1.7 有理数的混合运算（讲义） 2026-2027学年湘教版数学七年级上册

本讲义聚焦有理数的混合运算核心知识点，系统梳理运算顺序（先乘方，再乘除，最后加减，同级从左到右，有括号先算括号内），作为有理数加、减、乘、除、乘方单一运算的综合应用支架，构建从基础到综合的递进学习路径。 该资料通过含乘方运算、程序流程图应用、算“24点”游戏、新定义运算等多样题型，培养学生运算能力与应用意识。例如算“24点”结合生活游戏情境，新定义运算提升抽象能力，课中助力教师分层教学，课后作业含中考真题与期末题，帮助学生查漏补缺，强化知识掌握。

第一章 有理数 07讲 有理数的混合运算 目录 【知识点1. 有理数的混合运算 1】 【题型1. 含乘方的有理数混合运算 3】 【题型2. 有理数混合运算的应用——程序流程图与有理数计算 6】 【题型3. 有理数混合运算的应用——算“24”点 8】 【题型4. 有理数混合运算的其他应用 9】 【题型5. 有理数混合运算的新定义运算 13】 【课后作业 16】 知识清单 1、有理数的加、减、乘、除、乘方混合运算顺序 1）先算乘方，再算乘除，最后算加减； 2）同级运算，从左到右进行； 3）如果有括号，就先进行括号里面的运算（先小括号，再中括号，最后大括号）。 巩固基础 1．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）按照有理数运算顺序，先计算乘方，再计算加减； （2）利用乘法分配律展开计算，简化运算过程． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2．在小学我们学习过加减乘除运算的顺序是“先乘除，后加减，若有括号，先进行括号内的运算”． 对于下面的计算：，运算顺序是怎样的呢？ 【答案】运算顺序为：先算乘方和括号内的减法，接着算除法和乘法，最后从左到右计算加减． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 3．小明在电脑上设计了一个有理数的运算程序，输入，加键，再输入，得到运算． (1)求的值； (2)小刚在运用此程序计算时，屏幕上显示“该程序无法操作”，请你运用所学的数学知识猜想一下，小刚在输入数据时，可能出现什么情况？为什么？ 【答案】(1) (2) 解：∵运算程序中存在除法运算，除数不能为，即， 如果，那么分母，此时除法运算无意义，程序就无法操作， ∴小刚可能输入的和的值相等，导致分母为，程序无法进行运算 ∴运算程序中除数为，无意义． 【分析】本题考查了有理数的混合运算：先算乘方，再算乘除，然后进行加减运算；有括号先算括号．也考查了阅读理解能力． （）根据新定义计算即可； （）由于除数不能为，当屏幕上显示“该程序无法操作”，小刚在输入数据时，可能输入的和的值相等，． 【详解】（1）解：根据运算程序，， （2）略 直击考点 题型1：含乘方的有理数混合运算 【例1】计算：． 【答案】 【详解】解：原式 ． 【变式1】计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）先计算乘方，再计算乘除法，最后进行加减运算即可得到答案； （）运用乘法分配律进行简便计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式2】计算： 【答案】0 【详解】解： ． 【变式3】计算． (1)； (2) 【答案】(1)60 (2)2 【详解】（1）解： （2）解∶ 【变式4】计算下列各题 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先化为省略加号的和的形式，再计算即可； （2）先计算乘方，再计算乘除即可. 【详解】（1）解：原式 . （2）解：原式 . 【变式5】计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先算有理数乘方，绝对值，再算有理数的乘法，再从左往右依次计算即可； （2）先算括号里的有理数乘方，将除法变为乘法，按照先乘除后加减的顺序计算，最后计算乘法即可． 【详解】（1）解： （2）解： ． 题型2：有理数混合运算的应用——程序流程图与有理数计算 【例1】任意给一个非零数，按如图所示的程序写出输出结果，则与之间的关系式为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】按照程序给出运算顺序列出代数式，然后化简式子即可得到与的关系式． 【详解】解：根据程序步骤列式： ， ， ． 【变式1】按下列所示的程序计算： 若开始输入的的值为，则最后输出的结果是（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【分析】本题主要考查含乘方的有理数混合运算，解题的关键是理解题意；因此此题可根据程序运算图进行代值求解即可． 【详解】解：由题意得：， ， ∴最后输出的结果是4； 故选B． 【变式2】如图，把分别输入数值转换器，则输出的结果是______； 【答案】9 【分析】根据题意只需要计算出的结果即可得到答案． 【详解】解： ， ∴输出的结果是9． 【变式3】如图，某数学活动小组编制了一道有理数加减混合运算题，即输入一个有理数a，按照自左向右的顺序运算，可得计算结果． (1)当时，计算结果是______． (2)若计算结果是4，求输入的a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，解一元一次方程，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键． （1）将代入，根据程序运算进行计算即可求解； （2）根据题意列出方程，进行求解，即可作答． 【详解】（1）解：当时，则； （2）解：由题意可得，， ∴， ∴， ∴， 解得． 题型3：有理数混合运算的应用——“算24点” 【例1】有一种算“24点”的游戏，其游戏规则如下：取四个数，将这四个数（每个数只能用一次）进行加减乘除运算，使其结果等于24．现有四个有理数：3，4，，10，运用上述规则，下列算式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据有理数的运算法则逐项计算可得答案． 【详解】解：A．，故符合题意； B．，故不符合题意； C．，故不符合题意；     D．，故不符合题意； 故选A． 【变式1】将有理数3，4，，10进行加、减、乘、除四则运算（每个数必须用且只能用一次），使其结果等于24，请你写出符合要求的一个算式，即：_____． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了有理数的运算，熟练掌握其运算规则是解题的关键．通过尝试不同的运算组合，利用括号改变运算顺序，使结果等于24即可． 【详解】解： 故答案为：（答案不唯一）． 【变式2】有4张写着不同数字的卡片，每张卡片上的数字只能用一次，选择加、减、乘、除中的适当运算（可加括号），使其运算结果为24，写出算式_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合计算，根据有理数的四则混合计算法则求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【变式3】有一种“二十四点”游戏，其规则：任取4个有理数，把它们进行加、减、乘、除四则运算（每个数用且只能用一次），可以用括号，使其结果为24，如1，2，3，4，可作运算． (1)有理数4，5，7，8，你能算出24吗？ (2)有理数4，5，，，你能算出24吗？ (3)有理数3，，7，中，把它们算出24． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法． （1）根据题目中的信息和要求写出一个算式使其结果为24； （2）根据题意写出一个算式使其结果为24； （3）根据题意写出一个算式使其结果为24． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 题型4：有理数混合运算的其他应用 【例1】计算机利用的是二进制数，它共有两个数码0，1，将一个十进制数转化为二进制数，只需把该数写成若干个数的和，依次写出1或0即可．如为二进制下的5位数，则十进制数是二进制下的(   ) A．10位数 B．11位数 C．12位数 D．13位数 【答案】B 【分析】本题主要考查了十进制数与二进制数的转换，结合题意把十进制数转换成二进制数即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴十进制数是二进制下的11位数 【例2】老师设计了接力游戏，用合作的方式完成有理数运算，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简．过程如图所示： (1)接力中，计算错误的学生有________； (2)请给出正确的计算过程． 【答案】(1)佳佳，昊昊 (2)答案见解析 【分析】（1）根据有理数混合运算的法则进行计算即可，注意负数的乘方； （2）先算乘方，再算乘除，最后算加减即可． 【详解】（1）解：，计算，除法没有分配律， 佳佳计算错误， 昊昊应先计算乘除，最后算加减，不能先计算， 昊昊计算错误， 计算错误的学生有：佳佳，昊昊； （2） ． 【变式1】我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．如图，一位猎人从右往左打结，满七进一，用来记录捕获的猎物数量．由图可知，他一共捕获的猎物数量用十进制数表示为（    ） A．1234 B．617 C．466 D．194 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数乘方的应用，有理数的混合运算，理解题意是解题的关键．根据题意列式即可． 【详解】解：． 故选：C． 【变式2】如图1，是同学“小胡”的准考证号的二维码的简易编码，其中第一行代表二进制的数字11000(黑色代表1，白色代表0)，转化成十进制为：，同理，第二行，第三行代表二进制的数字分别为1110，111，转化成10进制为：14，07，将三行编码组合到一起就是“小胡”的准考证号241407．若图2是本次考试“小张”同学的准考证号的二维码的简易编码，则他的准考证号是_______________ ． 【答案】241027 【分析】本题考查二进制转化为十进制的方法，通过将二进制数中的每一位数字乘以对应的的幂次方，再将结果相加得到十进制数． 根据图可得第一至三行代表二进制的数字，再分别转化为十进制数，即可求解． 【详解】解：根据题意有，第一至三行代表二进制的数字是11000，1010，11011， 转化为十进制分别为， ， ， 将三行编码组合到一起就是“小张”的准考证号241027． 故答案为：241027． 【变式3】阅读材料，根据材料回答： 例1： ． 例2： (1)由上面的材料可总结出一个规律：（用字母表示）______； (2)仿照上面材料或规律计算：； (3)根据（1）的规律计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据材料中的计算示例，总结同指数幂相乘的运算规律； （2）先将带分数转化为假分数，再运用（1）中的规律进行简便计算； （3） 先把小数化为分数，拆分指数使各幂的指数统一，再利用（1）的规律简化式子，最后完成有理数的乘法运算． 【详解】（1）解：由材料中的计算过程可得 （2）解： （3）解： 题型5：有理数混合运算的新定义问题 【例1】定义，例如，则的结果为（     ） A． B． C．1 D．3 【答案】B 【分析】原式利用题中的新定义计算即可求出值． 【详解】解：∵， ∴ ． 【例2】对于任意有理数，，我们规定：． 例如：；． (1)计算： ； (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：； （2）解：． 【变式1】定义一种新运算“”：表示在运算作用下的结果． 若表示在运算作用下的结果，它对一些数的运算结果如下：，，，…… 根据以上定义完成以下问题： 的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了新运算的有关计算及有理数的混合运算，理解新运算的法则是解题的关键． 根据题意可得到，然后把原式变形为，即可求解． 【详解】解：，，，…… 由此发现：， ∴ 故答案为： 【变式2】新定义运算． 已知，是有理数，且． (1)________，________． (2)借助有理数的运算，我们定义了一种关于有理数，的新运算“*”：，例如． ①求的值． ②请判断这种新运算“*”是否满足交换律？通过计算探究是否一定成立？ 【答案】(1)， (2)①；②不满足交换律，不一定成立 【分析】本题考查了有理数的混合运算以及绝对值的非负性和偶次方的非负性，掌握理解新运算的定义是解题关键． （1）根据绝对值的非负性和偶次方的非负性即可求解． （2）①根据题中的新定义结合（1）中数字进行计算即可． ②求出和比较即可． 【详解】（1）解：由条件可知，， ，． 故答案为：，； （2）解：①； ②， ， 所以不一定成立． 【变式3】【概念学习】 现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如，等，类比有理数的乘方，我们把写作读作“2的圈3次方”，写作，读作“的圈4次方”，一般地，把（个，）写作，读作“a的圈n次方”． (1)【初步探究】直接写出计算结果：_________，__________； (2)【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 试一试：仿照上面的算式，把下列除方运算直接写成幂的形式．_________，_________． (3)算一算：． 【答案】(1)；4 (2)； (3) 【分析】（1）根据题中所给定义进行计算即可； （2）根据题中所给示例进行计算即可； （3）结合（1）和（2）的方法进行计算即可． 【详解】（1）解：， ． （2）解：， ． （3）解： ． 课后作业 1．（25-26七年级下·江西景德镇·期末）沫沫同学在学习了“设计自己的运算程序”综合与实践课后，设计了如图所示的运算程序，若开始输入n的值为3，则最后输出的结果y是（    ） A．63 B．3 C．64 D．8 【答案】A 【详解】解：输入n的值为3，， 输入n的值为8，，输出y． 2．（2026·四川攀枝花·中考真题）“快乐数”是指将正整数的每一位数字平方后相加，得到的新数再重复这一过程，最后结果为1的数．以“快乐数”70为例：，则下列数中不是“快乐数”的是（     ） A．3 B．7 C．13 D．31 【答案】A 【分析】根据“快乐数”的定义，对各选项依次重复计算每一位数字的平方和，最终结果为1就是快乐数，否则不是． 【详解】解：A、∵，，，，，，，，，，，，， ∴计算进入循环，无法得到1，故3不是快乐数； B、∵， ∴最终结果为1，故7是快乐数； C、∵，， ∴最终结果为1，故13是快乐数； D、∵，， ∴最终结果为1，故31是快乐数． 3．（2026·山东菏泽·一模）“三进制”逻辑的芯片与传统的“二进制”芯片相比，三进制逻辑芯片在特定的运算中具有更高的效率．二进制数的组成数字为0，1，二进制数转化为十进制数：．三进制数的组成数字为0，1，2，三进制数转化为十进制数：．将二进制数化为三进制数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查不同进制之间的转换，解题思路为先将二进制数转换为十进制数，再将十进制数通过除3取余法转换为三进制数，即可得到结果 【详解】解：∵二进制数的各位权值从右到左依次为 ∴将转换为十进制数得： 即对应的十进制数为14， 接下来将十进制数14转换为三进制，使用除3取余法： ，余数为2； ，余数为1； ，余数为1； 将所得余数倒序排列，得到三进制数为 4．（2026·黑龙江绥化·二模）计算：________． 【答案】 【分析】根据有理数乘方法则、绝对值的性质、有理数混合运算法则计算即可． 【详解】解： ． 5．（25-26七年级下·山西太原·期中）在数学创新实践活动中，同学们需要制作一个的小型身份二维码，这个二维码由16个被涂成黑色或白色小方格组成（黑色代表1，白色代表0）．如图1是小颖同学的身份二维码，其中第一行代表二进制的数字，将二进制数转换成十进制数方法如下：记为07，同理第二行至第四行代表二进制的数字分别转换成十进制的数（不足两位前面添0），依次组合到一起就是小颖同学的编号为07080502，小颖同学按此编号找到自己的位置参加活动．图2是小强同学的身份二维码，请写出小强同学的编号为________ 【答案】10061404 【分析】根据题意先写出每一行代表的二进制数，再进行转化为十进制数，即可求解． 【详解】解：第一行代表二进制的数字； 第二行代表二进制的数字； 第三行代表二进制的数字； 第四行代表二进制的数字， ∴小强同学的编号为10061404． 6．（25-26七年级上·贵州遵义·期末）《易经》中记载：远古时期就有“结绳计数”．一位男孩在从右到左依次排列的绳子上打结用来计数，如图，图中表示男孩用绳结记录的数字，按照五进制记数法，即右边的绳子打结满5个，则此绳子左边的绳子打1个结，原来绳子的结全部打开清零，以此类推，最左边的绳子上的每个结都是中间绳子满5进1得来．根据图中记录的五进制数字，若用十进制表示的数表示男孩捞得的鱼的数量，他一共捞得的鱼的数量为______条． 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．根据题意可以列出算式，然后计算即可． 【详解】解：由图可得， ， ∴他一共捞得的鱼的数量为条， 故答案为：． 7．（25-26七年级上·广东揭阳·期末）计算：． 【答案】6 【详解】解： ． 8．（25-26七年级上·山西吕梁·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 9．（25-26六年级下·黑龙江绥化·期末）计算题 (1)； (2)． 【答案】(1)60 (2) 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 10．（25-26七年级上·河北石家庄·期末）计算 (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 11．（25-26七年级下·安徽亳州·期末）观察以下等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， … 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：____________________； (2)运用你发现的规律求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：由题意得第5个等式：； （2）解： ． 12．（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）学习了有理数的混合运算方法（加、减、乘、除）后，越越和兴兴两个同学在课间分享“二十四点”计算方法．两人的对话如下： 越越：如果看到四个数中有一个是，只要其余三个数能算出是或，，，，都可算出，如：可以列出． 兴兴：有时遇到不能用你的方法算出，可以尝试用除以，也能得到哦！如：，，，，可以列出． 结合上面两位同学的分享，解决下列问题： (1)现给定三个数，，，请从到这些自然数中选一个，使四个数能算出，要求列出算式，并简单说一下你的思考过程． (2)想一想，数字，，，这四个数可以算出吗？如果可以，请列出算式． 【答案】(1) 所选数字为，算式： (2) 可以， 【分析】本题考查有理数的四则混合运算，在理解有关规则的基础上灵活应用有理数的混合运算法则求解是解题关键； （1）根据运算结果为和已知给定的三个数，筛选出合适的数字； （2）根据已给数字有，按照题干所给方法进行判断即可． 【详解】（1）解：当选时， ∵， ∴； 当选时， ∴； 当选时， ∴； 当选时， ∴； 当选时， ∴； 当选时， ∴； 当选时， ∴； 当选时， ∴； 当选时， ∴； 当选时， ∴； 任选其一即可； （2）答：可以，． 13．（25-26七年级上·河北邢台·期末）根据如图所示的程序回答问题： (1)当嘉嘉输入2和这两个数时，请计算说明：他的输出的结果是多少？ (2)当洪洪输入和这两个数时，输出的结果是6，试求被墨水污染的数． 【答案】(1) 解：， ， ∴他的输出结果是； (2)或 【分析】本题主要考查了与流程图有关的有理数运算，解一元一次方程，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）根据题意计算出的结果，若结果为正，则输出结果，若结果非正，则取绝对值输出，据此求解即可； （2）设被墨水污染的数为x，再分两种情况：的结果为正数和的结果为负数，根据题意分别建立方程求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：设被墨水污染的数为x， 当的结果为正数时，则，解得， 当的结果为负数时，则，解得， 综上所述，或 ∴被墨水污染的数为或． 14．（2026·湖北十堰·二模）综合实践 活动目标 认识进位制，理解不同进位制的数之间的转换 材料1 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，也就是说“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几． 十进制数，记作： 八进制数，记作： 二进制数，记作： （，且为整数）进制数转化成与其相等的十进制数，只需要将进制数的每个数字，依次乘的相应次幂相加，就可得到与它相等的十进制数．如：二进制数转十进制数为：． 材料2 十进制整数转化为二进制整数通常采用除二取余法，即用2连续除十进制数，直到商为0，逆序排列余数即可得到二进制数，简称除二取余法．同样的，十进制数转化为八进制数可用除八取余法．例如： 解决问题： (1)十进制数89，转二进制数得_____； (2)十进制数89，转八进制数得_____； (3)二进制数转十进制数得_____ (4)二进制只有0和1两个数字，这正好和电路的断和通两种状态相对应，因此，在计算机内部使用二进制，计算机在进行运算时都是以二进制数进行运算，二进制运算就是逢二进一，再把运算结果转化为十进制数，并输出结果、请根据二进制运算法则：数位对齐，逢二进一，完成下面运算． _____（结果用二进制表示）． 【答案】(1) (2) (3)23 (4) 【分析】（1）按照材料2解答即可； （2）按照材料2解答即可； （3）根据材料1解答即可． （4）根据二进制运算法则“数位对齐，逢二进一”求解即可． 【详解】（1）解：十进制数89，转二进制数如下： 所以； （2）解：十进制数89，转八进制数如下： 所以； （3）解：二进制数，转十进制数如下： （4）解：由题意得， 所以． 1 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 有理数 07讲 有理数的混合运算 目录 【知识点1. 有理数的混合运算 1】 【题型1. 含乘方的有理数混合运算 2】 【题型2. 有理数混合运算的应用——程序流程图与有理数计算 3】 【题型3. 有理数混合运算的应用——算“24”点 4】 【题型4. 有理数混合运算的其他应用 5】 【题型5. 有理数混合运算的新定义运算 7】 【课后作业 8】 知识清单 1、有理数的加、减、乘、除、乘方混合运算顺序 1）先算乘方，再算乘除，最后算加减； 2）同级运算，从左到右进行； 3）如果有括号，就先进行括号里面的运算（先小括号，再中括号，最后大括号）。 巩固基础 1．计算： (1)； (2)． 2．在小学我们学习过加减乘除运算的顺序是“先乘除，后加减，若有括号，先进行括号内的运算”． 对于下面的计算：，运算顺序是怎样的呢？ 3．小明在电脑上设计了一个有理数的运算程序，输入，加键，再输入，得到运算． (1)求的值； (2)小刚在运用此程序计算时，屏幕上显示“该程序无法操作”，请你运用所学的数学知识猜想一下，小刚在输入数据时，可能出现什么情况？为什么？ 直击考点 题型1：含乘方的有理数混合运算 【例1】计算：． 【变式1】计算： (1)； (2)． 【变式2】计算： 【变式3】计算． (1)； (2) 【变式4】计算下列各题 (1) (2) 【变式5】计算： (1)． (2)． 题型2：有理数混合运算的应用——程序流程图与有理数计算 【例1】任意给一个非零数，按如图所示的程序写出输出结果，则与之间的关系式为（   ）． A． B． C． D． 【变式1】按下列所示的程序计算： 若开始输入的的值为，则最后输出的结果是（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【变式2】如图，把分别输入数值转换器，则输出的结果是______； 【变式3】如图，某数学活动小组编制了一道有理数加减混合运算题，即输入一个有理数a，按照自左向右的顺序运算，可得计算结果． (1)当时，计算结果是______． (2)若计算结果是4，求输入的a的值． 题型3：有理数混合运算的应用——“算24点” 【例1】有一种算“24点”的游戏，其游戏规则如下：取四个数，将这四个数（每个数只能用一次）进行加减乘除运算，使其结果等于24．现有四个有理数：3，4，，10，运用上述规则，下列算式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】将有理数3，4，，10进行加、减、乘、除四则运算（每个数必须用且只能用一次），使其结果等于24，请你写出符合要求的一个算式，即：_____． 【变式2】有4张写着不同数字的卡片，每张卡片上的数字只能用一次，选择加、减、乘、除中的适当运算（可加括号），使其运算结果为24，写出算式_______． 【变式3】有一种“二十四点”游戏，其规则：任取4个有理数，把它们进行加、减、乘、除四则运算（每个数用且只能用一次），可以用括号，使其结果为24，如1，2，3，4，可作运算． (1)有理数4，5，7，8，你能算出24吗？ (2)有理数4，5，，，你能算出24吗？ (3)有理数3，，7，中，把它们算出24． 题型4：有理数混合运算的其他应用 【例1】计算机利用的是二进制数，它共有两个数码0，1，将一个十进制数转化为二进制数，只需把该数写成若干个数的和，依次写出1或0即可．如为二进制下的5位数，则十进制数是二进制下的(   ) A．10位数 B．11位数 C．12位数 D．13位数 【例2】老师设计了接力游戏，用合作的方式完成有理数运算，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简．过程如图所示： (1)接力中，计算错误的学生有________； (2)请给出正确的计算过程． 【变式1】我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．如图，一位猎人从右往左打结，满七进一，用来记录捕获的猎物数量．由图可知，他一共捕获的猎物数量用十进制数表示为（    ） A．1234 B．617 C．466 D．194 【变式2】如图1，是同学“小胡”的准考证号的二维码的简易编码，其中第一行代表二进制的数字11000(黑色代表1，白色代表0)，转化成十进制为：，同理，第二行，第三行代表二进制的数字分别为1110，111，转化成10进制为：14，07，将三行编码组合到一起就是“小胡”的准考证号241407．若图2是本次考试“小张”同学的准考证号的二维码的简易编码，则他的准考证号是_______________ ． 【变式3】阅读材料，根据材料回答： 例1： ． 例2： (1)由上面的材料可总结出一个规律：（用字母表示）______； (2)仿照上面材料或规律计算：； (3)根据（1）的规律计算：． 题型5：有理数混合运算的新定义问题 【例1】定义，例如，则的结果为（     ） A． B． C．1 D．3 【例2】对于任意有理数，，我们规定：． 例如：；． (1)计算： ； (2)计算：． 【变式1】定义一种新运算“”：表示在运算作用下的结果． 若表示在运算作用下的结果，它对一些数的运算结果如下：，，，…… 根据以上定义完成以下问题： 的值为______． 【变式2】新定义运算． 已知，是有理数，且． (1)________，________． (2)借助有理数的运算，我们定义了一种关于有理数，的新运算“*”：，例如． ①求的值． ②请判断这种新运算“*”是否满足交换律？通过计算探究是否一定成立？ 【变式3】【概念学习】 现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如，等，类比有理数的乘方，我们把写作读作“2的圈3次方”，写作，读作“的圈4次方”，一般地，把（个，）写作，读作“a的圈n次方”． (1)【初步探究】直接写出计算结果：_________，__________； (2)【深入思考】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 试一试：仿照上面的算式，把下列除方运算直接写成幂的形式．_________，_________． (3)算一算：． 课后作业 1．（25-26七年级下·江西景德镇·期末）沫沫同学在学习了“设计自己的运算程序”综合与实践课后，设计了如图所示的运算程序，若开始输入n的值为3，则最后输出的结果y是（    ） A．63 B．3 C．64 D．8 2．（2026·四川攀枝花·中考真题）“快乐数”是指将正整数的每一位数字平方后相加，得到的新数再重复这一过程，最后结果为1的数．以“快乐数”70为例：，则下列数中不是“快乐数”的是（     ） A．3 B．7 C．13 D．31 3．（2026·山东菏泽·一模）“三进制”逻辑的芯片与传统的“二进制”芯片相比，三进制逻辑芯片在特定的运算中具有更高的效率．二进制数的组成数字为0，1，二进制数转化为十进制数：．三进制数的组成数字为0，1，2，三进制数转化为十进制数：．将二进制数化为三进制数为（   ） A． B． C． D． 4．（2026·黑龙江绥化·二模）计算：________． 5．（25-26七年级下·山西太原·期中）在数学创新实践活动中，同学们需要制作一个的小型身份二维码，这个二维码由16个被涂成黑色或白色小方格组成（黑色代表1，白色代表0）．如图1是小颖同学的身份二维码，其中第一行代表二进制的数字，将二进制数转换成十进制数方法如下：记为07，同理第二行至第四行代表二进制的数字分别转换成十进制的数（不足两位前面添0），依次组合到一起就是小颖同学的编号为07080502，小颖同学按此编号找到自己的位置参加活动．图2是小强同学的身份二维码，请写出小强同学的编号为________ 6．（25-26七年级上·贵州遵义·期末）《易经》中记载：远古时期就有“结绳计数”．一位男孩在从右到左依次排列的绳子上打结用来计数，如图，图中表示男孩用绳结记录的数字，按照五进制记数法，即右边的绳子打结满5个，则此绳子左边的绳子打1个结，原来绳子的结全部打开清零，以此类推，最左边的绳子上的每个结都是中间绳子满5进1得来．根据图中记录的五进制数字，若用十进制表示的数表示男孩捞得的鱼的数量，他一共捞得的鱼的数量为______条． 7．（25-26七年级上·广东揭阳·期末）计算：． 8．（25-26七年级上·山西吕梁·期末）计算： (1) (2) 9．（25-26六年级下·黑龙江绥化·期末）计算题 (1)； (2)． 10．（25-26七年级上·河北石家庄·期末）计算 (1)； (2) 11．（25-26七年级下·安徽亳州·期末）观察以下等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， … 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：____________________； (2)运用你发现的规律求的值． 12．（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）学习了有理数的混合运算方法（加、减、乘、除）后，越越和兴兴两个同学在课间分享“二十四点”计算方法．两人的对话如下： 越越：如果看到四个数中有一个是，只要其余三个数能算出是或，，，，都可算出，如：可以列出． 兴兴：有时遇到不能用你的方法算出，可以尝试用除以，也能得到哦！如：，，，，可以列出． 结合上面两位同学的分享，解决下列问题： (1)现给定三个数，，，请从到这些自然数中选一个，使四个数能算出，要求列出算式，并简单说一下你的思考过程． (2)想一想，数字，，，这四个数可以算出吗？如果可以，请列出算式． 13．（25-26七年级上·河北邢台·期末）根据如图所示的程序回答问题： (1)当嘉嘉输入2和这两个数时，请计算说明：他的输出的结果是多少？ (2)当洪洪输入和这两个数时，输出的结果是6，试求被墨水污染的数． 14．（2026·湖北十堰·二模）综合实践 活动目标 认识进位制，理解不同进位制的数之间的转换 材料1 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，也就是说“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几． 十进制数，记作： 八进制数，记作： 二进制数，记作： （，且为整数）进制数转化成与其相等的十进制数，只需要将进制数的每个数字，依次乘的相应次幂相加，就可得到与它相等的十进制数．如：二进制数转十进制数为：． 材料2 十进制整数转化为二进制整数通常采用除二取余法，即用2连续除十进制数，直到商为0，逆序排列余数即可得到二进制数，简称除二取余法．同样的，十进制数转化为八进制数可用除八取余法．例如： 解决问题： (1)十进制数89，转二进制数得_____； (2)十进制数89，转八进制数得_____； (3)二进制数转十进制数得_____ (4)二进制只有0和1两个数字，这正好和电路的断和通两种状态相对应，因此，在计算机内部使用二进制，计算机在进行运算时都是以二进制数进行运算，二进制运算就是逢二进一，再把运算结果转化为十进制数，并输出结果、请根据二进制运算法则：数位对齐，逢二进一，完成下面运算． _____（结果用二进制表示）． 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $