1.6 有理数的乘方（讲义） 2026-2027学年湘教版数学七年级上册

本初中数学讲义聚焦“有理数的乘方”核心知识点，系统梳理乘方概念（n个相同因数乘积的运算，明确底数与指数）、整数指数幂符号规律（奇负偶正等）及科学记数法（大数的规范表示），构建从概念理解到运算应用的递进式学习支架。 该资料亮点在于知识点与题型深度融合，通过“巩固基础”“直击考点”分层训练，培养抽象能力（如乘方概念辨析）和运算能力（乘方及逆运算）。实际应用题型（如细菌分裂、拉面拉扣）体现应用意识，助力学生用数学语言表达现实世界。课中辅助教师高效授课，课后帮助学生回顾强化，弥补知识盲点。

第一章 有理数 06讲 有理数的乘方 目录 【知识点1. 有理数的乘方 1】 【知识点2. 整数指数幂的符号规律 3】 【知识点3. 科学记数法 4】 【题型1. 有理数幂的概念理解 5】 【题型2. 有理数的乘方运算 6】 【题型3. 有理数乘方的逆运算 8】 【题型4. 乘方运算的符号规律 9】 【题型5. 乘方的应用 10】 【题型6. 科学记数法 13】 【题型7. 将科学记数法变回原数 14】 【课后作业 16】 知识清单 1、有理数的乘方 1）：一般地，a是有理数，n是正整数，则把简记为，n个a 即规定，其中，读作“a的n次方”或“a的n次幂”.n个a 2）乘方的概念：个相同因数的乘积的运算，叫作乘方在中，叫作底数，叫作指数. 3）特别地，通常读作“的平方”，通常读作“的立方”。 注意：①乘方运算中的“1次方”通常把“1”省略，但不代表没有； ②乘方运算，代表的是多个相同乘数相乘，要与乘法运算区分开来； ③在运算时要注意看清楚底数和指数到底是谁； ④带分数的乘方运算，一定要先化成假分数后再运算。 底数 指数 幂 巩固基础 1．计算的结果等于（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：． 2．关于的说法正确的是（     ） A．指数是 B．结果是 C．表示4个相加 D．表示4个相乘 【答案】D 【分析】根据乘方的定义逐一判断选项即可. 【详解】解：A.中，指数是，不是，故A错误； B.，结果不是，故B错误； C.个相加表示为，不是，故C错误； D.符合乘方定义，表示个相乘，故D正确. 3．用分数表示：_______． 【答案】 【分析】先将化成分数，再根据乘方定义计算出结果． 【详解】解：． 4．已知满足，那么_____． 【答案】2或6 【分析】本题考查了有理数的乘方运算，代数式求值． 根据有理数的乘方求出的值，进而代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴或． 故答案为：2或6． 知识清单 2、整数指数幂的符号规律 1）正数的任何正整数次幂都是正数； 2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，即“奇负偶正”； 3）0的任何正整数次幂都是0； 4）除0以外的任何数的“0次幂”结果为1。 巩固基础 1．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】可根据乘法的意义计算，可根据乘方的定义计算，再相加即可得到结果． 【详解】解：． 2．在学习了乘方运算后，对于聪聪和明明有如下讨论： 聪聪：表示有2个k相乘     明明：表示有2个k相加 你认为他们的说法（    ） A．只有聪聪是对的 B．只有明明是对的 C．他们两人都不对 D．他们都有道理 【答案】C 【分析】本题考查乘方的定义，表示n个a相乘（n为正整数），据此可得答案． 【详解】解：根据乘方的定义可知表示k个2相乘， ∴两个人的说法都不正确， 故选：C． 3．________． 【答案】1 【详解】解：． 4．计算：________． 【答案】4 【分析】根据乘方的定义进行计算即可． 【详解】解：． 知识清单 3、科学记数法：把一个大于（小于－10）的数记作的形式（其中，或，是正整数），这种记数法就是科学记数法． 如：340000000=3.4×108，－567000000=－5.67×108 注意：1）a的确定——所有数字照抄并写成一位整数的数，负数要保留前面的符号； 2）n的确定——计算小数点移动的位数，向左n为正，向右为负，对于大于10的数，n比整数位数少1，小于1的数，|n|等于第一个非0数字前0的个数。 巩固基础 1．我们祖国的领土面积约为．把这个数用科学记数法表示为（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】用科学记数法表示一个数就是把一个数写成的形式，其中，本题中将原数的小数点向左移动至第一个非零数字后，小数点移动的位数即为的指数． 【详解】解：． 2．2022年4月，南非射电望远镜捕捉到宇宙深空一道强烈的微波，距离地球50亿光年，天文学称它为巨脉泽．数50亿用科学记数法表示的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：50亿． 3．表示的原数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据科学记数法的定义，移动小数点即可得到原数． 【详解】解：科学记数法形式为（，为正整数），还原原数时需将的小数点向右移动位， 本题中，，将的小数点向右移动位， 得到原数为． 直击考点 题型1：有理数幂的概念理解 【例1】下列可以表示的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了乘方的定义．根据定义：表示个相同因数乘积的运算，叫做乘方，即可求解． 【详解】解： ， 故选：B． 【例2】的底数是________，读作________． 【答案】 负的的次方 【详解】解：根据乘方的定义，在中，叫做乘方的底数，叫做乘方的指数． 对于，该式表示的相反数，负号不属于底数部分，因此底数是，该式读作负的的次方． 【变式1】表示的含义是（   ） A．3个2相加 B．3个2相乘 C．2个3相加 D．2个3相乘 【答案】B 【分析】本题主要考查了乘方的意义．根据乘方表示几个相同的数的积即可解答． 【详解】解：，即表示的意义是个相乘． 故选：B． 【变式2】把式子写成乘方的形式 __________． 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的乘方的定义，根据题意可知底数为，指数为，据此可得答案． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式3】中底数是a，指数是b，则_______． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘方，正确理解乘方是解题的关键．根据幂的定义确定出a与b的值，即可求出的值． 【详解】解：∵中底数是2，指数是6， 又中底数是a，指数是b， ∴，， ∴， 故答案为：． 题型2：有理数的乘方运算 【例1】计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据乘方的定义计算即可得到结果． 【详解】解：． 【例2】计算：_______． 【答案】 【分析】本题考查有理数的乘方运算与多重符号的化简，关键是遵循“从内到外”的运算顺序，先化简内层括号的符号，再计算乘方，最后处理外层的符号． 【详解】解：； 故答案为：． 【变式1】下列各式的计算结果与相等的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先计算题目中的结果，再根据有理数运算法则计算各选项结果，对比得到答案． 【详解】解： ， 选项A：，和结果相等，故A选项符合题意； 选项B：，结果不相等，故选项B不符合题意； 选项C：，结果不相等，故选项C不符合题意； 选项D：，结果不相等，故选项D不符合题意． 【变式2】计算：________． 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的乘方，熟练掌握其运算法则是做题的关键．根据平方的意义进行计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【变式3】若，则_____． 【答案】 【分析】本题考查非负数的性质(绝对值与偶次方的非负性)及有理数的乘方运算．关键是掌握“几个非负数的和为0时，这几个非负数均为0”这一性质，先据此求出、的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵，，且， ∴，， 解得，， 则； 故答案为：． 【变式4】计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 题型3：有理数乘方的逆运算 【例1】已知，则的值为（    ） A．7 B．9 C．10 D．12 【答案】A 【分析】此题主要考查了有理数的乘方运算，求代数式的值，解题的关键是掌握运算法则． 根据题意得出，然后代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【变式1】若，则________． 【答案】 【分析】本题考查有理数乘方的逆运算． ，结合已知即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 【变式2】已知，且，则__________； 【答案】3或7 【分析】本题主要考查了代数式求值，绝对值的定义和乘方的逆运算，根据绝对值的定义和乘方的逆运算法则可得，再由，可得，据此代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴或， 故答案为：3或7． 题型4：乘方运算的符号规律 【例1】一个负数的奇次幂为（    ） A．正数 B．负数 C．正数或负数 D．分数 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的乘方运算，根据正数的任何次幂都是正数，负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂为负数求解即可． 【详解】解：正数的任何次幂都是正数，几次幂就是几个数相乘，例如2的3次幂就是3个2相乘，8的5次幂就是5个8相乘…都是正数相乘，结果肯定是正数．负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数．因为负负得正，所以两个负数相乘等于正数，负数的奇次幂两两配对后，还多一个负数，所以结果就是负数， 故选：B． 【变式1】若 ，则一定有（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是乘方运算的符号规律，分别根据，，进行探究即可得到答案． 【详解】解：当，则， 当，则， 当，则，则， ∴当，则， 故选：C 【变式2】______ 【答案】 【分析】本题考查幂的运算，掌握同底数幂的乘法法则和符号处理是解题关键．运用同底数幂的乘法法则以及“奇负偶正”的符号处理方法运算即可． 【详解】解： 故答案为：． 【变式3】如果n是正整数，则_____ ． 【答案】0 【分析】本题考查了有理数的乘方，乘方运算的符号规律，解题关键是掌握有理数的乘方法则． 直接利用有理数的乘方法则计算． 【详解】解： ． 题型5：乘方的应用 【例1】如图，某种细菌在适宜环境下，细胞每过30分钟便会由1个分裂成2个，经过4小时，1个细胞能分裂成（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】根据每过30分钟便会由1个分裂成2个，由4小时求出分裂的次数，即可确定出分裂的个数． 【详解】解：4小时求出分裂的次数为（次）， 经过30分钟，这种细胞由1个能分裂成个 经过60分钟，这种细胞由1个能分裂成个， ...， ∴经过4小时，这种细胞由1个能分裂成个． 【例2】手工拉面是我国的传统面食，制作时，拉面师傅将一团和好的面，揉搓成1根长条后，手握两端用力拉长，然后将长条对折，再拉长，再对折（每次对折称为一扣），如此反复操作，连续拉扣若干次后，便成了许多细细的面条．你能算出拉扣7次后共有多少根面条吗？ 【答案】 拉扣7次后共有128根面条 【分析】每次拉扣后，面条根数变为拉扣前的2倍，可推得拉扣次后面条总根数为，代入计算即可得到最终结果. 【详解】解：根据题意可得 初始有1根面条， 第1次拉扣后面条根数是， 第2次拉扣后面条根数是， 第3次拉扣后面条根数是， …… 故第7次拉扣后面条根数是. 答：拉扣7次后共有128根面条. 【变式1】在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，类似现在我们熟悉的“进位制”．如图所示是远古时期一位母亲记录孩子自出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满八进一，根据图示可知，孩子已经出生的天数是（   ） A．64 B．90 C．132 D．210 【答案】B 【分析】由题可知，孩子出生的天数的八进制数为132，化为十进制数即可． 【详解】解：根据题意得：孩子出生的天数的八进制数为132， 化为十进制数为：． 【变式2】《庄子》中记载：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”这句话的意思是一尺长的木棍，每天截取它的一半，永远也截不完．若按此方式截一根长为1的木棍，第5天截取后木棍剩余的长度是___________． 【答案】 【分析】据题意，每天截取后剩余长度是前一天剩余长度的一半，逐天计算即可得出结果． 【详解】解：根据题意， 第1天截取后剩余长度为：， 第2天截取后剩余长度为：， 第3天截取后剩余长度为：， 第4天截取后剩余长度为：， 第5天截取后剩余长度为：， 故第5天截取后木棍剩余长度为． 【变式3】由乘方的定义可知：（n个a相乘）．观察下列算式回答问题： (1)________；（写出结果） (2)________； (3)计算的值． 【答案】(1)900 (2) (3)1 【分析】本题考查乘方的定义的规律问题，熟知乘方的定义． （1）根据乘方的定义以及规律求解即可； （2）根据乘方的定义以及规律求解即可； （3）首先根据乘方的定义以及规律得出再根据乘方的定义求解即可． 【详解】（1）解： ， 故答案为：900； （2）解：， 故答案为：； （3）解： ． 题型6：科学记数法 【例1】地球上的海洋面积为361 000 000平方千米，数字361 000 000用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：． 【例2】2021年的“五一”假期，是疫情防控常态化之后的首个小长假．为做好“五一”假日旅游接待及疫情防控工作，张家界市各部门和旅游企业单位尽职尽责，严格落实中央、省、市相关文件和会议精神，确保“五一”期间旅游接待、疫情防控两手抓两不误．据不完全统计，全市各景点五一期间共接待游客约为万人次，请将数据万用科学记数法表示为________． 【答案】 【分析】先将以万为单位的数换算为普通整数，再根据科学记数法的定义确定结果． 【详解】解：万，即万用科学记数法表示为． 【变式1】节约是一种美德，节约是一种智慧．据不完全统计，全国每年浪费食物总量折合粮食可养活约3亿6千万人．360000000用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：． 【变式2】截止到今年2月中旬，全国新冠疫苗接种总人数超过12.6亿人，疫苗覆盖率近．12.6亿用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：12.6亿． 【变式3】据统计，2018年中国粮食总产量达到65790万吨，数65790万用科学记数法表示为________________． 【答案】 【详解】解：万 ． 题型7：将科学记数法变回原数 【例1】地球绕太阳公转的速度用科学记数法表示为，把写成原数是（　　） A．1100000 B．110000 C．11000 D．0.00001 【答案】B 【分析】科学记数法的表示形式为（，为整数），为正整数时，还原原数只需将的小数点向右移动位即可． 【详解】解：∵中， ∴将的小数点向右移动位，可得． 【例2】我国的森林面积用科学记数法表示约为公顷，还原成以“亿”为单位的原数是________亿公顷． 【答案】 【分析】本题考查了将科学记数法表示的数还原，根据亿，再将科学记数法表示的数还原，转化单位即可得出结果，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵亿， ∴亿， 故答案为：． 【变式1】截至2026年1月，我国某景区接待游客人数约为人，这个数的原数是（  ） A．32000 B．320000 C．3200000 D．32000000 【答案】C 【分析】本题主要考查了将科学记数法表示的数化成原数，将科学记数法 转换为原数，需将小数点向右移动6位． 【详解】解：∵， ∴ 原数为3200000， 故选：C． 【变式2】一个整数用科学记数法表示为，则原数中“0”的个数为（   ） A．4 B．6 C．7 D．9 【答案】B 【分析】本题考查科学记数法，将科学记数法表示的数还原为原整数，然后统计其中0的个数． 【详解】解：∵ ， ∴原数中“0”的个数为6， 故选：B． 【变式3】若数a用科学记数法表示为，则a的原数为________． 【答案】703000 【分析】本题考查了将科学记数法表示的数转换为原数． 将科学记数法表示的数转换为原数，需将系数乘以10的幂次，即根据指数正负移动小数点位置． 【详解】解：指数5为正数，因此将系数的小数点向右移动5位，得到703000． 故答案为：703000． 课后作业 1．（2026·江苏无锡·中考真题）随着科技的不断进步，生成式人工智能成为我国经济社会数字化、智能化转型的重要引擎．截至2025年12月，我国生成式人工智能用户达602000000人．数据602000000用科学记数法表示为（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】科学记数法的标准形式为，需要满足，为整数．题中数据 的小数点向左移动位，可以得到，此时，即可求解． 【详解】解：． 2．（25-26七年级下·河北承德·期末）第六代战斗机是以人工智能控制为核心、采用吸气式发动机、具备高超音速能力的新一代战斗机，飞行一小时的距离约为600万米，将数据600万米用科学记数法表示为米时，则的值为（     ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】D 【分析】先将600万米换算为以米为单位的数，再根据科学记数法的定义确定和的值，最后计算即可． 【详解】解：， ，， ． 3．（25-26七年级下·广东深圳·期末）能写成一个整数的平方的数称为平方数，下列整数不是平方数的是（     ） A．1 B．4 C．8 D．121 【答案】C 【分析】根据平方数的定义，判断各选项的数能否写成某个整数的平方，即可得到答案． 【详解】解：∵，1是整数， ∴A是平方数； ∵，2是整数， ∴B是平方数； ∵不存在整数，使得，且， ∴8不是平方数； ∵，11是整数， ∴D是平方数． 4．（25-26七年级上·山东潍坊·期末）若，，且，则______． 【答案】 或 【分析】本题主要考查了绝对值的定义、平方的定义，根据绝对值和平方的性质，确定和的可能值，再结合同号条件筛选，最后求和. 【详解】解：， 或， ， 或， ， 和同号， 当，时，； 当，时，. 5．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）若整数用科学记数法表示为，则原数中“”的个数为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了科学记数法，熟练掌握以上知识是解题的关键． 将科学记数法表示的数还原为原数，然后统计原数中数字的个数。 【详解】解：∵科学记数法， ∴整数为， ∴原数共位， ∵其中非零数字为，其余位均为， ∴的个数为， 故答案为：． 6．（26-27七年级·全国·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)8 【分析】（1）根据有理数的乘方计算即可； （2）根据负数的奇数次幂是负数，确定符号，再根据有理数的乘方法则求解即可； （3）先确定结果的符号为负，再计算即可； （4）根据，再计算立方即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 7．（26-27七年级·全国·暑假作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：； （2）解： （3）解：； （4）解：． 8．（25-26七年级上·江西赣州·期中）阅读以下解题过程． 求的值． 解：令， 则 所以， 即， 所以． 请根据上述材料中的方法计算下面的式子： 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的乘方运算，解题的关键是理解题中所给运算方法．令，然后两边同乘以6，进而按照题中所给方法进行求解即可． 【详解】解：令， 则 ， 所以， 即， 所以， 即． 9．（25-26七年级上·重庆大足·期末）在数学综合与实践学习中，我们认识到不同的进制有不同的计数规则．在密码学的基础应用中，也常常用到进制转换．已知有一种简单的密码规则是将字母转换为其对应的码值．（字母的码值为，其余大写字母的码值在的基础上按顺序加1得到．如字母的码值为，字母的码值为，以此类推．每个大写字母都有一个唯一的码值与其对应），再将该十进制数转换为三进制数进行加密． (1)年轻人把数学有趣又好玩翻译为“!”请你写出“MATH”这个单词各个字母在码中的值并计算出这些值的和为多少？ (2)现在收到一个加密后的三进制数，请将其转换为十进制数，并根据码表判断它对应的字母是什么？ 【答案】(1) “MATH”这个单词各个字母在码中的值依次分别为77，65，84，72，这些值的和为298； (2) 三进制数转换为十进制数为73，根据码表判断它对应的字母是I． 【分析】本题考查不同进制数之间的转换、信息的编码，有理数的混合运算，理解题意中的编码和转换规则是解题的关键；根据有理数混合运算法则、乘法运算法则及码规则逐题计算即可． 【详解】（1）解：根据码值的定义规则可知，的码值为，的码值为，的码值为，的码值为，这些值的和为； （2）三进制数转换为十进制数为． ∵， ∴根据码表得73对应的字母是I． 10．（25-26七年级上·福建南平·期末）我们知道，十进制是逢十进一，十进制数3742中的3表示3个千，7表示7个百，4表示4个十，2表示2个一，于是得到下面的式子：．二进制是逢二进一，其各数位上的数字为0或1． 为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数，例如，就是二进制数1011的简单写法，十进制数一般不标注基数．将(1011)2转换为十进制数，如下：． 小明设计一种游戏：将十二生肖“鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪”按顺序分别编号为1到12．四张卡片A，B，C，D上的数字为0或1（顺序为），如：A．1，B．1，C．0，D．0，记为，然后将二进制数转换为十进制数，就可能得到对应生肖的编号． （1）请将二进制数转换为十进制数； （2）若A，D卡片上的数字都为0，B，C卡片上的数字都为1，对应的生肖是什么？请说明理由． 【拓展应用】 （3）小华设计一个“猜生日”的游戏，用5张卡片A，B，C，D，E组成的二进制数来表示1号到31号中的一天，五张卡片A，B，C，D，E上的数字为0或1（顺序为）．他的生日是八月的某天，若A，D卡片上的数字都为1，其他卡片上的数字都为0，他的生日是八月几号？请说明理由． 【答案】（1）12； （2）对应的生肖是蛇．理由如下： 因为    所以对应的生肖是蛇． （3）他的生日是八月18号．理由如下： 因为     所以他的生日是八月18号． 【分析】本题考查了有理数的混合运算，理解二进制、十进制数的定义以及计算方法是正确解答的关键． （1）根据二进制与十进制的计算方法进行计算即可； （2）根据二进制的定义以及与十进制的计算方法进行计算即可； （3）根据二进制的定义以及与十进制的计算方法进行计算即可． 【详解】解：（1） ； （2）略 （3）略 11．（25-26七年级上·四川南充·期末）【概念学习】定义：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的下3次方”；记作，读作“的下4次方”．一般地，把（个为大于等于2的整数）记作，读作“的下次方”． （1）直接写出计算结果：______；______； 【深入探究】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 例如：． （2）仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式（不用计算）： ______，______； 【结论应用】（3）计算：． 【答案】（1）；9；（2）；；（3） 【分析】本题考查了有理数乘方的应用，理解除方的定义是解题关键． （1）根据除方的运算法则计算即可； （2）根据除方的运算法则作答即可； （3）根据乘方和除方的运算法则计算即可． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：；9； （2）解： ； ， 故答案为：； （3） ． 12．（2026·湖北襄阳·三模）请完成以下数学活动： 活动目标 认识进位制，理解不同进位制的数之间的转换 材料1 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，也就是说“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几． 十进制数，记作1024； 八进制数，记作； 五进制数，记作； 二进制数，记作； 十六进制数，记作． （十六进制数使用0—9和A—F来表示，其中10，11，12，13，14，15这五个数分别用字母A，B，C，D，E，F表示）． n（，且n为整数）进制数转化成与其相等的十进制数，只需要将n进制数的每个数字，依次乘n的相应次幂相加，就可得到与它相等的十进制数．如：八进制数转十进制数为：． 材料2 十进制整数转化为二进制整数通常采用除二取余法，即用2连续除十进制数，直到商为0，逆序排列余数即可得到二进制数，简称除二取余法．同样的，十进制数转化为八进制数可用除八取余法．例如： 解决问题 任务1： (1)将下列进制数转化为十进制数： ①______；②______； (2)现有三进制数，二进制数，试比较a，b的大小． 任务2： (3)十进制数21转化为二进制数得． (4)如何将一个二进制数转化为十六进制数呢？小勤提出一种想法： 第一步：先将二进制数转为十进制数； 第二步：再将所得的十进制数转化为十六进制数． 根据小勤的思路可以得出：． 【答案】(1)①13 ，②435 (2) (3)10101 (4)2D 【分析】（1）根据进制数的位值表示法，将每一位数字乘以对应基数的幂次后求和，即可转化为十进制． （2）分别将三进制数和二进制数转化为十进制数，再比较大小． （3） 采用“除二余法”将十进制数反复除以，记录余数，倒序排列即为二进制结果． (4) 先将二进制数按位值展开转化为十进制数，再用“除十六取余法”将十进制数转化为十六进制数． 【详解】（1）解：① ． ② ． （2）解：， ， ， ． （3）解：用除取余法， ， ， ， ， ， 将余数从下往上倒序排列，得． （4）解：第一步，将二进制数转化为十进制数： ． 第二步，用除16取余法将45转化为十六进制数： ， ， 将余数从下往上倒序排列，得， ． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 有理数 06讲 有理数的乘方 目录 【知识点1. 有理数的乘方 1】 【知识点2. 整数指数幂的符号规律 2】 【知识点3. 科学记数法 3】 【题型1. 有理数幂的概念理解 3】 【题型2. 有理数的乘方运算 4】 【题型3. 有理数乘方的逆运算 4】 【题型4. 乘方运算的符号规律 5】 【题型5. 乘方的应用 5】 【题型6. 科学记数法 6】 【题型7. 将科学记数法变回原数 7】 【课后作业 7】 知识清单 1、有理数的乘方 1）：一般地，a是有理数，n是正整数，则把简记为，n个a 即规定，其中，读作“a的n次方”或“a的n次幂”.n个a 2）乘方的概念：个相同因数的乘积的运算，叫作乘方在中，叫作底数，叫作指数. 3）特别地，通常读作“的平方”，通常读作“的立方”。 注意：①乘方运算中的“1次方”通常把“1”省略，但不代表没有； ②乘方运算，代表的是多个相同乘数相乘，要与乘法运算区分开来； ③在运算时要注意看清楚底数和指数到底是谁； ④带分数的乘方运算，一定要先化成假分数后再运算。 底数 指数 幂 巩固基础 1．计算的结果等于（     ） A． B． C． D． 2．关于的说法正确的是（     ） A．指数是 B．结果是 C．表示4个相加 D．表示4个相乘 3．用分数表示：_______． 4．已知满足，那么_____． 知识清单 2、整数指数幂的符号规律 1）正数的任何正整数次幂都是正数； 2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数，即“奇负偶正”； 3）0的任何正整数次幂都是0； 4）除0以外的任何数的“0次幂”结果为1。 巩固基础 1．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 2．在学习了乘方运算后，对于聪聪和明明有如下讨论： 聪聪：表示有2个k相乘     明明：表示有2个k相加 你认为他们的说法（    ） A．只有聪聪是对的 B．只有明明是对的 C．他们两人都不对 D．他们都有道理 3．________． 4．计算：________． 知识清单 3、科学记数法：把一个大于（小于－10）的数记作的形式（其中，或，是正整数），这种记数法就是科学记数法． 如：340000000=3.4×108，－567000000=－5.67×108 注意：1）a的确定——所有数字照抄并写成一位整数的数，负数要保留前面的符号； 2）n的确定——计算小数点移动的位数，向左n为正，向右为负，对于大于10的数，n比整数位数少1，小于1的数，|n|等于第一个非0数字前0的个数。 巩固基础 1．我们祖国的领土面积约为．把这个数用科学记数法表示为（     ）． A． B． C． D． 2．2022年4月，南非射电望远镜捕捉到宇宙深空一道强烈的微波，距离地球50亿光年，天文学称它为巨脉泽．数50亿用科学记数法表示的结果是（     ） A． B． C． D． 3．表示的原数是（    ） A． B． C． D． 直击考点 题型1：有理数幂的概念理解 【例1】下列可以表示的是（    ） A． B． C． D． 【例2】的底数是________，读作________． 【变式1】表示的含义是（   ） A．3个2相加 B．3个2相乘 C．2个3相加 D．2个3相乘 【变式2】把式子写成乘方的形式 __________． 【变式3】中底数是a，指数是b，则_______． 题型2：有理数的乘方运算 【例1】计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【例2】计算：_______． 【变式1】下列各式的计算结果与相等的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】计算：________． 【变式3】若，则_____． 【变式4】计算： (1)； (2)； (3)． 题型3：有理数乘方的逆运算 【例1】已知，则的值为（    ） A．7 B．9 C．10 D．12 【变式1】若，则________． 【变式2】已知，且，则__________； 题型4：乘方运算的符号规律 【例1】一个负数的奇次幂为（    ） A．正数 B．负数 C．正数或负数 D．分数 【变式1】若 ，则一定有（   ） A． B． C． D． 【变式2】______ 【变式3】如果n是正整数，则_____ ． 题型5：乘方的应用 【例1】如图，某种细菌在适宜环境下，细胞每过30分钟便会由1个分裂成2个，经过4小时，1个细胞能分裂成（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【例2】手工拉面是我国的传统面食，制作时，拉面师傅将一团和好的面，揉搓成1根长条后，手握两端用力拉长，然后将长条对折，再拉长，再对折（每次对折称为一扣），如此反复操作，连续拉扣若干次后，便成了许多细细的面条．你能算出拉扣7次后共有多少根面条吗？ 【变式1】在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，类似现在我们熟悉的“进位制”．如图所示是远古时期一位母亲记录孩子自出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满八进一，根据图示可知，孩子已经出生的天数是（   ） A．64 B．90 C．132 D．210 【变式2】《庄子》中记载：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”这句话的意思是一尺长的木棍，每天截取它的一半，永远也截不完．若按此方式截一根长为1的木棍，第5天截取后木棍剩余的长度是___________． 【变式3】由乘方的定义可知：（n个a相乘）．观察下列算式回答问题： (1)________；（写出结果） (2)________； (3)计算的值． 题型6：科学记数法 【例1】地球上的海洋面积为361 000 000平方千米，数字361 000 000用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【例2】2021年的“五一”假期，是疫情防控常态化之后的首个小长假．为做好“五一”假日旅游接待及疫情防控工作，张家界市各部门和旅游企业单位尽职尽责，严格落实中央、省、市相关文件和会议精神，确保“五一”期间旅游接待、疫情防控两手抓两不误．据不完全统计，全市各景点五一期间共接待游客约为万人次，请将数据万用科学记数法表示为________． 【变式1】节约是一种美德，节约是一种智慧．据不完全统计，全国每年浪费食物总量折合粮食可养活约3亿6千万人．360000000用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【变式2】截止到今年2月中旬，全国新冠疫苗接种总人数超过12.6亿人，疫苗覆盖率近．12.6亿用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【变式3】据统计，2018年中国粮食总产量达到65790万吨，数65790万用科学记数法表示为________________． 题型7：将科学记数法变回原数 【例1】地球绕太阳公转的速度用科学记数法表示为，把写成原数是（　　） A．1100000 B．110000 C．11000 D．0.00001 【例2】我国的森林面积用科学记数法表示约为公顷，还原成以“亿”为单位的原数是________亿公顷． 【变式1】截至2026年1月，我国某景区接待游客人数约为人，这个数的原数是（  ） A．32000 B．320000 C．3200000 D．32000000 【变式2】一个整数用科学记数法表示为，则原数中“0”的个数为（   ） A．4 B．6 C．7 D．9 【变式3】若数a用科学记数法表示为，则a的原数为________． 课后作业 1．（2026·江苏无锡·中考真题）随着科技的不断进步，生成式人工智能成为我国经济社会数字化、智能化转型的重要引擎．截至2025年12月，我国生成式人工智能用户达602000000人．数据602000000用科学记数法表示为（     ）． A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·河北承德·期末）第六代战斗机是以人工智能控制为核心、采用吸气式发动机、具备高超音速能力的新一代战斗机，飞行一小时的距离约为600万米，将数据600万米用科学记数法表示为米时，则的值为（     ） A．9 B．10 C．11 D．12 3．（25-26七年级下·广东深圳·期末）能写成一个整数的平方的数称为平方数，下列整数不是平方数的是（     ） A．1 B．4 C．8 D．121 4．（25-26七年级上·山东潍坊·期末）若，，且，则______． 5．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）若整数用科学记数法表示为，则原数中“”的个数为________． 6．（26-27七年级·全国·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 7．（26-27七年级·全国·暑假作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 8．（25-26七年级上·江西赣州·期中）阅读以下解题过程． 求的值． 解：令， 则 所以， 即， 所以． 请根据上述材料中的方法计算下面的式子： 9．（25-26七年级上·重庆大足·期末）在数学综合与实践学习中，我们认识到不同的进制有不同的计数规则．在密码学的基础应用中，也常常用到进制转换．已知有一种简单的密码规则是将字母转换为其对应的码值．（字母的码值为，其余大写字母的码值在的基础上按顺序加1得到．如字母的码值为，字母的码值为，以此类推．每个大写字母都有一个唯一的码值与其对应），再将该十进制数转换为三进制数进行加密． (1)年轻人把数学有趣又好玩翻译为“!”请你写出“MATH”这个单词各个字母在码中的值并计算出这些值的和为多少？ (2)现在收到一个加密后的三进制数，请将其转换为十进制数，并根据码表判断它对应的字母是什么？ 10．（25-26七年级上·福建南平·期末）我们知道，十进制是逢十进一，十进制数3742中的3表示3个千，7表示7个百，4表示4个十，2表示2个一，于是得到下面的式子：．二进制是逢二进一，其各数位上的数字为0或1． 为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数，例如，就是二进制数1011的简单写法，十进制数一般不标注基数．将(1011)2转换为十进制数，如下：． 小明设计一种游戏：将十二生肖“鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪”按顺序分别编号为1到12．四张卡片A，B，C，D上的数字为0或1（顺序为），如：A．1，B．1，C．0，D．0，记为，然后将二进制数转换为十进制数，就可能得到对应生肖的编号． （1）请将二进制数转换为十进制数； （2）若A，D卡片上的数字都为0，B，C卡片上的数字都为1，对应的生肖是什么？请说明理由． 【拓展应用】 （3）小华设计一个“猜生日”的游戏，用5张卡片A，B，C，D，E组成的二进制数来表示1号到31号中的一天，五张卡片A，B，C，D，E上的数字为0或1（顺序为）．他的生日是八月的某天，若A，D卡片上的数字都为1，其他卡片上的数字都为0，他的生日是八月几号？请说明理由． 11．（25-26七年级上·四川南充·期末）【概念学习】定义：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的下3次方”；记作，读作“的下4次方”．一般地，把（个为大于等于2的整数）记作，读作“的下次方”． （1）直接写出计算结果：______；______； 【深入探究】我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 例如：． （2）仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式（不用计算）： ______，______； 【结论应用】（3）计算：． 12．（2026·湖北襄阳·三模）请完成以下数学活动： 活动目标 认识进位制，理解不同进位制的数之间的转换 材料1 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制，也就是说“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几． 十进制数，记作1024； 八进制数，记作； 五进制数，记作； 二进制数，记作； 十六进制数，记作． （十六进制数使用0—9和A—F来表示，其中10，11，12，13，14，15这五个数分别用字母A，B，C，D，E，F表示）． n（，且n为整数）进制数转化成与其相等的十进制数，只需要将n进制数的每个数字，依次乘n的相应次幂相加，就可得到与它相等的十进制数．如：八进制数转十进制数为：． 材料2 十进制整数转化为二进制整数通常采用除二取余法，即用2连续除十进制数，直到商为0，逆序排列余数即可得到二进制数，简称除二取余法．同样的，十进制数转化为八进制数可用除八取余法．例如： 解决问题 任务1： (1)将下列进制数转化为十进制数： ①______；②______； (2)现有三进制数，二进制数，试比较a，b的大小． 任务2： (3)十进制数21转化为二进制数得． (4)如何将一个二进制数转化为十六进制数呢？小勤提出一种想法： 第一步：先将二进制数转为十进制数； 第二步：再将所得的十进制数转化为十六进制数． 根据小勤的思路可以得出：． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $