专题1.6 有理数的混合运算（举一反三讲义）数学新教材湘教版七年级上册

本讲义聚焦有理数的混合运算核心知识点，系统梳理运算顺序（先乘方、再乘除、后加减，同级从左到右，括号按小中大依次），通过7个题型（基础运算、算24点游戏、程序流程图计算、简便方法、应用、规律探究、新定义问题）搭建从基础到综合的学习支架。 资料特色在于以数学思维与眼光整合内容，如算24点游戏引导用数学眼光观察现实问题，程序流程图计算提升逻辑推理能力，规律探究培养运算能力与推理意识。例题与变式题结合，课中辅助教师分层教学，课后助力学生巩固练习、查漏补缺。

专题1.6 有理数的混合运算（举一反三讲义） 【新教材湘教版】 题型归纳 【题型1 有理数的混合运算】 1 【题型2 算“24”点游戏】 3 【题型3 程序流程图与有理数的混合计算】 6 【题型4 利用简便方法计算有理数的混合运算】 9 【题型5 有理数的混合运算的应用】 13 【题型6 有理数的混合运算中的规律探究】 17 【题型7 有理数的混合运算中的新定义问题】 20 考点 有理数的混合运算 知识点 有理数的混合运算顺序 1. 先乘方，再乘除，最后加减； 2. 同级运算，从左到右进行； 3. 如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 有理数运算分三级，加减是第一级运算，乘除是第二级运算，乘方是第三级运算．运算顺序是先算高级，再算低级；同级运算按从左到右的顺序进行；对于含有多重括号的运算，一般先算小括号内的，再算中括号内的，最后算大括号内的． 【题型1 有理数的混合运算】 【例1】（2026·河北张家口·三模）计算的值，其中“★”表示一个有理数． (1)若“★”表示的数为，求的值； (2)若算式的值为，求“★”所表示的数． 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）根据有理数混合运算法则计算即可； （2）设“★”所表示的数为，由题意得，，解一元一次方程即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：设“★”所表示的数为， 由题意得， ， ， ， ； 答：“★”所表示的数为6． 【变式1-1】（25-26七年级上·山东聊城·期末）计算的结果是（    ） A．6 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的混合运算，需遵循“先乘方，再乘除，最后加减”的运算顺序进行计算． 【详解】解：， 故选：D． 【变式1-2】（25-26七年级上·山西临汾·期末）在数学计算小竞赛中，组长发现有同学的计算出现了错误，请你帮忙找出下列运算中结果错误的选项（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 通过逐一计算每个选项的运算结果，发现选项C的计算错误，其他选项正确． 【详解】解：A、，则A不符合题意， B、，则B不符合题意， C、，则C符合题意， D、，则D不符合题意， 故选：C． 【变式1-3】（25-26九年级下·河北邯郸·期中）如图，有A、B、C、D四张运算卡片，每张卡片表示对前一个数进行卡片上的运算，如按“”进行运算，则所列算式为“”． (1)若按“”进行计算，先列出算式，再直接写出结果； (2)若琪琪同学按“进行计算，请列出算式并写出运算过程和结果． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据流程图规则列式计算即可； （2）根据流程图规则列式计算即可． 【详解】（1）解：根据题意，得； （2）解：根据题意，得， ∴原式． 【题型2 算“24”点游戏】 【例2】（25-26七年级上·湖南岳阳·期末）“24点游戏”指的是从一副扑克牌（去掉大、小王）中任意抽出四张，根据牌面上的数进行混合运算（每张牌必须用一次且只能用一次），使得运算结果是或．其中红色代表负数，黑色代表正数．现抽出的牌所对应的数是黑桃4，红桃5，梅花3，方块7，请你写出一个刚好凑成的算式：_________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查有理数的混合运算，掌握点游戏的规则是解题的关键． 根据点游戏的规则，利用给定的数字进行组合得到即可． 【详解】解：根据题意，可知四个数分别为， 通过观察可知， ． 故答案为：（答案不唯一）． 【变式2-1】“24点”游戏规则是：从一副牌中（去掉大、小王）任意抽取4张牌，用上面的数字进行混合运算，使结果为24或—24.其中红色代表负数，黑色代表正数，A，J，Q，K分别代表1，11，12，13，例如张毅同学抽取的4张牌分别为红桃4、红桃3、梅花6、黑桃2，于是张毅同学列出的算式为（－4）×（－3－6÷2）＝24，现在张毅同学想挑战“36点”，将这四张牌中的任意一张换成其它牌，使结果为36或—36，下列方法可行的有几种：①将红桃4换成黑桃6；②将红桃3换成红桃6；③将梅花6换成黑桃Q；④将黑桃2换成黑桃A（    ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】D 【分析】根据有理数的四则混合计算法则求解即可． 【详解】解：①这四个数分别为6、-3、6、2， ∵， ∴①符合题意； ②这四个数分别为-4、-6、6、2， ∵， ∴②符合题意； ③这四个数分别为-4、-3、12、2， ∵， ∴③符合题意； ④这四个数分别为-4、-3、6、1， ∵， ∴④符合题意； 故选D． 【点睛】本题主要考查了有理数的四则混合运算，熟知相关计算法则是解题的关键． 【变式2-2】（24-25七年级上·广东佛山·期末）游戏“24点”规则如下：从一副扑克牌（去掉大王、小王）中任意抽取4张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌必须用一次且只能用一次），使得运算结果为24，其中红色扑克牌代表负数，黑色扑克牌代表正数，请用如图抽取出的4张牌（4张牌颜色依次为红色、黑色、黑色、红色），写出一个符合规则的算式________ 【答案】或或 【分析】本题考查了有理数的混合运算，掌握有理数的运算法则是解题的关键． 根据有理数的运算法则列式即可． 【详解】解：由图可得，符合规则的算式为或或， 故答案为：或或． 【变式2-3】（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）学习了有理数的混合运算方法（加、减、乘、除）后，越越和兴兴两个同学在课间分享“二十四点”计算方法．两人的对话如下： 越越：如果看到四个数中有一个是，只要其余三个数能算出是或，，，，都可算出，如：可以列出． 兴兴：有时遇到不能用你的方法算出，可以尝试用除以，也能得到哦！如：，，，，可以列出． 结合上面两位同学的分享，解决下列问题： (1)现给定三个数，，，请从到这些自然数中选一个，使四个数能算出，要求列出算式，并简单说一下你的思考过程． (2)想一想，数字，，，这四个数可以算出吗？如果可以，请列出算式． 【答案】(1) 所选数字为，算式： (2) 可以， 【分析】本题考查有理数的四则混合运算，在理解有关规则的基础上灵活应用有理数的混合运算法则求解是解题关键； （1）根据运算结果为和已知给定的三个数，筛选出合适的数字； （2）根据已给数字有，按照题干所给方法进行判断即可． 【详解】（1）解：当选时， ∵， ∴； 当选时， ∴； 当选时， ∴； 当选时， ∴； 当选时， ∴； 当选时， ∴； 当选时， ∴； 当选时， ∴； 当选时， ∴； 当选时， ∴； 任选其一即可； （2）答：可以，． 【题型3 程序流程图与有理数的混合计算】 【例3】（25-26九年级下·山东烟台·期中）如图所示的运算程序中，若开始输入的值是，第次输出的结果是，第次输出的结果是，依次继续下去，第次输出的结果是________． 【答案】 【分析】先求得前几次输出的结果，发现规律为从第次开始，，，，每次个数循环， 进而根据规律求解即可． 【详解】解：当开始输入的值是时， 根据运算程序可知，第次输出的结果是， 第次输出的结果是， 第次输出的结果是， 第次输出的结果是， 第次输出的结果是， 第次输出的结果是， 发现规律：从第次开始，，，，每次个数循环， ， 第次输出的结果与第次输出的结果一样，是． 【变式3-1】按如图所示的运算程序，若输入，，则输出结果为_______． 【答案】5 【分析】本题考查有理数的混合运算，正确理解程序图列出算式进行计算是解题关键．根据程序图由，列出算式进行运算求解即可． 【详解】解： ，， ， ， 故答案为：5． 【变式3-2】（25-26七年级上·河北唐山·期末）淇淇设计了一个运算程序，如图，输入值，由上面的一条路线从左至右进行运算得到，由下面的一条路线从左至右进行运算得到．如输入，得到即． (1)类比的求值过程，求当，的值； (2)若得到，求输入的的值及相应的的值． 【答案】(1)的值为 (2)输入的的值为，的值为 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，有理数的四则混合运算，正确理解流程图是解题的关键； （1）仿照题意计算求解即可； （2）根据题意可得方程，解方程求出的值，进而求出的值即可； 【详解】（1）解：当时，， ∴， ∴的值为； （2）解：由题可知，， ∵， ∴， 解得，， ∴， ∴输入的的值为，的值为． 【变式3-3】（24-25七年级上·安徽淮北·月考）如图，某同学设计了一种计算程序流程图，按要求完成下列任务： (1)当输入的值为时，求输出的值； (2)若输出的值为380，直接写出输入的值为__________； (3)若输入的值为0，求输出的值． 【答案】(1)输出的值为124 (2)5或 (3)6380 【分析】本题主要考查了与流程图有关的有理数混合计算： （1）根据流程图可得算式，计算出该结果，若大于100，则输出，若不大于100，则计算的结果作为新输入的数，再计算，如此反复，直至能输出对应的结果即可； （2）根据输出的结果为380，得到平方后的结果为400，根据的平方为400，得到x乘以负4的结果为，据此求解即可； （3）同（1）求解即可． 【详解】（1）解：）当时，，故输出的值为124． （2）解：，的平方为400， 或． （3）解：当时，，， 此时输出的值为6380． 【题型4 利用简便方法计算有理数的混合运算】 【例4】（25-26七年级下·河南周口·期中）设是一个两位数，其中是十位上的数字．例如，当时，表示的两位数是45． 当时，； 当时，； 当时，； …… (1)依据上述算式写出当时，______． (2)归纳出一般表达式，______． (3)这种简便计算也可以推广应用到个位数字是5的三位数的平方（即），请写出的简便计算过程及结果． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【详解】（1）解：当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 则当时，； （2）解：由（1）可知； （3）解：当时，． 【变式4-1】（2022七年级上·上海·专题练习）用简便方法计算___________； 【答案】 【分析】根据有理数简便运算凑整优先的原则，逐步化简计算即可． 【详解】原式= 【点睛】本题考查了有理数混合运算中的简便运算，选择合适的简便方法是解题的关键． 【变式4-2】（24-25七年级下·安徽蚌埠·期中）下面是小明与小亮同学探究用不同方法简便计算“”的讨论片段，请仔细阅读，并解决相关问题． 小明：． 小亮：我认为小明的计算方法比直接计算简便，但计算量还是有些大，我采用的方法是 ． (1)小明进行简便计算的原理为乘法分配律：________． 小亮进行简便计算的原理为乘法公式：________． (2)选择一种简便计算的方法，完成下列计算： ①；②． 【答案】(1)； (2)①899；②1 【分析】本题主要考查了有理数乘法分配律，平方差公式等知识点，熟练掌握平方差公式是解题的关键． （1）根据有理数乘法分配律、平方差公式即可直接得出答案； （2）利用平方差公式进行计算即可． 【详解】（1）解：小明进行简便计算的原理为乘法分配律：． 小亮进行简便计算的原理为乘法公式：． 故答案为：；； （2）解：① ． ② ． 【变式4-3】（24-25六年级上·山东威海·期末）【信息提取】“转化”是一种解决问题的常用策略，借助图形可以发现并建立相应的数量关系，进而找到问题解决的方法．如在计算“”时，可以利用图1进行绘图得到图2，将问题转化为“”，实现简便计算． 【问题探究】 （1）利用图3进行绘图，并依据绘图进行简便计算：； （2）猜想：= ；（直接写结果） 【问题解决】 （3）计算：． 【答案】（1）图见解析；   （2）  （3） 【分析】本题考查有理数的混合运算，利用图形对简便计算有理的运算是解题的关键． （1）把正方形看作单位量“1”，利用图形把转化成进行计算即可． （2）仿（1）的方法即可得出答案； （3）将转化成，再利用（2）的结论计算即可． 【详解】解：（1）如图， 由图可得： ． （2）， 故答案为：． （3） ． 【题型5 有理数的混合运算的应用】 【例5】（2026·北京门头沟·二模）某公司有七台办公电脑，编号依次为①～⑦号，工作期间，这七台电脑突然出现故障，处于待机状态，立即安排对这七台电脑进行维修．已知维修①～⑦号电脑所需时间依次为分钟，分钟，分钟，分钟，分钟，分钟，分钟，工作日，每台电脑待机分钟，会造成元的经济损失． （1）若安排一名维修人员，当这七台电脑全部维修完成且总经济损失最小，则维修的顺序是_____．（填写编号）； （2）若安排三名工作效率相同的维修人员同时开始单独工作，且每台电脑只能由一名维修人员维修，当这七台电脑在最短时间内全部维修完时，总经济损失最小为_____元． 【答案】 ③①⑦②④⑤⑥ 【分析】（1）安排一名维修人员时，当这七台电脑全部维修完成且总经济损失最小，需要先维修所需时间较短的电脑，根据每台电脑维修所需要的时间确定维修顺序； （2）要使经济损失最小，则需要维修所需时间最短，根据七台电脑维修所需要的总时长为分钟，可知平均每人维修的时间为分钟，所以一人可以维修①⑥号，维修顺序为①⑥，最小损失为元；第二人可以维修②⑤号，维修顺序为②⑤，此时损失最小，为元；第三人可以维修③④⑦号，维修顺序为③⑦④，此时损失最小，为元；把三个损失加起来即为总经济损失的最小值． 【详解】（1）解：若安排一名维修人员，当这七台电脑全部维修完成且总经济损失最小，需要先维修所需时间较短的电脑， 这样安排后面的电脑等候的时间就会短，总待机时间就短， ， 维修的顺序是③①⑦②④⑤⑥； （2）解：根据题意，使维修时间最短，且先维修时间短的，可以使得经济损失最小， 当这七台电脑由一个人全部维修完的总时长为（分钟）， 当由三人同时维修时，平均每人维修的时间为（分钟）， 需将这七台电脑分别分配给这三名维修人员，使得人的维修时间等于分钟或尽可能接近分钟，可以使得维修时间最短， 第一人可以维修①⑥号，维修时间是（分钟），维修顺序为①⑥， 此时损失最小，为（元）， ①号从故障到修好的时间为其维修时间，⑥号从故障到修好的时间是①号维修时间＋其锥修时间； 第二人可以维修②⑤号，维修时间是（分钟），维修顺序为②⑤，此时损失最小，为（元）； ②号从故障到修好的时间为其维修时间，⑤号从故障到修好的时间是②号维修时间＋其维修时间； 第三人可以维修③④⑦号，维修时间是（分钟），维修顺序为③⑦④，此时损失最小，为（元）； ③号从故障到修好的时间为其维修时间，⑦号从故障到修好的时间是③号维修时间＋其维修时间，④号从故障到修好的时间是③，⑦号维修时间之和＋其维修时间； 当这七台电脑在最短时间内全部维修完时，总经济损失最小为（元）． 【变式5-1】在我的办公室里有两个时钟．一个时钟每小时快一分钟，另一个时钟每小时慢两分钟．昨天我把两个时钟都设置到了正确的时间，但当我今天看它们的时候，我看到一个时钟显示的时间是，另一个时钟显示的时间是．问我是什么时间调整两个时钟的？（   ） A． B． C． D． E． 【答案】C 【分析】先计算每小时两个时钟的总时间差，再根据当前两个时钟的时间差得到从调整到现在经过的实际时长，再结合快钟的误差算出当前实际时间，最后倒退得到调整时钟的时间。 【详解】解：∵快钟每小时比标准时间快1分钟，慢钟每小时比标准时间慢2分钟 ∴每经过1小时，快钟比慢钟多走分钟 ∵现在两个时钟显示时间相差分钟 ∴从调整时钟到现在一共经过了小时 ∵显示时间更早的是慢钟，显示的是快钟，20小时一共快了分钟 ∴当前实际时间为分钟 ∵调整时间是20小时前的标准时间， ∴调整时间为 小时． 【变式5-2】（25-26七年级上·广西河池·期末）某班计划开展团建活动，了解到多数同学都喜欢吃哈密瓜．于是班级采购小组到市场调查，发现华星超市在搞促销活动，其中有一批大小差不多的哈密瓜也在促销．促销员说：这些瓜每个重量大约都在5斤左右，之前卖3.5元一斤的，现在搞活动全部卖15元一个．采购小组商量后买了10个回来．验货小组想知道这次购买的10个瓜的实际重量，于是将10个瓜逐个称重，以5斤为标准，超过记为正，不足记为负，记录结果如下：，，，，，，，，，．问： (1)最重的瓜比最轻的瓜重多少斤？ (2)该班采购的10个哈密瓜实际总重量为多少斤？ (3)如果按原价购买这10个瓜需付多少元？该班此次购买省了多少元？ 【答案】(1)最重的瓜比最轻的瓜重斤 (2)该班采购的个哈密瓜的总重量为斤 (3)按原价购买这个瓜需付元，此次购买省了元 【分析】本题考查了正负数的应用，有理数混合运算的应用，正确列出算式是解答本题的关键． （1）用最重的减去最轻的即可； （2）实际总重量等于10个瓜的标准质量加上10个瓜与标准质量的差的总和； （3）用总重量乘以单价可得原总价，再计算活动时的总价，两者相比较即可求出省了多少元． 【详解】（1）解：（1） 答：最重的瓜比最轻的瓜重0.85斤； （2）解： 答：该班采购的10个哈密瓜的总重量为斤； （3）活动前总价： 活动时总价： 此次购买省了： 答：按原价购买这10个瓜需付元，此次购买省了元． 【变式5-3】节约用水．市政府决定对居民用水实行三级阶梯水价： 每户每月用水量 水费价格（单位：元/立方米） 不超过22立方米 2.3 超过22立方米且不超过30立方米的部分 a 超过30立方米的部分 4.6 (1)若小明家去年1月份用水量是10立方米，他家应缴费______元．（直接填写答案即可） (2)若小明家去年2月份用水量是26立方米，缴费62.6元，请求出用水在22～30立方米之间的收费标准a元/立方米？ (3)在（2）的条件下，若小明家去年8月份用水量增大，共缴费97.6元，请求出他家8月份的用水量是多少立方米？ 【答案】(1)23 (2)用水在22～30立方米之间的收费标准3元/立方米 (3)他家8月份的用水量是35立方米 【分析】（1）因为10立方米不超过22立方米，所以直接按2.3元计算即可； （2）因为26立方米超过22立方米且不超过30立方米，所以，根据方程即可求出a的值； （3）先根据第（2）问中得出的结果计算30立方米的费用，从而确定属于第几个阶梯，再列方程解决． 【详解】（1）解：∵， ∴10立方米应缴费为（元）． （2）解：， 解得． 答：用水在22～30立方米之间的收费标准3元/立方米． （3）解：设他家8月份的用水量是立方米．                    ∵ ∴ 可列方程：， 解得． 答：他家8月份的用水量是35立方米． 【题型6 有理数的混合运算中的规律探究】 【例6】（25-26七年级上·安徽芜湖·期末）如图所示，将形状大小完全相同的“”按照一定的规律摆成下列图形：第①幅图中“”的个数为，第②幅图中“”的个数为，第③幅图中“”的个数为，…，以此类推． （1）按照图中规律，________； （2）________． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，图形类规律，解题的关键是正确找到规律． （1）由图找出规律求解即可； （2）由（1）可得，，则原式化为，再裂项求和即可． 【详解】解：（1）由图可得，， ∴， 故答案为：； （2）由（1）可得， ∴ 故答案为：． 【变式6-1】如图，将大小相同的小圆规律摆放：第1个图形有5个小圆，第2个图形有8个小圆，第3个图形有11个小圆，…依此规律，第n个图形的小圆个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】观察图形的变化先计算出前几个图形的小圆的个数，进而可得第n个图形的小圆个数． 【详解】解：观察图形的变化可知：第1个图形有5个小圆，即， 第2个图形有8个小圆，即， 第3个图形有11个小圆，即， 依此规律，第n个图形的小圆个数是： ， 故选：B． 【点睛】本题考查了图形的变化规律，解题的关键是先计算出前几个图形的小圆的个数，找到规律． 【变式6-2】（24-25七年级上·江西南昌·期末）观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律： (1)观察并发现规律，请猜想___________； (2)试用含有的式子表示这一规律：___________；（为正整数） (3)请用上述规律计算： ①； ②． 【答案】(1) (2) (3)①；② 【分析】本题主要考查数字的变化规律和图形的变化类及有理数的运算，根据图形得出等式左边是连续的奇数和，等式右边是等式左边的首数与末数的平均数的平方是解题的关键． （1）根据图示和数据可知规律是：等式左边是连续的奇数和，等式右边是等式左边的首数与末数的平均数的平方，据此可得； （2）由等式右边是等式左边的首数与末数的平均数的平方，首数为，等式右边为，则末尾数为； （3）①，则； ②由，，两式相减即可求解． 【详解】（1）解：观察，发现规律：，，，， ． 故答案为：； （2）解：由等式右边是等式左边的首数与末数的平均数的平方，首数为，等式右边为， 则末尾数为， 故答案为：； （3）解：①， ； ②， ， 上式减去下式可得：． 【变式6-3】（24-25六年级上·山东泰安·期末）阅读探究：；；；； （1）根据上述规律，_____（填写计算后的结果）． （2）根据你发现的规律，_____． 【答案】 55 1185 【分析】此题考查了有理数的混合运算，以及数字的变化规律，找到规律是解题的关键 ． （1）根据所给的4个算式的规律，可知等于； （2）根据所给的算式总结得到规律：等于；用的值减去的值，求出算式的值是多少即可．1 【详解】解：（1）根据所给的4个算式的规律：， 故答案为：55； （2）根据所给的算式总结得到规律： ∴原式 ． 故答案为：1185． 【题型7 有理数的混合运算中的新定义问题】 【例7】（24-25七年级上·甘肃武威·期末）借助有理数运算，定义一种新运算“☆”：规则为．例如∶．根据定义解答下列问题： (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2)42 【分析】本题考查新运算，有理数的混合运算，理解规定的运算是关键． （1）按照规定的新运算进行计算即可； （2）按照规定的新运算先算括号里的新运算，再算括号外的新运算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解： ． 【变式7-1】（25-26七年级上·四川德阳·期末）定义一种对正整数的“F”运算：①当为奇数时，；②当为偶数时，（其中是使为奇数的正整数）…，两种运算交替重复进行，例如，取，则 ，若，则第次“”运算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查有理数的混合运算和数字的规律，解答本题的关键是理解新定义中的运算法则，掌握有理数混合运算的计算方法．根据题意，写出前几次的运算结果，发现其中的规律，进而观察规律即可得结论． 【详解】解：当，则第次“”运算的结果是：， 第次“”运算的结果是：， 第次“”运算的结果是：， 第次“”运算的结果是：， 第5次“”运算的结果是：， 第6次“”运算的结果是：， … 观察以上结果，从第次开始，结果就只有、两个数循环出现，周期为； 且当次数为奇数时，结果是，次数为偶数时，结果是， 而第次是偶数，所以最后结果是． 故选：A． 【变式7-2】（24-25七年级下·广西南宁·期末）如图是计算机程序的一个流程图，现定义：“”表示用的值作为x的值输入程序再次计算，比如：当输入时，按照程序第一次“传输”，可得，所以需要继续把输入程序，再次计算作为第二次“传输” ，经过6次“传输”才结束程序．则当起始输入时，需要经过_____次“传输”才结束程序． 【答案】11 【分析】本题考查有理数的混合运算，代数式求值，理解题意并列得正确的算式是解题的关键． 根据题意列式计算，直至结果大于2025即可． 【详解】解：当起始输入时， 按照程序第1次“传输”，可得， ，按照程序第2次“传输”，可得， ，按照程序第3次“传输”，可得， ，按照程序第4次“传输”，可得， ，按照程序第5次“传输”，可得， ，按照程序第6次“传输”，可得， ，按照程序第7次“传输”，可得， ，按照程序第8次“传输”，可得， ，按照程序第9次“传输”，可得， ，按照程序第10次“传输”，可得， ，按照程序第11次“传输”，可得，“传输”结束， 那么当起始输入时，需要经过11次“传输”才结束程序， 故答案为：11． 【变式7-3】对于正整数n，定义，其中表示n的首位数字、末位数字的平方和，例如：，．规定，（n为正整数）．例如：，．按此定义，则有______，______． 【答案】 37 89 【分析】根据题意分别求出F1（4）到F8（4），通过计算发现，F1（4）=F8（4），只需确定F2015（4）=F6（4）即可求解． 【详解】解：F1（4）=16，F2（4）=F（16）=37， F3（4）=F（37）=58，F4（4）=F（58）=89， F5（4）=F（89）=145，F6（4）=F（145）=26， F7（4）=F（26）=40，F8（4）=F（40）=16，… 通过计算发现，F1（4）=F8（4）， ∵2020÷7=288…4， ∴F2020（4）=F4（4）=89； 故答案为：37，89． 【点睛】本题考查有理数的乘方；能准确理解定义，多计算一些数字，进而确定循环规律是解题关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.6 有理数的混合运算（举一反三讲义） 【新教材湘教版】 题型归纳 【题型1 有理数的混合运算】 1 【题型2 算“24”点游戏】 2 【题型3 程序流程图与有理数的混合计算】 3 【题型4 利用简便方法计算有理数的混合运算】 4 【题型5 有理数的混合运算的应用】 5 【题型6 有理数的混合运算中的规律探究】 7 【题型7 有理数的混合运算中的新定义问题】 8 考点 有理数的混合运算 知识点 有理数的混合运算顺序 1. 先乘方，再乘除，最后加减； 2. 同级运算，从左到右进行； 3. 如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 有理数运算分三级，加减是第一级运算，乘除是第二级运算，乘方是第三级运算．运算顺序是先算高级，再算低级；同级运算按从左到右的顺序进行；对于含有多重括号的运算，一般先算小括号内的，再算中括号内的，最后算大括号内的． 【题型1 有理数的混合运算】 【例1】（2026·河北张家口·三模）计算的值，其中“★”表示一个有理数． (1)若“★”表示的数为，求的值； (2)若算式的值为，求“★”所表示的数． 【变式1-1】（25-26七年级上·山东聊城·期末）计算的结果是（    ） A．6 B． C． D． 【变式1-2】（25-26七年级上·山西临汾·期末）在数学计算小竞赛中，组长发现有同学的计算出现了错误，请你帮忙找出下列运算中结果错误的选项（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26九年级下·河北邯郸·期中）如图，有A、B、C、D四张运算卡片，每张卡片表示对前一个数进行卡片上的运算，如按“”进行运算，则所列算式为“”． (1)若按“”进行计算，先列出算式，再直接写出结果； (2)若琪琪同学按“进行计算，请列出算式并写出运算过程和结果． 【题型2 算“24”点游戏】 【例2】（25-26七年级上·湖南岳阳·期末）“24点游戏”指的是从一副扑克牌（去掉大、小王）中任意抽出四张，根据牌面上的数进行混合运算（每张牌必须用一次且只能用一次），使得运算结果是或．其中红色代表负数，黑色代表正数．现抽出的牌所对应的数是黑桃4，红桃5，梅花3，方块7，请你写出一个刚好凑成的算式：_________． 【变式2-1】“24点”游戏规则是：从一副牌中（去掉大、小王）任意抽取4张牌，用上面的数字进行混合运算，使结果为24或—24.其中红色代表负数，黑色代表正数，A，J，Q，K分别代表1，11，12，13，例如张毅同学抽取的4张牌分别为红桃4、红桃3、梅花6、黑桃2，于是张毅同学列出的算式为（－4）×（－3－6÷2）＝24，现在张毅同学想挑战“36点”，将这四张牌中的任意一张换成其它牌，使结果为36或—36，下列方法可行的有几种：①将红桃4换成黑桃6；②将红桃3换成红桃6；③将梅花6换成黑桃Q；④将黑桃2换成黑桃A（    ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【变式2-2】（24-25七年级上·广东佛山·期末）游戏“24点”规则如下：从一副扑克牌（去掉大王、小王）中任意抽取4张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌必须用一次且只能用一次），使得运算结果为24，其中红色扑克牌代表负数，黑色扑克牌代表正数，请用如图抽取出的4张牌（4张牌颜色依次为红色、黑色、黑色、红色），写出一个符合规则的算式________ 【变式2-3】（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）学习了有理数的混合运算方法（加、减、乘、除）后，越越和兴兴两个同学在课间分享“二十四点”计算方法．两人的对话如下： 越越：如果看到四个数中有一个是，只要其余三个数能算出是或，，，，都可算出，如：可以列出． 兴兴：有时遇到不能用你的方法算出，可以尝试用除以，也能得到哦！如：，，，，可以列出． 结合上面两位同学的分享，解决下列问题： (1)现给定三个数，，，请从到这些自然数中选一个，使四个数能算出，要求列出算式，并简单说一下你的思考过程． (2)想一想，数字，，，这四个数可以算出吗？如果可以，请列出算式． 【题型3 程序流程图与有理数的混合计算】 【例3】（25-26九年级下·山东烟台·期中）如图所示的运算程序中，若开始输入的值是，第次输出的结果是，第次输出的结果是，依次继续下去，第次输出的结果是________． 【变式3-1】按如图所示的运算程序，若输入，，则输出结果为_______． 【变式3-2】（25-26七年级上·河北唐山·期末）淇淇设计了一个运算程序，如图，输入值，由上面的一条路线从左至右进行运算得到，由下面的一条路线从左至右进行运算得到．如输入，得到即． (1)类比的求值过程，求当，的值； (2)若得到，求输入的的值及相应的的值． 【变式3-3】（24-25七年级上·安徽淮北·月考）如图，某同学设计了一种计算程序流程图，按要求完成下列任务： (1)当输入的值为时，求输出的值； (2)若输出的值为380，直接写出输入的值为__________； (3)若输入的值为0，求输出的值． 【题型4 利用简便方法计算有理数的混合运算】 【例4】（25-26七年级下·河南周口·期中）设是一个两位数，其中是十位上的数字．例如，当时，表示的两位数是45． 当时，； 当时，； 当时，； …… (1)依据上述算式写出当时，______． (2)归纳出一般表达式，______． (3)这种简便计算也可以推广应用到个位数字是5的三位数的平方（即），请写出的简便计算过程及结果． 【变式4-1】（2022七年级上·上海·专题练习）用简便方法计算___________； 【变式4-2】（24-25七年级下·安徽蚌埠·期中）下面是小明与小亮同学探究用不同方法简便计算“”的讨论片段，请仔细阅读，并解决相关问题． 小明：． 小亮：我认为小明的计算方法比直接计算简便，但计算量还是有些大，我采用的方法是 ． (1)小明进行简便计算的原理为乘法分配律：________． 小亮进行简便计算的原理为乘法公式：________． (2)选择一种简便计算的方法，完成下列计算： ①；②． 【变式4-3】（24-25六年级上·山东威海·期末）【信息提取】“转化”是一种解决问题的常用策略，借助图形可以发现并建立相应的数量关系，进而找到问题解决的方法．如在计算“”时，可以利用图1进行绘图得到图2，将问题转化为“”，实现简便计算． 【问题探究】 （1）利用图3进行绘图，并依据绘图进行简便计算：； （2）猜想：= ；（直接写结果） 【问题解决】 （3）计算：． 【题型5 有理数的混合运算的应用】 【例5】（2026·北京门头沟·二模）某公司有七台办公电脑，编号依次为①～⑦号，工作期间，这七台电脑突然出现故障，处于待机状态，立即安排对这七台电脑进行维修．已知维修①～⑦号电脑所需时间依次为分钟，分钟，分钟，分钟，分钟，分钟，分钟，工作日，每台电脑待机分钟，会造成元的经济损失． （1）若安排一名维修人员，当这七台电脑全部维修完成且总经济损失最小，则维修的顺序是_____．（填写编号）； （2）若安排三名工作效率相同的维修人员同时开始单独工作，且每台电脑只能由一名维修人员维修，当这七台电脑在最短时间内全部维修完时，总经济损失最小为_____元． 【变式5-1】在我的办公室里有两个时钟．一个时钟每小时快一分钟，另一个时钟每小时慢两分钟．昨天我把两个时钟都设置到了正确的时间，但当我今天看它们的时候，我看到一个时钟显示的时间是，另一个时钟显示的时间是．问我是什么时间调整两个时钟的？（   ） A． B． C． D． E． 【变式5-2】（25-26七年级上·广西河池·期末）某班计划开展团建活动，了解到多数同学都喜欢吃哈密瓜．于是班级采购小组到市场调查，发现华星超市在搞促销活动，其中有一批大小差不多的哈密瓜也在促销．促销员说：这些瓜每个重量大约都在5斤左右，之前卖3.5元一斤的，现在搞活动全部卖15元一个．采购小组商量后买了10个回来．验货小组想知道这次购买的10个瓜的实际重量，于是将10个瓜逐个称重，以5斤为标准，超过记为正，不足记为负，记录结果如下：，，，，，，，，，．问： (1)最重的瓜比最轻的瓜重多少斤？ (2)该班采购的10个哈密瓜实际总重量为多少斤？ (3)如果按原价购买这10个瓜需付多少元？该班此次购买省了多少元？ 【变式5-3】节约用水．市政府决定对居民用水实行三级阶梯水价： 每户每月用水量 水费价格（单位：元/立方米） 不超过22立方米 2.3 超过22立方米且不超过30立方米的部分 a 超过30立方米的部分 4.6 (1)若小明家去年1月份用水量是10立方米，他家应缴费______元．（直接填写答案即可） (2)若小明家去年2月份用水量是26立方米，缴费62.6元，请求出用水在22～30立方米之间的收费标准a元/立方米？ (3)在（2）的条件下，若小明家去年8月份用水量增大，共缴费97.6元，请求出他家8月份的用水量是多少立方米？ 【题型6 有理数的混合运算中的规律探究】 【例6】（25-26七年级上·安徽芜湖·期末）如图所示，将形状大小完全相同的“”按照一定的规律摆成下列图形：第①幅图中“”的个数为，第②幅图中“”的个数为，第③幅图中“”的个数为，…，以此类推． （1）按照图中规律，________； （2）________． 【变式6-1】如图，将大小相同的小圆规律摆放：第1个图形有5个小圆，第2个图形有8个小圆，第3个图形有11个小圆，…依此规律，第n个图形的小圆个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式6-2】（24-25七年级上·江西南昌·期末）观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律： (1)观察并发现规律，请猜想___________； (2)试用含有的式子表示这一规律：___________；（为正整数） (3)请用上述规律计算： ①； ②． 【变式6-3】（24-25六年级上·山东泰安·期末）阅读探究：；；；； （1）根据上述规律，_____（填写计算后的结果）． （2）根据你发现的规律，_____． 【题型7 有理数的混合运算中的新定义问题】 【例7】（24-25七年级上·甘肃武威·期末）借助有理数运算，定义一种新运算“☆”：规则为．例如∶．根据定义解答下列问题： (1)求的值； (2)求的值． 【变式7-1】（25-26七年级上·四川德阳·期末）定义一种对正整数的“F”运算：①当为奇数时，；②当为偶数时，（其中是使为奇数的正整数）…，两种运算交替重复进行，例如，取，则 ，若，则第次“”运算的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】（24-25七年级下·广西南宁·期末）如图是计算机程序的一个流程图，现定义：“”表示用的值作为x的值输入程序再次计算，比如：当输入时，按照程序第一次“传输”，可得，所以需要继续把输入程序，再次计算作为第二次“传输” ，经过6次“传输”才结束程序．则当起始输入时，需要经过_____次“传输”才结束程序． 【变式7-3】对于正整数n，定义，其中表示n的首位数字、末位数字的平方和，例如：，．规定，（n为正整数）．例如：，．按此定义，则有______，______． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $