 题型16：集合的新定义问题 24 巩固提升 25 1. 考查难度：基础低档题，必考送分题，极少出难题 2. 考查题型：选择题1~2题，偶尔填空，不单独出大题 3. 高频考点 ①集合元素确定性、互异性、无序性（易错高频坑） ②元素与集合、集合与集合符号区分（∈ / ⊆） ③列举法、描述法、区间法正确表示集合 ④数集符号：N、N₊、Z、Q、R识别 4. 命题特点 ①常结合不等式定义域、值域考集合化简 ②重点考细节易错点，不考复杂推理 ③高考占分5分左右，属于开篇基础，贯穿整个高中数学 1. 理解集合定义，牢记集合三大特性，会检验互异性陷阱。 2. 熟练辨认常用数集符号，准确区分元素与集合关系符号。 3. 掌握列举法、描述法、图示法，规范书写集合。 4. 能看懂不等式集合、数集、点集，正确转换表达形式。 5. 夯实基础，为后续交集、并集、补集、函数定义域打好铺垫。 6. 规范数学语言，避免符号写错、格式不规范丢分。 知识点一：集合的概念 1.概念 把一些能够确定的、不同的对象汇集在一起，就说由这些对象组成的一个集合（有时简称集），组成集合的每个对象都是这个集合的元素．集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示，元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示． 2.要点辨析 （1）对象：现实生活中我们看到的、听到的、触摸到的、想到的事和物等，都可以看作“对象”，即集合的元素，它具有广泛性，组成集合的对象可以是数、图形、人、物等． （2）集合：集合是一个原式的、不加定义的概念，就如几何重点、线、面一样无法被“定义”； （3）元素：具有共同特征或共同的属性的对象； （4）总体：集合是一个整体，暗含“所有”“全部”的含义，因此，一些对象一旦组成集合，这个集合就是这些对象的全体，而非个体． 3.集合的三个特性： （1）描述性：“集合”是一个原始的不加定义的概念，它同平面几何中的“点”、“线”、“面”等概念一样，都只是描述性地说明. （2）整体性：集合是一个整体，暗含“所有”、“全部”、“全体”的含义，因此一些对象一旦组成了集合，这个集合就是这些对象的总体. （3）广泛性：组成集合的对象可以是数、点、图形、多项式、方程，也可以是人或物等. 知识点二：元素与集合的关系 1.元素与集合的关系 （1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A． （2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A． 2.集合中元素的三大特性 （1）确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”． 注意：如果元素的界限不明确，即不能构成集合。例如著名的科学家；比较高的人等 （2）互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的． 简记为“互异性”． （3）无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”． 知识点三： 集合的表示方法与分类 1.常用数集及其记法 名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 或 （1）正整数集：全体正整数组成的集合叫做正整数集，记作或. （2）自然数集：全体非负整数组成的集合叫做自然数集，记作. （3）整数集：全体整数组成的集合叫做整数集，记作. （4）有理数集：全体有理数组成的集合叫做有理数集，记作. （5）实数集：全体实数组成的集合叫做实数集，记作. 2.集合的表示方法 （1）自然语言：用文字叙述的形式描述集合的方法.如所有正方形组成的集合，所有实数组成的集合.例如，三角形的集合. （2）列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法叫做列举法． ①元素与元素之间必须用“，”隔开； ②集合中的元素必须是明确的； ③集合中的元素不能重复； ④集合中的元素可以是任何事物． （3）描述法：一般地，设A表示一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线． ①首先应弄清楚集合的属性，是数集、点集还是其他的类型．一般地，数集用一个字母代表其元素，而点集则用一个有序数对来表示． ②若描述部分出现元素记号以外的字母，要对新字母说明其含义或取值范围． ③多层描述时，应当准确使用“且”和“或”，所有描述的内容都要写在集合内． （4）图示法：画一条封闭曲线，用它的内部表示集合． 3.集合的分类 （1）一般地，我们把不含任何元素的集合称为空集，记作∅； （2）集合可以根据它含有的元素个数分为两类：含有有限个元素的集合称为有限集；含有无限个元素的集合称为无限集．空集可以看成含有0个元素的集合，所以空集是有限集． 4.集合相等 给定两个集合A和B，如果组成他们的元素完全相同，就称这两个集合相等，记作A=B． 知识点四： 区间的概念 1.一般区间的表示 设a，b是两个实数，而且a<b，我们规定：这里的实数叫做区间的端点. 在用区间表示连续的数集时，包含端点的那一端用中括号表示，不包含端点的那一端用小括号表示. 定义 名称 符号 数轴表示 闭区间 开区间 半开半闭区间 半开半闭区间 2.实数集R 可以用区间表示为(－∞，＋∞)，“∞”读作“无穷大”， “－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”． 3.特殊区间的表示 定义 符号 数轴表示 ≥ ≤ 在数轴上，用实心点表示包括区间的端点，用空心点表示不包括区间的端点． 1.判断一组对象能否组成集合的标准 判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果此组对象满足确定性，就可以组成集合，否则，不能组成集合.同时还要注意集合中元素的互异性、无序性. 2.元素与集合关系的判断方法 （1）直接法：如果集合中的元素是直接给出，只要判断该元素在已知集合中是否出现即可． （2）推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征． 3.利用集合中元素的特异性求参数 （1）集合问题的核心即研究集合中的元素，在解决这类问题时，要明确集合中的元素是什么； （2）构成集合的元素必须是确定的(确定性)，且是互不相同的(互异性)，书写时可以不考虑先后顺序(无序性)． （3）利用集合元素的特性求参数问题时，先利用确定性解出字母所有可能值，再根据互异性对集合中元素进行检验，要注意分类讨论思想的应用． 4.集合与方程的综合问题 （1）弄清方程与集合的关系，往往是用集合表示方程的解集．集合中的元素就是方程的实数根． （2）当方程中含有参数时，往往要根据方程实数根的情况来确定参数的值或取值范围，有时还要进行分类讨论．求出参数的值或取值范围后还要检验是否满足集合中元素的特性． 5.集合的新定义问题 解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点： （1）紧扣新定义。首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在． （2）用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质． 题型01：判断元素是否构成集合 【典型例题1】下列各组对象不能构成集合的是（    ） A．上课迟到的学生 B．2026年高考数学难题 C．所有有理数 D．小于的正整数 【变式训练1-1】下列四组对象中能构成集合的是（　　） A．宜春市第一中学高一学习好的学生 B．在数轴上与原点非常近的点 C．很小的实数 D．倒数等于本身的数 【变式训练1-2】下列各组对象的全体能构成集合的有（    ） （1）正方形的全体；（2）高一数学书中所有的难题；（3）平方后等于负数的数；（4）某校高一年级学生身高在1.7米的学生；（5）平面内到线段AB两端点距离相等的点的全体. A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式训练1-3】下列对象能构成集合的是（    ） ①所有很高的山峰；②方程的实根；③所有小于10的自然数；④，，． A．①② B．②③ C．①④ D．③④ 【变式训练1-4】下列所给的对象能构成集合的是__________． （1）高中数学必修第一册课本上所有的难题；（2）高一（3）班的高个子； （3）英文26个字母；（4）中国古代四大发明；（5）方程的实数根. 题型02：判断是否为同一集合 【典型例题】下列各组集合中，M与P表示同一集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式训练2-1】下列说法中正确的是（    ） A．1与表示同一个集合 B．由1，2，3组成的集合可表示为或 C．方程的所有解的集合可表示为 D．集合可以用列举法表示 【变式训练2-2】（多选）下面表示同一个集合的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练2-3】（多选）下列说法正确的是（　　） A．由组成的集合可表示为或 B．与是同一个集合 C．集合与集合是同一个集合 D．集合与集合是同一个集合 题型03：判断元素和集合的关系 【典型例题1】下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【典型例题2】已知集合下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【典型例题3】已知，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-1】已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-2】已知集合，，则与集合A的关系是（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-3】下列元素与集合的关系中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练3-4】已知a、b、c为非零实数，记代数式的值所组成的集合为M，则下列判断中正确的是（    ） A．0M B．-4M C．2∈M D．4∈M 【变式训练3-5】已知集合，，，若，，则必有（        ） A． B． C． D．不属于集合A、B、C中的任何一个 【变式训练3-6】若是R中的元素，但不是Q中的元素，则a可以是（    ） A．3.14 B．-5 C． D． 题型04：根据元素与集合的关系求参 【典型例题1】已知集合，且，则等于（   ） A．或 B． C． D． 【典型例题2】已知集合A中元素x满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【典型例题3】已知集合，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练4-1】若，则的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【变式训练4-2】集合，若，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练4-3】已知集合中有三个元素：，，，集合中也有三个元素：0，1，． (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值． 【变式训练4-4】已知集合S满足:若，则.请解答下列问题: (1)若，则S中必有另外两个元素，求出这两个元素. (2)证明:若，则. (3)在集合S中，元素能否只有一个?若能，把它求出来;若不能，请说明理由. 题型05：根据集合元素互异性求参 【典型例题1】已知，求. 【典型例题2】已知集合，，若，，则______. 【变式训练5-1】已知集合，若，则实数a的值为 ． 【变式训练5-2】（多选）若集合，则实数的取值可以是（    ） A．2 B．3 C． D．5 【变式训练5-3】设，，已知，，求的值． 【变式训练5-4】已知集合，若，则a的值可能为（    ） A．，3 B． C．，3，8 D．，8 【变式训练5-5】集合中的三个元素分别表示某一个三角形的三边长度，那么这个三角形一定不是（　　） A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 题型06：列举法表示集合 【典型例题1】集合用列举法表示为（    ） A． B． C． D． 【典型例题2】集合，用列举法可以表示为（    ） A． B． C． D． 【典型例题3】用列举法表示下列给定的集合： (1)方程的实数根组成的集合C； (2)一次函数与的图象的交点组成的集合D． 【变式训练6-1】已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练6-2】集合用列举法表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练6-3】用列举法可将集合表示为（    ） A． B． C． D． 【变式训练6-4】一次函数与的图像的交点所组成的集合是（    ） A． B． C． D． 【变式训练6-5】已知集合M=且，则M等于（    ） A．{2，3} B．{1，2，3，4} C．{1，2，3，6} D．{，2，3，4} 【变式训练6-6】用列举法表示集合的结果为 . 【变式训练6-7】方程的解集用列举法表示为 . 【变式训练6-8】用列举法表示下列集合： (1)小于10的所有正整数组成的集合； (2)方程的所有实数根组成的集合； (3)直线与y轴的交点所组成的集合； (4)由所有正整数组成的集合. 【变式训练6-9】用列举法表示下列集合： (1)既是质数又是偶数的整数组成的集合； (2)大于10而小于20的合数组成的集合； (3)方程组的解集组成的集合； (4)中华人民共和国国旗的颜色名称的集合. 题型07 :用描述法表示集合 【典型例题1】对集合{1，5，9，13，17}用描述法来表示，其中正确的是（    ） A．{ x |是小于18的正奇数} B． C． D． 【典型例题2】集合用描述法可表示为（    ） A． B． C． D． 【典型例题3】用描述法表示下列集合： (1)平面直角坐标系中的x轴上的点组成的集合； (2)抛物线上的点组成的集合； (3)使函数有意义的实数x组成的集合． 【变式训练7-1】集合用描述法可表示为（    ） A． B． C． D． 【变式训练7-2】集合{(x，y)|y＝2x－1}表示(　　) A．方程y＝2x－1 B．点(x，y) C．平面直角坐标系中的所有点组成的集合 D．函数y＝2x－1图像上的所有点组成的集合 【变式训练7-3】在直角坐标系内，坐标轴上的点构成的集合可表示为（    ） A．{（x，y）|x＝0，y≠0或x≠0，y＝0} B．{（x，y）|x＝0且y＝0} C．{（x，y）|xy＝0} D．{（x，y）|x，y不同时为零} 【变式训练7-4】由大于且小于的偶数所组成的集合是（    ） A． B． C． D． 【变式训练7-5】用描述法表示一元二次方程的全体，应是（    ） A． B．且 C． D．且 【变式训练7-6】用描述法表示下列集合： (1)平面直角坐标系中第一象限的角平分线上的所有点组成的集合； (2)3的所有倍数组成的集合. 【变式训练7-7】用描述法表示下列集合： (1)被3除余1的所有自然数组成的集合； (2)比1大又比10小的所有实数组成的集合； (3)平面直角坐标系中坐标轴上所有点组成的集合. 题型08：根据集合元素个数求参 【典型例题1】已知集合，集合A中至少有3个元素，则（    ） A． B． C． D． 【典型例题2】（多选）集合中有且仅有一个元素，则实数的值可能为（    ） A．1 B． C．0 D．2 【典型例题3】已知，集合. (1)若A是空集，求实数a的取值范围； (2)若集合A中只有一个元素，求集合A； (3)若集合A中至少有一个元素，求实数a的取值范围. 【变式训练8-1】由，，3组成的一个集合A，若A中元素个数不是2，则实数a的取值可以是（ ） A． B．1 C． D．2 【变式训练8-2】已知，若集合A中恰好有5个元素，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式训练8-3】由a2，2－a，4组成一个集合A，且集合A中含有3个元素，则实数a的取值可以是（    ） A．1 B．－2 C．－1 D．2 【变式训练8-4】（多选）已知集合中至多含有一个元素，则实数可以取（    ） A． B． C． D． 【变式训练8-5】关于x的方程的解集中只含有一个元素，则k的值不可能是（   ） A．0 B．-1 C．1 D．3 【变式训练8-6】已知集合中的元素满足：，且，又集合中恰有三个元素，则整数 ，集合中的元素是 ． 【变式训练8-7】若集合中至多有一个元素，求k的取值范围． 【变式训练8-8】若集合中有2个元素，求k的取值范围． 题型09：利用集合中元素性质求集合元素个数 【典型例题1】已知集合，，则集合B中元素个数为（    ） A．5 B．6 C．8 D．9 【典型例题2】由实数所组成的集合，最多可含有（    ）个元素 A．2 B．3 C．4 D．5 【典型例题3】“ booknote中字母”构成一个集合，该集合的元素个数是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式训练9-1】若A = {2，3，4}，B = {x | x = n·m，m，n∈A，m≠n}，则集合B的元素个数为 A．2 B．3 C．4 D．5 【变式训练9-2】已知集合，，则中的元素个数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式训练9-3】定义集合，设集合，，则中元素的个数为（   ） A． B． C． D． 【变式训练9-4】已知集合中所含元素的个数为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式训练9-5】若以方程和的所有的解为元素组成集合，则中元素个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式训练9-6】设集合，则中元素的个数为 【变式训练9-7】已知集合，则集合B中有________个元素． 题型10：集合元素互异性的应用 【典型例题】有4根火柴棒的长度可以构成一个四元数集，将这4根火柴棒首尾相接连成一个平面四边形，则这个平面四边形可能是（    ） A．梯形 B．矩形 C．菱形 D．等腰梯形 【变式训练10-1】已知一个三角形的三边长为一个集合的3个元素，该三角形一定不可能是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 题型11：集合的分类 【典型例题】（多选）下列集合是有限集的是（    ） A．不超过π的正整数构成的集合 B．平方后等于自身的数构成的集合 C．高一（2）班中体重在55kg以上的同学构成的集合 D．所有小于2的整数构成的集合 【变式训练11-1】下列给出的对象能构成集合并且为无限集（含有无限个元素的集合）的是（    ） A．所有很大的实数组成的集合 B．满足不等式的所有整数解组成的集合 C．所有大于的偶数组成的集合 D．所有到轴距离均为1的点组成的集合 【变式训练11-2】设集合A＝{周长为4cm的正方形}，B＝{面积为4cm2的长方形}，则正确的是（    ） A．A，B都是有限集 B．A，B都是无限集 C．A是无限集，B是有限集 D．A是有限集，B是无限集 【变式训练11-3】（多选）下列集合是无限集的是（    ） A．是能被3整除的数 B． C． D．是面积为1的菱形 【变式训练11-4】选择适当的方法表示下列集合，并指出哪些是有限集，哪些是无限集． (1)大于1且小于70的正整数构成的集合A； (2)小于8的质数组成的集合C； (3)方程的实数根组成的集合D； (4)函数图象上的所有点组成的集合E； (5)不等式 的解组成的集合F． 题型12：根据集合相等关系进行计算 【典型例题】已知集合，．若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【变式训练12-1】集合，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【变式训练12-2】设a，，若集合，则 . 【变式训练12-3】已知集合，则 . 题型13：根据两个集合相等求参数 【典型例题】若集合，且，则实数的值为 （    ）. A．或 B． C． D．或 【变式训练13-1】已知数集，则由实数a的值组成的集合为 ． 【变式训练13-2】已知集合M中含有三个元素2，a，b，集合N中含有三个元素2a,2，b2，且两集合相等，求a，b的值． 题型14：区间与集合的相互表示 【典型例题】集合用区间表示为（    ） A． B． C． D． 【变式训练14-1】下列叙述正确的是（    ） A．用区间可表示为 B．用区间可表示为 C．用集合可表示为 D．用集合可表示为 【变式训练14-2】 （1）用区间表示且为 ． （2）已知区间，则的取值范围是 ． 题型15：集合与方程的综合问题 【典型例题】已知集合只有一个元素，则实数的值为（   ） A．1或0 B．0 C．1 D．1或2 【变式训练15-1】集合有且仅有2个子集，则的取值集合为 【变式训练15-2】已知集合，其中. (1)若集合中有且仅有一个元素，求实数组成的集合. (2)若集合中至多有一个元素，求实数的取值范围. 题型16：集合的新定义问题 【典型例题1】定义若则中元素个数为（    ） A．1 B．2 C．4 D．5 【典型例题2】用表示非空集合A中元素的个数，定义，若，，且，设实数a的所有可能取值构成集合S，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式训练16-1】设非空数集同时满足条件：①中不含元素；②若，则.则下列结论正确的是（    ） A．集合中至多有2个元素 B．集合中至多有3个元素 C．集合中有且仅有4个元素 D．集合中至少有5个元素 【变式训练16-2】设集合含有，1两个元素，含有，2两个元素，定义集合，满足，且，则中所有元素之积为（    ） A． B． C．8 D．16 【变式训练16-3】【多选】若对任意，，则称为“影子关系”集合，下列集合为“影子关系”集合的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练16-4】设A是整数集的一个非空子集，对于，若，且，则称k是A的一个“孤立元”，集合中的“孤立元”是___________；对给定的集合，由S中的4个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合有___________个． 【变式训练16-5】对于任意两个正整数，，定义运算⊕如下： ①当，奇偶性相同时，； ②当，奇偶性不同时，． 若集合，则的元素个数为__________． 【变式训练16-6】【多选】当两个集合中一个集合为另一个集合的子集时，称这两个集合构成“全食”；当两个集合有公共元素，但互不为对方子集时，称这两个集合构成“偏食”，对于集合，若与构成“偏食”，则实数取值可以是（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 （一）选择题 1.下列各组对象不能组成集合的是（    ） A．2026篮球世界杯参数队伍 B．中国文学四大名著 C．抗日战争中著名的民族英雄 D．我国的直辖市 2.若，，，为集合中的4个元素，则以，，，为边长构成的四边形可能是（    ） A．菱形 B．平行四边形 C．梯形 D．正方形 3. 下列命题中正确的是（    ） ①与表示同一个集合 ②由1，2，3组成的集合可表示为或 ③方程的所有解的集合可表示为 ④集合可以用列举法表示 A．只有①和④ B．只有②和③ C．只有② D．以上都对 4.下列说法正确的是（    ） A．，，，是两个集合 B．中有两个元素 C．是有限集 D．是空集 5.已知集合且，则下列判断不正确的是（    ） A． B． C． D． 6.若，则的可能值为（    ） A．0，2 B．0，1 C．1，2 D．0，1，2 7.已知集合，，则集合中的元素的个数为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 8.给出下列关系：①∈R；②∈Q；③－3Z；④N，其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 9.（多选）下列说法正确的是（    ） A．方程的解集中有两个元素 B． C．2 D． 10.（多选）已知集合，则下列属于集合A的元素有（    ） A． B．2 C．4 D．6 （二）填空题 1.已知集合，，则的值为 . 2.已知集合，且，则的值为 . 3.设集合，则用列举法表示集合为 ． 4.已知集合中有两个元素，则实数m的取值范围是 . 5.已知集合、．若，则 ． （三）解答题 1.试用集合表示图中阴影部分（含边界）的点. 2.已知集合A＝{x|ax2+3x+1＝0}中有且只有一个元素，求由实数a组成的集合． 3.数集M满足条件：若，则. （1）若，求集合M中一定存在的元素； （2）集合M内的元素能否只有一个？请说明理由； （3）请写出集合M中的元素个数的所有可能值，并说明理由. 4.下列集合哪些是空集？哪些是有限集？哪些是无限集？ (1)一元二次方程的全体实数根组成的集合； (2)满足条件的所有实数组（x，y）组成的集合； (3)满足条件和的实数x组成的集合； (4)我国的少数民族组成的集合. 5.选择适当方法表示下列集合： (1)方程的解构成的集合； (2)在自然数集内，小于的奇数构成的集合； (3)不等式的解构成的集合； (4)大于且不大于的自然数的全体构成的集合； (5)方程组的解构成的集合． 6．用适当的方法表示下列集合： (1)大于0且不超过6的全体偶数组成的集合； (2)被3除余1的所有自然数组成的集合； (3)平面直角坐标系上第二象限的点组成的集合； (4)不等式的解集组成的集合． 7．用适当的方法表示下列集合，并判断它是有限集还是无限集. (1)不等式的解集； (2)二元二次方程组的解集； (3)由大于且小于9的偶数组成的集合. 8.已知集合A是由关于x的方程的实数根组成的集合. (1)当A中有两个元素时，求实数a的取值范围； (2)当A中没有元素时，求实数a的取值范围； (3)当A中有且仅有一个元素时，求实数a的值，并求出此元素. 2 学科网（北京）股份有限公司 $