第1章 有理数复习：5大考点+12大题型+强化训练（高效培优讲义）数学湘教版2024七年级上册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第1章 有理数 内容概览 教学目标、教学重难点 知识点1正负数的定义 知识点2数轴相反数与绝对值 知识点3有理数的大小比较 知识清单 知识点4有理数的运算 知识点5有理数的乘方 题型1认识负数 题型2有理数分类 第1章有理数 题型3数轴 题型4相反数 题型5绝对值 题型6有理数的大小比较 题型精讲 题型7有理数的加减混合运算 题型8有理数的简便运算 题型9有理数的四测混合运算 题型10有理数的乘方及逆运算 题型11科学计数法 题型12含乘方的有理数的混合运算 强化训练 教学目标、教学重难点 1.理解有理数、数轴、相反数、绝对值等核心概念，能对有理数分类，能用数轴表示 教学月标 有理数并比较大小。 2.掌握有理数加、减、乘、除、乘方运算法则及运算律，能熟练进行简单混合运算， 1/13 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 会用运算律简化计算。 3.能用有理数知识解决简单实际问题，体会数学与生活的联系，初步感受分类、数形 结合思想。 1.重点 (1)扎实掌握有理数的分类、数轴、相反数、绝对值等核心概念，明确其意义与应用 方法。 (2)熟练掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及混合运算的法则，确保运算准确且能 教学重难点 简化计算。 2.难点 (1)深入理解绝对值的几何与代数意义，尤其在利用绝对值比较两个负数大小时易混 淆。 (2)准确掌握有理数混合运算的顺序，灵活运用运算律简化计算，避免符号错误。 知识清单 一.基础概念 1.正负数与有理数：比0大的是正数，比0小的是负数，0既非正也非负；整数和分数统称有理数。 2.数轴：具有原点、正方向、单位长度三要素的直线，所有有理数都能在数轴上表示。 3.相反数：只有符号不同的两数互为相反数，a的相反数是-a,0的相反数是0，且互为相反数的两数和为 0。 4.绝对值：数轴上数对应的点到原点的距离，正数和0的绝对值是自身，负数的绝对值是其相反数。 5.倒数：乘积为1的两数互为倒数，0没有倒数，a(a≠0)的倒数是1/a。 二.大小比较 1.数轴比较：数轴上右边的数始终大于左边的数。 2.法则比较：正数>0>负数；两个负数比较，绝对值大的反而小。 三.运算法则 1.加减：同号相加取同号并加绝对值，异号相加取绝对值大的符号再减绝对值；减法可转化为加这个数的 相反数。 2.乘除：同号乘除得正，异号得负并算绝对值；0乘任何数得0,0不能作除数，除法可转化为乘除数的倒 数。 3.乘方：个相同因数的积叫乘方，正数任何次幂为正，负数奇次幂为负、偶次幂为正，0的正整数次幂为 0。 四.运算规则 1.运算律：加法有交换律和结合律，乘法有交换律、结合律及分配律。 2.混合运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；同级运算从左到右，有括号先算括号内的。 2/13 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型精讲 题型01认识负数 【典例1】(25-26七年级上陕西咸阳·阶段练习)下列四个数中，是负数的是() A.7 B.0 C.-3.6 【变式1】(23-24七年级上·广东中山期末)2024年4月25日20时59分，神舟十八号载人飞船在酒泉卫 星发射中心点火发射.若火箭发射点火前5秒记为-5秒，那么火箭发射点火后10秒应记为() A.+10秒 B.-5秒 C.+5秒 D.-10秒 【变式2】(25-26七年级上·山东聊城期中)生活中，正数和负数都有实际意义，如零上3℃，记+3℃，则 零下10℃，记 【变式3】(25-26七年级上·黑龙江哈尔滨阶段练习)体育课上，全班男同学进行了100米测验，达标成绩 为15秒，下表是某小组8名男生的成绩记录，其中“+”表示成绩大于15秒. -0.8 +1 -1.2 0 -0.7 那么这个小组男生的最好成绩是 秒 题型02有理数的分类 【奥例2】<2526七年级上重庆阶段练习)在数-子，4,0,25，-8中，有理数的个数是() A.6个 B.5个 C.4个 D.3个 【变式1】(25-26七年级上·四川绵阳·阶段练习)下列说法中：①0是最小的整数；②有理数不是正数就是 负数：③正整数、负整数、止分数、负分数统称为有理数：①非负数就是正数：回不仅是有理数，面l 是分数；⑥-0.9是小数，所以不是有理数.其中错误的说法有() A.6个 B.5个 C.4个 D.3个 【交式2】(25.26七年级上全国课后作业)在，0，-3142，+4,3中，有理数有个 交式3】(25.26七年级上甘肃平期已知下列各数：7,9.25，号，-301,7,35,0,2 把它们填入相应的大括号内. 正整数集合：{ 负分数集合：{ 正有理数集合：{ 3/13 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 负有理数集合：{ 题型03数轴 【典例3】(25-26七年级上·吉林·期中)如图，在数轴上，手掌遮挡住的点表示的数可能是(). 2 1 A.-2 B.-1 C.-0.5 D.0 【变式1】(25-26七年级上山西朔州·阶段练习)如图，数轴上A,B两点到原点的距离相等，且点A与点 B之间的距离为4，则点A表示的数是 B 0 A 【变式2】(25-26七年级上·黑龙江佳木斯期中)数轴上到数5距离是3的数为 【变式3】(25-26七年级上·浙江绍兴期中)如图，点Q、P、R、S、T在数轴上（单位长度为1）. 1L上上上上上上L》 2P R S (I)如果点R表示原点，点P表示的数是 ，点S表示的数是 ，点T表示的数是 (2)如果点R、T表示的数互为相反数，求点Q和点R到原点的距离的和 题型04相反数 【典例4】(25-26七年级上·浙江嘉兴期中)下列各对数中，互为相反数的是() A0B和码 C.-1.75和1 D.2和-（-2) 4 【变式1】(23-24七年级上·山东济宁.期中)-5的相反数为一· 【变式2】(25-26七年级上·全国期中)若代数式3a-2与2a+3互为相反数，则a= 【变式3】(23-24七年级上·全国·课后作业)已知数a,b在没有标明单位长度的数轴上的对应点的位置如图 所示 a 0 b (1I)指出数a,b的正负性； (2)在数轴上标出a,b的相反数-a,-b的对应点的位置： (3)若a与-a的对应点相隔2024个单位长度，则数a是多少？ 4/13 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 题型05绝对值 【典例5】(25-26七年级上·黑龙江佳木斯期中)-3的绝对值是() A.-3 B.3 c. 3 D.-13 【变式1】(24-25七年级上福建南平.阶段练习)-2025的绝对值是」 【变式2】(25-26七年级上·福建莆田阶段练习)如图，数轴的单位长度为1.如果点B,C表示的数的绝 对值相等，那么点A表示的数是 山》 【变式3】(2025七年级上全国专题练习)已知x-2+y+3引=0. (I)求x,y的值： (2)已知y+z=0,求z的值. 题型06有理数的大小比较 【典例6】(25-26七年级上黑龙江佳木斯期中)下列各数中，最小的数是() A.0 B.-3 C.-1 D.2 【变式1】(25-26七年级上·山东临沂·期中)若α，b是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示： 把a,-a,b,-b按照由小到大的顺序排列是() a 0 A.a<b<-a<-b B.a<-a<b<-b C.-b<a<-a<b D.-b<b<a<-a 【变式】256七年级上快西画安阶假练习》比较大小号—多{)一（镇 “<9“>9t=”) 【变式3】(25-26七年级上山东临沂期中)用数轴上的点表示下列各数，并按照由小到大的顺序将它们连 接起来. -,+-,-25,0.子-4时 5/13 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型07有理数的加减混合运算 【典例7】(25-26七年级上广西南宁·阶段练习)计算： 1)18-（-4)+2; 【变式1】(25-26七年级上·天津河北阶段练习)计算： (1)3.5+-2.8+(-3.5-3.2: (2)(-23)+-63+-37-77. 【变式2】(25-26七年级上·湖南益阳·阶段练习)计算： a+8-（+: ②-3-48)+-68)-(-25列. 【变式3】(25-26七年级上·北京通州阶段练习)计算： o好 og-[29)-台] 题型08有理数的简便运算 【典例8】(25-26七年级上·甘肃兰州阶段练习)计算： +8 【变式1】(25-26七年级上广东广州阶段练习)计算： 022+5+7 (2)-5)+8+1+(-8)+5+(-4 【变式2】(25-26七年级上·甘肃定西·期中)数学雷老师在多媒体上列出了如下的材料： 计第5(9号引1 6/13 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 解[([-+（引7+引[-+ =[列+--+7]+（引0+(- 上述这种方法叫作拆项法.请仿照上面的方法计算： +28-(25g: 2-2024引(-2025引4050+(》 【变式3】2526七年级上吉林阶段练习)计到-3-2++3)-+2 小智的解题过程如下： 解原武》好 4 4 :(第一步) (第二步》 =-5+6(第三步) =1(第四步) 小智发现自己的答案和小慧的不一样. (1)小智是从第 步开始出现错误的， (2)请写出正确的解题过程。 题型09有理数的四则混合运算 【典例9】(25-26七年级上广东深圳期中)计算： (1)12-(-14)-5+(-9 品d 【变式1】(25-26七年级上全国期中)下面是圆四同学计算2+(+兮)×(-3)的过程： 解2+(+3) -22 =2×(-4)×(-3)+2×5×(-3) =24-30 7/13 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 =-6， 圆圆同学这样计算正确吗？如果不正确，请你写出正确的计算过程. 【变式2】(25-26七年级上山东德州阶段练习)计算： 084-2 25*1 【变式3】(25-26七年级上·浙江杭州阶段练习)现定义同级的两种运算“⊕”“*”：对于任意两个数，Q⊕ b=a+b-1,a*b=a÷b-1,则5⊕8*[3⊕(-5)]的结果是」 题型10有理数的乘方及逆运算 【典例10】(25-26七年级上·甘肃定西·期中)下列各组数中，互为相反数的一组是() A.(-2)2与4B.-8与(-4)2 C.-9与-3 D.（-2)与8 2024 【变式1】(25-26七年级上河南新乡期中)若x+1+(y-1)2=0,则 【变式2】(23-24七年级上江苏宿迁·期中)按照如图所示的操作步骤，若输出的值为25，则输入的数 是 输入x +2→月输出 【变式3】(24-25七年级上云南昭通阶段练习)阅读下列各式：（ab)2=a2.b2,（ab3=a3.b3, (a.b)=a'.b,(a.b)s=a3.b5.. 解答下列问题： (I)写出(ab)°=-，猜想：(ab)”=_ (2)计算：（-0.125)202×2mt×42020. 题型11科学计数法 【典例11】(2025年黑龙江省哈尔滨市中考数学试题)黑龙江水系径流资源丰富，水能资源总蕴藏量约 32000000千瓦，将32000000用科学记数法表示为() 8/13 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.3.2×10 B.3.2×10 C.3.2×10 D.3.2×108 【变式1】(25-26七年级上，河南新乡·期中)2025年前三季度，中国经济稳步向好，全国GDP(国内生产 总值)总量突破101万亿元人民币.将数据“101万亿”用科学记数法表示为() A.101×102 B.1.01×103 C.1.01×104 D.0.101×105 【变式2】(25-26七年级上·重庆阶段练习)9月3日，国家广电总局数据显示，九三阅兵的全球网络视听 平台直播收视量约为1920000000人次，将1920000000用科学记数法表示为 【变式3】(25-26七年级上·甘肃平凉·期中)据国家广电总局发布，9月3日上午举行的纪念中国人民抗日 战争暨世界反法西斯战争胜利80周年大会，直播转播规模、收视人数、收视时长均创历史新高.纪念大会 直播期间，全国网络视听平台直播收视逾19.2亿人次.数据19.2亿用科学记数法表示为 G 洛诚西烹 西怀境展 、: 器 题型12含乘方的有理数的混合运算 【典例12】(25-26七年级上江苏宿迁阶段练习)计算： (1)-24+4×-2-(-2)°÷(-2 (2)24×-99 47 48 【变式1】(25-26七年级上·全国期中)计算 0-2-5-39] @16-2-23别 【变式2】(25-26七年级上·河南新乡·期中)对于有理数a,b,定义一种新运算：a⊕b=a2+b2-1.例如 (-1)©2=-12+22-1=4. (1)计算：2©(-3)的值： (2)运算“⊕” 交换律（填“满足”或“不满足”）； (3)若m⊕3=24，求m的值. 9/13 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【变式3】(25-26七年级上河南郑州·期中)计算： (1)-5)+(-4)--6)-(-7: -1+-1+4+(-2 强化训练 一、单选题 1.(北京市三帆中学2025-2026学年七年级上学期期中考试数学试卷)2025年9月3日，为了纪念抗战胜 利80周年，天安门广场举行了盛大的阅兵仪式.据媒体报道，全国通过各种渠道观看这次阅兵的总人数达 到6.82×10人，网络平台的累计播放量更是高达19.2亿人次，将19.2亿用科学记数法表示应为() A.19.2×108 B.1.92×10 C.0.192x1010 D.1.92×108 2.(山西省吕梁市孝义市六中2025-2026学年上学期第一次月考七年级数学试卷)下列各数化简正确的是() A.-(-7=7B.-11=11 C.++3.5=-3.5 D.+(-15)=-15 3.(山东省聊城市阳谷县、东阿县部分学校2025-2026学年上学期七年级第一次月考联考数学试题)计算： 〔》3分-到的结果是（) A.-9 B.-1 C.1 D.9 4.(江苏省江阴市陆桥中学2024-2025学年八年级下学期5月限时作业数学试题)如果关于未知数x和y的 ax+by =2 二元一次方程组 （abcd≠0)的解满足：x+2y=5,那么关于未知数x和的二元一次方程组 cx+dy=1 (2ax +by =4-2a 的解满足() 2cx +dy =2-2c A.x+2y1=4B.x1+4y=4 C.x+2y=4 D.x1+y=4 5.(北京市三帆中学2025-2026学年七年级上学期期中考试数学试卷)如图，M,N,P,R分别是数轴 上四个整数所对应的点，其中有一点是原点，并且有MN=NP=PR=1.数Q对应的点在线段MN的中点，数 10/13 第1章 有理数 教学目标 1. 理解有理数、数轴、相反数、绝对值等核心概念，能对有理数分类，能用数轴表示有理数并比较大小。 2. 掌握有理数加、减、乘、除、乘方运算法则及运算律，能熟练进行简单混合运算，会用运算律简化计算。 3. 能用有理数知识解决简单实际问题，体会数学与生活的联系，初步感受分类、数形结合思想。 教学重难点 1.重点 （1）扎实掌握有理数的分类、数轴、相反数、绝对值等核心概念，明确其意义与应用方法。 （2）熟练掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及混合运算的法则，确保运算准确且能简化计算。 2.难点 （1）深入理解绝对值的几何与代数意义，尤其在利用绝对值比较两个负数大小时易混淆。 （2）准确掌握有理数混合运算的顺序，灵活运用运算律简化计算，避免符号错误。 一．基础概念 1. 正负数与有理数：比0大的是正数，比0小的是负数，0既非正也非负；整数和分数统称有理数。 2. 数轴：具有原点、正方向、单位长度三要素的直线，所有有理数都能在数轴上表示。 3. 相反数：只有符号不同的两数互为相反数，a的相反数是-a，0的相反数是0，且互为相反数的两数和为0。 4. 绝对值：数轴上数对应的点到原点的距离，正数和0的绝对值是自身，负数的绝对值是其相反数。 5. 倒数：乘积为1的两数互为倒数，0没有倒数，a（a≠0）的倒数是1/a。 二. 大小比较 1. 数轴比较：数轴上右边的数始终大于左边的数。 2. 法则比较：正数＞0＞负数；两个负数比较，绝对值大的反而小。 三. 运算法则 1. 加减：同号相加取同号并加绝对值，异号相加取绝对值大的符号再减绝对值；减法可转化为加这个数的相反数。 2. 乘除：同号乘除得正，异号得负并算绝对值；0乘任何数得0，0不能作除数，除法可转化为乘除数的倒数。 3. 乘方：n个相同因数的积叫乘方，正数任何次幂为正，负数奇次幂为负、偶次幂为正，0的正整数次幂为0。 四. 运算规则 1. 运算律：加法有交换律和结合律，乘法有交换律、结合律及分配律。 2. 混合运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；同级运算从左到右，有括号先算括号内的。 题型01 认识负数 【典例1】（25-26七年级上·陕西咸阳·阶段练习）下列四个数中，是负数的是（    ） A．7 B．0 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了正数、负数和的定义，熟练掌握负数是小于的数是解题的关键． 根据正数、负数和的定义来判断每个选项． 【详解】解：是正数，既不是正数也不是负数，是负数，是正数， 故选：C． 【变式1】（23-24七年级上·广东中山·期末）2024年4月25日20时59分，神舟十八号载人飞船在酒泉卫星发射中心点火发射．若火箭发射点火前5秒记为秒，那么火箭发射点火后10秒应记为（    ） A．秒 B．秒 C．秒 D．秒 【答案】A 【分析】本题考查正负数的实际应用，正负数可以用来表示具有相反意义的量；根据题意，发射前的时间记为负数，发射后的时间记为正数. 【详解】解：∵火箭发射点前5秒记为秒， ∴火箭发射点火后10秒应记为秒. 故选：A. 【变式2】（25-26七年级上·山东聊城·期中）生活中，正数和负数都有实际意义，如零上，记，则零下，记 ． 【答案】 【分析】本题考查了正数和负数表示具有相反意义的量，若零上温度记为正，则零下温度记为负，由此即可得解，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：根据题意，零上记作，则零下记作， 故答案为：． 【变式3】（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）体育课上，全班男同学进行了100米测验，达标成绩为15秒，下表是某小组8名男生的成绩记录，其中“+”表示成绩大于15秒． 0 那么这个小组男生的最好成绩是 秒． 【答案】 【分析】本题考查了正数和负数，注意小于等于15秒的为达标．先比较大小，进一步得到这个小组男生最优秀的成绩是多少秒即可． 【详解】解：∵， ∴最小， ∴（秒）， 故答案为：． 题型02 有理数的分类 【典例2】（25-26七年级上·重庆·阶段练习）在数 π， 4， 0， 2.5，中，有理数的个数是（   ） A．6 个 B．5个 C．4 个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查有理数的分类，根据整数和分数统称为有理数，进行判断即可． 【详解】解：在数 π， 4， 0， 2.5，中，有理数有  4， 0， 2.5，，共5个； 故选B． 【变式1】（25-26七年级上·四川绵阳·阶段练习）下列说法中：①0是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③正整数、负整数、正分数、负分数统称为有理数；④非负数就是正数；⑤不仅是有理数，而且是分数；⑥是小数，所以不是有理数．其中错误的说法有（　　） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的分类，熟练掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数、非负数的定义与特点是解题的关键．注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数． 根据有理数的分类及定义依次判断即可． 【详解】解：0不是最小的整数，没有最小的整数， ∴①不正确； ∵有理数包括正有理数、负有理数和0， ∴②不正确． ∵正整数、负整数和零、正分数、负分数统称为有理数， ∴③不正确． ∵非负数包括正数和0， ∴④不正确. ∵不仅是有理数，而且是分数， ∴⑤正确． ∵是小数可化成分数，所以是有理数， ∴⑥不正确． ∴综上，①②③④⑥不正确，共5个，故B正确． 故选：B． 【变式2】（25-26七年级上·全国·课后作业）在，0，中，有理数有 个． 【答案】5 【分析】本题考查有理数的定义，根据整数和分数统称为有理数，进行判断即可． 【详解】解：，0，均为有理数，共有5个； 故答案为：5． 【变式3】（25-26七年级上·甘肃平凉·期中）已知下列各数：7，，，，，，0，2，，，，．把它们填入相应的大括号内． 正整数集合：{                    } 负分数集合：{                    } 正有理数集合：{                    } 负有理数集合：{                    } 【答案】正整数集合：{7，2}； 负分数集合：{，，， }； 正有理数集合：{7， ，2，，}； 负有理数集合：{，，，，，}； 【分析】本题考查了有理数的分类，根据有理数的分类进行作答即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， 正整数集合：{7，2}； 负分数集合：{，，， }； 正有理数集合：{7， ，2，，}； 负有理数集合：{，，，，，}． 题型03 数轴 【典例3】（25-26七年级上·吉林·期中）如图，在数轴上，手掌遮挡住的点表示的数可能是（    ）． A． B． C． D．0 【答案】C 【分析】本题主要考查了数轴．由题意得，手掌遮住的数大于且小于0，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，手掌遮挡住的数大于且小于0， ∴四个选项中只有C选项中的数符合题意， 故选：C． 【变式1】（25-26七年级上·山西朔州·阶段练习）如图，数轴上A，两点到原点的距离相等，且点A与点之间的距离为4，则点A表示的数是 ．    【答案】2 【分析】本题主要考查数轴上有理数的表示及绝对值的意义，熟练掌握数轴上有理数的表示及绝对值的意义是解题的关键；由题意易得数轴上A、B两数互为相反数，然后根据绝对值的意义可进行求解． 【详解】解：因为数轴上A，两点到原点的距离相等， 所以数轴上A、B两数互为相反数，且点A与点之间的距离为4， 因为数轴上之间的距离为4， 所以点A表示的数是2； 故答案为． 【变式2】（25-26七年级上·黑龙江佳木斯·期中）数轴上到数距离是的数为 ． 【答案】或/或 【分析】本题考查数轴上两点间的距离以及用数轴上的点表示有理数，注意分类讨论是解题的关键．分该点在的左边和的右边两种情况，分别求解． 【详解】解：当该点在的左边时，则有； 当该点在的右边时，则有． 故答案为：或． 【变式3】（25-26七年级上·浙江绍兴·期中）如图，点Q、P、R、S、T在数轴上（单位长度为1）． (1)如果点R表示原点，点P表示的数是______，点S表示的数是______，点T表示的数是______； (2)如果点R、T表示的数互为相反数，求点Q和点R到原点的距离的和． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了利用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离、相反数的定义，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）根据点R表示原点并结合数轴即可得解； （2）由相反数的定义结合数轴得出点R表示的数为，点表示的数为，从而得出点Q表示的数为，即可得解． 【详解】（1）解：如果点R表示原点，点P表示的数是，点S表示的数是，点T表示的数是； （2）解：∵点R、T表示的数互为相反数，点R、T之间的距离为6， ∴点R表示的数为，点表示的数为， ∴点Q表示的数为， ∴点Q和点R到原点的距离的和． 题型04 相反数 【典例4】（25-26七年级上·浙江嘉兴·期中）下列各对数中，互为相反数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】本题考查相反数，根据只有符号不同的两个数互为相反数进行判断即可． 【详解】解：A、与不是相反数，不符合题意； B、和不是相反数，不符合题意； C、和互为相反数，符合题意； D、和相等，不是相反数，不符合题意； 故选C． 【变式1】（23-24七年级上·山东济宁·期中）的相反数为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了相反数的定义，掌握“只有符号不同的两个数互为相反数”是解题的关键． 根据相反数的定义求解即可． 【详解】解：的相反数为5， 故答案为：5． 【变式2】（25-26七年级上·全国·期中）若代数式与互为相反数，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了主要相反数定义，由代数式与互为相反数，则，然后求出的值即可，掌握相反数定义是解题的关键． 【详解】解：∵代数式与互为相反数， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3】（23-24七年级上·全国·课后作业）已知数在没有标明单位长度的数轴上的对应点的位置如图所示． (1)指出数的正负性； (2)在数轴上标出的相反数的对应点的位置； (3)若与的对应点相隔2024个单位长度，则数是多少？ 【答案】(1)为负数，为正数 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查有理数与数轴，相反数，数轴上两点间的距离： （1）根据数在原点的哪一侧，进行判断即可； （2）根据相反数在数轴上在原点的两侧且到原点的距离相等，标出点的位置即可； （3）根据相反数在数轴上在原点的两侧且到原点的距离相等，求解即可． 【详解】（1）解：由图可知，数在原点左侧，数在原点右侧， 故为负数，为正数； （2）的对应点的位置，如图所示． （3）因为与的对应点相隔2024个单位长度， 所以与的对应点都距离原点1012个单位长度． 又因为为负数， 所以． 题型05 绝对值 【典例5】（25-26七年级上·黑龙江佳木斯·期中）的绝对值是（  ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值，根据绝对值的定义，负数的绝对值是它的相反数. 【详解】解：∵表示a的绝对值，且当时，； ∴． 故选：B． 【变式1】（24-25七年级上·福建南平·阶段练习）的绝对值是 . 【答案】 【分析】本题考查了求一个数的绝对值． 根据一个负数的绝对值是它的相反数作答即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【变式2】（25-26七年级上·福建莆田·阶段练习）如图，数轴的单位长度为1．如果点B，C表示的数的绝对值相等，那么点A表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了数轴，由图可得，再由点B，C表示的数的绝对值相等，且点在点的左边，，即可得出点所表示的数为，即可求出点A表示的数． 【详解】解：由点在数轴上的位置可知，， 又∵点B，C表示的数的绝对值相等，且点在点的左边， ∴点所表示的数为， ∴点A表示的数是， 故答案为：． 【变式3】（2025七年级上·全国·专题练习）已知． (1)求x，y的值； (2)已知，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了绝对值非负性和解一元一次方程等知识点，熟练掌握绝对值的性质是解题的关键． （1）根据绝对值的非负性求出x、y的值； （2）先根据绝对值的性质得出，再结合（1）中的结果即可求出z的值； 【详解】（1）解：∵，又，， ∴，， ∴，； （2）解：∵， ∴ 由（1）知， ， ∴与互为相反数 ∴． 题型06 有理数的大小比较 【典例6】（25-26七年级上·黑龙江佳木斯·期中）下列各数中，最小的数是（   ） A．0 B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查比较有理数的大小，根据“正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小”进行判断即可． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∴最小的数是． 故选：B． 【变式1】（25-26七年级上·山东临沂·期中）若a，b是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示：把a，，b，按照由小到大的顺序排列是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了利用数轴比较有理数的大小，由数轴得，，进而求解． 【详解】解：观察数轴可知，， ∴． 故选：C． 【变式2】（25-26七年级上·陕西西安·阶段练习）比较大小： ， ．（填“”“”“”） 【答案】 【分析】本题考查有理数的大小比较． 对于第一个比较，先比较两个负数的绝对值，绝对值大的负数反而小；对于第二个比较，先化简表达式，再根据正数大于负数比较即可． 【详解】解：，， 因为， 所以， 因此； 因为，， 所以； 故答案为：，． 【变式3】（25-26七年级上·山东临沂·期中）用数轴上的点表示下列各数，并按照由小到大的顺序将它们连接起来． ，，，0，， 【答案】见解析， 【分析】本题主要考查了用数轴表示有理数，利用数轴比较有理数的大小，化简多重符号和绝对值，先化简多重符号和绝对值，再在数轴上表示出各数，最后根据数轴上左边的数小于右边的数用小于号将各数连接起来即可． 【详解】解：，，， 数轴上表示如图所示： 按照由小到大排序：． 题型07 有理数的加减混合运算 【典例7】（25-26七年级上·广西南宁·阶段练习）计算： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了有理数的运算，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）根据有理数的减法运算法则，减去一个负数等于加上它的相反数计算； （2）带分数和分数的加减运算，需先将带分数化为假分数形式，再计算． 【详解】（1）解：原式 ． （2）原式 ． 【变式1】（25-26七年级上·天津河北·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)0 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，熟练掌握相关运算法则及运算律是解题的关键． （1）利用加法的交换律与结合律计算即可； （2）先算绝对值，再利用加法的交换律与结合律计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式2】（25-26七年级上·湖南益阳·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，掌握有理数的加减混合运算法则是解题的关键． （1）先化简括号和负号后，将同分母分数相加减，再进一步计算即可； （2）先化简括号和负号后，将能凑成整数的数相加减，再进一步计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【变式3】（25-26七年级上·北京通州·阶段练习）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】先去小括号，再去中括号，最后用加法结合律进行计算即可； 先去小括号，再计算中括号内的值，最后进行减法运算即可． 本题主要考查有理数的加减混合运算，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ． 题型08 有理数的简便运算 【典例8】（25-26七年级上·甘肃兰州·阶段练习）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算．先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，再将分母相同的两个数，和为整数的数分别结合为一组求解． 【详解】解： ． 【变式1】（25-26七年级上·广东广州·阶段练习）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数加减运算中的简便运算． （1）按照有理数加减运算中的简便运算进行计算即可． （2）按照有理数加减运算中的简便运算进行计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： 【变式2】（25-26七年级上·甘肃定西·期中）数学雷老师在多媒体上列出了如下的材料： 计算： 解：原式 上述这种方法叫作拆项法．请仿照上面的方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)0 【分析】本题考查有理数加减运算;理解拆项法，简化运算是解题的关键． （1）拆项，整数和分数分开运算，根据有理数的加减法运算法则处理； （2）拆项，整数和分数分开运算，根据有理数的加减法运算法则处理． 【详解】（1）原式． （2）原式 ． 【变式3】（25-26七年级上·吉林·阶段练习）计算． 小智的解题过程如下： 解：原式  （第一步）   （第二步） （第三步） （第四步） 小智发现自己的答案和小慧的不一样． (1)小智是从第_________步开始出现错误的． (2)请写出正确的解题过程． 【答案】(1)一 (2)0；过程见解析 【分析】本题考查了有理数的加减，熟练掌握有理数的加减的运算法则及运算顺序是解此题的关键． （1）根据计算过程逐步判断即可； （2）根据有理数的加减混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：小智是从第一步开始出现错误的； （2）解： ． 题型09 有理数的四则混合运算 【典例9】（25-26七年级上·广东深圳·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序； （1）先去括号，然后从左向右依次计算即可； （2）将除法转化为乘法，再根据乘法分配律计算即可． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ， ， ． 【变式1】（25-26七年级上·全国·期中）下面是圆圆同学计算的过程： 解： ． 圆圆同学这样计算正确吗？如果不正确，请你写出正确的计算过程． 【答案】不正确，过程见解析 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数混合运算的顺序（先算括号内，再算乘除，同级运算从左到右依次进行）．圆圆同学错误地使用了除法分配律（除法没有分配律），正确的做法是先算括号内的加法，再按照从左到右的顺序进行乘除运算． 【详解】解：圆圆同学这样计算不正确． 正确的计算过程如下： ． 【变式2】（25-26七年级上·山东德州·阶段练习）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数混合运算和乘法运算律． （1）先计算乘法，再计算减法，即可求解； （2）根据乘法运算律和运算法则进行简便运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式3】（25-26七年级上·浙江杭州·阶段练习）现定义同级的两种运算“”“”：对于任意两个数，，，则的结果是 ． 【答案】 【分析】此题考查了有理数的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键． 原式利用题中的新定义计算即可求出值． 【详解】解：根据题中的新定义得： ，， 则 ． 故答案为：． 题型10 有理数的乘方及逆运算 【典例10】（25-26七年级上·甘肃定西·期中）下列各组数中，互为相反数的一组是（） A．与4 B．与 C．与 D．与8 【答案】D 【分析】本题考查相反数的定义，有理数的乘方，绝对值，掌握知识点是解题的关键． 互为相反数的两个数之和为零，计算各选项的两个数，判断是否满足条件． 【详解】解：相反数定义：两数之和为0． 选项A：，4与4和不为0，故不互为相反数． 选项B：，8与16和不为0，故不互为相反数． 选项C：与和不为0，故不互为相反数． 选项D：与8和为0，故互为相反数． 故选D． 【变式1】（25-26七年级上·河南新乡·期中）若，则 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了非负性质，有理数的乘方运算，根据非负数的性质，绝对值和平方项均非负，它们的和为零，则每项均为零，可求出x和y的值，再然后再计算有理数的乘方运算． 【详解】解：∵ ，，且 ， ∴ 且， ∴ ，， 解得 ，， ∴ ， 故答案为：1． 【变式2】（23-24七年级上·江苏宿迁·期中）按照如图所示的操作步骤，若输出的值为25，则输入的数是 ．      【答案】3或/或 【分析】此题主要考查了代数式求值，有理数的混合运算，要熟练掌握，关键是得到方程． 根据如图所示的操作步骤，可得与2的平方和等于25，据此求出的值是多少即可． 【详解】∵， 解得：或， 故答案为：3或． 【变式3】（24-25七年级上·云南昭通·阶段练习）阅读下列各式：，，，… 解答下列问题： (1)写出 ，猜想： ． (2)计算：． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查的是新定义运算的含义，乘方的运算，理解题意，总结规律再运用规律解题是关键． （1）由题干阅读部分信息，再总结可得答案； （2）利用（1）中规律结合乘方的含义把原式化为，再计算即可． 【详解】（1）解：，； （2）解： ． 题型11 科学计数法 【典例11】（2025年黑龙江省哈尔滨市中考数学试题）黑龙江水系径流资源丰富，水能资源总蕴藏量约32000000千瓦，将32000000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 【详解】解： ， 故选：C． 【变式1】（25-26七年级上·河南新乡·期中）年前三季度，中国经济稳步向好，全国（国内生产总值）总量突破万亿元人民币．将数据“万亿”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查科学记数法形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同；当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数． 【详解】解：∵万亿， ∴． 故选：C． 【变式2】（25-26七年级上·重庆·阶段练习）9月3日，国家广电总局数据显示，九三阅兵的全球网络视听平台直播收视量约为 1920000000人次，将1920000000用科学记数法表示为 【答案】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示为的形式，其中为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值，根据科学记数法的表示方法进行表示即可． 【详解】解：； 故答案为：． 【变式3】（25-26七年级上·甘肃平凉·期中）据国家广电总局发布，月日上午举行的纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利周年大会，直播转播规模、收视人数、收视时长均创历史新高．纪念大会直播期间，全国网络视听平台直播收视逾亿人次．数据亿用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了用科学记数法表示一个较大的数，用科学记数法表示一个数就是把这个数写成的形式，其中，的指数与小数点移动的方向和数位有关，本题中要先把亿展开，得到：亿，用科学记数法表示时，需要把小数点向左移动位，所以． 【详解】解：亿． 故答案为：． 题型12 含乘方的有理数的混合运算 【典例12】（25-26七年级上·江苏宿迁·阶段练习）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则和运算顺序是解题的关键． （1）先计算乘方，再计算乘除，最后计算加减，即可； （2）先将带分数进行变形，再利用乘法分配律计算，即可． 【详解】（1）解： （2）解： 【变式1】（25-26七年级上·全国·期中）计算 (1)； (2) 【答案】(1) (2)3 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序． （1）先算乘方，再算乘法，最后算加减；如果有括号，要先做括号内的运算； （2）先算乘方，再算乘法，最后算加减；如果有括号，要先做括号内的运算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式2】（25-26七年级上·河南新乡·期中）对于有理数，定义一种新运算：.例如. (1)计算：的值； (2)运算“”_________交换律（填“满足”或“不满足”）； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2)满足，详见解析 (3) 【分析】此题考查了有理数的混合运算，理清题中的新定义是解本题的关键． （1）根据新定义列式计算即可； （2）根据新定义计算，与结果一致，满足交换律； （3）根据新定义列式，得到关于的方程，解出即可． 【详解】（1）解：． （2）满足； 由题意可知， ，故运算“”满足交换律． （3）∵ ∴ ∴ ∴. 【变式3】（25-26七年级上·河南郑州·期中）计算： (1)； (2) (3) (4) 【答案】(1)4 (2) (3) (4)0 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序． （1）先去括号，然后从左向右依次计算即可； （2）先算乘方，根据乘法分配律计算； （3）根据乘法分配律计算； （4）先算乘方和绝对值，再算乘法，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 一、单选题 1．（北京市三帆中学2025-2026学年七年级上学期期中考试数学试卷）2025年9月3日，为了纪念抗战胜利80周年，天安门广场举行了盛大的阅兵仪式．据媒体报道，全国通过各种渠道观看这次阅兵的总人数达到人，网络平台的累计播放量更是高达19.2亿人次，将19.2亿用科学记数法表示应为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了科学记数法“将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数的方法叫做科学记数法”，熟记科学记数法的定义是解题关键．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．根据科学记数法的定义即可得． 【详解】解：亿， 故选：B． 2．（山西省吕梁市孝义市六中2025-2026学年上学期第一次月考七年级数学试卷）下列各数化简正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是绝对值的定义，解题关键是熟练掌握绝对值的定义． 根据绝对值的定义（一个数的绝对值总是非负），逐一计算每个选项的表达式，判断化简是否正确． 【详解】解：选项，，，化简错误，不符合题意，选项错误； 选项，， 化简正确，符合题意，选项正确； 选项，，，化简错误，不符合题意，选项错误； 选项，，，化简错误，不符合题意，选项错误． 故选：． 3．（山东省聊城市阳谷县、东阿县部分学校2025-2026学年上学期七年级第一次月考联考数学试题）计算：的结果是 （  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的乘除混合运算，需按照从左到右的顺序计算，并注意负号的处理．乘除为同级运算，应依次进行．按照从左至右的顺序计算即可． 【详解】解： ， ． ∴ 最终结果为 9． 故选： D． 4．（江苏省江阴市陆桥中学2024-2025学年八年级下学期5月限时作业数学试题）如果关于未知数x和y的二元一次方程组的解满足：．那么关于未知数和的二元一次方程组的解满足（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解二元一次方程组及二元一次方程组的解，根据题意整理方程是解题的关键． 将方程整理得，根据题意可得即可求解． 【详解】解：将两边同时除以2， 得， 整理得，， ∵关于未知数x和y的二元一次方程组的解满足：， ∴关于未知数和的二元一次方程组的解满足， 即， 故选：D． 5．（北京市三帆中学2025-2026学年七年级上学期期中考试数学试卷）如图，，，，分别是数轴上四个整数所对应的点，其中有一点是原点，并且有．数对应的点在线段的中点，数对应的点在线段的中点，若，则原点可能是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】本题考查了数轴上点的位置关系，绝对值以及数轴上两点之间的距离，解题的关键是掌握相关基础知识，并利用分类讨论的思想求解． 根据可得，再分情况讨论求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 当原点为点时，可得，，，在数轴上分别表示的数为，，，， 又∵数对应的点在线段的中点，数对应的点在线段的中点， ∴，， 则，符合题意； 当原点为点时，可得，，，在数轴上分别表示的数为，，，， 又∵数对应的点在线段的中点，数对应的点在线段的中点， ∴，， 则，不符合题意； 当原点为点时，可得，，，在数轴上分别表示的数为，，，， 又∵数对应的点在线段的中点，数对应的点在线段的中点， ∴，， 则，不符合题意； 当原点为点时，可得，，，在数轴上分别表示的数为，，， 又∵数对应的点在线段的中点，数对应的点在线段的中点， ∴，， 则，符合题意； 综上，原点可能是或， 故选：A 二、填空题 6．（黑龙江省哈尔滨市第四十七中学校2025-2026学年九年级上学期9月考试数学试题）纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年大会的在线传播创下多项纪录，触达人数高达约682000000，数据682000000用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于等于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．据此求解即可． 【详解】， 故答案为： 7．（吉林省延边朝鲜族自治州四校2025-2026学年上学期期中测试七年级数学试题）按如图所示的程序计算，若开始输入n的值为，则最后输出的结果是 ． 【答案】24 【分析】本题考查了有理数的运算，根据运算程序把代入进行计算即可得解． 【详解】解：当时， ． 故答案为：24． 8．（黑龙江省齐齐哈尔市五区2025-2026学年七年级上学期11月联考数学试题）计算机是将信息转换成二进制进行处理的，二进制即“逢二进一”，如表示二进制数，将它转化为十进制数为，那么将二进制数转换为十进制数为 ． 【答案】 【分析】本题考查有理数乘方运算和二进制数转换为十进制数的方法，即按权展开求和，每一位数字乘以2的相应幂次后相加． 【详解】解：二进制数转换为十进制数为：． 故答案为． 9．（学易金卷：七年级数学上学期期中模拟卷（湖北武汉专用，新教材人教版七上第1~4章））比较大小： （填，或）． 【答案】> 【分析】本题主要考查有理数比较大小．根据负数比较大小，绝对值大的反而小即可求出结果． 【详解】解：，， ， ， ， 故答案为：． 10．（山东省聊城市阳谷县、东阿县部分学校2025-2026学年上学期七年级第一次月考联考数学试题）五袋优质大米以每袋为质量标准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称重记录（单位：）如下：，，，，，那么这五袋大米共超重 ，总质量为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正负数的应用，有理数加法的应用，将五个记录数据相加得到净超重量，再计算总质量即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：计算记录值的和：，故超重， 总质量为， 故答案为：，． 三、解答题 11．（甘肃省庆阳市2025-2026学年上学期七年级期中质量监测数学试题）在数轴上表示下列各数，并用“”号把这些数连接起来． ． 【答案】答案见详解 【分析】本题考查了数轴、相反数和有理数的大小比较，能正确在数轴上表示数是解题的关键． 先在数轴上表示各个数，再比较即可． 【详解】解：如图所示： 用“”连接为：． 12．（山西省吕梁市孝义市六中2025-2026学年上学期第一次月考七年级数学试卷）将下列各数填在相应的集合里：，，4.3，，16，0，， 整数集合：{___________________________…}． 正有理数集合：{___________________________…}． 负分数集合：{___________________________…}． 非负整数集合：{___________________________…}． 【答案】；；； 【分析】本题考查了有理数的分类，绝对值，化简多重符号，解题的关键是熟练掌握整数、正有理数、负分数、非负整数的定义． 根据整数、正有理数、负分数、非负整数的定义进行求解即可． 【详解】解：，， 整数集合： 正有理数集合： 负分数集合： 非负整数集合： 13．（山东省烟台招远市（五四制）2022-2023学年六年级上学期期中数学试题）阅读以下内容，完成下列题目． 小明说：“我定义了一种新的运算，叫❈（加乘）运算．”然后他写出了一些按照❈（加乘）运算的法则进行运算的算式：；；；；；． 小颖看了这些算式后说：“我知道你定义的❈（加乘）运算的运算法则了．” 聪明的你也看明白了吗？请完成下列问题： (1)请联想回顾有理数运算法则，归纳❈（加乘）运算的运算法则：　　； (2)计算：　　．（括号的作用同在有理数运算中的作用） (3)我们知道加法有交换律和结合律，请你判断加法交换律在❈（加乘）运算中是否适用？并举例验证． 【答案】(1)见解析 (2) (3)适用，见解析 【分析】本题考查有理数的混合运算、新定义．解答本题的关键是明确题意，会用新定义解答问题． （1）①根据题意，可以写出两数进行❈（加乘）运算时的法则； ②根据题目中的式子，可以写出0和任何数进行❈（加乘）运算，或任何数和0进行❈（加乘）运算的法则； （2）根据（1）中的结果，可以写出所求式子的值； （3）先判断，然后举出例子即可． 【详解】（1）①两数进行❈（加乘）运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值相加； ②特别地，0和任何数进行❈（加乘）运算，或任何数和0进行❈（加乘）运算，都等于这个数的绝对值； （2）． 故答案为：； （3）加法交换律在有理数的❈（加乘）运算中适用． 由❈（加乘）运算的运算法则可知： ， 所以， 即加法交换律在有理数的❈（加乘）运算中适用． 14．（山西省吕梁市孝义市六中2025-2026学年上学期第一次月考七年级数学试卷）方方与圆圆两位同学计算的过程如下： 方方：     ①   ②   ③   ④ 圆圆：     ①   ②   ③ (1)以上计算过程中，方方开始出错的是第_________步，（填序号）； 错误原因是_______________________________________________ 圆圆开始出错的是第_________步（填序号） 错误原因是_______________________________________________ (2)写出正确的计算过程． (3)为帮两位同学掌握有理数运算，请你提一条合理建议． 【答案】(1)②；运算顺序错误，乘除是同级运算，应从左到右计算，不能随意结合；①；乘方计算错误，，． (2) (3)建议：注意运算顺序和乘方运算的优先级（答案不唯一） 【分析】本题考查了含乘方的有理数混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）先计算乘方，再计算除法，最后计算乘法，由此即可得； （2）按照先计算乘方，再计算除法，最后计算乘法的顺序计算即可得； （3）根据题意提出合理建议即可． 【详解】（1）解：方方开始出错的是第②步；运算顺序错误，乘除是同级运算，应从左到右计算，不能随意结合； 圆圆开始出错的是第①步；乘方计算错误，，． 故答案为：②；运算顺序错误，乘除是同级运算，应从左到右计算，不能随意结合；①；乘方计算错误，，． （2）解： ． （3）建议：注意运算顺序和乘方运算的优先级． 15．（吉林省延边朝鲜族自治州四校2025-2026学年上学期期中测试七年级数学试题）某工厂设计了某款足球纪念品并进行生产，原计划每天生产10000个该款足球纪念品，但由于种种原因，实际每天的生产量与计划量相比有出入，下表是某一周的生产情况（超出记为正，不足记为负，单位：个）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 (1)根据记录的数据可知，本周生产量最多的一天比生产量最少的一天多生产多少个？ (2)本周实际生产总量是否达到了计划数量？说明理由． 【答案】(1)本周生产量最多的一天比生产量最少的一天多生产199个 (2)本周实际生产总量达到了计划数量，并比计划量多17个 【分析】本题考查正负数的应用，有理数混合运算，掌握运算法则是解题的关键． （1）找出本周生产量最多的一天的产量与生产量最少的一天的产量，它们相减即为所求； （2）计算本周与计划量的差值，若为正数，则达标，否则就是不达标，由此即可求解． 【详解】（1）解：根据题意可得，本周生产量最多的一天是周四，比计划量多127个，本周生产量最少的一天是周五，比计划量少72个， ∴两天的差值是（个）， ∴本周生产量最多的一天比生产量最少的一天多生产199个． （2）解：本周的产量比计划量的差值为（个）， ∴本周实际生产总量达到了计划数量，并比计划量多17个． 16．（江苏省苏州市昆山市新镇中学西校区2025-2026学年上学期七年级10月月考数学试卷）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)1 (3)7 (4) 【分析】本题主要考查了有理数的乘除运算、含乘方的有理数混合运算、有理数乘法运算律、有理数加法运算律等知识点，掌握相关运算法则是解题的关键． （1）根据有理数的四则混合运算法则计算即可； （2）先把小数化成分数，然后再运用加法运算律进行简便运算即可； （3）直接运用有理数乘法运算律进行简便运算即可； （4）直接运用含乘方的有理数混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 17．（安徽省安庆市怀宁县部分学校联考2025-2026学年七年级上学期11月期中数学试题）数轴上表示数，的点如图所示． (1)在数轴上分别用，两点表示，； (2)若表示数与的点相距个单位长度，则数与分别是多少？ (3)在（2）的条件下，若表示数的点与表示数的相反数的点相距个单位长度，则数与分别是多少？ 【答案】(1)见解析 (2)数是，数是 (3)数是，数是 【分析】本题考查了相反数的几何意义，有理数与数轴关系，数轴上两点之间的距离，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）根据相反数的几何意义，以及有理数与数轴关系画图即可； （2）根据表示数与的点相距个单位长度，得到表示数与的点到原点的距离，进而即可得到数与分别表示的有理数； （3）根据题意得到表示数的点到原点的距离，进而即可求出数与分别表示的有理数． 【详解】（1）解：在数轴上分别用，两点表示，，如图所示： （2）解：因为表示数与的点相距个单位长度， 所以表示数与的点到原点的距离均为个单位长度． 所以数是，数是． （3）解：因为表示的点到原点的距离为个单位长度，表示数的点与表示数的相反数的点相距个单位长度， 所以表示数的点到原点的距离为个单位长度． 所以数是，数是． 18．（河南省郑州市郑东新区玉溪初级中学2025-2026学年七年级上学期10月期中数学试题）如图，已知数轴上有两个点，分别表示有理数． (1)数轴上点到点的距离为 ；数轴上到点的距离相等的点表示的有理数为 ； (2)若动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向右移动，设移动时间为（）秒，用含的式子分别表示点到点和点的距离； (3)若，则的取值范围是 ． 【答案】(1)， (2)，当时，，当时， (3) 【分析】（）利用数轴上两点间的距离公式计算即可得出数轴上点到点的距离，再利用数轴上两点的中点的求法可求出到点距离相等的点表示的有理数； （）由题意可得，秒时，点表示的数为，再根据数轴上两点间的距离公式计算即可得解； （）根据绝对值几何意义可得式子表示对应的点分别到对应的点的距离之和，进而由可得在数之间（含和），据此即可求解； 本题考查了数轴与有理数，数轴上两点距离，绝对值的几何意义等，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：∵两个点分别表示有理数， ∴点到点的距离为； 数轴上到点的距离相等的点表示的有理数为； 故答案为：，； （2）解：由题意可得，秒时，点表示的数为， ∴，， 当时，；当时，， 综上，，当时，，当时，； （3）解：∵， ∴式子表示对应的点分别到对应的点的距离之和， ∵， ∴在数之间（含和）， 即， 故答案为：． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $