解析几何的方法体系之综合方法（下）讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦解析几何核心考点，涵盖轨迹方程、中点弦、切线及新定义题，按“知识点梳理-方法突破-真题演练”逻辑架构，通过定义法、点差法等方法体系梳理，结合真题例题分步骤解析，帮助学生构建解题框架，突破高考难点。 讲义突出方法标准化与思维可视化，如点差法四步流程、轨迹方程代点自检等设计，培养学生数学思维与逻辑推理能力。分层练习匹配不同难度，例题标注易错点，助力教师精准把控复习节奏，高效提升学生解题能力与应考技巧。

综合方法（下）的方法体系 从题型到方法的完整梳理 一、知识点梳理 知识点一　求轨迹方程的四条路 ★ 求轨迹方程，本质是一句话：把动点满足的几何条件，翻译成关于 、 的等式，再化简。所以拿到题先别急着动笔算，先问自己一句——题目给的条件在说「距离」还是「斜率」还是「比例」？ ★ 第一条路：定义法。平面内与两定点 、 距离之「和」为定值 （）的点的轨迹是椭圆；距离之「差」（绝对值）为定值 （）的轨迹是双曲线；到定点距离与到定直线距离之比为常数 的轨迹， 是椭圆， 是双曲线， 是抛物线。认出来的好处是可以直接设标准方程、只求 、、，省掉一次平方化简。 ★ 第二条路：几何转化。题面用「垂直平分线」「中点」「角的平分线」「圆的切点」这类词给出条件时，先把它换成一个等价的距离（或斜率）等式： 点在 的垂直平分线上 ； 动圆与定圆外切 ； 动圆与定圆内切 ； 动圆与直线相切 圆心的纵坐标（或横坐标）的绝对值等于半径。换完之后常常两个距离的和或差就是定值，回到第一条路。 ★ 第三条路：列式化简（直接法）。没有现成的定义可用时，就老老实实列等式。涉及两点距离时会出现 ，消根号的做法是移项、平方、再平方。如果根式有两项，先把它们分列等号两侧——这样第一次平方就能把两个根式同时消掉一个，比两边同时平方省一半计算。 ★ 第四条路：相关点法（代入法）。动点 由已知曲线上的动点 生成（如 是 的中点、 满足 ）时，思路是「用 表示 」，即从 反解出 ，再把 代入 所满足的方程。注意最后写的是 的坐标 满足的方程，别把 、 留在答案里。 ★ 范围怎么定，三类词各管一处： 位置词（「在第一象限」「在右支上」「在线段 上」）限制 或 的符号与区间； 过程词（「 在圆上运动， 在线段 上」）限制动点只在曲线的一段上；度数词（「、 是不同两点」「斜率存在」）排除若干孤立的点。 写答案时用「 的部分」「右支」「除去 」这类说法注明。 ★ 一个常见的坑：把 这类式子平方时，忘记检验「两边都是非负」这一前提，结果把原本不成立的解也带进来。平方之后回到原式代入一两个特殊点检查，代价很小。 知识点二　中点弦与点差法 ★ 点差法的适用前提：弦的两端都在同一条曲线（或同一条曲线的同一支）上，且曲线方程里 、 前的系数反号后可以合并。椭圆、双曲线、抛物线都满足，所以三种曲线都能用。 ★ 标准步骤（背下这四行，任何中点弦题都能开工）： 设 、，代入曲线得两式： 与 ；两式相减，用平方差分解：；两边同除 并整理，得；最后把 、 代进去。左侧两个分式分别是弦的斜率 与中点连线的斜率 。 ★ 三条现成结论（建议现推，不要只背）： 椭圆 ：； 双曲线 ：； 抛物线 ：，其中 是中点的纵坐标（此式对横坐标不敏感，记住这一点）。 ★ 求中点弦所在直线，只需「中点坐标 斜率」两个量：斜率由上面的结论给出，点用中点，写成点斜式即可。反过来已知直线求中点，就把直线与曲线联立，中点的横坐标是 、纵坐标用直线方程回代。 ★ 抛物线的中点弦用「 参数」更省事：设 、，则中点 ，弦的斜率 （以 为例）。这里 与 各自都是整体，中点坐标只用到 ，计算量比点差法还小。 ★★ 点差法的结论是「必要条件」：它只说明「弦若存在，斜率必为此」。弦真正存在的条件是中点落在曲线内部的区域里： 椭圆需 ；抛物线 需 （即在抛物线开口一侧的内部）； 双曲线更要小心——不仅要求中点在双曲线两支之间的区域内，还要求弦的两端落在「同一支」上，否则「中点」这个概念在题设里就不成立。「双曲线不存在以某点为中点的弦，求离心率范围」这类题考的就是这一句。 ★ 两条弦的中点问题（两个中点、两条斜率）的处理顺序：先用点差式把每条弦的斜率写成各自中点坐标的函数，再代入题给的斜率关系（之积、之和、之比），最后用「两个中点都在同一条直线上」或联立得到的韦达关系消参。 ★ 点差法还有两个引申用途：一是判断直线与双曲线交点所在支数（由中点位置反推）；二是求「过定点且被定点平分的弦」——直接以该定点为中点、用点差式求斜率。 知识点三　切线、切点弦与切点的性质 ★ 三类曲线的切线方程，都可以用「半代入」一次写出： 椭圆 在点 处：； 双曲线 在点 处：； 抛物线 在点 处：。口诀：二次项换成「半新半旧」的乘积，一次项换成两点的平均。 ★ 切点弦方程与切线方程同形但含义不同：从曲线外一点 引两条切线，两个切点连成的直线（切点弦）方程是 。推导只需三行：设两个切点为 、，、 是切线，由前面的切线方程可知、 的坐标都满足 ，两个点满足同一个一次方程，这条直线就是切点弦。 ★ 抛物线的切线交点结论： 上两点 、 处的切线交于点 ，则 。由此得两条常用推论： 在定直线 上时，弦 的斜率是定值，若还有关于弦中点的条件，可得定点； 在圆（或另一条曲线上）运动时，把 的范围代入，就得到 或相关量的取值范围。 ★ 椭圆（双曲线）的切线交点结论：曲线 的两条切线 、 互相垂直时，它们的交点 满足 （蒙日圆）。更一般地，若 、 的斜率之积为 ，则交点在相似椭圆 上。这条结论在「相似椭圆」类新定义题里是现成的工具。 ★ 「过点能作几条切线」的判据：点在曲线内——零条；点在曲线上——一条（双曲线还要排除该点落在渐近线上的情形）；点在曲线外——两条。抛物线用区域判断：点与焦点在抛物线开口的同一侧（）时作不出切线，在曲线上有一条，在开口另一侧有两条。 ★ 双曲线的切线定义要加一句限定：「直线与双曲线恰有一个公共点，且与渐近线不平行，才叫切线」。漏掉后半句，就会把「平行于渐近线的直线」错当成切线，而这类直线与双曲线也只有一个公共点。这正是双曲线切线题里参数取值范围被砍掉一段的原因。 ★ 圆的切线在本册的用法只有一句：直线与圆相切 圆心到直线的距离等于半径。由于圆心常在原点，这条判据写成 （直线 时），它给出斜率与截距的一个约束，用来替换掉题设里那条「相切」。 知识点四　新定义题的读题与转化 ★ 新定义题的题干分两部分：前半是「定义」（往往用一句话加一个记号给出），后半是「问题」。读的时候先只读定义，把定义改写成自己熟悉的话，再读问题。两段混着读是这类题失分的主要原因。 ★ 改写定义的三条经验： 定义里出现「当且仅当」的，是一个「等价条件」，两个方向都要能用； 出现「若…则…」的，只是一个「充分条件」，逆命题不成立； 出现「否则」「当…相同时」的，是「边界情形」的补丁，专门处理运算退化的情况，做题时必须单独讨论。 ★ 四类新定义问题的转化方向： 定义新曲线：把新曲线的基本量用原曲线的 、、 表示，求离心率时只需算「 与 的比」，不必写出新曲线的方程； 定义新运算：把运算写成坐标公式（如 写成系数的组合），再代入具体数算出结果，最后检验交换律与结合律； 定义新对象：还原成「切线」「中点弦」「渐近线」等已知对象，然后按方法三、方法二的套路处理； 迭代构造点列：把「依次构造」写成 与 的关系式，再设法把 凑成等比形式。 ★ 单位元与周期点。新运算题里问「是否存在 使 」的，是在求「单位元」；问「是否存在 使 」的，是在求「周期点」。两者的做法都是「设未知、按定义代入、解方程」。 ★ 迭代题的书写规范：先把 的情形算出来列表，由表看出规律（往往是等比），再用定义把规律写成递推式并证明。直接写递推式而没有任何铺垫，评卷时容易被判「未证明」。 ★ 新定义题里的「老结论」可以照用，例如椭圆的半代入切线方程、抛物线的 、点差式的 ，但引用时要写明「由本册方法三的结论」之类，不能当作众所周知直接使用。 ★ 检验答案的两个动作：一是把所求结果代回定义，逐项核对定义里的每个条件；二是用定义自带的对称性（如交换律）交叉验证——若算出的结果不满足交换律，说明符号或顺序错了。 二、方法突破 方法一　轨迹方程的求法 求轨迹方程的题目问法固定：「求动点 的轨迹方程」。看似要凭空想出一条曲线，其实全程只有两件事——把几何条件翻译成坐标等式，再把这个等式化简成标准形式。 ★ 通法四步写在前面，后面所有题都按它走：第一步设动点 （题目若已给坐标形式就直接用）；第二步把题设的几何条件逐句写成关于 、 的等式；第三步化简（去根号、去分母、约公因式）；第四步按几何条件的限制注明范围，说明是哪条曲线、哪一支。第四步最容易被漏掉，而它恰恰是这类题的得分点。 ★ 三种入口，看题设给的是哪一种： 一是「定义法」——题设直接给出「到两定点距离之和（差）为定值」或「到定点的距离与到定直线的距离之比为常数」，认出来就是椭圆或双曲线的定义，写方程时只需求 、、； 二是「几何转化法」——题设给的是垂直平分线、中点、比例，先把这些条件等价地翻译成距离相等或距离成比例，再回到定义法； 三是「相关点法」（也叫代入法）——动点 随另一个已知曲线上的点 运动，用 与 的坐标关系把 的坐标反解出来，代入 所满足的曲线方程，得到 的轨迹方程。 ★ 几何转化那一步是这类题的分水岭。常用的转化有两条：「线段 的垂直平分线与 交于点 」等价于 （因为 在垂直平分线上），于是 为定值；「动圆与定圆外切」等价于「两圆心距离等于两半径之和」，于是 为定值。把这两句记熟，一大半轨迹题的入口就通了。 ★ 带根式的条件用「两次平方」消根号：先把两个根式分列等号两侧，平方一次；整理后还剩一个根式，再平方一次。两次平方之后方程里会出现 这样的组合，把常数项并进去，剩下的就是双曲线（或椭圆）的标准形式。形如 的式子，它的含义就是「到两定点距离之差为 」，直接按双曲线写更快。 ★ 轨迹的「范围」怎么定？看几何条件里带方向、带符号的那些字：「在右支上」限定 ；「 在圆上运动， 在 上」限定轨迹落在圆内，进而限定 的符号；「斜边」「线段上」「第一象限」这类词都会砍掉轨迹的一部分。审题时把这些词圈出来，化简完再回头看它们。 ★ 相关点法的书写格式：设动点 、已知曲线上的点 ，由「 是 的中点」得 ，反解出 、，再代入 满足的方程。反解与代入这两步要写全，不能只在脑子里做。 ★ 轨迹方程写完做一次「代点自检」：在所得曲线上随手取一个点，看它是否满足原题的全部几何条件（尤其是范围条件）。这一步能拦住绝大多数「形式上对了、范围错了」的失误。 例题 例 1-1 （安徽省黄山市2025届高三下学期质量检测（二模）数学试题 · 第16题） 【解答】平面内，动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数，记动点的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程； （2）为坐标原点，为曲线上不同两点，经过两点的直线与圆相切，求面积的最大值． 【解析】 第 1 步　「距离之比为常数」直接列式平方 ◈ 这类条件不必先去认曲线类型，把「距离 常数 距离」写出来，两边平方，一次就能把根号和绝对值一起去掉。本题平方后 自动消掉，是题目设计好的。 第 2 步　直线与圆相切只用来定 与 的关系 ◈ 「相切」翻译成 ，于是 ，未知量从两个减到一个。随后所有计算都只含 ，这是本题能算下去的关键。 第 3 步　面积用「底乘高除以二」，高恰好是 ◈ 的底是弦 ，高是原点 到 的距离。因为 与单位圆相切，这个高恒为 ，于是「求面积最大值」直接变成「求弦长最大值」，少写一个距离公式。 第 4 步　弦长的判别式化简成 ◈ 算出 之后立刻能看出： 时 恒成立，而且弦长公式里的 干净地写成 。若中途不代入 ， 会留着一个又长又难看的式子。 答　（1）；（2） 例 1-2 （2025届山东省聊城市高三一模数学试题 · 第18题） 【解答】已知圆，圆，动圆与、都外切. （1）求圆心的轨迹方程； （2）设，、是圆心轨迹上的不同两点，过点作，垂足为，若直线与的斜率之积等于，求动点轨迹的长度. 【解析】 第 1 步　「外切」翻译成圆心距与半径的关系 ◈ 动圆与两个定圆都外切，写出两个等式后「相减」，动圆半径 立刻消掉，剩下的就是双曲线定义。这一步是全部「动圆与定圆相切」类轨迹题的统一入口。 第 2 步　判别式的符号决定直线的取值范围 ◈ 把直线与右支联立后， 恒正，真正限制 的是「两根同号且同正」——这一步常被漏掉，漏掉就会把两支都算进来，轨迹会多出半圈。 第 3 步　垂足轨迹落在以 为直径的圆上 ◈ 且 在 上，于是 ，由「直径所对的圆周角是直角」的逆命题， 必在以 为直径的圆上。把直角条件转成圆，比硬算 的坐标方程省事。 第 4 步　轨迹是弧不是整圆，要算圆心角 ◈ 随 变动时只跑遍圆上的一段。用 、 把 的范围换成 的范围，得到圆心角 。问「轨迹的长度」时必须算到这一步。 答　（1）（）；（2） 例 1-3 （2025届福建省宁德市高三三模数学试题 · 第18题） 【解答】已知，点.在上任取一点，线段的垂直平分线与线段相交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）过点且斜率不为0的直线与曲线相交于两点. （i）若为原点，求面积的最大值； （ii）点，设点是线段上异于的一点，直线的斜率分别为，且，求的值. 【解析】 第 1 步　垂直平分线与小圆半径的配合 ◈ 题面给的两个条件各管一件事：「 在垂直平分线上」给出 ，「 在线段 上」给出 。两式一接， 即为定值。 第 2 步　过 轴定点设 ◈ 过 且斜率不为 ，设 有两个好处：一是自动包含竖直情形，不必单独讨论；二是不出 这类分母，韦达定理的结果更短。 第 3 步　 的来源 ◈ 过 轴上的 ，于是 被 分成 、 两段，两段的高都是 到 的距离，所以 的面积等于 加 ，合起来就是 。 第 4 步　换元后求导，别忘回代 ◈ 令 把根号清掉，得到 ，求导后 的零点一目了然。求出 之后要回代 并检查 ，这是判别式条件，不能省。 第 5 步　比值里先约公共因子，再用韦达 ◈ 四个线段都落在直线 上，长度都是 乘以纵坐标差，这个公共因子先约掉，比值就只剩纵坐标的分式。再用 把 换成 的表达式，分子与分母正好互为相反数。 答　（1）；（2）（ⅰ）；（ⅱ） 练习 1-1. 【解答】在平面直角坐标系中，圆的方程为：，定点，B是圆C上任意一点，线段 BF的垂直平分线l 和半径BC 相交于点 T. （1）求点的轨迹的方程； （2）轨迹W与x轴的交点为M，N(点N在点M 右侧)，直线PQ与轨迹W 交于P，Q两点(异于M，N)，MP的斜率为 ，NQ的斜率为且，与的面积分别为，，求 的最大值. 1-2. 【解答】如图，动圆与半圆相切（内切或外切），也与轴相切． （1）求动圆圆心的轨迹方程． （2）直线的斜率为，且与（1）中所得的轨迹由左至右分别交于点，是否存在满足？若存在，求出的方程；若不存在，请说明理由． 1-3. 【解答】已知动点满足关系式. （1）求动点的轨迹方程； （2）设动点的轨迹为曲线，抛物线的焦点为，过上一点作的两条切线，切点分别为，弦的中点为，平行于的直线与相切于点. ①证明：三点共线； ②当直线与有两个交点时，求的取值范围. 1-4. 【解答】设双曲线的左、右焦点分别为，直线与的渐近线不平行，且与恰有一个公共点，点在上．当轴时，． （1）求的方程； （2）若不在轴上，满足，求的横坐标； （3）若，证明的轨迹为圆，并求该圆的方程． 1-5. 【解答】已知抛物线的焦点为，直线与恰有个公共点，与轴、轴分别交于点、． （1）求的方程； （2）求的外接圆的标准方程； （3）若点在上运动，点在线段上，过的直线分别交线段、于点、，且，求点的轨迹方程． 方法二　点差法与中点弦 点差法是解析几何里唯一一个「不联立」就能求斜率的方法。凡是题面出现「弦的中点」「 的中点为 」「线段 的中点为 」，都应先想它。 ★ 步骤只有三步，写出来是一个固定的模板：设弦的两端 、，它们都在曲线上，于是有两个方程；把两个方程「相减」；用平方差公式分解，让 （即弦的斜率 ）与 （即中点与原点连线的斜率 ，因为 、）同时出现。相减之后二次项全部同号，这是点差法能用的前提。 ★ 三条结论要能现推，不必死记：椭圆 上，；双曲线 上，；抛物线 上，用纵坐标写最省事，（把 代入点差式，，两边约掉 即得）。椭圆与双曲线只差一个符号，注意双曲线的两个分支要同一支上的两点才能用。 ★★ 点差法给的是「必要条件」，不是充分条件。它说的是「若这条弦存在，则斜率取这个值」；反过来，求出了 还要把直线代回曲线，用 确认弦真的存在。这一步等价于判断中点是否落在曲线内部——椭圆是 ，抛物线是区域内部（ 一侧），双曲线则要同时满足「在内部」且「与弦所在的同一支相交」。「双曲线不存在以某点为中点的弦，求离心率范围」这类题，考的就是这一句。 ★ 中点弦问题的三个量——弦所在直线方程、中点坐标、曲线方程——任知其二可求其三，都用同一个点差式。求直线方程时只需一个点（中点）和一个斜率，所以点差法算出来的斜率配上中点坐标就能直接写点斜式。 ★ 两条弦的中点连线怎么处理？先把两条弦的斜率分别用各自的中点坐标表示（点差式），再把这些斜率代入题设给的斜率关系（如之积为常数、之和为零），最后消去参数。两条弦如果有共同的端点（如都过同一个焦点），还要额外用「斜率的和与积」把两个中点串起来，常用韦达定理完成这一步。 ★ 抛物线的中点弦有一个好用的替代写法：设弦的两端为 、，则中点坐标是 ，弦的斜率是 。把 、 当作整体，中点坐标与斜率就都只用这两个量表示，计算量比点差法还小。 ★ 点差法算完之后，把中点坐标与斜率一起写进行末的「所用条件」一行：。阅卷时这一行是给分点，写与不写差别很大。 例题 例 2-1 （湖南省娄底市2025届高三下学期4月教学质量检测数学试题 · 第15题） 【解答】已知双曲线C：的左顶点为A，右焦点为，，是上的两点，线段的中点为．当时，． （1）求C的离心率； （2）若，求直线的一般式方程． 【解析】 第 1 步　先把 从方程里读出来 ◈ 中 的系数是 ，说明 。只有先定下 ，后面 、、 才有出处。 第 2 步　垂直条件把点 的横坐标钉成 ◈ 落在 轴上， 就意味着 是竖直线，于是 的横坐标是 。把 代回方程， 就化成 的绝对值 ，题目给的等式立刻变成一条只含 的方程。 第 3 步　 就是解 的方程 ◈ 与 联立，消去 后是 ，两根 与 ，取正值 。这一步不要漏掉 的取舍。 第 4 步　中点弦用点差法，两个式子一减就出斜率 ◈ 、 都在曲线上，把两条方程相减并因式分解，、 直接换成 、，剩下的 就是弦的斜率，不必解交点。 第 5 步　点差法只给斜率，要反代验证弦真的存在 ◈ 点差法用的是必要条件，最后把所得直线代回曲线解二次方程，确实得到两个不同交点、且中点正是 ，结论才算站得住。 答　（1）；（2） 例 2-2 （河南省濮阳市2025届高三第二次模拟考试数学试题 · 第18题） 【解答】设斜率为的直线交椭圆于、两点，点为弦的中点，直线的斜率为（其中为坐标原点，假设，都存在）． （1）求的值； （2）把上述椭圆，一般化为，其他条件不变，试猜想与的关系（不需要证明）．请你给出双曲线中相类似的结论，并证明你的结论． （3）分析（2）中的探究结果，并作出进一步概括，使上述结果都是你所概括命题的特例．如果概括后的命题中的直线过原点，为概括后命题中曲线上一动点，借助直线及动点，请你提出一个有意义的数学问题，并予以解决． 【解析】 第 1 步　点差法的三步：相减、换中点、出斜率 ◈ 两条曲线方程相减，左边因式分解出 与 ；再把 、 换成 、；最后解出 。整个过程不需要求交点。 第 2 步　一般化只是换字母，符号来自 项 ◈ 把 、 换成 、 就得到椭圆的通式；双曲线与椭圆的全部差别只在 项的符号，相减后那一项由加变减，于是 由负变正。先看清「差在哪里」，就不必把推导重写一遍。 第 3 步　再抽象一层：把 、 并成 、 ◈ 写成 之后，椭圆是 、，双曲线是 、，一条公式 同时管住两种曲线，这就是题目要的「进一步概括」。 第 4 步　 过原点时中点退化，改用动点 ◈ 过原点时 的中点是 ， 的斜率无从谈起。把「中点」换成曲线上的动点 ，利用 与 关于原点对称，把 写成 ，再用曲线方程消去 ，同样得到常数 。 答　（1）；（2）椭圆 ，双曲线 ；（3）见解析 例 2-3 （山东省临沂市2025届高三2月一模考试数学试卷 · 第19题） 【解答】已知椭圆的离心率为是的左、右焦点，且，直线过点与交于两点. （1）求的方程； （2）若，求的方程； （3）若直线过点与交于两点，且的斜率乘积为分别是线段的中点，求面积的最大值. 【解析】 第 1 步　先把焦点距折成 ◈ 是题目直接给的，先得 ，再用 反解出 ，最后用 收尾。沿着这条线走，、、 三个数一次定齐。 第 2 步　弦长公式里 算成含 的形状就够了 ◈ 联立后得到 ，它与 相乘时正好配成 ，不必把 展开到最简形式。 第 3 步　点差法把斜率与中点坐标绑在一起 ◈ 是弦的斜率与中点坐标之间的固定关系。本题的弦都过焦点，再把「中点在弦所在直线上」也写出来，两式联立就能单独解出中点的坐标。 第 4 步　 一代入，两个中点的纵坐标就齐了 ◈ 这是本题的关键一步。把 用 表示后代入 ，化简的结果恰好等于 ，于是 轴， 也是定值。 第 5 步　底边定长，面积只由 到 轴的距离决定 ◈ ，分母用 一步放缩成常数，等号条件 也落在允许的范围之内。 答　（1）；（2） 或 ；（3） 练习 2-1. 【解答】在平面直角坐标系中，已知椭圆的右顶点为，过的焦点且垂直于轴的弦长为2. （1）求的方程； （2）过点作斜率之积为1的两条不同的直线，若交于两点，交于两点，为的中点，直线与交于点. ①证明：为的中点； ②求面积的最大值. 2-2. 【解答】已知椭圆的右焦点为上一动点到的距离的取值范围为. （1）求的标准方程； （2）设斜率为的直线过点，交于，两点.记线段的中点为，直线交直线于点，直线交于，两点. ①求的大小； ②求四边形面积的最小值. 2-3. 【解答】已知椭圆的左、右焦点分别为是圆上一点，线段与C交于点Q，且． （1）求C的标准方程； （2）过点的直线与C交于A，B两点，记O为坐标原点，线段的中点为N，C的左顶点为D． （i）求面积的最大值； （ii）若的外心为M，直线的斜率为，直线的斜率为，试判断是否为定值．若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 2-4. 【单选】若双曲线不存在以点为中点的弦，则该双曲线离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 方法三　切线与切点弦 圆锥曲线的切线问题，核心只有两个公式。把这两个公式记准，切线题就变成了代点题。 ★ 公式一（切线方程）：曲线 上一点 处的切线是 规律是「把 换成 、把 换成 」，所以叫「半代入」。双曲线 完全同理，只是中间的减号保留。抛物线 上一点 处的切线是 ，这里的规律是「 换成 ， 换成 」。 ★ 公式二（切点弦方程）：从曲线外一点 引曲线的两条切线，两个切点连成的直线叫切点弦，它的方程「与切线方程长得一模一样」：。它不是凭空的巧合，而是「设两个切点，两条切线都过 」这两个条件合起来的结果——两个切点都满足同一个一次方程，这条一次方程所代表的直线就是切点弦。推一遍就再也不用记混：切线方程里的 是「切点」，切点弦方程里的 是「原来那个曲线外的点」。 ★ 抛物线上的切线交点有一条极好用的结论： 上两点 、 处的切线交于点 ，则 ，也就是弦 的斜率只由交点 的纵坐标决定。由它立刻得到两条推论：当 在定直线上运动时，弦 恒过定点；当 在圆上或抛物线上运动时，可以把 的范围反解出来。这两条推论覆盖了抛物线切线题的大半。 ★ 「过某点能作几条切线」要看点在曲线的什么位置：点在曲线内——作不出切线；点在曲线上——恰有一条；点在曲线外——恰有两条（圆与椭圆如此，抛物线要看点的位置：开口内部区域作不出，其余两条）。双曲线多一条限制：与渐近线平行的直线虽然与双曲线只有一个公共点，但它不是切线，所以「过某点恰有两条切线」要先把这种情形排除，这正是双曲线切线题里那个「 的取值范围」的由来。 ★ 切线相关的「面积与距离」问题，几乎都走同一条路：把切线方程写出来，求出它与另一条曲线的交点（或与坐标轴的交点），把面积写成关于切点参数（或切线斜率）的函数，再求最值。设参数时优先选切点的横（纵）坐标，因为它一出现，切线方程就直接有了，省掉一次联立。 ★ 圆与圆锥曲线的「公切线」问题：若直线是圆的切线，圆心到直线的距离等于半径；若直线同时是圆锥曲线的切线，判别式为零（或半代入）。两个条件联立，解出直线。「过圆锥曲线上一点作圆的两条切线」这类题则反过来用：先设过该点的两条直线，用「圆心到直线距离等于半径」定出两条切线的斜率关系，再让这两条切线与曲线联立求另一交点。 ★ 切线题里最常出错的一步是「公共点与切点的区分」。直线与曲线只有一个公共点，这只说明它「相切或平行于渐近线」，不等于它一定是切线。答卷上写「因为直线与曲线只有一个公共点，所以是切线」要不得，要么用判别式为零，要么用半代入公式。 例题 例 3-1 （河南省豫西北教研联盟2025-2026学年高三上学期第一次质量检测数学试题 · 第18题） 【解答】已知椭圆的左､右焦点分别为分别为的左､右顶点，点是上异于的点，直线与直线的斜率之积为，的周长为6. （1）求的方程； （2）求过与相切的直线方程； （3）设直线的方程为，过上任一点作的切线，切点分别为，当四边形的面积最大时，求的正切值. 【解析】 第 1 步　斜率之积 是必背结论 ◈ 、 是左右顶点时，椭圆上任意点 与它们连线的斜率之积恒为 。写成 后把 用椭圆方程换掉， 与分母约掉，只剩 。 第 2 步　周长条件给出 ，与 联立解 ◈ 两个条件分别锁定 与 。用 把它们接起来，就得到 ，与 一加一减即可解出 。解出 时 必须舍去。 第 3 步　切线方程的推导：判别式为零写成完全平方 ◈ 设 代入，令 得到 ，再用 化为关于 的二次方程。代入 、 后左边正好是 ，判别式为零体现为二重根，切线方程随即得到。 第 4 步　切点弦用「两个切点满足同一个方程」一眼看出 ◈ 两条切线都过 ，把 分别代入 、 处的切线方程，得到的两个式子里 、 与 、 的位置完全一样，于是它们都满足 ，这就是切点弦的方程，不必求出两个切点。 第 5 步　面积化简到最后只剩一个 ，单调性定最大 ◈ 四边形面积化成 之后，韦达定理直接给出 的表达式。令 ，面积写成 的形式，在 上单调增，最小值点反而落在 上，最大值 6 无需再求导。 第 6 步　求正切用两直线夹角公式，不用叉积 ◈ 先由两点算出 、，再用 。这里 ，分母为正而分子为负，算出的 正说明 是钝角。 答　（1）；（2）；（3） 例 3-2 （湖南省常德市2025届高三下学期模拟考试数学试题 · 第19题） 【解答】已知抛物线的焦点为，点在上，且. （1）求抛物线的方程；（2）过点作圆的两条切线，且分别与相交于点，（异于点）. （ⅰ）若，求 的面积；（ⅱ）证明：直线过定点. 【解析】 第 1 步　焦半径公式： ◈ 在 上，它到焦点 的距离等于到准线 的距离，即 。这一个式子和 联立，正好把 定死。 第 2 步　用抛物线上的点 表示过 的直线 ◈ 过 的任意直线，除 外都与 另有交点，把它写成 （ 是斜率之外的另一把「钥匙」）。于是「两条切线」变成了「 的两个根」，相切条件变成 的二次方程，韦达定理随即可用。 第 3 步　相切条件化成 的二次方程 ◈ 点到直线的距离等于半径，去分母后得到 。这一步把「几何相切」翻译成了「代数方程」，之后所有结论都只是韦达定理的运算。 第 4 步　垂直条件用方向向量的数量积，不碰斜率 ◈ 的方向向量是 ，它永远不为零向量，所以 （竖直线）也不会失效。垂直 ⟺ ，展开后直接与两根之和、之积挂钩。 第 5 步　定点从 的方程里直接读出来 ◈ 把 、 代进 ，左端恒为零，与 无关，定点就在这一步现形。不必先猜再验证。 答　（1）；（2）（ⅰ）；（ⅱ）直线 过定点 例 3-3 （浙江省台州市2025届高三第二次教学质量评估数学试题 · 第18题） 【解答】已知抛物线：的焦点为，直线l与抛物线交于A，B两点，且为线段AB的中点． （1）求抛物线的标准方程； （2）求直线l的方程； （3）过点作抛物线的两条切线，分别交l于C，D两点，求面积的最小值. 【解析】 第 1 步　中点弦仍用点差法，一减就出斜率 ◈ 、 都在 上，把两条方程相减， 立刻可约出 。本题 ，斜率就是 。别忘了再把直线代回抛物线，确认两根确实以 为中点。 第 2 步　抛物线的切线用 直接写 ◈ 把 求导得 ，在 处斜率为 ，切线整理成 。形式统一、没有分母，代入点 后得到 ，两根之和 、两根之积 一并到手。 第 3 步　把「两条切线」变成「 的两个根」 ◈ 两条切线对应 、，切线与 的交点横坐标就是 、，其中 。于是 只与 有关，而 又能用韦达定理换成 。 第 4 步　面积的两块分离：底在 上，高是点到 的距离 ◈ 。 里的 与 的分母 正好抵消，面积只剩 ，算起来不会拖泥带水。 第 5 步　 的差是一个漂亮的因式分解 ◈ 通分后分子展开， 与 恰好都含因子 ，提出后剩下的 直接换成 。这一步是整题的关键，只要算准分母是 就不会错。 第 6 步　最后一步用求导定最小值 ◈ 面积化成 ，取对数求导后方程是一次方程，解出 唯一。再判断左右符号，确认这就是最小值点。 答　（1）；（2）；（3） 面积的最小值为 （此时 ） 练习 3-1. 【多选】抛物线的焦点为，经过点F且倾斜角为的直线l与抛物线C交于A，B两点，分别过点A、点B作抛物线C的切线，两切线相交于点E，则（ ） A. 当时， B. 面积的最大值为2 C. 点E在一条定直线上 D. 设直线倾斜角为，为定值 3-2. 【解答】已知双曲线（，）的渐近线方程为，点在双曲线C上. （1）求双曲线C的标准方程； （2）如图，过双曲线C右支上一点P作圆的切线交双曲线C左支于Q，右支于R，直线与圆O切于点M. ①求证：Q、R两点关于原点O对称； ②判断是否为定值，如果是，求出该定值；如果不是，求的取值范围. 3-3. 【解答】已知双曲线的右焦点到的一条渐近线的距离为. （1）求的方程； （2）设点在的右支上，过点作圆的两条切线，一条与的左支交于点，另一条与的右支交于点（异于点）. （ⅰ）证明：； （ⅱ）当的面积最小时，求直线和直线的方程. 3-4. 【解答】已知双曲线的两条渐近线分别为，，若点，分别在，上（，不同于原点），且直线是的切线，则称是的“渐切三角形”．已知在点处的切线方程为． （1）写出的一个“渐切三角形”的顶点，的坐标及切线的方程，并求出其面积； （2）已知点，分别在，上，的面积为，试问是否是的“渐切三角形”？并说明理由； （3）若是的“渐切三角形”，与相切的切点的横坐标大于0，为的左焦点，证明：为定值． 3-5. 【解答】已知点、在抛物线上，为原点，且是以为斜边的等腰直角三角形，斜边长为． （1）求抛物线的方程；（2）若点在圆上，过点 分别作直线 、 与抛物线 相切于 、 两点，求 的取值范围． 方法四　新定义与创新题 新定义题的题干长、符号生，但它其实是整册里最「套路化」的一类：所有的陌生符号都在题干里给足了定义，解题不过是用定义算几个数、再按定义去验证。 ★ 读题三步，一步都不能省：第一步把定义逐字抄到草稿纸上（不要跳读，定义里的每一个「且」「或」「异于」都有用）；第二步用「最简的一个特例」把定义走一遍，比如定义里出现两个点，就先用一个具体点算一算，看清这个定义到底在做什么；第三步把定义翻译成坐标语言——是等式还是不等式，是「重合、共线、相切、平行」中的哪一种。 ★ 新定义题按定义的对象分成四类，处理方式各不相同： 「定义新曲线」（相似椭圆、特征三角形、星形线）：抓住新曲线与原曲线之间的参数关系，先把参数用原曲线的基本量 、、 表示，剩下的就是常规计算； 「定义新运算」（、）：先用特例把运算规则算清楚，再检验交换律、结合律，最后找单位元（「存在 使 」就是求单位元）； 「定义新对象」（包络曲线、渐切三角形、切点弦）：把定义还原成已经学过的对象——「包络曲线」就是「曲线上的每一点的切线构成的直线族」，「渐切三角形」就是「两条渐近线加一条切线围成的三角形」，还原之后就变成方法三里的常规切线题； 「迭代构造点列」：把「依次构造」写成递推式，再证相邻两项的差或比是常数。这类题最后十有八九落到等比数列上。 ★ 新定义题的书写有格式要求：凡是引用定义的地方，都要把定义原话抄一遍再代入（写「由定义，……」），不能默默使用。这是这类题最大的给分点，也是很多同学丢分的地方。 ★ 遇到「新定义 + 老结论」的混合题，老结论照样可以直接用（如椭圆的半代入切线方程、抛物线的 ），不必每次从头推。但用之前要说清「由前面已证的结论」，否则会被判为无依据。 ★ 存在性与恒成立在新定义题里也常出现：「是否存在异于 的点 ，使得 」就是解方程（ 的某个参数满足的方程），解出来之后还要按定义检查特殊情形（ 时运算规定为切点，要单独算）。定义里那些「否则」「当…相同时」的规定，往往就是这种边界情形的处理办法，读题时必须读到。 ★ 检验新定义题答案的最快办法：把答案代回定义的运算，看是否满足定义里的每一个「当且仅当」。尤其是运算类定义，用交换律与结合律各验一次，能同时查出符号和顺序两处错误。 例题 例 4-1 （2025届湖北省黄冈市八模高三模拟测试（八）数学试卷 · 第19题） 【解答】定义：一般地，当且时，我们把方程表示的椭圆称为椭圆的相似椭圆，已知椭圆的相似椭圆为（且）. （1）求证：椭圆与椭圆的离心率相等； （2）直线、与椭圆均有且只有一个公共点，且、的斜率之积为，求证：、的交点在椭圆的相似椭圆上； （3）若为椭圆上异于左、右顶点、的任意一点，直线与椭圆交于、两点，直线与椭圆交于、两点，试探究的值是否为定值，若是定值，求出定值；若不是定值，说明理由. 【解析】 第 1 步　相似椭圆：离心率只看比值，与 无关 ◈ 把 的两边同除以 化成标准形，、 都带 ，算 时被约掉，所以只要长短轴之比一样，离心率就一样。 第 2 步　把「两条切线的斜率之积」翻译成 点坐标的方程 ◈ 过 的直线与椭圆相切，判别式为零后得到关于斜率 的二次方程，两根之积就是 。题目给的是斜率之积，于是立刻变成 点坐标满足的一条曲线方程。 第 3 步　 是被「算」出来的，不是题目白给的 ◈ 题目只说交点在某个相似椭圆 上，没说 是多少。把坐标关系写成 后与 对照，直接读出 。 第 4 步　 来自顶点弦的固定结论 ◈ 、 是 的左右顶点， 在 上，把 代入 ， 约掉，只剩 。这正是「顶点到椭圆上任一点的两条弦斜率之积为 」。 第 5 步　弦长公式里只剩 ，最后一步是通分相消 ◈ 两条弦都过顶点，把 换成 时推导完全一样，所以 的表达式与 同形。再用 把 也化成 分母 的样子，两者相加分子恰好是 。 答　（1）证明见解析；（2）交点在 上（即 ）；（3）（定值） 例 4-2 （江苏省南京市、盐城市2024-2025学年高三下学期第一次模拟考试数学试题 · 第19题） 【解答】设是由直线构成的集合，对于曲线，若上任意一点处的切线均在中，且中的任意一条直线都是上某点处的切线，则称为的包络曲线. （1）已知圆为的包络曲线，判断直线（为常数，）与集合的关系； （2）已知的包络曲线为，直线.设与的公共点分别为，记的焦点为. ①证明：是、的等比中项； ②若点在圆上，求的最大值. 【解析】 答　（1）；（2）① 证明见解析；② 最大值为 例 4-3 （2025届山东省济南市高三高考针对性训练（三模）数学试题 · 第19题） 【解答】记由直线构成的集合．规定：当且仅当,表示同一条直线．若，定义：，其中．已知存在满足，有． （1）若，计算，并求；（2）记抛物线，表示直线被所截得的弦长的倒数，并规定． （i）若且，且，求；（ii）若，求证：至少存在一个，使得． 【解析】 答　（1），；（2）（i）；（ii）证明见解析 练习 4-1. 【单选】数学中有许多形状优美的曲线．例如曲线：，当时，是我们熟知的圆；当时，曲线是形状如“四角星”的曲线，称为星形线，常用于超轻材料的设计．则下列关于曲线说法错误的是（　　） A. 曲线关于轴对称 B. 曲线上的点到轴，轴的距离之积不超过 C. 曲线与有8个交点 D. 曲线所围成图形的面积小于2 4-2. 【解答】对于椭圆：上的任意两点P，Q定义“”运算满足：过点作直线直线（规定当P和Q相同时，直线就是在点P处的切线），若l与有异于S的交点T，则；否则.已知“”满足交换律和结合律，记为 个 连续作“”运算所得的点（如，）. （1）若，，求，以及；（2）对于上的四点，，，，求证：的充要条件是；（3）是否存在异于S的点P，使得？若存在，请求出P的坐标；若不存在，请说明理由. 4-3. 【解答】椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”.记椭圆的“特征三角形”为，椭圆的“特征三角形”为，若，则称椭圆与相似，并将与的相似比称为椭圆与的相似比.已知椭圆与椭圆相似，且与的相似比为. （1）求的方程； （2）已知点是的右焦点，过点的直线与交于两点，直线与交于两点，其中点在轴上方. （i）求证：； （ii）若过点与直线垂直的直线交于两点，其中点在轴上方，分别为，的中点，设为直线与直线的交点，求面积的最小值. 4-4. 【填空】定义：表示点到曲线上任意一点的距离的最小值．已知是圆上的动点，圆，则的取值范围为________． 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 综合方法（下）的方法体系 从题型到方法的完整梳理 一、知识点梳理 知识点一　求轨迹方程的四条路 ★ 求轨迹方程，本质是一句话：把动点满足的几何条件，翻译成关于 、 的等式，再化简。所以拿到题先别急着动笔算，先问自己一句——题目给的条件在说「距离」还是「斜率」还是「比例」？ ★ 第一条路：定义法。平面内与两定点 、 距离之「和」为定值 （）的点的轨迹是椭圆；距离之「差」（绝对值）为定值 （）的轨迹是双曲线；到定点距离与到定直线距离之比为常数 的轨迹， 是椭圆， 是双曲线， 是抛物线。认出来的好处是可以直接设标准方程、只求 、、，省掉一次平方化简。 ★ 第二条路：几何转化。题面用「垂直平分线」「中点」「角的平分线」「圆的切点」这类词给出条件时，先把它换成一个等价的距离（或斜率）等式： 点在 的垂直平分线上 ； 动圆与定圆外切 ； 动圆与定圆内切 ； 动圆与直线相切 圆心的纵坐标（或横坐标）的绝对值等于半径。换完之后常常两个距离的和或差就是定值，回到第一条路。 ★ 第三条路：列式化简（直接法）。没有现成的定义可用时，就老老实实列等式。涉及两点距离时会出现 ，消根号的做法是移项、平方、再平方。如果根式有两项，先把它们分列等号两侧——这样第一次平方就能把两个根式同时消掉一个，比两边同时平方省一半计算。 ★ 第四条路：相关点法（代入法）。动点 由已知曲线上的动点 生成（如 是 的中点、 满足 ）时，思路是「用 表示 」，即从 反解出 ，再把 代入 所满足的方程。注意最后写的是 的坐标 满足的方程，别把 、 留在答案里。 ★ 范围怎么定，三类词各管一处： 位置词（「在第一象限」「在右支上」「在线段 上」）限制 或 的符号与区间； 过程词（「 在圆上运动， 在线段 上」）限制动点只在曲线的一段上；度数词（「、 是不同两点」「斜率存在」）排除若干孤立的点。 写答案时用「 的部分」「右支」「除去 」这类说法注明。 ★ 一个常见的坑：把 这类式子平方时，忘记检验「两边都是非负」这一前提，结果把原本不成立的解也带进来。平方之后回到原式代入一两个特殊点检查，代价很小。 知识点二　中点弦与点差法 ★ 点差法的适用前提：弦的两端都在同一条曲线（或同一条曲线的同一支）上，且曲线方程里 、 前的系数反号后可以合并。椭圆、双曲线、抛物线都满足，所以三种曲线都能用。 ★ 标准步骤（背下这四行，任何中点弦题都能开工）： 设 、，代入曲线得两式： 与 ；两式相减，用平方差分解：；两边同除 并整理，得；最后把 、 代进去。左侧两个分式分别是弦的斜率 与中点连线的斜率 。 ★ 三条现成结论（建议现推，不要只背）： 椭圆 ：； 双曲线 ：； 抛物线 ：，其中 是中点的纵坐标（此式对横坐标不敏感，记住这一点）。 ★ 求中点弦所在直线，只需「中点坐标 斜率」两个量：斜率由上面的结论给出，点用中点，写成点斜式即可。反过来已知直线求中点，就把直线与曲线联立，中点的横坐标是 、纵坐标用直线方程回代。 ★ 抛物线的中点弦用「 参数」更省事：设 、，则中点 ，弦的斜率 （以 为例）。这里 与 各自都是整体，中点坐标只用到 ，计算量比点差法还小。 ★★ 点差法的结论是「必要条件」：它只说明「弦若存在，斜率必为此」。弦真正存在的条件是中点落在曲线内部的区域里： 椭圆需 ；抛物线 需 （即在抛物线开口一侧的内部）； 双曲线更要小心——不仅要求中点在双曲线两支之间的区域内，还要求弦的两端落在「同一支」上，否则「中点」这个概念在题设里就不成立。「双曲线不存在以某点为中点的弦，求离心率范围」这类题考的就是这一句。 ★ 两条弦的中点问题（两个中点、两条斜率）的处理顺序：先用点差式把每条弦的斜率写成各自中点坐标的函数，再代入题给的斜率关系（之积、之和、之比），最后用「两个中点都在同一条直线上」或联立得到的韦达关系消参。 ★ 点差法还有两个引申用途：一是判断直线与双曲线交点所在支数（由中点位置反推）；二是求「过定点且被定点平分的弦」——直接以该定点为中点、用点差式求斜率。 知识点三　切线、切点弦与切点的性质 ★ 三类曲线的切线方程，都可以用「半代入」一次写出： 椭圆 在点 处：； 双曲线 在点 处：； 抛物线 在点 处：。口诀：二次项换成「半新半旧」的乘积，一次项换成两点的平均。 ★ 切点弦方程与切线方程同形但含义不同：从曲线外一点 引两条切线，两个切点连成的直线（切点弦）方程是 。推导只需三行：设两个切点为 、，、 是切线，由前面的切线方程可知、 的坐标都满足 ，两个点满足同一个一次方程，这条直线就是切点弦。 ★ 抛物线的切线交点结论： 上两点 、 处的切线交于点 ，则 。由此得两条常用推论： 在定直线 上时，弦 的斜率是定值，若还有关于弦中点的条件，可得定点； 在圆（或另一条曲线上）运动时，把 的范围代入，就得到 或相关量的取值范围。 ★ 椭圆（双曲线）的切线交点结论：曲线 的两条切线 、 互相垂直时，它们的交点 满足 （蒙日圆）。更一般地，若 、 的斜率之积为 ，则交点在相似椭圆 上。这条结论在「相似椭圆」类新定义题里是现成的工具。 ★ 「过点能作几条切线」的判据：点在曲线内——零条；点在曲线上——一条（双曲线还要排除该点落在渐近线上的情形）；点在曲线外——两条。抛物线用区域判断：点与焦点在抛物线开口的同一侧（）时作不出切线，在曲线上有一条，在开口另一侧有两条。 ★ 双曲线的切线定义要加一句限定：「直线与双曲线恰有一个公共点，且与渐近线不平行，才叫切线」。漏掉后半句，就会把「平行于渐近线的直线」错当成切线，而这类直线与双曲线也只有一个公共点。这正是双曲线切线题里参数取值范围被砍掉一段的原因。 ★ 圆的切线在本册的用法只有一句：直线与圆相切 圆心到直线的距离等于半径。由于圆心常在原点，这条判据写成 （直线 时），它给出斜率与截距的一个约束，用来替换掉题设里那条「相切」。 知识点四　新定义题的读题与转化 ★ 新定义题的题干分两部分：前半是「定义」（往往用一句话加一个记号给出），后半是「问题」。读的时候先只读定义，把定义改写成自己熟悉的话，再读问题。两段混着读是这类题失分的主要原因。 ★ 改写定义的三条经验： 定义里出现「当且仅当」的，是一个「等价条件」，两个方向都要能用； 出现「若…则…」的，只是一个「充分条件」，逆命题不成立； 出现「否则」「当…相同时」的，是「边界情形」的补丁，专门处理运算退化的情况，做题时必须单独讨论。 ★ 四类新定义问题的转化方向： 定义新曲线：把新曲线的基本量用原曲线的 、、 表示，求离心率时只需算「 与 的比」，不必写出新曲线的方程； 定义新运算：把运算写成坐标公式（如 写成系数的组合），再代入具体数算出结果，最后检验交换律与结合律； 定义新对象：还原成「切线」「中点弦」「渐近线」等已知对象，然后按方法三、方法二的套路处理； 迭代构造点列：把「依次构造」写成 与 的关系式，再设法把 凑成等比形式。 ★ 单位元与周期点。新运算题里问「是否存在 使 」的，是在求「单位元」；问「是否存在 使 」的，是在求「周期点」。两者的做法都是「设未知、按定义代入、解方程」。 ★ 迭代题的书写规范：先把 的情形算出来列表，由表看出规律（往往是等比），再用定义把规律写成递推式并证明。直接写递推式而没有任何铺垫，评卷时容易被判「未证明」。 ★ 新定义题里的「老结论」可以照用，例如椭圆的半代入切线方程、抛物线的 、点差式的 ，但引用时要写明「由本册方法三的结论」之类，不能当作众所周知直接使用。 ★ 检验答案的两个动作：一是把所求结果代回定义，逐项核对定义里的每个条件；二是用定义自带的对称性（如交换律）交叉验证——若算出的结果不满足交换律，说明符号或顺序错了。 二、方法突破 方法一　轨迹方程的求法 求轨迹方程的题目问法固定：「求动点 的轨迹方程」。看似要凭空想出一条曲线，其实全程只有两件事——把几何条件翻译成坐标等式，再把这个等式化简成标准形式。 ★ 通法四步写在前面，后面所有题都按它走：第一步设动点 （题目若已给坐标形式就直接用）；第二步把题设的几何条件逐句写成关于 、 的等式；第三步化简（去根号、去分母、约公因式）；第四步按几何条件的限制注明范围，说明是哪条曲线、哪一支。第四步最容易被漏掉，而它恰恰是这类题的得分点。 ★ 三种入口，看题设给的是哪一种： 一是「定义法」——题设直接给出「到两定点距离之和（差）为定值」或「到定点的距离与到定直线的距离之比为常数」，认出来就是椭圆或双曲线的定义，写方程时只需求 、、； 二是「几何转化法」——题设给的是垂直平分线、中点、比例，先把这些条件等价地翻译成距离相等或距离成比例，再回到定义法； 三是「相关点法」（也叫代入法）——动点 随另一个已知曲线上的点 运动，用 与 的坐标关系把 的坐标反解出来，代入 所满足的曲线方程，得到 的轨迹方程。 ★ 几何转化那一步是这类题的分水岭。常用的转化有两条：「线段 的垂直平分线与 交于点 」等价于 （因为 在垂直平分线上），于是 为定值；「动圆与定圆外切」等价于「两圆心距离等于两半径之和」，于是 为定值。把这两句记熟，一大半轨迹题的入口就通了。 ★ 带根式的条件用「两次平方」消根号：先把两个根式分列等号两侧，平方一次；整理后还剩一个根式，再平方一次。两次平方之后方程里会出现 这样的组合，把常数项并进去，剩下的就是双曲线（或椭圆）的标准形式。形如 的式子，它的含义就是「到两定点距离之差为 」，直接按双曲线写更快。 ★ 轨迹的「范围」怎么定？看几何条件里带方向、带符号的那些字：「在右支上」限定 ；「 在圆上运动， 在 上」限定轨迹落在圆内，进而限定 的符号；「斜边」「线段上」「第一象限」这类词都会砍掉轨迹的一部分。审题时把这些词圈出来，化简完再回头看它们。 ★ 相关点法的书写格式：设动点 、已知曲线上的点 ，由「 是 的中点」得 ，反解出 、，再代入 满足的方程。反解与代入这两步要写全，不能只在脑子里做。 ★ 轨迹方程写完做一次「代点自检」：在所得曲线上随手取一个点，看它是否满足原题的全部几何条件（尤其是范围条件）。这一步能拦住绝大多数「形式上对了、范围错了」的失误。 例题 例 1-1 （安徽省黄山市2025届高三下学期质量检测（二模）数学试题 · 第16题） 【解答】平面内，动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数，记动点的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程； （2）为坐标原点，为曲线上不同两点，经过两点的直线与圆相切，求面积的最大值． 【解析】 （1）设动点 。题设给的是「距离之比为常数」，按求轨迹的通法把这句话写成等式： 两边平方，把分母乘到右边： 左边展开是 ，右边展开是。两边都出现 ，正好消掉： 即 。 （这个方程本身也说明轨迹是椭圆： 中 、、，右焦点正是 ，离心率 ，与题设吻合。注意到「到定点的距离与到定直线的距离之比」小于 就是椭圆，这一点在第（1）问里可以先说，也可以最后回看。） （2）设直线 ，先处理斜率不存在的情形，再处理一般情形。 若 轴，设 （与圆 相切）。把 代入椭圆：，得 ，所以 。此时 以 为底、 到 的距离为 ，。 一般情形下 与圆 相切，即原点 到 的距离为 ： 把 代入 ，整理得 设 、，判别式 括号里展开：，把 代入得 ，所以 于是弦长 以 为底、高就是 到 的距离 ，所以 记 ，则 ，只需讨论 的最大值。令 ，则 ，，分子展开后 求导： 令 得 ；当 时 ，当 时 ，所以 时 取最大值 代回 ，得 。此时 ，即 。 与斜率不存在时的 比较，，所以 面积的最大值为 。 第 1 步　「距离之比为常数」直接列式平方 ◈ 这类条件不必先去认曲线类型，把「距离 常数 距离」写出来，两边平方，一次就能把根号和绝对值一起去掉。本题平方后 自动消掉，是题目设计好的。 第 2 步　直线与圆相切只用来定 与 的关系 ◈ 「相切」翻译成 ，于是 ，未知量从两个减到一个。随后所有计算都只含 ，这是本题能算下去的关键。 第 3 步　面积用「底乘高除以二」，高恰好是 ◈ 的底是弦 ，高是原点 到 的距离。因为 与单位圆相切，这个高恒为 ，于是「求面积最大值」直接变成「求弦长最大值」，少写一个距离公式。 第 4 步　弦长的判别式化简成 ◈ 算出 之后立刻能看出： 时 恒成立，而且弦长公式里的 干净地写成 。若中途不代入 ， 会留着一个又长又难看的式子。 答　（1）；（2） 例 1-2 （2025届山东省聊城市高三一模数学试题 · 第18题） 【解答】已知圆，圆，动圆与、都外切. （1）求圆心的轨迹方程； （2）设，、是圆心轨迹上的不同两点，过点作，垂足为，若直线与的斜率之积等于，求动点轨迹的长度. 【解析】 （1）设动圆 的半径为 （），圆心 。两圆外切的翻译只有一句话：两圆心距离等于两半径之和。于是 两式相减， 被消掉： 这就是「到两定点距离之差为定值」，是双曲线的定义。两定点为 、，，，于是 又因为 ， 离 更近，所以在靠近 的那一支上，即右支。圆心 的轨迹方程为 即 的右支。 （2）设 （这条设法能覆盖竖直直线，水平直线 与轨迹交于 、 两点，其中 使 无意义，故 不水平）。代入 ： 记 （），设 、，则 由 得 ，所以 把韦达定理代进来，前两项合并： 方括号里是 ，于是 （最后一步用了 。）现在算斜率之积： （约去 是允许的： 时直线过 ，此时 就是 或 ， 无意义，与题设不符。） 题设给出 ，于是 所以直线 恒过 轴上的定点 。 接着求 。因为 ，所以 ，即 在以 为直径的圆上。、，该圆的圆心为 、半径为 。下面把半径与圆心角都算出来，以免把整圆当成轨迹。 直线 的斜率记为 （竖直情形最后单独补），则 。点 到它的垂足为 （代入垂足公式：、、，，。）于是 它的模长 半径确实是 。再定 落在哪一段弧上。把 写成 ，对比上式得 要与右支交于两点，把 代入 ： 两根同号且同正（都在右支）要求 且 ，即 。 于是 时 、，； 时由对称性 ；再补上竖直情形： 与右支交于 ，此时 也满足题意，对应的 正是 ，即 。 所以 的轨迹是圆 上圆心角为 的一段弧（两端点取不到），其长度为 第 1 步　「外切」翻译成圆心距与半径的关系 ◈ 动圆与两个定圆都外切，写出两个等式后「相减」，动圆半径 立刻消掉，剩下的就是双曲线定义。这一步是全部「动圆与定圆相切」类轨迹题的统一入口。 第 2 步　判别式的符号决定直线的取值范围 ◈ 把直线与右支联立后， 恒正，真正限制 的是「两根同号且同正」——这一步常被漏掉，漏掉就会把两支都算进来，轨迹会多出半圈。 第 3 步　垂足轨迹落在以 为直径的圆上 ◈ 且 在 上，于是 ，由「直径所对的圆周角是直角」的逆命题， 必在以 为直径的圆上。把直角条件转成圆，比硬算 的坐标方程省事。 第 4 步　轨迹是弧不是整圆，要算圆心角 ◈ 随 变动时只跑遍圆上的一段。用 、 把 的范围换成 的范围，得到圆心角 。问「轨迹的长度」时必须算到这一步。 答　（1）（）；（2） 例 1-3 （2025届福建省宁德市高三三模数学试题 · 第18题） 【解答】已知，点.在上任取一点，线段的垂直平分线与线段相交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）过点且斜率不为0的直线与曲线相交于两点. （i）若为原点，求面积的最大值； （ii）点，设点是线段上异于的一点，直线的斜率分别为，且，求的值. 【解析】 （1）把圆 的方程配方： 圆心 、半径 。 在 的垂直平分线上，「垂直平分线上的点到线段两端距离相等」给出 又 在线段 上，所以 ，把上一式代进来： 这是「到两定点距离之和为定值」，是椭圆的定义。两定点 、，，于是 、，即 、、。所以 （2）题设说 的斜率不为 ，即 不平行于 轴，所以设 （这条设法把竖直直线 也包含在内）。代入 ： 展开整理得 设 、，则 判别式 要有两个交点，需 ，即 。 （ⅰ） 以 为底、 到 的距离为高。底边 落在 上，而该直线与 轴交于 ，于是把 分成 、 两段，两段的高都等于 到 的距离，所以直接用「 轴上两点的距离乘以纵坐标差」更省事： 而 （也可以由 得到同一结果。）于是 令 ，则 ， 求导： 当 时 ，当 时 ，所以 时 取最大值 此时 ，，两条直线都满足 。所以 面积的最大值为 。 （ⅱ）设 。 在线段 上，所以 就是直线 的斜率，即 （ 时 为竖直直线，斜率不存在，此时 无法成立，故 ）。题设给 ，即 又 在 上，，代入左式的分母：，于是 得 ，代回 得 。所以 。 下面算比值。 也在 上，直线 上两点 、 的距离为 ，四个线段的公共因子 在比值里约掉，所以 分子分母同乘 ，并注意 ： 再由 得 把它代进分子： 分子与分母互为相反数，绝对值相等，所以 第 1 步　垂直平分线与小圆半径的配合 ◈ 题面给的两个条件各管一件事：「 在垂直平分线上」给出 ，「 在线段 上」给出 。两式一接， 即为定值。 第 2 步　过 轴定点设 ◈ 过 且斜率不为 ，设 有两个好处：一是自动包含竖直情形，不必单独讨论；二是不出 这类分母，韦达定理的结果更短。 第 3 步　 的来源 ◈ 过 轴上的 ，于是 被 分成 、 两段，两段的高都是 到 的距离，所以 的面积等于 加 ，合起来就是 。 第 4 步　换元后求导，别忘回代 ◈ 令 把根号清掉，得到 ，求导后 的零点一目了然。求出 之后要回代 并检查 ，这是判别式条件，不能省。 第 5 步　比值里先约公共因子，再用韦达 ◈ 四个线段都落在直线 上，长度都是 乘以纵坐标差，这个公共因子先约掉，比值就只剩纵坐标的分式。再用 把 换成 的表达式，分子与分母正好互为相反数。 答　（1）；（2）（ⅰ）；（ⅱ） 练习 1-1. 【解答】在平面直角坐标系中，圆的方程为：，定点，B是圆C上任意一点，线段 BF的垂直平分线l 和半径BC 相交于点 T. （1）求点的轨迹的方程； （2）轨迹W与x轴的交点为M，N(点N在点M 右侧)，直线PQ与轨迹W 交于P，Q两点(异于M，N)，MP的斜率为 ，NQ的斜率为且，与的面积分别为，，求 的最大值. 解析　答：（1） （1）圆 的圆心为 、半径 ，定点 。 在线段 的垂直平分线上，所以 又 在半径 上，，代入得 两定点 、 的距离为 ，所以 的轨迹是以 、 为焦点的椭圆： 即 。 （2） 与 轴的交点为 、。记 ，则 。 是过 且斜率为 的直线与 的另一个交点， 是过 且斜率为 的直线与 的另一个交点。 先求过顶点 、斜率为 的直线与椭圆 的另一交点。把 代入： 是它的一个根，由韦达定理，两根之积为，所以另一根 对应的纵坐标 同理，过 、斜率为 的直线与椭圆的另一交点为 于是把 、 分别代入： 这两个坐标看着复杂，但只要算一个量就够了——把 与 分别算出来： 所以 两个比值相等，说明 、 与点 三点共线，即直线 恒过 轴上的定点 。 有了这一点，两个面积立刻能拆开。因为 、 在 轴两侧（）， 又把 分成 、 两段，所以 于是 而 记 ，把上式取绝对值并记 ，则 对它取对数再求导， 把 代入右边：，所以 是唯一的临界点。又当 或 时，故最大值在此处取到。把 代回：、、， 此时 ，也就是 、，对照配图可知 恰为竖直线 。所以 的最大值为 。 1-2. 【解答】如图，动圆与半圆相切（内切或外切），也与轴相切． （1）求动圆圆心的轨迹方程． （2）直线的斜率为，且与（1）中所得的轨迹由左至右分别交于点，是否存在满足？若存在，求出的方程；若不存在，请说明理由． 解析　答：（1） （1）设动圆的圆心为 、半径为 。动圆与 轴相切，所以 半圆是圆 在 上的部分，圆心为 、半径为 。两种情况分别讨论。 情形一（外切）：动圆在半圆之外，圆心在 轴上方，，两圆心距离等于两半径之和： 两边平方整理：，即 由 得 ，即 。（反过来， 时 ，动的圆的切点落在上半圆上，符合题意。） 情形二（内切）：动圆在半圆之内，圆心仍在 轴上方，，两圆心距离等于两半径之差： 两边平方整理：，即 由 得 ，即 。 所以动圆圆心的轨迹为 两条曲线上对应位置的动圆，一个与半圆外切，一个与它内切。 （两个方程合起来看，正好是以 为两个尖点的一条封闭曲线造型：外侧两条抛物线向上下张开，内侧那段抛物线把两个尖点连起来。） （2）设 。把 与两条曲线分别联立。 与 联立：，整理得 记 ，则它的两根为 两根都要满足 （落在外侧），所以需要 ，即 。 与 联立：，整理得 记 ，则它的两根为 两根都要满足 （落在内侧），即 。 于是 与轨迹交于四点的条件是 由 得 ，即 ；由 得 ，对 恒成立；再结合 得 。所以 在这个范围内，四个交点的横坐标由小到大依次为 （比较 与 ：，由 与 可知它为负，故 在 左边； 在 右边、 在 右边同理。） 的斜率为 ，所以线段长度是横坐标差的 倍，这个公因子在比值里约掉： 当 时 、，所以 即四个交点存在时， 恒大于 ，等号取不到。 再看等号「若成立」需要什么。若 ，即 （这是四点顺序反过来时才会出现的式子，也一并排除）： 得 ，两者都落在四交点成立的区间之外： 时 、，四个横坐标变成 ，其中 处 ，动圆的半径为零，该点根本不在轨迹上，实际只剩两个交点； 时同理只剩下两个交点。 所以不存在满足 的直线 。 1-3. 【解答】已知动点满足关系式. （1）求动点的轨迹方程； （2）设动点的轨迹为曲线，抛物线的焦点为，过上一点作的两条切线，切点分别为，弦的中点为，平行于的直线与相切于点. ①证明：三点共线； ②当直线与有两个交点时，求的取值范围. 解析　答：（1） （1）关系式的左端是「 到 的距离」，右端是「 到 的距离」，即 这是「到两定点距离之差为定值」，是双曲线的定义。焦点在 轴上，，，所以 标准形式为 ，即 。 还要定是哪一支。距离之差为正，说明 离 （上焦点）更远、离 （下焦点）更近，所以取下支： （代入 检验：当 时，说明符号方向判断无误。） （2）设 ，由 在 上得 ，且 。抛物线 上一点 处的切线为 （把 写成 ，求导得 ，在 处斜率为 ，点斜式即得上式。）切线过 的充要条件是 ，即 它的两根 、 对应两个切点，由韦达定理 （ 在 外部，两根确实存在：，而 时 。）两个切点为 ① 弦 的中点 （最后一步用了 。） 再看 。 的斜率为 而 在 处的切线斜率为 ， 与 平行且与 相切，所以切点对应的参数为 ， 于是 、、 的横坐标都等于 ，三点同在竖直线 上，所以 、、 三点共线。 ② 焦点为 ，先算 ： 所以 （这与焦点弦的性质一致：抛物线 上一点到准线的距离等于到焦点的距离，而 正是 的纵坐标，焦点到准线的距离为 。） 接下来把「 与 有两个交点」翻译成 的条件。，解出 （； 时 为 ，与 无交点），代入 ： 整理得 两边乘 ： 设两根为 、，由韦达定理 交点要都在下支（），也就是两根同为负数：两根之积为正、之和为负。由 与 得 ，即 ；此时 自动成立。 再要求两个交点不重合，即判别式为正： 令 ，由 得 ，即 （ 舍去。）于是 把两端代进 ： 两端都取不到（ 时两交点重合， 时 只交下支于一点），所以 1-4. 【解答】设双曲线的左、右焦点分别为，直线与的渐近线不平行，且与恰有一个公共点，点在上．当轴时，． （1）求的方程； （2）若不在轴上，满足，求的横坐标； （3）若，证明的轨迹为圆，并求该圆的方程． 解析　答：（1） （1）当 轴时， 的横坐标等于 ，此时 就是半通径 ，所以 再由双曲线的定义， 在右支上，，即 于是 ，，。（回代检查：、 时 ，，与题设一致。） 所以 的方程为 （2）「直线 与 的渐近线不平行，且与 恰有一个公共点」正是切线在双曲线里的定义，所以 是 在 处的切线。设 （，由 不在 轴上得 ），由半代入得切线方程： 设 。 即： 于是 与 联立： 右边展开为 ，移项合并： 由 知 ，所以 ，只能是 即 的横坐标为 。 （这个过程也说明： 的横坐标与 的具体位置无关，是个定值。） （3） 表示 是焦点 到切线 的垂足。把切线写成一般式： 记 、、。点 到直线的距离参数为 所以垂足 把 代进分母： 又 ，于是 （分子 因式分解为 。） 把两式平方相加： 方括号里展开：，所以 这说明 到原点 的距离恒为 ，即 在以 为圆心、 为半径的圆上。 反过来，圆上任取一点 （），过 作 的垂线 。 的方程是 ，两边同除 后与切线式 对照，取 、，由 可算出 所以 确实是 的一条切线， 就是对应的垂足。（ 时 与渐近线平行，不是切线，圆上这两点 取不到，但圆的方程不变。） 所以 的轨迹为圆，方程为 1-5. 【解答】已知抛物线的焦点为，直线与恰有个公共点，与轴、轴分别交于点、． （1）求的方程； （2）求的外接圆的标准方程； （3）若点在上运动，点在线段上，过的直线分别交线段、于点、，且，求点的轨迹方程． 解析　答：（1） （1） 在 上，代入得 ，即 ，所以 直线 与 恰有一个公共点，说明 是 在 处的切线。对 上一点 ，切线方程为（半代入），把 代入得 于是 与 轴交于 ，与 轴交于 。 （注意 恰好是线段 的中点：。第（3）问的关键就在这一点。） （2）设 的外接圆为 ，把三个顶点代入： 前两式相减消去 ：，即 ，解得 ，代回第一式得 。再由第三式 所以圆的方程为 配方：圆心为 ，半径的平方 标准方程为 （回代 ：，点在圆上。） （3）记 、，题设即 。设 （ 为参数， 在 上）。 把 写成 ，则 （因为 、）；同理 ，。 为了把系数看清，以 为原点、以 、 为两个基向量做分解：平面上每个点都能唯一地写成 的形式。在这个分解下， 是 的中点，所以 而 、 位于 、 上， 设 。又 在线段 上，即 与 共线（过原点 ），于是 ， 为待定常数。把两边的 、 的系数分别对比： 两式右端相等，去分母得 由 得 ，所以 这说明 的位置与 、 无关，恒有 也就是 是线段 上靠近 的那个三等分点，。 于是 设 ，则 由第二式解出 ，代入第一式： 所以点 的轨迹方程为 （它是把抛物线 以 为中心、相似比为 作位似变换得到的抛物线）。 方法二　点差法与中点弦 点差法是解析几何里唯一一个「不联立」就能求斜率的方法。凡是题面出现「弦的中点」「 的中点为 」「线段 的中点为 」，都应先想它。 ★ 步骤只有三步，写出来是一个固定的模板：设弦的两端 、，它们都在曲线上，于是有两个方程；把两个方程「相减」；用平方差公式分解，让 （即弦的斜率 ）与 （即中点与原点连线的斜率 ，因为 、）同时出现。相减之后二次项全部同号，这是点差法能用的前提。 ★ 三条结论要能现推，不必死记：椭圆 上，；双曲线 上，；抛物线 上，用纵坐标写最省事，（把 代入点差式，，两边约掉 即得）。椭圆与双曲线只差一个符号，注意双曲线的两个分支要同一支上的两点才能用。 ★★ 点差法给的是「必要条件」，不是充分条件。它说的是「若这条弦存在，则斜率取这个值」；反过来，求出了 还要把直线代回曲线，用 确认弦真的存在。这一步等价于判断中点是否落在曲线内部——椭圆是 ，抛物线是区域内部（ 一侧），双曲线则要同时满足「在内部」且「与弦所在的同一支相交」。「双曲线不存在以某点为中点的弦，求离心率范围」这类题，考的就是这一句。 ★ 中点弦问题的三个量——弦所在直线方程、中点坐标、曲线方程——任知其二可求其三，都用同一个点差式。求直线方程时只需一个点（中点）和一个斜率，所以点差法算出来的斜率配上中点坐标就能直接写点斜式。 ★ 两条弦的中点连线怎么处理？先把两条弦的斜率分别用各自的中点坐标表示（点差式），再把这些斜率代入题设给的斜率关系（如之积为常数、之和为零），最后消去参数。两条弦如果有共同的端点（如都过同一个焦点），还要额外用「斜率的和与积」把两个中点串起来，常用韦达定理完成这一步。 ★ 抛物线的中点弦有一个好用的替代写法：设弦的两端为 、，则中点坐标是 ，弦的斜率是 。把 、 当作整体，中点坐标与斜率就都只用这两个量表示，计算量比点差法还小。 ★ 点差法算完之后，把中点坐标与斜率一起写进行末的「所用条件」一行：。阅卷时这一行是给分点，写与不写差别很大。 例题 例 2-1 （湖南省娄底市2025届高三下学期4月教学质量检测数学试题 · 第15题） 【解答】已知双曲线C：的左顶点为A，右焦点为，，是上的两点，线段的中点为．当时，． （1）求C的离心率； （2）若，求直线的一般式方程． 【解析】 （1）由 知 ，所以左顶点 ，右焦点 ，其中 。 ，而 在 轴上，所以 垂直于 轴，点 的横坐标等于 。把 代入 的方程： 最后一步用了 。于是 由 得 ，与 联立消去 ： ，故 ，。于是 的离心率 （2）此时 。设 、，它们都在 上，所以 两式相减并因式分解： 是 的中点，故 代入上式得 即 的斜率为 。由点斜式， 反代检验：把 代入 得 解得 或 ，两交点为 、，中点恰为 ，说明这样的弦确实存在。 所以直线 的一般式方程为 。 第 1 步　先把 从方程里读出来 ◈ 中 的系数是 ，说明 。只有先定下 ，后面 、、 才有出处。 第 2 步　垂直条件把点 的横坐标钉成 ◈ 落在 轴上， 就意味着 是竖直线，于是 的横坐标是 。把 代回方程， 就化成 的绝对值 ，题目给的等式立刻变成一条只含 的方程。 第 3 步　 就是解 的方程 ◈ 与 联立，消去 后是 ，两根 与 ，取正值 。这一步不要漏掉 的取舍。 第 4 步　中点弦用点差法，两个式子一减就出斜率 ◈ 、 都在曲线上，把两条方程相减并因式分解，、 直接换成 、，剩下的 就是弦的斜率，不必解交点。 第 5 步　点差法只给斜率，要反代验证弦真的存在 ◈ 点差法用的是必要条件，最后把所得直线代回曲线解二次方程，确实得到两个不同交点、且中点正是 ，结论才算站得住。 答　（1）；（2） 例 2-2 （河南省濮阳市2025届高三第二次模拟考试数学试题 · 第18题） 【解答】设斜率为的直线交椭圆于、两点，点为弦的中点，直线的斜率为（其中为坐标原点，假设，都存在）． （1）求的值； （2）把上述椭圆，一般化为，其他条件不变，试猜想与的关系（不需要证明）．请你给出双曲线中相类似的结论，并证明你的结论． （3）分析（2）中的探究结果，并作出进一步概括，使上述结果都是你所概括命题的特例．如果概括后的命题中的直线过原点，为概括后命题中曲线上一动点，借助直线及动点，请你提出一个有意义的数学问题，并予以解决． 【解析】 （1）设 、， 为弦 的中点。、 都在椭圆上，所以 两式相减并因式分解： 把 、 代入，两边除以 ： （否则 不存在），于是 又 ，两式相乘得 （、 由 存在保证。） （2）与（1）同样的推导，只需把常数 与 换成 与 。对椭圆 ，设 、 在椭圆上、 为 的中点，两式相减得 这就是猜想的关系式： 是定值，与弦 的取法无关。 再看双曲线 。设斜率为 的直线 与它交于 、 两点， 为 的中点， 的斜率为 。由 、 在双曲线上， 相减并因式分解： 代入 、，约去 并整理： 所以双曲线中 取正值，与椭圆的情形恰好差一个符号。 （3）椭圆与双曲线的推导完全平行，差别只在于 项的符号。把曲线统一写成 设斜率为 的直线 与它交于 、 两点， 为 的中点， 的斜率为 ，同样地把两条方程相减、代入中点坐标，得到 椭圆 相当于 、，得 ；双曲线 相当于 、，得 。（2）中的两条结论都是 的特例。 若 过原点，则 与曲线交于 、 两点，此时 的中点是原点 ，「中点弦」这个说法失去意义，需要换一个角度提问。保留「过原点的直线」与「曲线上的动点」这两样东西，可以问： 已知 过原点、与曲线交于 、 两点， 是曲线上异于 、 的动点， 是否为定值？ 设 。曲线关于原点对称，所以 与 关于原点对称，即 。设 ，其中 ，则 由 、 都在曲线 上， 两式相减得 ，代回上式： 所以 是定值，与直线 的取法、动点 的位置都无关。回到本题的椭圆 ，这个定值就是 。 第 1 步　点差法的三步：相减、换中点、出斜率 ◈ 两条曲线方程相减，左边因式分解出 与 ；再把 、 换成 、；最后解出 。整个过程不需要求交点。 第 2 步　一般化只是换字母，符号来自 项 ◈ 把 、 换成 、 就得到椭圆的通式；双曲线与椭圆的全部差别只在 项的符号，相减后那一项由加变减，于是 由负变正。先看清「差在哪里」，就不必把推导重写一遍。 第 3 步　再抽象一层：把 、 并成 、 ◈ 写成 之后，椭圆是 、，双曲线是 、，一条公式 同时管住两种曲线，这就是题目要的「进一步概括」。 第 4 步　 过原点时中点退化，改用动点 ◈ 过原点时 的中点是 ， 的斜率无从谈起。把「中点」换成曲线上的动点 ，利用 与 关于原点对称，把 写成 ，再用曲线方程消去 ，同样得到常数 。 答　（1）；（2）椭圆 ，双曲线 ；（3）见解析 例 2-3 （山东省临沂市2025届高三2月一模考试数学试卷 · 第19题） 【解答】已知椭圆的离心率为是的左、右焦点，且，直线过点与交于两点. （1）求的方程； （2）若，求的方程； （3）若直线过点与交于两点，且的斜率乘积为分别是线段的中点，求面积的最大值. 【解析】 （1），所以 。又 ，故 于是 ，椭圆 的方程为 。 （2）。若 垂直于 轴，则 ，代入 的方程得 ，此时 ，所以 的斜率存在。设 ，代入 的方程，两边乘 ： 展开整理得 其判别式 设 、，则 由 得 即 。所以 的方程为 或 ，化为一般式是 或 。 （3）设 、 分别是 、 的中点。对弦 用点差法：、 都在 上，两条方程相减并代入中点坐标，可得 又 在 上，，把 代入： 于是 。 同样地， 是过 、斜率为 的弦 的中点， 解得 ，。 由 得 ，此时 ，代入 的表达式： 同理 。两个中点的纵坐标相等，所以 轴，且 即 的长是定值 。 所在直线为 ，原点 到它的距离是 ，所以 由均值不等式，，故 等号当 ，即 时成立，此时 ，仍满足 。 所以 面积的最大值为 。 第 1 步　先把焦点距折成 ◈ 是题目直接给的，先得 ，再用 反解出 ，最后用 收尾。沿着这条线走，、、 三个数一次定齐。 第 2 步　弦长公式里 算成含 的形状就够了 ◈ 联立后得到 ，它与 相乘时正好配成 ，不必把 展开到最简形式。 第 3 步　点差法把斜率与中点坐标绑在一起 ◈ 是弦的斜率与中点坐标之间的固定关系。本题的弦都过焦点，再把「中点在弦所在直线上」也写出来，两式联立就能单独解出中点的坐标。 第 4 步　 一代入，两个中点的纵坐标就齐了 ◈ 这是本题的关键一步。把 用 表示后代入 ，化简的结果恰好等于 ，于是 轴， 也是定值。 第 5 步　底边定长，面积只由 到 轴的距离决定 ◈ ，分母用 一步放缩成常数，等号条件 也落在允许的范围之内。 答　（1）；（2） 或 ；（3） 练习 2-1. 【解答】在平面直角坐标系中，已知椭圆的右顶点为，过的焦点且垂直于轴的弦长为2. （1）求的方程； （2）过点作斜率之积为1的两条不同的直线，若交于两点，交于两点，为的中点，直线与交于点. ①证明：为的中点； ②求面积的最大值. 解析　答：（1） （1） 是 的右顶点，所以 。过焦点且垂直于 轴的弦就是通径，长为 ，于是 所以 。 （2）设 、 的斜率分别为 、，由题意 ，且 （否则两直线重合）。两条直线都过 ，方程分别是 、。 设 、， 为 的中点。由点差法， 又 ，代入得 于是 。直线 的斜率 所以 。 ① 设 的中点为 。对过 的弦 同样用点差法： 解得 ，。把 的横坐标代入 的方程，先算 所以 由 得 所以上式等于 ，即 在直线 上。 而 的斜率为 ， 的斜率为 。若二者相等，则 ，无解，故 与 不平行，它们的交点 是唯一的。 既在 上，又在 上，所以 ，即 为 的中点。 ② 由①，、 分别是 、 的中点， 把 代入 的坐标得 。于是 其中 所以 分子分母同时除以 （）： 而 ，记 ，则 由均值不等式 ，得 等号当 ，即 时取得。此时 ，即 ， 都是正数，所以这样的 确实存在。 面积的最大值为 。 2-2. 【解答】已知椭圆的右焦点为上一动点到的距离的取值范围为. （1）求的标准方程； （2）设斜率为的直线过点，交于，两点.记线段的中点为，直线交直线于点，直线交于，两点. ①求的大小； ②求四边形面积的最小值. 解析　答：（1）； （1）设 的半焦距为 。椭圆上的点 到右焦点 的距离的最小值是 、最大值是 ，与题设对照得 两式相加得 ，相减得 ，所以 、，，故 。 （2）① 此时 。设 （），、， 为 的中点。由点差法， 又 ，代入得 所以直线 的斜率 即 ，它与直线 交于 。直线 的斜率 而 的斜率是 ，由 得 。 在 上、 在 上，所以 。 ② 因为 ，四边形 的两条对角线 、 互相垂直，所以 把 代入 的方程，两边乘 ： 整理得 其判别式 所以 、 在直线 上，而 的斜率是 ，把上式中的 换成 就得到 于是 令 ，则 、， 作差得 （ 时分母 ），所以 ，等号当 ，即 时取得。所以四边形 面积的最小值是 。 2-3. 【解答】已知椭圆的左、右焦点分别为是圆上一点，线段与C交于点Q，且． （1）求C的标准方程； （2）过点的直线与C交于A，B两点，记O为坐标原点，线段的中点为N，C的左顶点为D． （i）求面积的最大值； （ii）若的外心为M，直线的斜率为，直线的斜率为，试判断是否为定值．若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 解析　答：（1） （1）把圆的方程配方： 圆心是 ，半径是 ，所以 在圆上时 。 在线段 上，，又 ，故 在椭圆 上，由椭圆定义 ，于是 ，。又 ，，所以 。 （2）设过 的直线 （）。若 垂直于 轴，则 与 重合， 的斜率不存在，故只讨论斜率存在且不为零的情形。 （i）设 、， 为 的中点。由点差法， 又 ，代入得 ，。，所以 由均值不等式 ，得 等号当 ，即 时取得，所以 面积的最大值是 。 （ii）设 的外心为 。由 知 在 的垂直平分线上，而 的方向向量为 ，故可设 （ 为实数）。 再由 ，即 展开整理，把 、 的一次项分离出来： 代入 、，并用 、： 由 得 ，又 所以 把 代入 的方程，两边乘 ： 于是 ，。把这两个式子代入 的分子并展开： （四次项与常数项正好抵消），所以 于是 所以 两式相除得 ，与 的取值无关，所以 是定值 。 2-4. 【单选】若双曲线不存在以点为中点的弦，则该双曲线离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 解析　答：C 设 。由 得 ，所以求 的取值范围，就是求 的取值范围。 先看「存在以 为中点的弦」需要什么条件。设弦的两个端点为 、，它们都在双曲线上，所以 两式相减并因式分解： 是 的中点，故 、，代入得 （弦不可能垂直于 轴：那样中点在 轴上，而 的纵坐标是 。）所以这样的弦若存在，斜率只能是 ，也就是 。 反过来，取过 、斜率为 的直线 ，看它与双曲线有几个公共点。把双曲线方程两边乘 得 ，与直线联立消去 ： 两边乘 并整理： 其判别式 因为 、，所以 此时方程有两个不同的实根，直线与双曲线有两个公共点，且由前面的点差法可知这两个公共点的中点正是 ，弦存在。 再看反面。当 时 ，直线与双曲线没有公共点；当 时 ，直线与双曲线只有一个公共点（相切）；当 时， 与 的系数同时为零，方程只剩 ，而 时 ，即得 ，无解。这三种情形都得不到弦。 所以「不存在这样的弦」等价于 ，即 故选 C。 方法三　切线与切点弦 圆锥曲线的切线问题，核心只有两个公式。把这两个公式记准，切线题就变成了代点题。 ★ 公式一（切线方程）：曲线 上一点 处的切线是 规律是「把 换成 、把 换成 」，所以叫「半代入」。双曲线 完全同理，只是中间的减号保留。抛物线 上一点 处的切线是 ，这里的规律是「 换成 ， 换成 」。 ★ 公式二（切点弦方程）：从曲线外一点 引曲线的两条切线，两个切点连成的直线叫切点弦，它的方程「与切线方程长得一模一样」：。它不是凭空的巧合，而是「设两个切点，两条切线都过 」这两个条件合起来的结果——两个切点都满足同一个一次方程，这条一次方程所代表的直线就是切点弦。推一遍就再也不用记混：切线方程里的 是「切点」，切点弦方程里的 是「原来那个曲线外的点」。 ★ 抛物线上的切线交点有一条极好用的结论： 上两点 、 处的切线交于点 ，则 ，也就是弦 的斜率只由交点 的纵坐标决定。由它立刻得到两条推论：当 在定直线上运动时，弦 恒过定点；当 在圆上或抛物线上运动时，可以把 的范围反解出来。这两条推论覆盖了抛物线切线题的大半。 ★ 「过某点能作几条切线」要看点在曲线的什么位置：点在曲线内——作不出切线；点在曲线上——恰有一条；点在曲线外——恰有两条（圆与椭圆如此，抛物线要看点的位置：开口内部区域作不出，其余两条）。双曲线多一条限制：与渐近线平行的直线虽然与双曲线只有一个公共点，但它不是切线，所以「过某点恰有两条切线」要先把这种情形排除，这正是双曲线切线题里那个「 的取值范围」的由来。 ★ 切线相关的「面积与距离」问题，几乎都走同一条路：把切线方程写出来，求出它与另一条曲线的交点（或与坐标轴的交点），把面积写成关于切点参数（或切线斜率）的函数，再求最值。设参数时优先选切点的横（纵）坐标，因为它一出现，切线方程就直接有了，省掉一次联立。 ★ 圆与圆锥曲线的「公切线」问题：若直线是圆的切线，圆心到直线的距离等于半径；若直线同时是圆锥曲线的切线，判别式为零（或半代入）。两个条件联立，解出直线。「过圆锥曲线上一点作圆的两条切线」这类题则反过来用：先设过该点的两条直线，用「圆心到直线距离等于半径」定出两条切线的斜率关系，再让这两条切线与曲线联立求另一交点。 ★ 切线题里最常出错的一步是「公共点与切点的区分」。直线与曲线只有一个公共点，这只说明它「相切或平行于渐近线」，不等于它一定是切线。答卷上写「因为直线与曲线只有一个公共点，所以是切线」要不得，要么用判别式为零，要么用半代入公式。 例题 例 3-1 （河南省豫西北教研联盟2025-2026学年高三上学期第一次质量检测数学试题 · 第18题） 【解答】已知椭圆的左､右焦点分别为分别为的左､右顶点，点是上异于的点，直线与直线的斜率之积为，的周长为6. （1）求的方程； （2）求过与相切的直线方程； （3）设直线的方程为，过上任一点作的切线，切点分别为，当四边形的面积最大时，求的正切值. 【解析】 （1）设 、， 在 上，。由 解出 于是 题目给出斜率的积为 ，故 。 中 ，，周长为 ，即 。又 ，与 比较得 。把它与 相减消去 ：，即 若 ，则 ，不合题意；故 ，，。所以 （2）设过 的直线为 ，其中 。代入椭圆方程并两边乘 ： 它与椭圆只有一个公共点，判别式为零： 把 代入，并利用 ： 而 、，故上式等价于 代回得 ，于是切线为 ，整理得 （3）在 上取 ，过 作 的两条切线，切点为 、。由（2）， 处的切线为 ，它经过 ，代入 得 同理 。两个切点满足同一个一次方程，说明切点弦 的方程就是 把 代入 ，两边乘 ： 由韦达定理， 两根异号，即 、 分居 轴两侧。四边形 被对角线 分成 与 ，而 ，所以 、 异号时 ，于是 所以 令 ，则 ，， ，而 在 上单调递增，所以 时 取最大值 ，此时 ，。 把 代入切点弦方程得 ，再代入椭圆方程得 ，故可取 、。 直线 与 的斜率分别为 由夹角公式（） 以 为顶点算出的结果相同。故四边形 面积最大时 （ 为钝角）。 第 1 步　斜率之积 是必背结论 ◈ 、 是左右顶点时，椭圆上任意点 与它们连线的斜率之积恒为 。写成 后把 用椭圆方程换掉， 与分母约掉，只剩 。 第 2 步　周长条件给出 ，与 联立解 ◈ 两个条件分别锁定 与 。用 把它们接起来，就得到 ，与 一加一减即可解出 。解出 时 必须舍去。 第 3 步　切线方程的推导：判别式为零写成完全平方 ◈ 设 代入，令 得到 ，再用 化为关于 的二次方程。代入 、 后左边正好是 ，判别式为零体现为二重根，切线方程随即得到。 第 4 步　切点弦用「两个切点满足同一个方程」一眼看出 ◈ 两条切线都过 ，把 分别代入 、 处的切线方程，得到的两个式子里 、 与 、 的位置完全一样，于是它们都满足 ，这就是切点弦的方程，不必求出两个切点。 第 5 步　面积化简到最后只剩一个 ，单调性定最大 ◈ 四边形面积化成 之后，韦达定理直接给出 的表达式。令 ，面积写成 的形式，在 上单调增，最小值点反而落在 上，最大值 6 无需再求导。 第 6 步　求正切用两直线夹角公式，不用叉积 ◈ 先由两点算出 、，再用 。这里 ，分母为正而分子为负，算出的 正说明 是钝角。 答　（1）；（2）；（3） 例 3-2 （湖南省常德市2025届高三下学期模拟考试数学试题 · 第19题） 【解答】已知抛物线的焦点为，点在上，且. （1）求抛物线的方程；（2）过点作圆的两条切线，且分别与相交于点，（异于点）. （ⅰ）若，求 的面积；（ⅱ）证明：直线过定点. 【解析】 （1） 在 上，代入得 抛物线上的点到焦点的距离等于它到准线的距离，准线为 ，所以 把 代入：，两边乘 得 ，即 于是 ，， （2）设过 的直线交 于另一点 。注意到 自己对应 ，过 与 的直线为 （把 与 代入左端都得 ； 时它就是 在 处的切线。）它的方向向量可取 。 与圆 相切，即 到 的距离为 ： 整理成关于 的二次方程 两条切线的参数 、 正是它的两根，由韦达定理 （要有两条切线需 ； 与 时其中一条切线恰是 在 处的切线，与 无第二个交点，下面只讨论 、 与 不重合的情形。） （ⅰ） 即两个方向向量垂直： 把左边展开，代入两根之和与之积： 于是 ，即 ，解得 此时 的方程为 ，即 ，两根为 与 ，故 把两点代入 ，得 ，即 。 到 的距离 而由 得 所以 （ⅱ）直线 过 、。把这两个点分别代入 ： 两式都成立，故 的方程为 代入 、 并两边乘 ： 把 、 代入左端，得 ，对任意 都成立。所以直线 恒过定点 。 第 1 步　焦半径公式： ◈ 在 上，它到焦点 的距离等于到准线 的距离，即 。这一个式子和 联立，正好把 定死。 第 2 步　用抛物线上的点 表示过 的直线 ◈ 过 的任意直线，除 外都与 另有交点，把它写成 （ 是斜率之外的另一把「钥匙」）。于是「两条切线」变成了「 的两个根」，相切条件变成 的二次方程，韦达定理随即可用。 第 3 步　相切条件化成 的二次方程 ◈ 点到直线的距离等于半径，去分母后得到 。这一步把「几何相切」翻译成了「代数方程」，之后所有结论都只是韦达定理的运算。 第 4 步　垂直条件用方向向量的数量积，不碰斜率 ◈ 的方向向量是 ，它永远不为零向量，所以 （竖直线）也不会失效。垂直 ⟺ ，展开后直接与两根之和、之积挂钩。 第 5 步　定点从 的方程里直接读出来 ◈ 把 、 代进 ，左端恒为零，与 无关，定点就在这一步现形。不必先猜再验证。 答　（1）；（2）（ⅰ）；（ⅱ）直线 过定点 例 3-3 （浙江省台州市2025届高三第二次教学质量评估数学试题 · 第18题） 【解答】已知抛物线：的焦点为，直线l与抛物线交于A，B两点，且为线段AB的中点． （1）求抛物线的标准方程； （2）求直线l的方程； （3）过点作抛物线的两条切线，分别交l于C，D两点，求面积的最小值. 【解析】 （1） 是 的焦点，即 ，故 ， （2）设 、 都在 上，则 两式相减：。 是 的中点，故 ，代入得 由点斜式， 反代检验：把 代入 ， 两根 、，中点为 ，纵坐标为 ，正是 ，说明这样的弦存在。于是 、。 （3）先写出 的切线。把 两边对 求导：，即 ，所以在 处的切线斜率为 ，切线为 设过 的切线与 切于 ，把 代入切线方程： 两条切线的参数 、 是它的两根，由韦达定理 再求这两条切线与 的交点。把 代入 ： 记 ，则 、 的横坐标为 、，纵坐标为 。、 都在斜率 的直线 上，故 而 到 的距离为 （ 时 。）于是 计算 ： 分母 ；分子展开后 再由 ，且 时 ，得 所以 令 ，则 记 ，两边取对数再求导： 令它为零：，解得 ，即 。当 时 ，当 时 ，所以 （即 ）时面积最小， 第 1 步　中点弦仍用点差法，一减就出斜率 ◈ 、 都在 上，把两条方程相减， 立刻可约出 。本题 ，斜率就是 。别忘了再把直线代回抛物线，确认两根确实以 为中点。 第 2 步　抛物线的切线用 直接写 ◈ 把 求导得 ，在 处斜率为 ，切线整理成 。形式统一、没有分母，代入点 后得到 ，两根之和 、两根之积 一并到手。 第 3 步　把「两条切线」变成「 的两个根」 ◈ 两条切线对应 、，切线与 的交点横坐标就是 、，其中 。于是 只与 有关，而 又能用韦达定理换成 。 第 4 步　面积的两块分离：底在 上，高是点到 的距离 ◈ 。 里的 与 的分母 正好抵消，面积只剩 ，算起来不会拖泥带水。 第 5 步　 的差是一个漂亮的因式分解 ◈ 通分后分子展开， 与 恰好都含因子 ，提出后剩下的 直接换成 。这一步是整题的关键，只要算准分母是 就不会错。 第 6 步　最后一步用求导定最小值 ◈ 面积化成 ，取对数求导后方程是一次方程，解出 唯一。再判断左右符号，确认这就是最小值点。 答　（1）；（2）；（3） 面积的最小值为 （此时 ） 练习 3-1. 【多选】抛物线的焦点为，经过点F且倾斜角为的直线l与抛物线C交于A，B两点，分别过点A、点B作抛物线C的切线，两切线相交于点E，则（ ） A. 当时， B. 面积的最大值为2 C. 点E在一条定直线上 D. 设直线倾斜角为，为定值 解析　答：CD 焦点 说明 ，即 ，抛物线为 设 的方程为 （； 竖直时与 只有一个公共点，不合题意），其中 。代入 ： 设 、，由韦达定理 A 项： 由 得 ， 或 ，对应 或 。所以 时 不一定是 ，A 错。 B 项： 与 轴交于 ，把 沿 轴分成两个三角形，它们以 为公共底、以 、 为高，且 ，故 时取最小值 ， 趋于无穷时无上界，所以 是最小值而非最大值，B 错。 C 项：对 求导得 ，在 处切线为 ，整理得 同理 处的切线为 。两式相减： 把 代回第一条切线：，所以 。于是 恒在定直线 上，C 对。 D 项：、，当 时 于是 ，即 ，所以 。 时 ， 为 轴，、，同样有 。D 对。 综上，选 CD。 3-2. 【解答】已知双曲线（，）的渐近线方程为，点在双曲线C上. （1）求双曲线C的标准方程； （2）如图，过双曲线C右支上一点P作圆的切线交双曲线C左支于Q，右支于R，直线与圆O切于点M. ①求证：Q、R两点关于原点O对称； ②判断是否为定值，如果是，求出该定值；如果不是，求的取值范围. 解析　答：（1） （1）渐近线为 ，即 ，所以 。点 在 上，代入得 所以 ，， （2）① 设 与圆 相切于 ，则 ，且切线（即直线 ）为 它交 于 、。把 写成 ，由 解出 （），代入得 用 化简： 记 、，则 、 是方程 的两根，由韦达定理 又 ，所以 （分子展开为 。）再由 得 所以 （ 时切线为 ，与 交于 、，数量积 ，同样成立。） 设 ，过 作圆 的两条切线，它们分别与 交于另一点 、。由上面的结论，每一条与圆相切、又与 交于两点的直线，两个交点与 连成的向量数量积都为 ，所以 即 、 都在直线 上。又 、 都在 上，而 （否则两条切线除 外还有公共点，即为同一条直线）。下面说明这条直线与 的公共点恰为一对相反点：把 代入 ： 只有 两个解，对应的 也互为相反数，即两个公共点关于 对称。（ 在圆外，，分母不为零。）所以 、 关于原点 对称，且分别在左、右两支上。 ② 对切线 上的任意点 ，都有 。、 都在切线上，所以 又 。而 展开得 所以 是定值，定值为 。 3-3. 【解答】已知双曲线的右焦点到的一条渐近线的距离为. （1）求的方程； （2）设点在的右支上，过点作圆的两条切线，一条与的左支交于点，另一条与的右支交于点（异于点）. （ⅰ）证明：； （ⅱ）当的面积最小时，求直线和直线的方程. 解析　答：（1） （1） 是右焦点，故 ，渐近线为 ，即 。焦点到它的距离为 所以 ，， （2）（ⅰ）设过 的一条切线与圆 切于 ，则 ，切线方程为 它交 于 、。由切线方程解出 （）代入双曲线方程： 由韦达定理 又 ，所以 分子通分到分母 上： （其中 。）于是 把两块相加： 代入 ，分子为 ，所以 ，即 。（ 时切线为 ，与 交于横坐标相同的两点，纵坐标互为相反数，数量积为 ，结论同样成立。） （ⅱ）另一条切线同样满足（ⅰ）中推出的结论（推导过程中只用到了「与圆相切」），所以 于是 、、 都在过 且与 垂直的直线上。又 、 都在 上且 ，而直线 与 只有两个公共点、它们关于 对称（把 代入 得 ，两根互为相反数），故 与 关于 对称， 是 的中点，且 。 记 。由 得 ，即 ，代入 ： 于是 由 在 上得 ，于是 所以 ，即 中 过 、， 到 的距离就是 ，所以 于是 记 （，否则 在圆内或圆上，作不出两条切线）： 当 时 ，当 时 ，所以 时 取最小值 此时 ，，即 （由对称性也可在第四象限）。 由 到圆 的两条切线，一条竖直、一条水平：，圆心到 的距离为 ，恰等于半径，所以 是切线，同理 也是切线。其中 与左支交于 ， 与右支交于 。所以 （若 取第四象限的点，则 ，。） 3-4. 【解答】已知双曲线的两条渐近线分别为，，若点，分别在，上（，不同于原点），且直线是的切线，则称是的“渐切三角形”．已知在点处的切线方程为． （1）写出的一个“渐切三角形”的顶点，的坐标及切线的方程，并求出其面积； （2）已知点，分别在，上，的面积为，试问是否是的“渐切三角形”？并说明理由； （3）若是的“渐切三角形”，与相切的切点的横坐标大于0，为的左焦点，证明：为定值． 解析　答：（1），，（答案不唯一）； 两条渐近线为 ，而 的渐近线是 ，所以 ， 左焦点 。题中给出的切线公式为 。 （1）取 在 上、 在 上，此时 。直线 为 ，而 在 处的切线为 ，也是 ，所以 、 与这条切线构成 的一个「渐切三角形」。由 、 到 的距离为 ， （答案不唯一。） （2）设 、，。两条渐近线的夹角为 ，所以 与 的夹角为 ，又 、同理 ，于是 由 且 得 若 是「渐切三角形」，则存在 上的点 ，使 的方程就是 。把 、 分别代入： 即 两式相加、相减： 所以 检验 是否在 上： 所以这样的点 确实存在（就是 上的点 ），即直线 必与 相切。因此 是 的「渐切三角形」。 （3）设 ，由（2），且 要求 。于是 由 得 先算数量积： 再算两条模长： 所以 于是 所以 ，为定值。 3-5. 【解答】已知点、在抛物线上，为原点，且是以为斜边的等腰直角三角形，斜边长为． （1）求抛物线的方程；（2）若点在圆上，过点 分别作直线 、 与抛物线 相切于 、 两点，求 的取值范围． 解析　答：（1） （1）设 、 都在 上，则 、，且 。 以 为斜边，说明 ，又它是等腰直角三角形，所以 。 由 ： 由于 （、；若 则 ，与斜边长为 矛盾），故 ，再由 、 得 ，即 、 关于 轴对称。 再由 ： 代入 得 ，而 ，故 。又斜边 所以 ， 此时 、（或互换）。 （2）设 ，由 在圆 上得 设两条切线分别切 于 、。对 求导得 ，所以两条切线的斜率分别是 、，切线方程为 它经过 ，代入得 ，即 满足同一个方程，由韦达定理 于是 把 代入分子： 记 ，在 上 、，从而 。又 时 ，故 ， 只需研究 记 ，求导： 其中 ，分子为 而 ，所以 。即 在 上递增、在 上递减。 最大值在 处：，，所以 最小值只需比较区间端点： 时 ， 时 ， 而 ，所以最小值是 。 最后确认 是锐角（否则正切应取负值）。由 得 ，所以 把 代入： 记 ，，它在 上恒为负（ 的两根约为 与 ），所以 在 上递减， 即 ， 为锐角。因此 方法四　新定义与创新题 新定义题的题干长、符号生，但它其实是整册里最「套路化」的一类：所有的陌生符号都在题干里给足了定义，解题不过是用定义算几个数、再按定义去验证。 ★ 读题三步，一步都不能省：第一步把定义逐字抄到草稿纸上（不要跳读，定义里的每一个「且」「或」「异于」都有用）；第二步用「最简的一个特例」把定义走一遍，比如定义里出现两个点，就先用一个具体点算一算，看清这个定义到底在做什么；第三步把定义翻译成坐标语言——是等式还是不等式，是「重合、共线、相切、平行」中的哪一种。 ★ 新定义题按定义的对象分成四类，处理方式各不相同： 「定义新曲线」（相似椭圆、特征三角形、星形线）：抓住新曲线与原曲线之间的参数关系，先把参数用原曲线的基本量 、、 表示，剩下的就是常规计算； 「定义新运算」（、）：先用特例把运算规则算清楚，再检验交换律、结合律，最后找单位元（「存在 使 」就是求单位元）； 「定义新对象」（包络曲线、渐切三角形、切点弦）：把定义还原成已经学过的对象——「包络曲线」就是「曲线上的每一点的切线构成的直线族」，「渐切三角形」就是「两条渐近线加一条切线围成的三角形」，还原之后就变成方法三里的常规切线题； 「迭代构造点列」：把「依次构造」写成递推式，再证相邻两项的差或比是常数。这类题最后十有八九落到等比数列上。 ★ 新定义题的书写有格式要求：凡是引用定义的地方，都要把定义原话抄一遍再代入（写「由定义，……」），不能默默使用。这是这类题最大的给分点，也是很多同学丢分的地方。 ★ 遇到「新定义 + 老结论」的混合题，老结论照样可以直接用（如椭圆的半代入切线方程、抛物线的 ），不必每次从头推。但用之前要说清「由前面已证的结论」，否则会被判为无依据。 ★ 存在性与恒成立在新定义题里也常出现：「是否存在异于 的点 ，使得 」就是解方程（ 的某个参数满足的方程），解出来之后还要按定义检查特殊情形（ 时运算规定为切点，要单独算）。定义里那些「否则」「当…相同时」的规定，往往就是这种边界情形的处理办法，读题时必须读到。 ★ 检验新定义题答案的最快办法：把答案代回定义的运算，看是否满足定义里的每一个「当且仅当」。尤其是运算类定义，用交换律与结合律各验一次，能同时查出符号和顺序两处错误。 例题 例 4-1 （2025届湖北省黄冈市八模高三模拟测试（八）数学试卷 · 第19题） 【解答】定义：一般地，当且时，我们把方程表示的椭圆称为椭圆的相似椭圆，已知椭圆的相似椭圆为（且）. （1）求证：椭圆与椭圆的离心率相等； （2）直线、与椭圆均有且只有一个公共点，且、的斜率之积为，求证：、的交点在椭圆的相似椭圆上； （3）若为椭圆上异于左、右顶点、的任意一点，直线与椭圆交于、两点，直线与椭圆交于、两点，试探究的值是否为定值，若是定值，求出定值；若不是定值，说明理由. 【解析】 （1） 中 、，，所以 对 （），两边除以 得 ，于是 、， 所以 与 的离心率相等。 （2）设 、 的交点为 ，斜率分别为 、。过 且斜率为 的直线为 （），把它代入 的方程： 该直线与 相切，判别式为零： 把 代入并整理成关于 的方程： 两条切线的斜率 、 正是它的两根，由韦达定理 （过 有两条切线，所以 。）去分母得 ，即 所以交点 在 的相似椭圆 上，即 。 （3） 的左、右顶点为 、。设 在 上且 ，直线 、 的斜率分别为 两式相乘，并用 在 上即 ： 下面求弦长。以 为例，设 ，它与 的交点横坐标满足 （两边乘 后整理。）其判别式 所以 同理（把 换成 、 换成 ，推导完全一样） 由 得 ，代入： 于是 即 为定值 。 第 1 步　相似椭圆：离心率只看比值，与 无关 ◈ 把 的两边同除以 化成标准形，、 都带 ，算 时被约掉，所以只要长短轴之比一样，离心率就一样。 第 2 步　把「两条切线的斜率之积」翻译成 点坐标的方程 ◈ 过 的直线与椭圆相切，判别式为零后得到关于斜率 的二次方程，两根之积就是 。题目给的是斜率之积，于是立刻变成 点坐标满足的一条曲线方程。 第 3 步　 是被「算」出来的，不是题目白给的 ◈ 题目只说交点在某个相似椭圆 上，没说 是多少。把坐标关系写成 后与 对照，直接读出 。 第 4 步　 来自顶点弦的固定结论 ◈ 、 是 的左右顶点， 在 上，把 代入 ， 约掉，只剩 。这正是「顶点到椭圆上任一点的两条弦斜率之积为 」。 第 5 步　弦长公式里只剩 ，最后一步是通分相消 ◈ 两条弦都过顶点，把 换成 时推导完全一样，所以 的表达式与 同形。再用 把 也化成 分母 的样子，两者相加分子恰好是 。 答　（1）证明见解析；（2）交点在 上（即 ）；（3）（定值） 例 4-2 （江苏省南京市、盐城市2024-2025学年高三下学期第一次模拟考试数学试题 · 第19题） 【解答】设是由直线构成的集合，对于曲线，若上任意一点处的切线均在中，且中的任意一条直线都是上某点处的切线，则称为的包络曲线. （1）已知圆为的包络曲线，判断直线（为常数，）与集合的关系； （2）已知的包络曲线为，直线.设与的公共点分别为，记的焦点为. ①证明：是、的等比中项； ②若点在圆上，求的最大值. 【解析】 （1） 就是圆 的所有切线。原点 到 的距离为 恰等于 的半径，所以 与 相切（切点就是 ），即 是 上某点处的切线，故 。 （2）① 是抛物线 的所有切线。 在点 处的切线为 设 、 分别切 于 、，对应参数 、，则 满足 再代回得 ，即 。 又 。抛物线上的点到焦点的距离等于它到准线 的距离，所以 由 的坐标 分子展开： 而 两者相等，所以 ，即 是 、 的等比中项。 ② 设 。由 ① 中 的方程 、，记 、，则 且 。又 在圆 上，即 ，代入得 于是 由 得 ，而 ，所以两个比值 互为倒数。把 、 的名字对调（即让 对应较小的那个 ）不影响题目的要求，故可设所求比值为其中较大者 ，于是 下面证明 。两边都是正数，平方后只需证 作差并因式分解： 由 得 （ 时 ， 与原点重合，作不出两条切线，故舍去），而 的两根为 ，一个大于 、一个小于 ，所以 时 ，从而差值 ，不等式成立。 因此 。又 时 随 增大而增大，所以 不超过方程 的较大根，即 的较大根 。 等号在 （即 ）时取到，所以 的最大值为 答　（1）；（2）① 证明见解析；② 最大值为 例 4-3 （2025届山东省济南市高三高考针对性训练（三模）数学试题 · 第19题） 【解答】记由直线构成的集合．规定：当且仅当,表示同一条直线．若，定义：，其中．已知存在满足，有． （1）若，计算，并求；（2）记抛物线，表示直线被所截得的弦长的倒数，并规定． （i）若且，且，求；（ii）若，求证：至少存在一个，使得． 【解析】 （1） 中的直线都过点 。设 满足 ，即对任意 都有 （ 是比例系数）。比较 的系数： 对一切 成立，取 得 ，取 得 ；再比较 的系数：，恒成立。所以 、，即 由 得 、；由 得 、。于是 所以 ，即 （2）先弄清 的几何意义。直线 的方向向量是 ，设它的倾斜角为 ，则方向向量也可写成 ，于是 、。把 、（）代入定义式： 所以 的倾斜角就是 （模 ）， 就是「倾角相加」。 再看 。 中的直线都过 ，而 正是 的焦点，所以 被 截得的弦是焦点弦。设 的倾斜角为 ，把 代入 ： 两根 、 满足 、，故弦长 （ 时弦长为 ，公式也成立。）于是 特别地 给出 ，与题设一致。 （i）设 、 的倾斜角为 、，则 的倾斜角为 。由 得 把左边展开： 两式相减并整理： 说明 不是 的整数倍，即 ，所以只能有 即 （模 ）， 是竖直线，故 （ii）题中 里的 就是单位元 （倾斜角为 的直线 ），所以 是 的整数倍。用反证法：设三个 都大于 ，则 、 都以 为周期，不妨取 ，此时 等价于 。三个角都落在这个区间里，于是 （每个角都严格大于 、严格小于 ，所以和在 与 之间，取不到端点。）但 与 之间没有 的整数倍，矛盾。所以至少存在一个 ，使得 答　（1），；（2）（i）；（ii）证明见解析 练习 4-1. 【单选】数学中有许多形状优美的曲线．例如曲线：，当时，是我们熟知的圆；当时，曲线是形状如“四角星”的曲线，称为星形线，常用于超轻材料的设计．则下列关于曲线说法错误的是（　　） A. 曲线关于轴对称 B. 曲线上的点到轴，轴的距离之积不超过 C. 曲线与有8个交点 D. 曲线所围成图形的面积小于2 解析　答：C 曲线 的四个顶点是 、，形状是「四角星」。 A 项：把 换成 ， 不变，方程不变，所以曲线关于 轴对称。A 项成立。 B 项：记 、，则 且 ，而 、，于是 由均值不等式 ， 等号在 （即 附近）时取到。B 项成立。 C 项：仍记 、，。再设 、（），则 ，而 、，所以 又 两式相减： （用了 ，且 。）所以 且等号只在 时成立，即只有 、 这 个点同时满足 与 。所以两条曲线只有 个公共点，不是 个。C 不成立。 D 项：由 C 的推导， 上的点都满足 ，即曲线 落在一个菱形（含内部）里，而这个菱形的面积为 。又当 且 时 （把 分别看作 ， 时 ），说明菱形除四个顶点外的边界都在 外，所以 围成的图形比菱形严格地小，面积小于 。D 项成立。 综上，说法错误的是 C。 4-2. 【解答】对于椭圆：上的任意两点P，Q定义“”运算满足：过点作直线直线（规定当P和Q相同时，直线就是在点P处的切线），若l与有异于S的交点T，则；否则.已知“”满足交换律和结合律，记为 个 连续作“”运算所得的点（如，）. （1）若，，求，以及；（2）对于上的四点，，，，求证：的充要条件是；（3）是否存在异于S的点P，使得？若存在，请求出P的坐标；若不存在，请说明理由. 解析　答：（1），，； （1）、。直线 的斜率为 过 且与之平行的直线为 。代入 ： 两根为 （对应 ）与 ，所以 。 求 ：此时「直线 」指 在 处的切线。 是右顶点，切线为 ，过 且与之平行的直线是 ，它与 交于 ，其中一个是 ，故 继续按定义算： ：直线过 与 ，斜率为 ，过 的平行线为 ，与 交于 （同号），除 外取 ，故 ； ：斜率为 的平行线同上，得 ； ：、 都在 轴上，过 的平行线是 ，与 交于 ，故 ； ：直线过 与 ，斜率为 ，过 的平行线为 。代入 ： 两根都是 ，即这条直线与 相切于 ，没有异于 的交点，故 ； ：过 、 的直线，再过 作它的平行线就是它自己，它与 的另一个交点是 ，故 。于是数列从 开始以 为周期： 由 得 （2）设 、。当 时，直线 的斜率为 用和差化积： 所以（ 时） 当 ，即 时，「直线 」规定为切线，对 求导得 ，在 处 ，与上式（）一致。 再看竖直的情形： 时 与 轴垂直，这等价于 是 的整数倍，此时 无意义。所以斜率公式与「竖直」恰好对应 的有无定义，可以统一处理。 同理， 两条直线平行，当且仅当它们的斜率相等，或都与 轴垂直，两种情形都等价于 即存在整数 ，使 （3）把 上的点写成 ，则 （题（2）中的写法正是 ）。 由（2）的结论：过 的直线与 的另一交点 满足「 的斜率 过 那条直线的斜率」，而 用的正是「过 且平行于 的直线」，把（2）里的 用到 、 与 、 上： 所以 对应的参数是 。于是 个 连续作 ，每多作一次就减去一个 ： 取 ： 即 ，也就是 把 代入， 给出四个解： 时 ，即 ，不合题意；另外三个是 对应的点为 所以存在这样的点，共有三个：、、。 4-3. 【解答】椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”.记椭圆的“特征三角形”为，椭圆的“特征三角形”为，若，则称椭圆与相似，并将与的相似比称为椭圆与的相似比.已知椭圆与椭圆相似，且与的相似比为. （1）求的方程； （2）已知点是的右焦点，过点的直线与交于两点，直线与交于两点，其中点在轴上方. （i）求证：； （ii）若过点与直线垂直的直线交于两点，其中点在轴上方，分别为，的中点，设为直线与直线的交点，求面积的最小值. 解析　答：（1） （1）把 写成标准形，得 、，半焦距为 。取短轴端点 ，则 ，所以 的特征三角形三边为 、、。 设 的半长轴为 、半焦距为 ，它的特征三角形三边为 。两个等腰三角形相似的充要条件是 相同，即离心率相同；相似比为 说明对应边之比为 ，于是 又 的离心率 ，故 ，， （2） 是 的右焦点，即 。注意 的方程两边除以 得 ，所以 是把 以原点为中心放大 倍得到的。 （i）设 （ 竖直时同理，见后）。把它代入 ，即 ： 设 、，则 再代入 ，即 ： 设 、，则 两条方程的二次项、一次项系数完全相同，只有常数项不同，所以 ，即弦 与弦 的中点重合，记为 。 因为 在 内部，沿直线 从一端的顺序是 、、、（或反过来），且 是两个弦的公共中点， 也是 、 的中点所在的位置，于是 所以 。（ 与 轴垂直时，两条方程都变成 与 ，中点都是 ，同样得到 。） （ii）仍设 ，。由（i）中 、 满足的方程，，故 的中点横坐标为 ，代入 得 过 且与 垂直的直线为 ，即 。代入 ： 设 在 轴上方，则 于是 的中点 （横坐标由 换成 的方程 也可得到，两根之和为 。） 再求 。记 ，解上面的两个二次方程（取 轴上方的点）： 再算 、。记 ，验证点 在 上。先算四个差： （用到 ，例如 。）三点 、、 共线等价于 把四个差代入，提出公因式 后，括号里是 不含 的项合起来是 含 的项合起来是 所以 、、 共线；同理 、、 也共线。于是 下面算面积。由 、 的坐标得 的方向向量可取 ，于是 （把 、 的坐标通分到分母 上，两个分量分别是 与 ，再提出公因式 。）其中 ，所以 直线 的法向量取 ，于是 到 的距离为 其中 。把 、 与 代入，化简后分子为 ，即 所以 令 ，则 求导（记分母为 ）： （分子展开后为 。）所以 时 、 时 ，（即 ）时面积最小， （ 时 为 轴，代入公式得 ，不影响结论。） 4-4. 【填空】定义：表示点到曲线上任意一点的距离的最小值．已知是圆上的动点，圆，则的取值范围为________． 解析　答： 圆 的圆心是原点 、半径为 。设 的坐标为 ，则 到 上任意一点的距离中，最小的是「沿 方向的那一段」，即 （ 在圆 外，，所以这是最小值，并且可由 与 连线与 的交点取到。） 在圆 上，该圆的圆心是 、半径为 ，所以 。由三角不等式 而 ，故 两端都能取到：当 时 ，当 时 。于是 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $