1.2 数轴、相反数与绝对值讲义 2026-2027学年湘教版数学七年级上册

本初中数学讲义聚焦有理数中的数轴、相反数与绝对值核心知识点，以数轴三要素为基础，通过几何意义衔接相反数（原点两侧等距）与绝对值（点到原点距离），构建“概念-性质-应用”的学习支架，层层递进形成知识脉络。 资料以“知识清单+题型分类+生活实例”为特色，题型涵盖基础辨析到动点、规律探究，如冰箱贴半径检查题培养应用意识，数轴规律题提升抽象能力与几何直观。课中辅助教师分层教学，课后助力学生通过巩固练习与综合题型查漏补缺，强化知识应用。

第一章 有理数 02讲 数轴、相反数与绝对值 目录 【知识点1. 数轴 1】 【知识点2. 相反数与多重符号的化简 4】 【知识点3. 绝对值 6】 【题型1. 数轴的三要素及其画法 9】 【题型2. 用数轴上的点表示有理数 10】 【题型3. 数轴上两点之间的距离 12】 【题型4. 相反数的定义 14】 【题型5. 相反数的性质及应用 15】 【题型6. 相反数中多重符号的化简 17】 【题型7. 绝对值的概念 17】 【题型8. 求一个数的绝对值 19】 【题型9. 绝对值的非负性 21】 【题型10. 绝对值的应用 22】 【题型11. 绝对值中的最值问题 24】 【题型12. 数轴上的动点问题 28】 【题型13. 数轴上的规律探究 32】 【课后作业 34】 知识清单 1、数轴 1）数轴定义：在数学中，可以用一条直线上的点表示数，它满足以下要求： ①原点：在直线上任取一个点表示数，这个点叫作原点；原点是数轴的基准点． ②正方向：通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向． ③选取适当的长度为单位长度，则从原点向右，距原点1个单位长度的点表示1，距原点2个单位长度的点表示2，……；从原点向左，距原点1个单位长度的点表示－1，距原点2个单位长度的点表示－2，……. 像这样，规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴。 原点、正方向和单位长度是数轴的三要素． 原点将数轴分为两部分，其中正方向一侧的部分叫数轴的正半轴，另一侧的部分叫数轴的负半轴。 2）数轴的画法 ①画一条水平的直线（一般画水平的数轴）； ②在这条直线上适当位置取一实心点作为原点； ③确定向右的方向为正方向，用箭头表示； ④选取适当的长度作单位长度，用细短线画出，并对应标注各数，同时要注意同一数轴的单位长度要一致。 3）有理数与数轴的关系 ①一切有理数都可以用数轴上的点表示出来。 ②数轴上的点并不全是有理数，如也可以在数轴上表示，但并不是有理数。 ③正有理数位于原点的右边，负有理数位于原点的左边。 ④与原点的距离是a（a>0），在数轴上可以是a（存在多解的情况）。 巩固基础 1．判断下列图中所画的数轴正确的个数是（   ） （1）    （2） （3）    （4） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据数轴的三要素：原点、正方向、单位长度逐项判断即可． 【详解】解：图（1）有单位长度和正方向，有原点，故正确； 图（2）有原点和单位长度，但没有正方向，故不正确； 图（3）有原点和正方向，但所画负半轴上的数字排列顺序不对，故不正确； 图（4）有原点和正方向，但单位长度不一致，故不正确； 综上，四个选项中，只有（1）正确． 故选：B． 2．在数轴上表示数，其中在原点左边的点有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据数轴的性质，原点左侧的点对应负数，只需找出题目中给出的负数，统计个数即可得到答案． 【详解】解：∵数轴上的原点左边的点表示的数都是负数， ∴给出的数中，负数有，，，共个， ∴在原点左边的点有个． 3．已知A，B，C是数轴上的三个点，且C在B的右侧．点A，B表示的数分别是1，3，如图所示．若，则点C表示的数是______． 【答案】5 【分析】根据数轴上两点间的距离公式求出的长，则可得到的长，根据点C在点B的右侧，可知点C表示的数为点B表示的数加上点B与点C之间的距离，据此可得答案． 【详解】解：∵点A，B表示的数分别是1，3， ∴， ∵， ∴， ∵C在B的右侧， ∴点C表示的数为． 4．如图，一滴墨水洒在一个数轴上，根据图中标出的数值．判断墨迹盖住的整数个数是_____． 【答案】10 【分析】本题主要考查了数轴上表示有理数， 先确定数轴上被盖住的整数，进而得出答案． 【详解】解：被盖住的整数有， 一共有10个． 故答案为：10． 5．如图所示的是一条不完整的数轴，请将它补画完整，并在数轴上标出表示下列各数的点． 【答案】见解析 【分析】本题考查了数轴，理解数轴定义：有原点，正方向和单位长度是解答关键． 先根据数轴的定义补充完整数轴，再将各数表示的数轴上即可． 【详解】解：如图所示． 知识清单 2、相反数 1）相反数的概念：只有符号不同的两个数叫作互为相反数。 ①一般地，a与-a互为相反数，a表示任意一个数，可以是正数、负数，也可以是0； ②正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，0的相反数是本身； ③相反数是成对出现的（0除外）。 2）相反数的几何意义：互为相反数的两个数（0除外）在数轴上对应的两个点，分别位于原点两侧，且到原点的距离相等。 3）求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“”号即可（当然最后结果如果出现多重符号需要化简）。 3、相反数的性质：互为相反数的两数和为0。 4、多重符号的化简 1）一个正数前面不管有多少个“”号，都可以全部去掉； 2）一个正数前面有偶数个“－”号，也可以把“－”号全部去掉； 3）一个正数前面有奇数个“－”号，则化简后只保留一个“－”号。 口诀“奇负偶正”，其中“奇偶”是指正数前面的“－”号的个数，“负、正”是指化简的最后结果的符号。 注意：此判断方法是在没有其它运算的情况下适用，如出现其他运算，要视具体情况而论。 巩固基础 1．的相反数等于（     ） A．3 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据相反数定义求出的相反数，确定正确选项． 【详解】解：根据相反数的含义，的相反数等于：． 2．在数轴上，点A，B在原点O的同侧，分别表示数a，1，将点A向左平移3个单位长度，得到点C．若点C与点B互为相反数，则a的值为（    ） A．3 B．2 C． D．0 【答案】B 【分析】先用a的式子表示出点C，根据点C与点B互为相反数列出方程求解即可． 【详解】解：由题可知：A点表示的数为a，B点表示的数为1， ∵C点是A向左平移3个单位长度， ∴C点可表示为：， 又∵点C与点B互为相反数， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了数轴上数的表示，表示平移后的点所表示的数，根据等量关系列出方程是关键． 3．化简下列各数： （1）________； （2）________； （3）________； （4）________． 【答案】 【分析】本题主要考查了多重符号的化简，解题的关键是掌握多重符号的化简法则． 根据多重符号化简的法则，化简结果的符号由负号的个数决定：如果负号的个数为偶数，结果为正；如果负号的个数为奇数，结果为负． 【详解】解：（1） =3， 故答案为：3； （2）， 故答案为：； （3）， 故答案为：； （4）， 故答案为：． 4．如图，这是一个正方体的展开图，若原正方体相对面上的两个数互为相反数，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了正方体的表面展开图，相反数的性质，根据相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点确定出相对面，再求出、、的值，然后代入代数式计算即可得解． 【详解】解：因为正方体相对面上的两个数互为相反数， 所以，，， 所以． 知识清单 5、绝对值 1）绝对值的概念：一般地，数轴上表示数的点与原点的距离叫作数的绝对值，记作。 2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示数的点与原点的距离。 3）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；的绝对值是。 即：（1）如果，那么；（2）如果，那么；（3）如果，那么． 可整理为：， 或， 或。 4）绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或．即：。 归纳： ①绝对值等于它本身的数是： 非负数 ； ②绝对值大于它本身的数是： 负数 ； ③绝对值等于它的相反数的数是： 非正数 ； ④绝对值最小的有理数是： 0 ； ⑤绝对值最小的正整数是： 1 ； ⑥绝对值最小的负整数是： -1 。 互为相反数的两个数的绝对值相等。 巩固基础 1．（     ） A． B． C．3 D． 【答案】C 【分析】根据绝对值的性质：负数的绝对值等于它的相反数，求解即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ． 2．的相反数是（     ） A． B． C．7 D． 【答案】A 【详解】解：，7的相反数是， ∴的相反数是． 3．已知，则_________，_________． 【答案】 1 / 【分析】本题考查了绝对值的非负性．根据绝对值的非负性，两个非负数的和为零，则每个数都为零，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵，且， ∴， 解得， 解得， 故答案为：． 4．如图，这是某商家生产的山西文旅晋侯鸟尊冰箱贴，冰箱贴的标准半径为，检查残次品标记方式为超过标准半径记为正，反之记为负，则下列三个残次品中，半径最接近标准半径的是_____．（填序号） ①；②；③． 【答案】① 【分析】本题主要考查绝对值的意义，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键；因此题可根据绝对值的意义进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴半径最接近标准半径的是①； 故答案为①． 5．回答下列问题 (1)代数式的最小值是_____ (2)有最__值是_____ 【答案】(1)0 (2)大，6 【详解】（1）解：，故代数式的最小值是； （2）解：因为是个非负数，有最小值为0， 所以代数式有最大值是6． 直击考点 题型1：数轴的三要素及其画法 【例1】下列关于数轴的图示，画法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数轴的定义对各选项分析判断利用排除法求解． 【详解】解：A、单位长度不统一，故选项错误； B、正方向不符合习惯，故本选项错误； C、没有正方向，故本选项错误； D、画法正确，故本选项正确． 【变式1】下列选项中所画的数轴正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】数轴的定义要求必须同时具备三个要素：原点、正方向、统一的单位长度； 【详解】解：选项A：没有画出正方向，不符合要求，错误； 选项B：没有标出原点，不符合要求，错误； 选项C：到0的单位长度和0到1、1到2的单位长度不一致，单位长度不统一，错误； 选项D：同时满足原点、正方向、统一单位长度三个要求，是正确的数轴． 【变式2】在直线下面的方框里填整数或小数，上面的方框里填分数． 【答案】 如图： 【分析】本题考查数轴．根据数轴上的点表示整数或小数即可． 【详解】略 【变式3】画数轴，在数轴上表示出下列有理数：，，，， 【答案】 解：如图所示， 【分析】本题考查了数轴的有关知识，熟练掌握数轴上的数的分布特点是解题的关键．根据数轴与有理数的关系进行画图即可． 【详解】略 题型2：用数轴上的点表示有理数 【例1】如图，数轴上表示数1的点是（    ） A．M B．N C．P D．Q 【答案】C 【详解】解：数轴上表示数1的点是点P． 故选：C． 【变式1】若5个城市的国际标准时间（单位：时）在数轴上表示如图所示，那么伦敦时间7月27日20时应是（    ） A．北京时间7月27日12时 B．巴黎时间7月27日19时 C．纽约时间7月28日1时 D．首尔时间7月28日5时 【答案】D 【分析】本题主要考查数轴上两点间的距离，有理数加减运算的实际应用，根据数轴分析其他城市比伦敦时间早（或者晚）几小时，在伦敦时间上加（或减）几小时即可． 【详解】解：A．北京时间比伦敦时间早8个小时，所以北京时间应该为7月28日4时，故本选项错误； B．巴黎时间比伦敦时间早1个小时，所以巴黎时间应该为7月27日21时，故本选项错误； C．纽约时间比伦敦时间晚5个小时，所以纽约时间应该为7月27日15时，故本选项错误； D．首尔时间比伦敦时间早9个小时，所以首尔时间应该为7月28日5时，故本选项正确． 故选：D． 【变式2】如图，数轴上蚂蚁所在点表示的数可能为（     ） A．0 B．2 C． D． 【答案】B 【详解】解：数轴上原点右边的数表示正数， 所以数轴上蚂蚁所在点表示的数可能为2． 【变式3】直线上点表示的数是______，点表示的数写成分数是______，点表示的数写成小数是______． 【答案】 【分析】先理解题意，观察观察数轴，分析数轴的信息得点表示的数是，再列式计算得出点 表示的数，即可作答． 【详解】解：观察数轴得出直线上点表示的数是， 依题意，得， ∴点表示的数是，点表示的数是． 题型3：数轴上两点之间的距离 【例1】在数轴上A、B两点分别表示的数是2和8，在数轴上，点A右侧有另外一点P，且P到A、B的距离和是10，则点P表示的数是（   ） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】A 【分析】设点表示的数为，根据在点右侧，分在、之间和在右侧两种情况，利用数轴上两点间距离的性质列方程求解即可. 【详解】解：设点表示的数为， ∵点在点右侧， ∴， ①当点在、之间，即时， 由数轴上点的位置关系可得，，， ∵， ∴该情况不符合题意； ②当点在点右侧，即时， 可得，， ∴， 解得，符合题意； 综上，点表示的数为. 【例2】如图，将一把损坏的刻度尺贴放在数轴上，刻度尺上的“0”和“3”分别对应数轴上的和0，则数轴上x的值最有可能是（   ） A．1.5 B．1.8 C．2.6 D．5.4 【答案】C 【分析】本题考查了用数轴上的点表示有理数，确定的取值范围是关键． 根据数轴上的值在刻度尺的和之间，得出数轴上的值的取值范围，即可求解． 【详解】解：根据题意可得，数轴上x的值的取值范围是， ，，，， 的值最有可能是， 故选：C． 【变式1】有理数在数轴上对应的点到原点的距离为，则有理数是（   ） A． B． C．或 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查了数轴，属于基础题型，分类讨论是关键． 分该点在原点的右侧和该点在原点的左侧两种情况求解即可． 【详解】解：因为有理数在数轴上对应的点到原点的距离为3， 所以当该点在原点的右侧时，当该点在原点的左侧时， 所以有理数是或． 故选：C． 【变式2】数轴上表示数和表示数7的两点之间的距离是_________． 【答案】10 【分析】根据数轴上两点间的距离公式即可计算出结果． 【详解】解：由题意得，． 【变式3】如图，数轴上每个刻度为个单位长度，点表示的数是． (1)则所表示的数是______； (2)数轴上有点，且与点的距离为个单位长度，那么点表示的数为______． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了数轴的特点，数轴上表示数，数轴上两点间的距离，掌握知识点的应用是解题的关键 ． （1）根据点表示的数，确定原点，由此即可求解； （2）根据题意，运用数轴上两点之间距离的计算方法，分类讨论即可． 【详解】（1）解：因为点表示的数是， 所以原点如图所示， 所以点表示的数为， 故答案为：； （2）解：因为点表示的数为， 所以当点在点左边时，点表示的数为； 当点在点的右边时，点表示的数为， 故答案为：或． 题型4： 相反数的定义 【例1】的相反数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据相反数的定义解答即可． 【详解】解：的相反数是． 【变式1】已知与3互为相反数，则是（     ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】根据相反数的定义即可直接求解. 【详解】解：∵与互为相反数， ∴． 【变式2】的相反数是______． 【答案】0.4/ 【详解】解：的相反数是． 【变式3】填空： （1）的相反数是________； （2）的相反数是________； （3）的相反数是________． 【答案】 / 【详解】解：（1）的相反数是； （2）的相反数是； （3）的相反数是． 题型5：相反数的性质及应用 【例1】若与互为相反数，则等于（    ） A．0 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的知识点是相反数和有理数的加法，解题关键是熟记相反数的性质． 依据相反数的定义可得到，然后代入计算即可． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴． ∴． 故选A． 【例2】若和互为相反数，那么_______． 【答案】 【分析】本题考查了相反数的定义，根据互为相反数的两个数的和等于0列式计算即可得解． 【详解】解：依题意， ∴ 故答案为：． 【变式1】数轴上表示数m和1的点到原点的距离相等，则m为（   ） A． B．2 C．1 D． 【答案】D 【分析】本题考查了数轴上的点到原点的距离，根据题意确定出m和1互为相反数是解决问题的关键． 由数轴上表示数m和1的点到原点的距离相等，可得m和1互为相反数，由此即可求得的值． 【详解】解：∵数轴上表示数m和1的点到原点的距离相等， ∴m和1互为相反数， ∴． 故选：D． 【变式2】如图是一个正方体的表面展开图，这个正方体相对表面上所标的数字互为相反数，则的值为（     ） A． B． C．5 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了正方体相对两个面上的文字，根据题意可得先找出x和y的相对面，根据相对表面上所标的数字互为相反数即可得到x和y的值， 【详解】解：依题意， ∴ ∴ 故选：C． 【变式3】如图，在数轴上有两点，点表示的数是．若，则点表示的数是________． 【答案】 【分析】本题考查了数轴和相反数的几何意义，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据和数轴可得出点A与点B表示的数互为相反数，即可求解． 【详解】解：，表示 点表示的数为， 故答案为：． 【变式4】如图，图中数轴的单位长度为1．请回答下列问题：    (1)如果点A、B表示的数是互为相反数，那么点C表示的数是多少？ (2)如果点D、B表示的数是互为相反数，那么点C表示的数是正数还是负数？ 【答案】(1) (2)正数 【分析】（1）根据互为相反数的定义确定出点的位置，再根据数轴写出点表示的数即可； （2）根据互为相反数的定义确定出点的位置，再根据数轴写出点表示的数即可． 【详解】（1）点表示的数是；    （2）点表示的数是0.5为正数．    【点睛】本题考查了相反数，数轴，熟练掌握相反数的定义并确定出原点的位置是解题的关键． 题型6：相反数中多重符号的化简 【例1】___________． 【答案】 【详解】解：原式 【变式1】（1）_______； （2）_______； （3）_______． 【答案】 【详解】解：（1）；（2）；（3）． 【变式2】化简符号：___________． 【答案】 【详解】解：． 【变式3】化简：________． 【答案】11 【分析】本题主要考查了相反数，灵活运用相反数化简多重符号是解题的关键． 运用相反数的定义从内向外逐步化简即可． 【详解】解：． 故答案为：11． 题型7：绝对值的概念 【例1】若一个数的绝对值等于它的相反数，则这个数一定是（   ） A．负数或0 B．正数或0 C．负数 D．正数 【答案】A 【分析】本题考查绝对值与相反数的定义，根据绝对值的性质分情况讨论，即可判断符合条件的数． 【详解】解：设这个数为，根据题意得． ∵当时，，不满足； 当时，，的相反数是，满足； 当时，，满足条件； ∴这个数是负数或． 【例2】若，则______． 【答案】 【分析】本题考查绝对值的定义，掌握该知识点是解题的关键． 根据绝对值的定义，一个数的绝对值表示它到原点的距离，因此当绝对值等于一个正数时，该数可以是正数或负数． 【详解】解：由绝对值的性质，若（其中），则或． 本题中， 所以或． 故答案为：． 【变式1】用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最远的是（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查绝对值的几何意义，数轴上一个数对应的点到原点的距离等于这个数的绝对值，要找与原点距离最远的数，只需计算各数的绝对值，比较后找出绝对值最大的数即可． 【详解】解：∵，，，，， ∴对应的点与原点距离最远． 【变式2】数轴上点到原点的距离是3，点到原点的距离是4，则线段________． 【答案】或 【分析】根据点到原点的距离得到A、B对应数的所有可能，再分同侧、异侧两种情况计算线段的长度． 【详解】解： 点到原点的距离是3，点到原点的距离是4， 点表示的数为或，点表示的数为或， 当A、B两点在原点同侧时：， 当A、B两点在原点异侧时：， 线段的长为或． 【变式3】（1）如果，，且a，b异号，求a，b的值； （2）如果，，且，求a，b的值． 【答案】 （1），或， （2），或， 【分析】本题考查了绝对值的计算，理解绝对值的定义是解题的关键． （1）根据绝对值的定义解题即可； （2）根据绝对值的定义解题即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴，， ∵、异号， ∴，或，； （2）∵，， ∴，， ∵， ∴，或，． 题型8：求一个数的绝对值 【例1】的绝对值是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：． 【变式1】下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：，则 ． 【变式2】绝对值为3的数是________． 【答案】3或 【分析】本题主要考查绝对值的求解，解题的关键是熟知绝对值的性质． 根据绝对值的定义，一个数的绝对值是它在数轴上到原点的距离，因此绝对值为3的数有3和． 【详解】设这个数为x，则， 根据绝对值的意义， 或. 故答案为：3或． 【变式3】如果，则______，如果，则______．化简：______． 【答案】 【分析】本题考查绝对值的定义与化简，根据绝对值的性质求解即可. 绝对值等于一个正数的数有两个，且互为相反数，化简绝对值需先判断绝对值内代数式的正负，再根据绝对值的性质去绝对值符号． 【详解】解：根据绝对值的定义，若，则. 当时， 解得． 当时， 由， 故， 因此． 因为，所以， 根据“负数的绝对值是它的相反数”，可得： ． 题型9：绝对值的非负性 【例1】，则a和b各为（    ） A．， B．1，3 C．1， D．，3 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的非负性，先根据，得，则，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【例2】如果x为有理数，式子存在最大值，这个最大值是__________． 【答案】 【分析】利用绝对值的非负性，得出的最小值进而确定表达式的最大值即可． 【详解】解：为有理数， ， ， ，当且仅当时，即时取等号， 最大值为． 【变式1】若，则一定是（   ）． A．正数 B．负数 C．正数或零 D．负数或零 【答案】D 【分析】本题考查绝对值的知识，根据一个数的绝对值是非负数，即可求解． 【详解】解：∵ ∴, ∴，即一定是负数或零 故选：D． 【变式2】如果，那么______． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的性质．根据绝对值的定义分析，当时，；当时，，据此即可解答． 【详解】解：根据绝对值的定义，当时，；当时，． 当时，成立；当时，也成立； 故由，可知， 故答案为：． 【变式3】已知a与互为相反数，b与互为倒数，且，求m，n的值． 【答案】 【分析】本题考查了相反数、倒数的意义和求法，理解和掌握相反数、倒数的计算方法是解决问题的关键． 根据相反数、倒数的意义求出、，再根据非负数的意义，求出、的值． 【详解】解：由题意，得． 因为， 所以， 所以． 【变式4】若，分别求，，的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了绝对值非负性，正确掌握绝对值的非负性是解题的关键． 直接利用绝对值的非负性分析求解，即可解题． 【详解】解：因为， 所以， 所以， 所以． 题型10：绝对值的应用 【例1】某商品的质量按照“超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数”．下面四个零件中，最接近标准质量的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别求出每个数的绝对值，根据绝对值的大小找出绝对值最小的数即可． 【详解】解：∵， ∴最接近标准质量的是选项C． 【变式1】一批零件超过规定长度的部分记为正数，短于规定长度的部分记为负数，越接近规定长度质量越好．检查其中四个零件，结果如下：第一个为，第二个为，第三个为，第四个为．则这四个零件中质量最好的是（   ） A．第一个 B．第二个 C．第三个 D．第四个 【答案】D 【分析】本题考查了正数和负数以及绝对值的应用，熟练掌握概念是做题的关键．根据绝对值最小的是质量最好的可得答案． 【详解】解：，，，， 且， 第四个误差最小，质量最好． 故选：D． 【变式2】若点在数轴上表示的数分别是，若，，则点和点两点间的最大距离为______． 【答案】 【分析】本题考查绝对值定义、数轴上两点之间距离等知识，熟记数轴上两点之间距离的表示方法是解决问题的关键． 根据绝对值的定义，求出的值，再由数轴上两点之间距离表示分类计算所有组合的距离，比较大小即可得最大距离． 【详解】解： ，， ， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 点和点两点间的最大距离为， 故答案为：． 【变式3】检查5个篮球的质量，把超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，检查的结果如下表： 篮球编号 1 2 3 4 5 与标准质量的差/ (1)几号篮球最接近标准质量？ (2)如果对两个篮球作上述检查，检查的结果分别为和，请利用学过的绝对值的知识指出哪个篮球的质量好一些？ 【答案】(1)3号篮球最接近标准质量 (2)的篮球的质量好一些 【分析】本题主要考查正负数，绝对值的运用，理解题意是关键． （1） 利用绝对值比较大小，值越小，越接近； （2）利用绝对值比较大小，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴3号篮球最接近标准质量． （2）解：∵， ∴结果为的篮球的质量好一些． 题型11：绝对值中的最值问题 【例1】点、在数轴上分别表示数、，、两点之间的距离表示为．则数轴上、两点之间的距离．表示4与的差的绝对值，实际上也可理解为4与两数在数轴上所对应的两点之间的距离，同理也可理解为与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离，就表示在数轴上对应的点到的距离，由上面绝对值的几何意义，解答下列问题： (1)数轴上表示2和的两点之间的距离是 ；数轴上表示和的两点之间的距离是 ； (2)数轴上表示和的两点和之间的距离是 ，如果，那么为 ； (3)当取最小值时，符合条件的整数有 ； (4)令，问当取何值时，最小，最小值为多少？请求解． 【答案】(1)； (2)；或 (3)、、、 (4)当时，最小，最小值为 【分析】本题考查了绝对值的几何意义（数轴上两点之间的距离）及相关计算，解题的关键是理解表示数轴上数与数对应的两点之间的距离，并利用该意义解决距离计算、含绝对值式子的最值等问题． （1）根据数轴上两点距离公式，直接代入对应数值计算即可； （2）先写出与的距离表达式，再根据距离等于2列绝对值方程求解； （3）表示到和的距离之和，最小值出现在介于与之间（含端点），找出其中的整数； （4）表示到、、的距离之和，当取中间点时，和最小，代入计算即可． 【详解】（1）解：数轴上表示和的两点距离为； 数轴上表示和的两点距离为． 故答案为：；． （2）数轴上表示和的两点距离是； 若，则，即或，解得或． 故答案为：；或． （3）表示到和的距离之和， 当在与之间（含端点）时，和最小， 符合条件的整数有、、、． 故答案为：、、、． （4）表示到、、的距离之和， 当时，最小； 此时． 答：当时，最小，最小值为． 【变式1】若是实数，则的最小值为___． 【答案】 【分析】根据，及三种情况，原式利用绝对值的代数意义化简，确定出的最小值即可．此题考查了绝对值函数的最值，绝对值，利用了分类讨论的思想，熟练掌握绝对值的代数意义是解本题的关键． 【详解】解：当时，，，此时， ∵， ∴，即； 当时，，，此时； 当时，，，此时， ∵， ∴，即， 综上，，即最小值为． 故答案为：． 【变式2】同学们都知道：表示5与之差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索： (1)数轴上表示5与两点之间的距离是_____； (2)数轴上表示与2的两点之间的距离可以表示为_____． (3)如果，则_____； (4)同理表示数轴上有理数所对应的点到和1所对应的点的距离之和，请你找出所有符合条件的整数，使得，这样的整数是_____． (5)由以上探索猜想对于任何有理数，是否有最小值？如果有，直接写出最小值；如果没有，说明理由． (6)是否有最小值？若有直接写出结果，若没有请说明理由． 【答案】(1)7 (2) (3)7或 (4) (5)3 (6)9 【分析】本题考查实数与数轴，数轴上两点之间的距离，熟练掌握数轴上点的特征，绝对值的意义是解题的关键． （1）根据数轴上两点间距离的求法解题即可； （2）根据数轴上两点间距离的求法计算即可； （3）根据数轴上两点间距离的求法计算即可； （4）根据绝对值的几何意义可知当时，，求出符合的整数即可． （5）先根据可理解为：在数轴上表示x到3和6的距离之和，继而推导出当时，的值有最小值，即可解答； （6）根据表示数轴上点x到的距离之和，且， 得到当时，表示与3的距离为最小值，即可解答． 【详解】（1）解：数轴上表示5与两点之间的距离是． 故答案为：7； （2）数轴上表示x与2的两点之间的距离可以表示为． 故答案为：． （3）∵表示数轴上有理数x所对应的点到2的距离等于5， ∴或． 故答案为：7或． （4）∵表示数轴上有理数x所对应的点到和1所对应的点的距离之和， ∴， ∴这样的整数在与1之间（包含、1），为． 故答案为：． （5）可理解为：在数轴上表示x到3和6的距离之和， ∴当时，的值有最小值，最小值为． （6）∵表示数轴上点x到的距离之和，且， ∴当时，表示与3的距离，为最小值， 即． 题型12：数轴上的动点问题 【例1】数轴上的点表示，将点向右平移个单位后，再向左平移个单位到点，那么点表示的数是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数轴上的点表示有理数，数轴上的动点问题，根据数轴上向右平移加，向左平移减，计算即可得出答案，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵点表示，向右平移个单位得，再向左平移个单位得， ∴点表示的数为． 故选：A． 【例2】数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立对应关系，是“数形结合”的基础． 如图，在1.2有理数（2）中，一只蚂蚁从数轴的原点出发，它先向左爬了3个单位长度到达点A．数轴上每个刻度为1个单位长度，点A表示的数是． (1)则B所表示的数是 ． (2)数轴上有点P，且P到A、B两点的距离相等，则P点表示的数为 ． (3)数轴上有点C，且与点B的距离为2个单位长度，那么点C表示的数为 ． (4)若点D表示数3，将点D先向左移动4个单位长度，再向右移动5个单位长度到达E，则点E表示的数是 ，D、E两点间的距离是 ． 【答案】(1)4 (2) (3)2或6 (4)4，1 【分析】本题主要考查数轴上两点之间的距离，用数轴上的点表示有理数，掌握数轴上点与有理数的对应关系是解题的关键 ． （1）根据点A表示的数，确定原点，由此即可求解； （2）根据数轴上中点的计算即可求解； （3）根据题意，运用数轴上两点之间距离的计算方法，分类讨论即可； （4）首先根据移动方式求出点E表示的数，然后根据数轴上两点之间距离的计算方法求解即可． 【详解】（1）解：点A表示的数是，则原点如图所示， ∴点B表示的数为4， 故答案为：4； （2）解：点A表示的数是，点B表示的数为4， ∴到A、B两点的距离相等的点表示的数为， ∴则P点表示的数为， 故答案为：； （3）解：点B表示的数为4， ∴当点C在点B左边时，点C表示的数为； 当点C在点B的右边时，点C表示的数为， 故答案为：2或6． （4）解：∵点D表示数3，将点D先向左移动4个单位长度，再向右移动5个单位长度到达E， ∴点E表示的数是； ∴D、E两点间的距离是． 【变式1】如图，将钟面上数字6对应的圆周上的点与数轴上的原点重合，再将钟面紧贴数轴并沿着数轴正方向滚动，使钟面上数字5对应的点与数轴上表示0.5的点重合，钟面上数字4对应的点与数轴上表示1的点重合．若钟面滚动n圈（n为正整数），钟面上数字3对应的点与数轴上的点M重合，则点M表示的数为_____．（用含n的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查的是数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，有理数的乘法的实际应用，理解题意，列出正确的代数式表示对应的点是解本题的关键． 根据题意先得到时针一个格表示数轴上个单位长度，再根据向右滚动的圈数可得到答案． 【详解】∵钟面上数字6对应的圆周上的点与数轴原点重合，再将钟面紧贴数轴沿着数轴 正方向滚动，使钟面上的数字5对应的点与数轴上表示的点重合， ∴时针一个格表示数轴上个单位长度， ∵钟面上1圈对应数轴上的线段的长度为（个单位长度）， ∴钟面滚动n圈（n为正整数），对应的线段长度为（个单位长度）， ∴钟面滚动n圈（n为正整数），钟面上数字3对应的点与数轴上的点M重合，则点M表示的数为 故答案为：． 【变式2】如图，有一个玩具火车放置在数轴上，若将火车在数轴上水平移动，当点移动到 点时，点所对应的数为15，当点移动到点时，点所对应的数为3（单位：单位长度），由此可得 (1)玩具火车的长为_______________个单位长度； (2)用上题思考方法解决下面问题： 一天，小如去问奶奶的年龄，奶奶说，“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢；你若是我现在这么大，我已是老寿星，116岁了！”奶奶的年龄为_____________________． 【答案】(1)4 (2)64岁 【分析】（1）根据题意画出图形，由数轴观察得三个火车的长为，则可以求出一个火车的长； （2）在求奶奶年龄时，借助数轴，把小如与奶奶的年龄差看作火车 ，类似奶奶和小如一样大时看作当点移动到点时，此时点所对应的数为，小如和奶奶一样时看作当点移动到点时，此时点所对应的数为，由此可知奶奶的年龄． 【详解】（1）解：如图1， 由题意可知，三个火车的长为， 则一个火车的长为； （2）解：同（1）可知：奶奶和小如的年龄差为， 表示的数为，表示的数为116， ，，则52是奶奶和小如的年龄差， ∴， 则奶奶现在的年龄是64岁． 【变式3】在数轴上，一只蚂蚁从原点出发，它先向右爬了个单位长度到达点，再向右爬了个单位长度到达点，然后又向左爬了个单位长度到达点． (1)画出数轴，标出三点在数轴上的位置； (2)根据点在数轴上的位置，点可以看作是蚂蚁从原点出发，向哪个方向爬了几个单位长度到达的？ (3)若蚂蚁从点出发，先向右爬了个单位长度，再向左爬了个单位长度，此时它恰好回到了原点，求点表示的数． 【答案】(1)见解析 (2)向左爬了4个单位长度 (3) 【分析】本题主要考查了数轴的表示及数轴上的点与数的对应关系、有理数的加减运算，熟练掌握数轴上点的移动规律（右移加、左移减）是解题的关键． （1）根据蚂蚁的移动方向和单位长度，确定、、三点对应的数，再在数轴上标出位置． （2）先计算点对应的数，再根据数的正负判断移动方向和单位长度． （3）逆向分析蚂蚁的移动过程，通过运算求出点表示的数． 【详解】（1）解：点三点在数轴上的位置如图所示， （2）解：点可以看作是蚂蚁从原点出发，向左爬了个单位长度到达的； （3）解：由题意可知蚂蚁先向右爬了个单位长度，再向左爬了个单位长度，即可以看作向右爬了个单位长度， 故点表示的数为． 题型13：数轴上的规律探究 【例1】正方形在数轴上的位置如图所示，点A、D对应的数分别为0和，若正方形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为1；则连续翻转2025次后，数轴上数2025所对应的点是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】B 【分析】本题考查了数轴，图形类变化规律，根据翻转的变化规律确定出每4次翻转为一个循环组依次循环是解题的关键． 根据题意可知每4次翻转为一个循环组依次循环，然后根据…1进行判断． 【详解】解：∵在翻转过程中，1对应的数是B，2对应的数是C，3对应的数是D，4对应的数是A，5对应的数是B，6对应的数是C，7对应的数是D，8对应的数是A，…， ∴每4次翻转为一个循环组依次循环， ∵…1， ∴连续翻转2025次后，数轴上数2025所对应的点是点B． 故选：B． 【变式1】如图所示，圆的周长为4个单位长度，A，B，C，D是圆周的4等分点，其中点A与数轴上的原点重合，若将圆沿着数轴向右滚动，那么点A，B，C，D能与数轴上的数字2026所对应的点重合的是点（　　） A．A B．B C．C D．D 【答案】C 【分析】分别求出能与点重合的点在数轴上所对应的数字，归纳一般规律即可． 【详解】解：由题意得：在将圆沿着数轴向右滚动的过程中，能与数轴上的数字（为自然数）所对应的点重合的是点， 能与数轴上的数字（为正整数）所对应的点重合的是点， 能与数轴上的数字（为正整数）所对应的点重合的是点， 能与数轴上的数字（为正整数）所对应的点重合的是点， ∵， ∴能与数轴上的数字2026所对应的点重合的是点． 【变式2】如图，数轴上点表示的数为，点（不与重合）、到1的距离相等，点（不与重合）、到2的距离相等，点（不与重合）、到3的距离相等，．．．按此规律，点表示的数为___________． 【答案】 【分析】本题考查数字变化的规律，能依次求出点(为正整数)所表示的数并发现规律是解题的关键；依次求出点(为正整数)所表示的数，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由题知，数轴上点表示的数为，且(不与重合)，分别到1对应的点的距离相等， 所以， 即点表示的数为4； 依次类推，点表示的数为0，点表示的数为6，点表示的数为2，点表示的数为8，点表示的数为， 所以点(为正整数)表示的数为：，点表示的数为：． 当时，则， 即点表示的数为； 故答案为：． 【变式3】如图，在长方形中，，，且边在数轴上，将长方形沿数轴无滑动向右翻滚，经过数次翻滚，点第一次落回到数轴上，记为；继续翻滚，点第二次落回到数轴上，记为；……；以此类推． (1)若点与原点重合，点表示的数为_____． (2)若点表示的数为，点表示的数为_____， 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，点第一次落回到数轴上时向右滚动的距离为长方形的周长，则可得到，从而得到答案； （2）长方形向右每滚动12个单位长度，点A就会回到数轴上，用点A表示的数加上滚动的距离即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，若点与原点重合，将长方形沿数轴无滑动向右翻滚，经过数次翻滚，点第一次落回到数轴上时，，即点表示的数为； （2）解：由题意可得，长方形向右每滚动12个单位长度，点A就会回到数轴上， ∴若点表示的数为，点表示的数为． 课后作业 1．（25-26七年级下·陕西延安·期末）计算：（     ） A． B． C． D．6 【答案】C 【详解】解：． 2．（25-26七年级下·陕西渭南·期末）的相反数是（     ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查相反数的基本定义，直接根据定义计算即可得到结果； 【详解】解：根据相反数定义，数的相反数为， ∴ 的相反数为 ； 3．（25-26八年级下·湖南株洲·期末）在数轴上，点表示2026，点表示2026的相反数，则点与点的距离是（     ） A．2026 B． C．4052 D． 【答案】C 【分析】先根据相反数的定义得到点表示的数，再利用数轴上两点间距离的计算方法求解即可． 【详解】解：∵点表示的数为，的相反数为 ∴点表示的数为 ∵数轴上两点间的距离等于两点表示数的差的绝对值 ∴点与点的距离为． 4．（25-26六年级下·黑龙江绥化·期末）下列各数中，与互为相反数的是（     ）． A．3 B． C． D． 【答案】A 【详解】解：， ， 的相反数是． 5．（2026·浙江·中考真题）如图，数轴上点表示的数可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点在数轴上的位置即可判断． 【详解】解：由数轴可知，点在1和2之间， ∴点表示的数可能是． 6．（25-26七年级上·陕西西安·期末）某校将举办中学生天文知识竞赛，由学生会承办此次活动．该校教学楼共5层，若从1层到5层每层学生志愿者人数分别是10，9，7，5，6．要使所有学生志愿者到会议地点爬楼的距离之和最短，会议地点应设在第____层． 【答案】2 【分析】本题考查了绝对值的应用和求最小值问题． 会议地点应设在使所有志愿者爬楼距离之和最小的楼层，通过计算每层作为会议地点时的总距离，比较即可． 【详解】解：设会议地点在第层， 则总距离， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 可知当时，总距离最短， 故会议地点应设在第2层． 故答案为：2． 7．（25-26七年级上·江苏镇江·期末）如图，圆的周长为个单位长度，在该圆的四等分点处分别标上数字，，，，先让圆周上表示数字的点与数轴上表示的点重合，再将圆沿着数轴向右滚动，则数轴上表示的点与圆周上表示________的点重合． 【答案】 【分析】本题考查了数轴，解决本题的关键是找出圆滚动的规律与数轴上的数字的对应关系，表示圆从数轴上表示的位置开始滚动了周，又滚动了个单位长度，所以数轴上表示的数与圆上表示的点重合． 【详解】解：由图可知，数轴上表示的数字与圆上表示的点重合， 数轴上表示的点与圆上表示的点重合， 数轴上表示的点与圆上表示的点重合， 数轴上表示的点与圆上表示的点重合， 数轴上表示的点与圆上表示的点重合， 数轴上的数从开始每个一循环，分别与圆上的、、、重合， ， 表示圆在数轴上滚动了个循环，第个循环滚动了个数， 数轴上表示的数与圆上表示的点重合． 故答案为：． 8．（25-26七年级上·甘肃天水·期中）如图是一个正方体的平面展开图，正方体中相对的面上的数字或代数式互为相反数，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了正方体相对两个面上的文字，正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点得出，解题的关键是正确理解正方体表面展开图． 【详解】解：由正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形， “”与“”是相对面， “”与“”是相对面， “”与“”是相对面， 因为相对的面上的数字或代数式互为相反数， ∴， 故答案为：． 9．（25-26七年级上·河南驻马店·期末）在数轴上表示下列各数：，，，，，，． 【答案】见解析 【分析】本题考查了用数轴表示出有理数，画出数轴在数轴上表示出各数即可． 【详解】解：画出数轴并在数轴上表示出各数如图所示： 10．（25-26六年级上·上海·期中）如图： (1)点A表示的数的相反数是___________，点B表示的数的绝对值是___________． (2)在数轴上标出数，所对应的点C，点D； (3)C，D两点之间的距离是___________； (4)与点C距离个单位长度的点表示的数是___________． 【答案】(1)； (2)点C在数轴上2和3的正中间位置； 点D在和之间，将到的线段平均分为3份，从出发向正方向数1份的位置即为点D． (3) (4)和 【分析】（1）先根据数轴刻度确定点A、点B表示的数，再依据相反数、绝对值的定义分别计算对应结果． （2）根据数的正负和大小，确定2.5和在数轴上的位置，标出对应点C、D． （3）依据数轴上两点间距离公式，即两点所表示数的差的绝对值，计算C、D两点的距离． （4）与点C距离为个单位长度的点有两个，分别在点C的左侧和右侧，用点C表示的数分别加减即可得到对应数值． 【详解】（1）解：从数轴可知：点A表示的数是1， 根据相反数定义，1的相反数是； 点B表示的数是， 根据绝对值定义，负数的绝对值是它的相反数， ∴的绝对值是2． ∴点A表示的数的相反数是，点B表示的数的绝对值是2． （2）略． （3）解：数轴上两点距离等于两数差的绝对值：． （4）解：与点C（表示2.5）相距个单位的点有两个： 在C左侧时为； 在C右侧时为． ∴与点C距离个单位长度的点表示的数是和． 11．（25-26七年级上·四川乐山·期末）如图，有一个玩具火车放置在数轴上，若将火车在数轴上水平移动，则A点移动到点时，点所对应的数为15，当点移动到点时，点所对应的数为3（单位：单位长度），由此可得 （1）玩具火车的长为_______________个单位长度； （2）用上题思考方法解决下面问题： 一天，小如去问奶奶的年龄，奶奶说，“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢；你若是我现在这么大，我已是老寿星，116岁了！”奶奶的年龄为_____________________． 【答案】 4 64岁 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，用数轴解决实际问题，解决问题的关键是弄清题意，找到题目中的等量关系． （1）根据题意画出图形，由数轴观察得三个火车的长为，则可以求一个火车的长； （2）在求奶奶年龄时，借助数轴，把小如与奶奶的年龄差看作火车，类似奶奶和小如一样大时看作当点移动到点时，此时点所对应的数为，小如和奶奶一样时看作当点移动到点时，此时点所对应的数为，由此可知奶奶的年龄． 【详解】解：（1）如图1， 可知：三个火车的长为， 则一个火车的长为， 故答案为：4； （2）同（1）可知：奶奶和小如的年龄差为， 表示的数为，表示的数为116， ，，则52是奶奶和小如的年龄差， ∴， 则奶奶现在的年龄是64岁． 故答案为：64岁． 12．（25-26七年级上·新疆阿克苏·期中）阅读材料：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离．例如：数轴上表示3和5的两点之间的距离是，数轴上表示1和的两点之间的距离是．利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示x和3的两点之间的距离表示为 ．数轴上表示x和 的两点之间的距离表示为． (2)若x表示一个有理数，且，直接写出满足条件的所有整数x． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，理解绝对值的意义是解题关键． （1）由题意得数轴上表示x和3的两点之间的距离表示为．根据，即可得到数轴上表示x和的两点之间的距离表示为． （2）根据（1）结论得到表示在数轴上找一个点，使它到点的距离之和为5，据此即可求解． 【详解】（1）解：由题意得数轴上表示x和3的两点之间的距离表示为． ， 所以数轴上表示x和的两点之间的距离表示为． 故答案为：，； （2）解：如图所示， 因为表示数轴上表示x和的两点之间的距离，表示数轴上表示x和3的两点之间的距离， 所以表示在数轴上找一个点，使它到点的距离之和为5， 所以满足条件的所有整数为． 13．（25-26七年级上·广西梧州·期中）阅读材料： 在学习绝对值时，根据绝对值的几何意义，我们知道表示4与2在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示4与在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示4在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数a，b，那么A、B两点之间的距离可以表示为． 回答问题： (1)数轴上表示3与的两点之间的距离是______；数轴上表示x与2的两点之间的距离是______； (2)若，求m的值； (3)当x在1和之间时，若代数式的最小值是5，请直接写出a的值． 【答案】(1)5； (2)或 (3)或4 【分析】本题主要考查了有理数和数轴，两点之间的距离，绝对值的几何意义，解题的关键是掌握数形结合的思想． （1）根据两点之间的距离公式和绝对值的几何意义求解即可； （2）根据绝对值的几何意义进行求解即可； （3）根据绝对值的几何意义及两点之间线段最短可求解． 【详解】（1）解：数轴上表示3与的两点之间的距离是； 数轴上表示x与2的两点之间的距离是； 故答案为：5；； （2）解：当时，表示到2的距离是3， ∴或， ∴或； （3）解：∵的最小值是5，x在1和之间， ∴根据绝对值的几何意义及两点之间线段最短可得， 或， 解得或4． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 有理数 02讲 数轴、相反数与绝对值 目录 【知识点1. 数轴 1】 【知识点2. 相反数与多重符号的化简 3】 【知识点3. 绝对值 4】 【题型1. 数轴的三要素及其画法 6】 【题型2. 用数轴上的点表示有理数 6】 【题型3. 数轴上两点之间的距离 7】 【题型4. 相反数的定义 7】 【题型5. 相反数的性质及应用 8】 【题型6. 相反数中多重符号的化简 9】 【题型7. 绝对值的概念 9】 【题型8. 求一个数的绝对值 9】 【题型9. 绝对值的非负性 10】 【题型10. 绝对值的应用 10】 【题型11. 绝对值中的最值问题 11】 【题型12. 数轴上的动点问题 12】 【题型13. 数轴上的规律探究 14】 【课后作业 15】 知识清单 1、数轴 1）数轴定义：在数学中，可以用一条直线上的点表示数，它满足以下要求： ①原点：在直线上任取一个点表示数，这个点叫作原点；原点是数轴的基准点． ②正方向：通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向． ③选取适当的长度为单位长度，则从原点向右，距原点1个单位长度的点表示1，距原点2个单位长度的点表示2，……；从原点向左，距原点1个单位长度的点表示－1，距原点2个单位长度的点表示－2，……. 像这样，规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴。 原点、正方向和单位长度是数轴的三要素． 原点将数轴分为两部分，其中正方向一侧的部分叫数轴的正半轴，另一侧的部分叫数轴的负半轴。 2）数轴的画法 ①画一条水平的直线（一般画水平的数轴）； ②在这条直线上适当位置取一实心点作为原点； ③确定向右的方向为正方向，用箭头表示； ④选取适当的长度作单位长度，用细短线画出，并对应标注各数，同时要注意同一数轴的单位长度要一致。 3）有理数与数轴的关系 ①一切有理数都可以用数轴上的点表示出来。 ②数轴上的点并不全是有理数，如也可以在数轴上表示，但并不是有理数。 ③正有理数位于原点的右边，负有理数位于原点的左边。 ④与原点的距离是a（a>0），在数轴上可以是a（存在多解的情况）。 巩固基础 1．判断下列图中所画的数轴正确的个数是（   ） （1）    （2） （3）    （4） A．0 B．1 C．2 D．3 2．在数轴上表示数，其中在原点左边的点有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．已知A，B，C是数轴上的三个点，且C在B的右侧．点A，B表示的数分别是1，3，如图所示．若，则点C表示的数是______． 4．如图，一滴墨水洒在一个数轴上，根据图中标出的数值．判断墨迹盖住的整数个数是_____． 5．如图所示的是一条不完整的数轴，请将它补画完整，并在数轴上标出表示下列各数的点． 知识清单 2、相反数 1）相反数的概念：只有符号不同的两个数叫作互为相反数。 ①一般地，a与-a互为相反数，a表示任意一个数，可以是正数、负数，也可以是0； ②正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，0的相反数是本身； ③相反数是成对出现的（0除外）。 2）相反数的几何意义：互为相反数的两个数（0除外）在数轴上对应的两个点，分别位于原点两侧，且到原点的距离相等。 3）求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“”号即可（当然最后结果如果出现多重符号需要化简）。 3、相反数的性质：互为相反数的两数和为0。 4、多重符号的化简 1）一个正数前面不管有多少个“”号，都可以全部去掉； 2）一个正数前面有偶数个“－”号，也可以把“－”号全部去掉； 3）一个正数前面有奇数个“－”号，则化简后只保留一个“－”号。 口诀“奇负偶正”，其中“奇偶”是指正数前面的“－”号的个数，“负、正”是指化简的最后结果的符号。 注意：此判断方法是在没有其它运算的情况下适用，如出现其他运算，要视具体情况而论。 巩固基础 1．的相反数等于（     ） A．3 B． C． D． 2．在数轴上，点A，B在原点O的同侧，分别表示数a，1，将点A向左平移3个单位长度，得到点C．若点C与点B互为相反数，则a的值为（    ） A．3 B．2 C． D．0 3．化简下列各数： （1）________； （2）________； （3）________； （4）________． 4．如图，这是一个正方体的展开图，若原正方体相对面上的两个数互为相反数，求的值． 知识清单 5、绝对值 1）绝对值的概念：一般地，数轴上表示数的点与原点的距离叫作数的绝对值，记作。 2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示数的点与原点的距离。 3）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；的绝对值是。 即：（1）如果，那么；（2）如果，那么；（3）如果，那么． 可整理为：， 或， 或。 4）绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或．即：。 归纳： ①绝对值等于它本身的数是： 非负数 ； ②绝对值大于它本身的数是： 负数 ； ③绝对值等于它的相反数的数是： 非正数 ； ④绝对值最小的有理数是： 0 ； ⑤绝对值最小的正整数是： 1 ； ⑥绝对值最小的负整数是： -1 。 互为相反数的两个数的绝对值相等。 巩固基础 1．（     ） A． B． C．3 D． 2．的相反数是（     ） A． B． C．7 D． 3．已知，则_________，_________． 4．如图，这是某商家生产的山西文旅晋侯鸟尊冰箱贴，冰箱贴的标准半径为，检查残次品标记方式为超过标准半径记为正，反之记为负，则下列三个残次品中，半径最接近标准半径的是_____．（填序号） ①；②；③． 5．回答下列问题 (1)代数式的最小值是_____ (2)有最__值是_____ 直击考点 题型1：数轴的三要素及其画法 【例1】下列关于数轴的图示，画法正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】下列选项中所画的数轴正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】在直线下面的方框里填整数或小数，上面的方框里填分数． 【变式3】画数轴，在数轴上表示出下列有理数：，，，， 题型2：用数轴上的点表示有理数 【例1】如图，数轴上表示数1的点是（    ） A．M B．N C．P D．Q 【变式1】若5个城市的国际标准时间（单位：时）在数轴上表示如图所示，那么伦敦时间7月27日20时应是（    ） A．北京时间7月27日12时 B．巴黎时间7月27日19时 C．纽约时间7月28日1时 D．首尔时间7月28日5时 【变式2】如图，数轴上蚂蚁所在点表示的数可能为（     ） A．0 B．2 C． D． 【变式3】直线上点表示的数是______，点表示的数写成分数是______，点表示的数写成小数是______． 题型3：数轴上两点之间的距离 【例1】在数轴上A、B两点分别表示的数是2和8，在数轴上，点A右侧有另外一点P，且P到A、B的距离和是10，则点P表示的数是（   ） A．10 B．9 C．8 D．7 【例2】如图，将一把损坏的刻度尺贴放在数轴上，刻度尺上的“0”和“3”分别对应数轴上的和0，则数轴上x的值最有可能是（   ） A．1.5 B．1.8 C．2.6 D．5.4 【变式1】有理数在数轴上对应的点到原点的距离为，则有理数是（   ） A． B． C．或 D．不能确定 【变式2】数轴上表示数和表示数7的两点之间的距离是_________． 【变式3】如图，数轴上每个刻度为个单位长度，点表示的数是． (1)则所表示的数是______； (2)数轴上有点，且与点的距离为个单位长度，那么点表示的数为______． 题型4： 相反数的定义 【例1】的相反数是（     ） A． B． C． D． 【变式1】已知与3互为相反数，则是（     ） A． B． C．3 D． 【变式2】的相反数是______． 【变式3】填空： （1）的相反数是________； （2）的相反数是________； （3）的相反数是________． 题型5：相反数的性质及应用 【例1】若与互为相反数，则等于（    ） A．0 B． C． D． 【例2】若和互为相反数，那么_______． 【变式1】数轴上表示数m和1的点到原点的距离相等，则m为（   ） A． B．2 C．1 D． 【变式2】如图是一个正方体的表面展开图，这个正方体相对表面上所标的数字互为相反数，则的值为（     ） A． B． C．5 D．4 【变式3】如图，在数轴上有两点，点表示的数是．若，则点表示的数是________． 【变式4】如图，图中数轴的单位长度为1．请回答下列问题：    (1)如果点A、B表示的数是互为相反数，那么点C表示的数是多少？ (2)如果点D、B表示的数是互为相反数，那么点C表示的数是正数还是负数？ 题型6：相反数中多重符号的化简 【例1】___________． 【变式1】（1）_______； （2）_______； （3）_______． 【变式2】化简符号：___________． 【变式3】化简：________． 题型7：绝对值的概念 【例1】若一个数的绝对值等于它的相反数，则这个数一定是（   ） A．负数或0 B．正数或0 C．负数 D．正数 【例2】若，则______． 【变式1】用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最远的是（   ） A． B． C． D．2 【变式2】数轴上点到原点的距离是3，点到原点的距离是4，则线段________． 【变式3】（1）如果，，且a，b异号，求a，b的值； （2）如果，，且，求a，b的值． 题型8：求一个数的绝对值 【例1】的绝对值是（     ） A． B． C． D． 【变式1】下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】绝对值为3的数是________． 【变式3】如果，则______，如果，则______．化简：______． 题型9：绝对值的非负性 【例1】，则a和b各为（    ） A．， B．1，3 C．1， D．，3 【例2】如果x为有理数，式子存在最大值，这个最大值是__________． 【变式1】若，则一定是（   ）． A．正数 B．负数 C．正数或零 D．负数或零 【变式2】如果，那么______． 【变式3】已知a与互为相反数，b与互为倒数，且，求m，n的值． 【变式4】若，分别求，，的值． 题型10：绝对值的应用 【例1】某商品的质量按照“超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数”．下面四个零件中，最接近标准质量的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】一批零件超过规定长度的部分记为正数，短于规定长度的部分记为负数，越接近规定长度质量越好．检查其中四个零件，结果如下：第一个为，第二个为，第三个为，第四个为．则这四个零件中质量最好的是（   ） A．第一个 B．第二个 C．第三个 D．第四个 【变式2】若点在数轴上表示的数分别是，若，，则点和点两点间的最大距离为______． 【变式3】检查5个篮球的质量，把超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，检查的结果如下表： 篮球编号 1 2 3 4 5 与标准质量的差/ (1)几号篮球最接近标准质量？ (2)如果对两个篮球作上述检查，检查的结果分别为和，请利用学过的绝对值的知识指出哪个篮球的质量好一些？ 题型11：绝对值中的最值问题 【例1】点、在数轴上分别表示数、，、两点之间的距离表示为．则数轴上、两点之间的距离．表示4与的差的绝对值，实际上也可理解为4与两数在数轴上所对应的两点之间的距离，同理也可理解为与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离，就表示在数轴上对应的点到的距离，由上面绝对值的几何意义，解答下列问题： (1)数轴上表示2和的两点之间的距离是 ；数轴上表示和的两点之间的距离是 ； (2)数轴上表示和的两点和之间的距离是 ，如果，那么为 ； (3)当取最小值时，符合条件的整数有 ； (4)令，问当取何值时，最小，最小值为多少？请求解． 【变式1】若是实数，则的最小值为___． 【变式2】同学们都知道：表示5与之差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索： (1)数轴上表示5与两点之间的距离是_____； (2)数轴上表示与2的两点之间的距离可以表示为_____． (3)如果，则_____； (4)同理表示数轴上有理数所对应的点到和1所对应的点的距离之和，请你找出所有符合条件的整数，使得，这样的整数是_____． (5)由以上探索猜想对于任何有理数，是否有最小值？如果有，直接写出最小值；如果没有，说明理由． (6)是否有最小值？若有直接写出结果，若没有请说明理由． 题型12：数轴上的动点问题 【例1】数轴上的点表示，将点向右平移个单位后，再向左平移个单位到点，那么点表示的数是（   ）． A． B． C． D． 【例2】数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立对应关系，是“数形结合”的基础． 如图，在1.2有理数（2）中，一只蚂蚁从数轴的原点出发，它先向左爬了3个单位长度到达点A．数轴上每个刻度为1个单位长度，点A表示的数是． (1)则B所表示的数是 ． (2)数轴上有点P，且P到A、B两点的距离相等，则P点表示的数为 ． (3)数轴上有点C，且与点B的距离为2个单位长度，那么点C表示的数为 ． (4)若点D表示数3，将点D先向左移动4个单位长度，再向右移动5个单位长度到达E，则点E表示的数是 ，D、E两点间的距离是 ． 【变式1】如图，将钟面上数字6对应的圆周上的点与数轴上的原点重合，再将钟面紧贴数轴并沿着数轴正方向滚动，使钟面上数字5对应的点与数轴上表示0.5的点重合，钟面上数字4对应的点与数轴上表示1的点重合．若钟面滚动n圈（n为正整数），钟面上数字3对应的点与数轴上的点M重合，则点M表示的数为_____．（用含n的代数式表示） 【变式2】如图，有一个玩具火车放置在数轴上，若将火车在数轴上水平移动，当点移动到 点时，点所对应的数为15，当点移动到点时，点所对应的数为3（单位：单位长度），由此可得 (1)玩具火车的长为_______________个单位长度； (2)用上题思考方法解决下面问题： 一天，小如去问奶奶的年龄，奶奶说，“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢；你若是我现在这么大，我已是老寿星，116岁了！”奶奶的年龄为_____________________． 【变式3】在数轴上，一只蚂蚁从原点出发，它先向右爬了个单位长度到达点，再向右爬了个单位长度到达点，然后又向左爬了个单位长度到达点． (1)画出数轴，标出三点在数轴上的位置； (2)根据点在数轴上的位置，点可以看作是蚂蚁从原点出发，向哪个方向爬了几个单位长度到达的？ (3)若蚂蚁从点出发，先向右爬了个单位长度，再向左爬了个单位长度，此时它恰好回到了原点，求点表示的数． 题型13：数轴上的规律探究 【例1】正方形在数轴上的位置如图所示，点A、D对应的数分别为0和，若正方形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为1；则连续翻转2025次后，数轴上数2025所对应的点是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【变式1】如图所示，圆的周长为4个单位长度，A，B，C，D是圆周的4等分点，其中点A与数轴上的原点重合，若将圆沿着数轴向右滚动，那么点A，B，C，D能与数轴上的数字2026所对应的点重合的是点（　　） A．A B．B C．C D．D 【变式2】如图，数轴上点表示的数为，点（不与重合）、到1的距离相等，点（不与重合）、到2的距离相等，点（不与重合）、到3的距离相等，．．．按此规律，点表示的数为___________． 【变式3】如图，在长方形中，，，且边在数轴上，将长方形沿数轴无滑动向右翻滚，经过数次翻滚，点第一次落回到数轴上，记为；继续翻滚，点第二次落回到数轴上，记为；……；以此类推． (1)若点与原点重合，点表示的数为_____． (2)若点表示的数为，点表示的数为_____， 课后作业 1．（25-26七年级下·陕西延安·期末）计算：（     ） A． B． C． D．6 2．（25-26七年级下·陕西渭南·期末）的相反数是（     ） A．2 B． C． D． 3．（25-26八年级下·湖南株洲·期末）在数轴上，点表示2026，点表示2026的相反数，则点与点的距离是（     ） A．2026 B． C．4052 D． 4．（25-26六年级下·黑龙江绥化·期末）下列各数中，与互为相反数的是（     ）． A．3 B． C． D． 5．（2026·浙江·中考真题）如图，数轴上点表示的数可能是（     ） A． B． C． D． 6．（25-26七年级上·陕西西安·期末）某校将举办中学生天文知识竞赛，由学生会承办此次活动．该校教学楼共5层，若从1层到5层每层学生志愿者人数分别是10，9，7，5，6．要使所有学生志愿者到会议地点爬楼的距离之和最短，会议地点应设在第____层． 7．（25-26七年级上·江苏镇江·期末）如图，圆的周长为个单位长度，在该圆的四等分点处分别标上数字，，，，先让圆周上表示数字的点与数轴上表示的点重合，再将圆沿着数轴向右滚动，则数轴上表示的点与圆周上表示________的点重合． 8．（25-26七年级上·甘肃天水·期中）如图是一个正方体的平面展开图，正方体中相对的面上的数字或代数式互为相反数，则的值为______． 9．（25-26七年级上·河南驻马店·期末）在数轴上表示下列各数：，，，，，，． 10．（25-26六年级上·上海·期中）如图： (1)点A表示的数的相反数是___________，点B表示的数的绝对值是___________． (2)在数轴上标出数，所对应的点C，点D； (3)C，D两点之间的距离是___________； (4)与点C距离个单位长度的点表示的数是___________． 11．（25-26七年级上·四川乐山·期末）如图，有一个玩具火车放置在数轴上，若将火车在数轴上水平移动，则A点移动到点时，点所对应的数为15，当点移动到点时，点所对应的数为3（单位：单位长度），由此可得 （1）玩具火车的长为_______________个单位长度； （2）用上题思考方法解决下面问题： 一天，小如去问奶奶的年龄，奶奶说，“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢；你若是我现在这么大，我已是老寿星，116岁了！”奶奶的年龄为_____________________． 12．（25-26七年级上·新疆阿克苏·期中）阅读材料：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离．例如：数轴上表示3和5的两点之间的距离是，数轴上表示1和的两点之间的距离是．利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示x和3的两点之间的距离表示为 ．数轴上表示x和 的两点之间的距离表示为． (2)若x表示一个有理数，且，直接写出满足条件的所有整数x． 13．（25-26七年级上·广西梧州·期中）阅读材料： 在学习绝对值时，根据绝对值的几何意义，我们知道表示4与2在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示4与在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示4在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数a，b，那么A、B两点之间的距离可以表示为． 回答问题： (1)数轴上表示3与的两点之间的距离是______；数轴上表示x与2的两点之间的距离是______； (2)若，求m的值； (3)当x在1和之间时，若代数式的最小值是5，请直接写出a的值． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $