第17讲导数的几何意义（切线方程）（知识清单+5典例精讲+6方法技巧+分层训练）-2027届高考数学一轮复习讲义与培优专练（全国通用）

该高中数学高考复习讲义聚焦导数的几何意义及切线方程核心考点，涵盖切线斜率、方程求解、参数计算、公切线等高考高频题型，按知识清单梳理概念关联、典例精讲突破解题关键、方法技巧总结规律、分层训练巩固应用的逻辑架构，系统构建从基础到综合的复习路径。 讲义创新设计“六招解题技巧”，如用“设切点→列方程→求参数”三步法破解曲线外点切线多解问题，结合近3年真题典例培养学生数学思维与逻辑推理能力。分层训练含基础巩固、拔高选练及错题复盘，精准匹配高考难度，助力教师把控复习节奏，有效提升学生切线方程综合应用及参数求解的应考能力。

第17讲导数的几何意义（切线方程） （知识清单+5典例精讲+6方法技巧+分层训练） 近3年考查情况 题型 分值 定点切线方程： 单选题 5分 切线斜率求解： 解答小问 4分 切线几何性质求参数 解答小问 4分 曲线外点切线多解问题，设切点求解 填空题 5分 切线斜率正负与单调性辨析 多选题 6分 法线斜率： 单选题 5分 特殊切线：水平切线、切线条数判断 多选题 6分 切线平行垂直：、 填空题 5分 切线方程综合应用（大题基础问） 解答题 12分 【知识点01】导数的几何意义 1. 核心几何意义 设函数 在点 处可导，则导数 的几何意义为： 是曲线 在点 处的切线斜率。 核心结论： 1. 若 ，切线倾斜角为锐角，函数在该点递增； 2. 若 ，切线倾斜角为钝角，函数在该点递减； 3. 若 ，切线水平，倾斜角为 ； 4. 若导数不存在，切线可能垂直于 轴（竖直切线）。 2. 割线与切线的关系 平均变化率 对应割线斜率； 当 ，割线无限逼近切线，割线斜率极限即为切线斜率： 【例1】已知 ，判断曲线在 和 处切线的增减趋势。 【知识点02】切线方程与法线方程公式 1. 切线方程（高考必考） 曲线 在点 处： 斜率： 切线方程： 2. 法线方程（切线垂线） 法线与切线垂直，斜率乘积为 ： 法线斜率： 法线方程： 【例2】求曲线 在点 处的切线方程。 【知识点03】两类切线题型核心区别 1. 在曲线上一点的切线（单点唯一切线） 题干特征：“在点 处的切线”，该点在曲线上，直接代公式求解，切线唯一。 2. 过曲线外一点的切线（多条切线） 题干特征：“过点 的切线”，该点不一定在曲线上，需设切点求解，可能存在多条切线。 解题通用步骤： 1. 设切点 ； 2. 写出切线方程 ； 3. 将已知外点代入方程，求解 ； 4. 回代得到对应切线方程。 【例3】求过点 且与曲线 相切的直线方程。 【知识点04】特殊切线情况 1. 水平切线：，切线方程为 2. 竖直切线： 不存在，切线方程为 【例4】求曲线 的水平切线方程。 解析： 令 ，得 代入原函数得 水平切线方程： 【题型一】求曲线切线的斜率(倾斜角) 【例1】（2026·河北邯郸·一模）“曲线在处的切线的倾斜角为”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例2】（2024·福建泉州·模拟预测）如图是函数的部分图象，记的导数为，则下列选项中值最大的是（    ） A． B． C． D． 【例3】过点作曲线的切线有且只有两条，切点分别为，，则________. 【变式1】（2025·海南儋州·模拟预测）若直线是函数的图象的一条切线，则实数k的值为（   ） A．1 B． C．e D． 【变式2】（2024·河南信阳·三模）动点P在函数的图像上，以P为切点的切线的倾斜角取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式3】（2025·全国·模拟预测）若函数和的图象分别分布在某直线的两侧（函数图象与直线没有公共点），则称该直线为函数和的“隔离直线”.已知，，若和在公共定义域上存在“隔离直线”，则该“隔离直线”的斜率取值范围为______. 【题型二】求在曲线上一点处的切线方程(斜率) 【例4】（2024·全国甲卷·高考真题）设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（   ） A． B． C． D． 【例5】（多选）（2026·安徽宿州·一模）设函数，则（    ） A．在处的切线方程为 B．是的极大值点 C．当时， D． 【例6】（2026·云南·模拟预测）曲线在点处的切线方程为____________. 【变式1】（2026·安徽·模拟预测）函数的图象在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·安徽阜阳·二模）若函数的图象在处的切线过点，则___________. 【变式3】（2026·山东潍坊·一模）已知函数. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若存在极小值，且极小值大于0，求的取值范围. 【题型三】求过一点的切线方程 【例7】（2026·新疆乌鲁木齐·二模）曲线过坐标原点的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【例8】（多选）（2025·陕西西安·模拟预测）已知函数，则满足过点可作出3条直线与图象相切的充分条件是（   ） A．， B． C．点在射线上 D．点在曲线上 【例9】过点作曲线的切线，则切点坐标为______. 【变式1】（2025·河南周口·二模）将曲线绕原点逆时针旋转角后第一次与y轴相切，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2024·山西吕梁·二模）若曲线在点处的切线过原点，则__________. 【变式3】（2025·河南·模拟预测）已知. (1)若 （i）过点作曲线的两条切线，求的取值范围； （ii）求不等式的解集； (2)若在区间内存在极小值点，求的取值范围. 【题型四】已知切线(斜率)求参数 【例10】（2025·全国一卷·高考真题）若直线是曲线的一条切线，则_________. 【例11】（2026·重庆渝中·模拟预测）已知函数，若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数的值为（   ） A． B． C．1 D．3 【例12】（多选）（2024·湖南·二模）下列函数的图象与直线相切的有（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2026·山东青岛·二模）已知直线与曲线相切，则的值为（    ） A．1 B．0 C． D． 【变式2】（2026·山东聊城·模拟预测）已知a，b为正实数，直线与曲线相切，则最大值为______. 【变式3】（2026·江苏南京·一模）已知函数，直线与曲线相切． (1)求实数的值； (2)若是函数的极大值点，求实数的取值范围． 【题型五】两条切线平行、垂直、重合(公切线)问题 【例13】（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则__________. 【例14】（2026·河北·二模）若函数的图象在点处的切线恰好与函数 的图象切于点，则（   ） A． B． C． D． 【例15】（2026·陕西榆林·三模）已知直线是函数和函数图象的公切线，则______. 【变式1】（2026·陕西商洛·二模）已知直线是函数和函数图象的公切线，则（    ） A． B．3 C．4 D． 【变式2】（2026·河北张家口·二模）已知曲线在点处的切线也是曲线的切线，则________． 【变式3】已知函数，其中，． (1)当时，若存在大于零的极值点，求b的取值范围． (2)若存在，（其中，使得曲线在点与点处有相同的切线，求a的取值范围． 【解题大招01】定点切线方程速求技巧 适用题型：题干给出“在曲线上该点处的切线”，点在曲线上，切线唯一。 解题三步法 1. 求导得到导函数 ； 2. 代入横坐标得斜率 ； 3. 代入点斜式公式直接写方程。 核心公式 . 【例1】求曲线 在点 处的切线方程。 【解题大招02】过曲线外一点切线求解技巧 题型特征：题干为“过点 的切线”，点不在曲线上，存在多条切线，不可直接代点。 解题套路 1. 设切点 ； 2. 写出切线方程 ； 3. 将外点代入方程，解出； 4. 回代得到全部切线方程，切勿漏解。 【例2】求过点 且与曲线 相切的直线方程。 【解题大招03】切线平行、垂直快速判定技巧 核心结论 已知直线斜率为 ，曲线切线斜率 1. 平行： 2. 垂直： 【例3】求曲线 上与直线 平行的切线方程。 【解题大招04】法线方程速求技巧 方法口诀：切线斜率取负倒数，点斜式直接套用。 核心公式 法线斜率： 法线方程： 【例4】求曲线 在点 处的法线方程。 【解题大招05】特殊切线快速判断技巧 1. 水平切线：令 ，切线方程 2. 竖直切线： 不存在，切线方程 【例5】求 的水平切线方程。 【解题大招06】参数型切线方程解题技巧 方法核心：参数视为常数，正常求导，利用切线条件列方程求参数。 【例6】若曲线 在 处切线方程为 ，求 。 【基础过关】（共8题） 一、单选题 1．（2026·浙江·三模）下列函数所表示的曲线中，存在切线与轴平行的是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·福建莆田·模拟预测）已知函数，则曲线在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）在点处的切线方程是，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 二、多选题 4．（2025·甘肃庆阳·三模）（多选）已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．当时，曲线在点处的切线方程为 B．当时，曲线在点处的切线方程为 C．当时，曲线上不存在斜率为0的切线 D．当时，曲线在点处的切线斜率为0 三、填空题 5．（2026·广东深圳·二模）若直线是曲线的一条切线，则___________． 6．（2026·福建福州·模拟预测）曲线在处的切线的倾斜角为__________． 四、解答题 7．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）已知函数，且曲线在点处的切线与x轴平行． (1)求a，b； (2)求的极值点个数． 8．（2026·河南许昌·模拟预测）已知函数（，，）在处的切线方程为. (1)求的值； (2)分析函数的单调性. 【拔高选练】（共6题） 一、单选题 1．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）过坐标原点可作曲线的切线条数为（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条 2．（2026·江西宜春·模拟预测）已知偶函数满足当时，，则的图象在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（2024·江西·模拟预测）已知是的导数，且，则（    ） A． B．的图像在处的斜率为 C． D．在上的极小值点为 三、填空题 4．（2026·河南·模拟预测）已知直线l与曲线和都相切，则直线l的方程为_________． 5．（2026·宁夏吴忠·二模）已知函数的图象在点处的切线斜率为，且时，有极值，则_____． 四、解答题 6．（2026·陕西西安·模拟预测）设函数，其中，且． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若恰有两个极值点，求实数的取值范围． 【错题复盘】（共5题） 一、单选题 1．（2026·江苏·模拟预测）若直线是曲线的一条切线，则（    ） A． B． C． D． 2．（2026·河北·三模）若函数的图象不存在过原点的切线，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（2026·河北雄安·模拟预测）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数的极大值为 B．函数的极小值为 C．直线是函数图象的一条切线 D．若关于的不等式有唯一的整数解，则实数的取值范围是 三、填空题 4．（2026·甘肃兰州·模拟预测）若曲线与曲线有两条公切线，则的取值范围为______． 四、解答题 5．（2026·山东济南·二模）已知函数． (1)若曲线在处的切线斜率为，求； (2)若是的极大值点，求的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第17讲导数的几何意义（切线方程） （知识清单+5典例精讲+6方法技巧+分层训练） 近3年考查情况 题型 分值 定点切线方程： 单选题 5分 切线斜率求解： 解答小问 4分 切线几何性质求参数 解答小问 4分 曲线外点切线多解问题，设切点求解 填空题 5分 切线斜率正负与单调性辨析 多选题 6分 法线斜率： 单选题 5分 特殊切线：水平切线、切线条数判断 多选题 6分 切线平行垂直：、 填空题 5分 切线方程综合应用（大题基础问） 解答题 12分 【知识点01】导数的几何意义 1. 核心几何意义 设函数 在点 处可导，则导数 的几何意义为： 是曲线 在点 处的切线斜率。 核心结论： 1. 若 ，切线倾斜角为锐角，函数在该点递增； 2. 若 ，切线倾斜角为钝角，函数在该点递减； 3. 若 ，切线水平，倾斜角为 ； 4. 若导数不存在，切线可能垂直于 轴（竖直切线）。 2. 割线与切线的关系 平均变化率 对应割线斜率； 当 ，割线无限逼近切线，割线斜率极限即为切线斜率： 【例1】已知 ，判断曲线在 和 处切线的增减趋势。 解析：求导得 ，该处切线递增； ，该处切线递减。 【知识点02】切线方程与法线方程公式 1. 切线方程（高考必考） 曲线 在点 处： 斜率： 切线方程： 2. 法线方程（切线垂线） 法线与切线垂直，斜率乘积为 ： 法线斜率： 法线方程： 【例2】求曲线 在点 处的切线方程。 解析： 切线斜率 代入点斜式： 整理得： 【知识点03】两类切线题型核心区别 1. 在曲线上一点的切线（单点唯一切线） 题干特征：“在点 处的切线”，该点在曲线上，直接代公式求解，切线唯一。 2. 过曲线外一点的切线（多条切线） 题干特征：“过点 的切线”，该点不一定在曲线上，需设切点求解，可能存在多条切线。 解题通用步骤： 1. 设切点 ； 2. 写出切线方程 ； 3. 将已知外点代入方程，求解 ； 4. 回代得到对应切线方程。 【例3】求过点 且与曲线 相切的直线方程。 解析：设切点为 ，，切线斜率 切线方程： 将点 代入： 解得 或 当 时，切线方程： 当 时，切线方程： 【知识点04】特殊切线情况 1. 水平切线：，切线方程为 2. 竖直切线： 不存在，切线方程为 【例4】求曲线 的水平切线方程。 解析： 令 ，得 代入原函数得 水平切线方程： 【题型一】求曲线切线的斜率(倾斜角) 【例1】（2026·河北邯郸·一模）“曲线在处的切线的倾斜角为”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】由，得． 由曲线在处的切线的倾斜角为， 可得，解得或． 故“曲线在处的切线的倾斜角为”是“”的必要不充分条件． 【例2】（2024·福建泉州·模拟预测）如图是函数的部分图象，记的导数为，则下列选项中值最大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由函数的图象，结合导数的几何意义，即可判断. 【详解】 由图可知，为负数，为正数，故不选， 设在处的点为，显然的斜率大于， 则，可转化为， 所以的值最大. 故选：A． 【例3】过点作曲线的切线有且只有两条，切点分别为，，则________. 【答案】 【分析】设切点坐标为，根据导数的几何意义列式可得，再根据韦达定理即可得答案. 【详解】由题意得， 过点作曲线的切线，设切点坐标为， 则，即， 由于，故， 因为过点作曲线的切线有且只有两条， 所以有两个解，且，即或， 所以，， 所以. 故答案为： 【变式1】（2025·海南儋州·模拟预测）若直线是函数的图象的一条切线，则实数k的值为（   ） A．1 B． C．e D． 【答案】A 【分析】可设切点坐标，切点坐标满足函数方程，且有．解方程组可得k的值； 【详解】，， 设切点坐标为，则， 消去k，得，所以. 故选：A 【变式2】（2024·河南信阳·三模）动点P在函数的图像上，以P为切点的切线的倾斜角取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出定义域，求导，结合基本不等式得到，求出以P为切点的切线的倾斜角取值范围. 【详解】令，解得，故的定义域为， ，当且仅当，即时，等号成立， 故，故以P为切点的切线的倾斜角取值范围是. 故选：C 【变式3】（2025·全国·模拟预测）若函数和的图象分别分布在某直线的两侧（函数图象与直线没有公共点），则称该直线为函数和的“隔离直线”.已知，，若和在公共定义域上存在“隔离直线”，则该“隔离直线”的斜率取值范围为______. 【答案】 【分析】利用导数的几何意义求得两个函数公切线的斜率，画出函数图象,结合图象可得“隔离直线”的斜率取值范围. 【详解】 由题意和的公共定义域为，结合大致图象可知， 在上，. 设直线， 直线与在上的图象切于点，与在上的图象切于点， ，，则， 则，且，解得， 所以公切线的斜率，结合图象可知，“隔离直线”的斜率的取值范围为. 故答案为：. 【题型二】求在曲线上一点处的切线方程(斜率) 【例4】（2024·全国甲卷·高考真题）设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】借助导数的几何意义计算可得其在点处的切线方程，即可得其与坐标轴的交点坐标，即可得其面积. 【详解】， 则， 即该切线方程为，即， 令，则，令，则， 故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积. 故选：A. 【例5】（多选）（2026·安徽宿州·一模）设函数，则（    ） A．在处的切线方程为 B．是的极大值点 C．当时， D． 【答案】AD 【分析】对于A选项求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而求出切线方程，对于B,C选项求出函数的单调区间，从而得到函数的极大值点以及函数值的范围，对于D，代入函数解析式验证即可求解. 【详解】对于A，，在处的切线方程为，化简可得，故A选项正确； 对于B，，令，解得：, 令，解得：或, 令，解得：, 所以函数在和递增，在递减， 则是的极小值点，故B选项错误； 对于C，由于函数在和递增，在递减，故当时，最小值为，最大值为，所以，故C选项错误： 对于D选项，由于，D选项正确. 故选：AD 【例6】（2026·云南·模拟预测）曲线在点处的切线方程为____________. 【答案】 【详解】由，可得，当时，， 则曲线在点处的切线方程为. 【变式1】（2026·安徽·模拟预测）函数的图象在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用导数求出切线斜率，再结合直线的点斜式方程可得切线方程. 【详解】，则， ，所以切线方程为，化简可得， 即函数的图象在点处的切线方程为. 【变式2】（2026·安徽阜阳·二模）若函数的图象在处的切线过点，则___________. 【答案】 【详解】因为，，所以，， 所以函数的图象在处的切线方程为， 将点代入，得，解得. 【变式3】（2026·山东潍坊·一模）已知函数. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若存在极小值，且极小值大于0，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知可得，由导数的几何意义求切线方程； （2）对函数求导，根据已知有，再确定的极小值，结合其大于0求参数范围. 【详解】（1）由，则，可得，满足题设， 所以，则，可得，而， 所以曲线在点处的切线方程，即； （2）由题设且， 当时，恒成立，显然不存在极值， 所以，则有，有， 所以在上单调递减，在上单调递增，此时存在极小值， 所以，可得. 【题型三】求过一点的切线方程 【例7】（2026·新疆乌鲁木齐·二模）曲线过坐标原点的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由 ，得 . 设切点为 ，则切线斜率 . 切线方程为 . 将原点 代入得 ， 即 ，因为，所以，解得 . 所以切线斜率 ，切线方程为 . 故所求切线方程为 . 【例8】（多选）（2025·陕西西安·模拟预测）已知函数，则满足过点可作出3条直线与图象相切的充分条件是（   ） A．， B． C．点在射线上 D．点在曲线上 【答案】ACD 【分析】设过点的直线与的图象切于点，由，得到，构造，结合有3个零点，求导得到，令，得或，由逐项判断即可. 【详解】因为，所以， 设过点的直线与的图象切于点， 则切线斜率，即， 去分母整理得，切线有3条， 设，则有3个零点， ，令，得或， 所以， 对于A，取，得，A正确； 对于B，取，则，不满足，B错误； 对于C，令，，则，，满足，C正确； 对于D，令，，则，，满足，D正确； 故选：ACD. 【例9】过点作曲线的切线，则切点坐标为______. 【答案】/ 【分析】设出切点坐标，利用导数来求得正确答案. 【详解】由，得，，化简得，， 则，设切点为，显然不在曲线上， 则，解得，则切点坐标为. 故答案为： 【变式1】（2025·河南周口·二模）将曲线绕原点逆时针旋转角后第一次与y轴相切，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，分析可得是曲线过原点的切线，求出函数的导数，由导数的几何意义分析可得切点坐标，再将切点坐标代入，计算可得答案． 【详解】根据题意，曲线绕原点逆时针旋转角后第一次与轴相切， 则是曲线过原点的切线． 设切点坐标为， 又由，即切点处切线的斜率． 即把切点坐标代入，得，解得， 故，所以，故. 故选：D． 【变式2】（2024·山西吕梁·二模）若曲线在点处的切线过原点，则__________. 【答案】 【分析】求导，根据点斜式求解直线方程，即可代入求解. 【详解】因为，所以， 所以在点处的切线方程为. 又切线过原点，则，所以. 故答案为： 【变式3】（2025·河南·模拟预测）已知. (1)若 （i）过点作曲线的两条切线，求的取值范围； （ii）求不等式的解集； (2)若在区间内存在极小值点，求的取值范围. 【答案】(1)（i）；（ii） (2). 【分析】（1）（i）设切点为，问题可转化为有两个实数根，求解即可；（ii），令，求导可得，进而可求解； （2）求导得，分三种情况讨论函数的单调性，判断极小值点在内可求得的取值范围. 【详解】（1）当时，， （i），设切点为 ，整理得0， 问题转化为方程有两个实数根， ， 或. 的取值范围为. （ii）. 令，则， 由，得， 当时，单调递减， 当时，单调递增，则. 故当时，，当时，， 从而原不等式的解集为. （2）由已知得 1.若， 当时，在上单调递减， 当时，在上单调递增， 在取得最小值，符合题意. 2.若， i）若即， 当在上单调递减， 当在上单调递增， 在取得最小值， ii）当无极值，不符合题意， iii）当即， 当在上单调递减， 当在上单调递增， 在取得极小值符合. 3.若， 当时，在上单调递减， 当时，在上单调递增， 在取得极小值，符合题意； 综上所述：的取值范围为. 【题型四】已知切线(斜率)求参数 【例10】（2025·全国一卷·高考真题）若直线是曲线的一条切线，则_________. 【答案】 【分析】法一：利用导数的几何性质与导数的四则运算求得切点，进而代入曲线方程即可得解；法二：利用导数的几何性质与导数的四则运算得到关于切点与的方程组，解之即可得解. 【详解】法一：对于，其导数为， 因为直线是曲线的切线，直线的斜率为2， 令，即，解得， 将代入切线方程，可得， 所以切点坐标为， 因为切点在曲线上， 所以，即，解得. 故答案为：. 法二：对于，其导数为， 假设与的切点为， 则，解得. 故答案为：. 【例11】（2026·重庆渝中·模拟预测）已知函数，若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数的值为（   ） A． B． C．1 D．3 【答案】A 【分析】由已知可得切线斜率，根据导数的几何意义列方程求解即可． 【详解】因为， 所以在点处的切线的斜率为， 而该切线与直线垂直， 所以，解得． 【例12】（多选）（2024·湖南·二模）下列函数的图象与直线相切的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】假设选项中的曲线与直线相切，利用导数的几何意义求出对应斜率是否为1，求得切点进行逐一判断即可得出结论. 【详解】选项A中，若与相切，设切点为， 易知，则，解得，即切点为，切线为，A正确； 选项B中，若与相切，设切点为， 易知，则，解得，切点为，切线方程为，即B错误； 选项C中，若与相切，设切点为， 易知，则，解得， 当时，切点为，切线方程为，C正确； 选项D中，易知与有三个交点，， 又，显然在三个交点处的斜率均不是1，所以不是切线，D错误. 故选：AC 【变式1】（2026·山东青岛·二模）已知直线与曲线相切，则的值为（    ） A．1 B．0 C． D． 【答案】C 【分析】设切点，根据导数的几何意义可得表示出切线的斜率，进而求出，即可求解. 【详解】设切点坐标为， 因为，所以， 所以切线的斜率，解得， 又，即， 所以. 【变式2】（2026·山东聊城·模拟预测）已知a，b为正实数，直线与曲线相切，则最大值为______. 【答案】 【分析】根据给定条件，利用导数的几何意义求得，再利用基本不等式“1”的妙用求出最大值. 【详解】由，求导得， 设直线与曲线相切于点，则有， 解得，则，而为正实数， 因此，当且仅当，即时取等号， 所以的最大值为. 【变式3】（2026·江苏南京·一模）已知函数，直线与曲线相切． (1)求实数的值； (2)若是函数的极大值点，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用导数的几何意义求出斜率，结合切点，切线方程即可求出参数； （2）利用导数讨论单调性，得出函数的极值，再解不等式即可. 【详解】（1）设直线与曲线相切于， 因为，所以切线斜率为， 所以，则，所以切点为， 又因为切点在直线上，所以， 所以． （2）， 则． 当时，，，，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以是的极小值点，不满足题意； 当时，，，，，，， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以是的极小值点，不满足题意； 当时，，， 所以在上单调递增， 所以不是的极值点，不满足题意； 当时，，，，，，， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以是的极大值点，满足题意， 综上，的取值范围是． 【题型五】两条切线平行、垂直、重合(公切线)问题 【例13】（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则__________. 【答案】 【分析】先求出曲线在的切线方程，再设曲线的切点为，求出，利用公切线斜率相等求出，表示出切线方程，结合两切线方程相同即可求解. 【详解】由得，， 故曲线在处的切线方程为； 由得， 设切线与曲线相切的切点为， 由两曲线有公切线得，解得，则切点为， 切线方程为， 根据两切线重合,所以，解得. 故答案为： 【例14】（2026·河北·二模）若函数的图象在点处的切线恰好与函数 的图象切于点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先设切点，求出导函数进而得出切线斜率得出切线方程，再应用切线相同列式计算求解，即可得出切线方程. 【详解】因切线与的切点为， 由可得， 切线方程为：，即① 依题意，切线与的切点为 ，因， 则切线的方程为：，即② 因①，②都是的方程，则有 ， 联立两式消去 并整理得，即，解得. 【例15】（2026·陕西榆林·三模）已知直线是函数和函数图象的公切线，则______. 【答案】4 【分析】通过切线斜率即可直接求得的值，再设函数的图象的切点为，由切线斜率得到，结合函数单调性求得，得到，即可求解. 【详解】设直线与函数的图象的切点为， 由求导得，由，得， 所以直线与函数的图象的切点为， 将点代入，解得. 设直线与函数的图象的切点为， 又，则（*）. 由，代入上式得， 因为函数单调递增，且， 所以，代入（*），解得， 所以. 【变式1】（2026·陕西商洛·二模）已知直线是函数和函数图象的公切线，则（    ） A． B．3 C．4 D． 【答案】C 【详解】由，得 由，得. 直线的斜率为. 令，得， 将代入，得， 所以直线与函数的图象的切点为，所以，. 设直线与函数的图象的切点为， 则，得. 因为函数单调递增，且， 所以，. 所以. 【变式2】（2026·河北张家口·二模）已知曲线在点处的切线也是曲线的切线，则________． 【答案】1 【分析】根据导数的几何意义先求得的切线方程，再设出该切线与的切点，再利用公切线的斜率相等，且切点也在公切线上，代入计算即可求解． 【详解】由，则， 所以曲线在点处的斜率为， 所以曲线在点处的切线方程为． 设直线与曲线相切的切点为，且， 则，解得． 【变式3】已知函数，其中，． (1)当时，若存在大于零的极值点，求b的取值范围． (2)若存在，（其中，使得曲线在点与点处有相同的切线，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出时的导函数，根据单调性判断函数的极值点，即可求出b的取值范围； （2）利用导数的几何意义求出点与点处的切线方程，根据两者切线相同得出关于，的方程组有解，通过构造函数转化为函数存在零点的问题，即可求解. 【详解】（1）函数的定义域为， 由题意知，当时，， 当时，，， 则， ①若，当时，，单调递增，无极值点； ②若，当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 在上存在唯一的极大值点，则b的取值范围是． （2）由题意， 在点处的切线方程为， 即， 同理在点处的切线方程为， 因为两切线相同，所以， 即方程组有解， 令，， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， ∵为偶函数，且，，故， 令，， 则在区间和单调递减， ∵的奇函数，∴当时，， 又∵，∴， ∵，， ∴当时，单调递减，， 当时，单调递减，． 故，所以． 【解题大招01】定点切线方程速求技巧 适用题型：题干给出“在曲线上该点处的切线”，点在曲线上，切线唯一。 解题三步法 1. 求导得到导函数 ； 2. 代入横坐标得斜率 ； 3. 代入点斜式公式直接写方程。 核心公式 . 【例1】求曲线 在点 处的切线方程。 解析：求导： 斜率： 代入点斜式： 整理得： 【解题大招02】过曲线外一点切线求解技巧 题型特征：题干为“过点 的切线”，点不在曲线上，存在多条切线，不可直接代点。 解题套路 1. 设切点 ； 2. 写出切线方程 ； 3. 将外点代入方程，解出； 4. 回代得到全部切线方程，切勿漏解。 【例2】求过点 且与曲线 相切的直线方程。 解析：设切点 ，，斜率 切线方程： 代入点 ： 化简得： 解得： 或 对应切线方程：、 【解题大招03】切线平行、垂直快速判定技巧 核心结论 已知直线斜率为 ，曲线切线斜率 1. 平行： 2. 垂直： 【例3】求曲线 上与直线 平行的切线方程。 解析：直线斜率 ， 令 ，得 ，切点 切线方程： 即： 【解题大招04】法线方程速求技巧 方法口诀：切线斜率取负倒数，点斜式直接套用。 核心公式 法线斜率： 法线方程： 【例4】求曲线 在点 处的法线方程。 解析：，切线斜率 法线斜率 法线方程： 整理得： 【解题大招05】特殊切线快速判断技巧 1. 水平切线：令 ，切线方程 2. 竖直切线： 不存在，切线方程 【例5】求 的水平切线方程。 解析： 令 ，得 ，代入原式得 水平切线方程： 【解题大招06】参数型切线方程解题技巧 方法核心：参数视为常数，正常求导，利用切线条件列方程求参数。 【例6】若曲线 在 处切线方程为 ，求 。 解析：， 由题意 ，得 切点 ，代入切线方程 得 【基础过关】（共8题） 一、单选题 1．（2026·浙江·三模）下列函数所表示的曲线中，存在切线与轴平行的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求定义域，求导，设出切点，根据导函数几何意义得到方程，解方程，可得结论 【详解】A选项，的定义域为R，，设切点为， 假设在处的切线与轴平行， 则，则，， 所以曲线的图象上存在与轴平行的切线，A正确； B选项，的定义域为R，，设切点为， 假设在处的切线与轴平行， 则，无解，故的图象上不存在与轴平行的切线，B错误； C选项，的定义域为，，设切点为， 假设在处的切线与轴平行， 则，无解，的图象上不存在与轴平行的切线，C错误； D选项，的定义域为R，，设切点为， 假设在处的切线与轴平行， 则，无解，故的图象上不存在与轴平行的切线，D错误； 2．（2026·福建莆田·模拟预测）已知函数，则曲线在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】曲线的导数，则在的切线斜率为， 由点斜式求得切线方程为， 化成一般式为. 3．（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）在点处的切线方程是，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】借助导数的几何意义计算即可得. 【详解】，又在处的切线方程是， 故，又，故. 二、多选题 4．（2025·甘肃庆阳·三模）（多选）已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．当时，曲线在点处的切线方程为 B．当时，曲线在点处的切线方程为 C．当时，曲线上不存在斜率为0的切线 D．当时，曲线在点处的切线斜率为0 【答案】BD 【分析】对于AB，由题可得在点处的切线方程，据此可判断选项正误； 对于CD，由题可得在点处的切线斜率，据此可判断选项正误. 【详解】对于AB,当时，，有，又， 故曲线在点处的切线方程为，故错误，B正确； 对于CD，当时，，则，显然， 即曲线在点处的切线斜率为0，故C错误，D正确． 故选：BD． 三、填空题 5．（2026·广东深圳·二模）若直线是曲线的一条切线，则___________． 【答案】 【分析】根据导数的几何意义求出切线斜率即可得解. 【详解】设切点为， 由于，则，解得， 于是切点为，则，解得． 6．（2026·福建福州·模拟预测）曲线在处的切线的倾斜角为__________． 【答案】 / 【分析】先求函数在处的导数值得到切线斜率，再根据斜率与倾斜角的关系计算倾斜角. 【详解】设，函数定义域为， 得到，所以，即曲线在处的切线斜率为. 设切线的倾斜角为，其中，由斜率定义可知，解得. 四、解答题 7．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）已知函数，且曲线在点处的切线与x轴平行． (1)求a，b； (2)求的极值点个数． 【答案】(1)， (2)两个 【分析】（1）由题意知，，，求导数，代入计算，即可得解； （2），令，则问题转化为函数的变号零点的个数，对函数求导，判断的正负，得到函数的单调性，进而判断变号零点个数，从而得解. 【详解】（1）由题得，解得， 又，则，解得， 故， （2）由（1）可知， 令，则 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 又，，， ，使得，故， 所以当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 则在内单调递增，在单调递减，在递增， 所以有两个极值点． 8．（2026·河南许昌·模拟预测）已知函数（，，）在处的切线方程为. (1)求的值； (2)分析函数的单调性. 【答案】(1)2 (2)答案见解析 【分析】（1）根据导数的几何意义结合切线方程建立关于的方程求解即可；（2）求出函数的导数，分类讨论，判断导数正负，即可求得答案. 【详解】（1）函数的定义域为，， 由题意得：，解得：，所以. （2）由（1）得：， ①当时，即，在区间上恒成立， 函数在区间上单调递增； ②当时，若，，函数在区间上单调递增； 若，，函数在区间上单调递减. 【拔高选练】（共6题） 一、单选题 1．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）过坐标原点可作曲线的切线条数为（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条 【答案】C 【分析】先求出切线方程，再将代入切线方程，通过解方程求出满足条件的切点，最后将满足的切点值代入求出切线的斜率（注意在代入过程中因导数中包括正弦函数项，所以需要对切点值分类讨论），即可求出切线，确定切线条数. 【详解】由题意， 设切点为， 所以切线方程为， 再将代入切线方程， 所以 ， 当时，满足条件， 当时，， 解得， 最后将切点代入，求出切线斜率 当时，，所以切线为， 当，因为导数中包括正弦函数项，所以需要分类讨论， 当，，此时切线为， 当，，此时切线为， 所以切线条数为条. 2．（2026·江西宜春·模拟预测）已知偶函数满足当时，，则的图象在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用偶函数的导数为奇函数求解即可 【详解】当时，， 因为为偶函数，所以，当时两边求导得， 所以，， 所以的图象在处的切线方程为，即 二、多选题 3．（2024·江西·模拟预测）已知是的导数，且，则（    ） A． B．的图像在处的斜率为 C． D．在上的极小值点为 【答案】BC 【分析】利用导数的运算和几何意义逐项判断即可. 【详解】由题意可得，将代入解得，C正确； 所以，， 将代入可得，A错误； 将代入可得，所以的图像在处的斜率为，B正确； 令，解得或， 所以当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以在上的极小值点为，D错误； 故选：BC 三、填空题 4．（2026·河南·模拟预测）已知直线l与曲线和都相切，则直线l的方程为_________． 【答案】 【详解】设，与曲线联立，得，由，得． 直线l与曲线联立，得，显然，由，得． 所以， 化简得，又，所以，从而． 所以直线l的方程为，即． 5．（2026·宁夏吴忠·二模）已知函数的图象在点处的切线斜率为，且时，有极值，则_____． 【答案】2 【分析】根据导数的几何意义以及极值点的性质求，并结合单调性检验即可. 【详解】因为，则， 由题意可得，解得， 则函数，， 令，解得或；令，解得， 可知函数在上单调递增，在上单调递减， 则函数在处取到极大值，即，符合题意， 所以. 四、解答题 6．（2026·陕西西安·模拟预测）设函数，其中，且． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若恰有两个极值点，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）求导，求出和，从而得到切点坐标和切线斜率，求出切线方程； （2）求导，研究导函数零点个数，求出实数的取值范围． 【详解】（1）当时，，则， 所以，又， 所以在点处的切线方程为，即 （2）． 当时，，令， 显然单调递减，至多有一个零点， 即至多有一个零点，不符合题意． 当时， 设，则， 令，解得， 所以当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以的最小值为， 当时，，且； 当时，． 若恰有两个极值点，则方程有两个解， 所以，解得， 所以实数的取值范围是． 【错题复盘】（共5题） 一、单选题 1．（2026·江苏·模拟预测）若直线是曲线的一条切线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出切点坐标，根据导数的几何意义，结合切点在切线和曲线上列方程组求解可得. 【详解】设直线与曲线相切于点， 因为，所以，解得. 2．（2026·河北·三模）若函数的图象不存在过原点的切线，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出函数的导数，利用导数的几何意义求出函数的图象在处的切线方程，由已知建立方程，利用方程无解列式求解. 【详解】函数，求导得， 则函数的图象在处的切线方程为， 由原点不在该切线上，得关于切点横坐标的方程无解， 即无解，则，解得， 所以实数a的取值范围为. 二、多选题 3．（2026·河北雄安·模拟预测）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数的极大值为 B．函数的极小值为 C．直线是函数图象的一条切线 D．若关于的不等式有唯一的整数解，则实数的取值范围是 【答案】ACD 【分析】求出的定义域和，对于AB，利用导数法得到的单调性，结合单调性得到的极值，从而得到结论.对于C，设切点为，利用导数的几何意义求出切线的斜率和切点的坐标，利用点斜式得到切线方程.对于D，利用的单调性和极值，结合图像求解. 【详解】的定义域为. 对于AB，当时，在上单调递增； 当时，，在上单调递减. 在定义域内只有极大值，没有极小值，极大值为，故A正确，B错误. 对于C，设切点为， 显然， 是方程的一个根，切点为切线方程为， 即，故C正确. 对于D在上单调递增，在上单调递减， 且在定义域内有极大值， 又， 即由此作出函数的大致图象，如图. 不等式有唯一的整数解， ，即，故D正确. 三、填空题 4．（2026·甘肃兰州·模拟预测）若曲线与曲线有两条公切线，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】利用导数的几何意义分别求出切线方程，从而得出，利用换元法把问题转化为有两个不同解，求导并分析函数的单调性和最大值，结合极限分析求出的取值范围． 【详解】设曲线上的切点为，求导得， 则切线方程为，即， 设该切线与曲线切于点，求导得， 则切线方程为，即， ，即①，②， 把①代入②消去得，由得，解得， 令，则，代入①得， 令，问题转化为有2个不同解， 求导，时，，单调递增； 时，，单调递减； 最大值，和时，， ，， ，即． 四、解答题 5．（2026·山东济南·二模）已知函数． (1)若曲线在处的切线斜率为，求； (2)若是的极大值点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由导数的几何意义得出，即可解得实数的值； （2）求得，对实数的取值进行分类讨论，分析在附近的符号变化，结合函数极大值点的定义可求得实数的取值范围. 【详解】（1）因为，由题意可得， 由导数的几何意义可得，解得. （2）因为是的极大值点，，则， 令，其中，则，， ①当时，对任意的恒成立，则在上为减函数， 当时，，即函数在上单调递增， 当时，，即函数在上单调递减， 此时为函数的极大值点； ②当时，函数在为增函数，由可得， 由可得，由可得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， （i）当时，即当时， 若时，，即函数在上单调递增， 当时，，即函数在上单调递减， 此时为函数的极大值点； （ii）当时，即当时， 若时，；若时，. 此时函数在上单调递增，无极值点； （iii）当时，即当时， 若时，，即函数在上单调递减， 若时，，即函数在上单调递增， 此时为函数的极小值点 综上所述，，即实数的取值范围是. 1 学科网（北京）股份有限公司 $