2.2 基本不等式 导学案-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学导学案聚焦“2.2基本不等式”，通过概念填空梳理重要不等式、基本不等式定义及几何算术平均数关系、最值条件等基础内容，结合思考问题（如“一正二定三相等”含义、多次使用注意事项等）搭建学习支架，衔接概念理解与应用拓展。 资料采用分层设计，“提纲携领”夯实基础，“心中有考点”明确方向，“脚踏实地”强化训练。思考问题培养推理意识，多样练习题（分式型、实际应用等）提升模型意识与应用能力，助力学生自主构建知识体系，发展数学思维与表达能力。

2.2基本不等式 导学案 ★ 提纲携领 夯实基础 【1】概念填空 （1）重要不等式 ，有______________________，当且仅当时，等号成立． （2）基本不等式 如果，有，当且仅当___________时，等号成立． 其中，叫做正数a，b的___________，叫做正数a，b的___________． 基本不等式表明：两个正数的算术平均数______________________它们的几何平均数． （3）基本不等式与最值 已知x，y都是正数，则 ①如果积等于定值P（积为定值），那么当___________时，和有最小值___________． ②如果和等于定值S（和为定值），那么当___________时，有最大值___________． 【答案】 算数平均数 几何平均数 大于或等于 【2】思考1：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足“一正二定三相等”指的是什么？ 【答案】（1）“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 【3】思考2：在多次使用基本不等式求最值时，我们应注意什么问题？ 【答案】在连续多次应用基本不等式时，我们要注意各次应用时不等式取等号的条件是否一致，若不能同时取等号，则需换用其他方法求出最值． 【4】思考3：你能写出基本不等式的几种变形吗？ 【答案】当，时，有①；②；③. 【5】思考4：（1）基本不等式中的a，b可以是代数式吗？ （2）与是等价的吗？ 【答案】（1）可以．但代数式的值必须是正数，否则不成立． （2）不等价，前者条件是，，后者是. 【6】思考5：不等式和基本不等式成立的条件有什么不同？ 【答案】不等式对任意实数a，b都成立； 中要求a，b都是正实数． 【7】思考6：试着将平均值不等式进行推广． 【答案】由于，，进行推广. 若均为正数，则， 当且仅当时等号成立． 【8】知识应用：判断正误． （1）对于任意均成立．( ) （2）若a，b同号，则．( ) （3）若，则恒成立．( ) （4）若，且，则．( ) 【答案】 错误 正确 错误 正确 【详解】（1）当，时，式子中的无意义，故该结论错误． （2）∵，同号， ∴ ∴，故该结论正确． （3）当，时，明显不成立，故该结论错误． （4）∵ ∴时，，则成立，故该结论正确． ★★ 心中有考点 学习有方向 考点 对应题目 练后感悟 基本不等式的内容及辨析 1，11,13 由基本不等式求积的最大值 2 由基本不等式求和的最小值 3，12 二次比一次的分式型问题 4 二次比二次的分式型问题 5 一次比二次的分式型问题 6 “1”的妙用求最值 7 基本不等式的实际应用 8，19 条件等式求最值 9，14，16,17,18 基本不等式恒成立问题 10 由基本不等式比较大小 15 ★★★ 脚踏实地 训练为本 一、单选题 1．下列几个不等式中，不能取到等号的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于，当且仅当，即时等号成立； 对于，当且仅当，即时等号成立； 对于，当且仅当，即时等号成立； 对于，当且仅当，即，无解，等号不成立． 故选. 2．若，则取最大值时x的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据基本不等式求解即可. 【详解】， 当且仅当等号成立. 故选：A. 3．已知则的最小值为（   ） A． B．0 C．4 D． 【答案】B 【详解】当时，， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为0. 4．已知，则的最大值是（    ）． A． B． C．5 D．8 【答案】A 【分析】化简变形利用基本不等式计算即可． 【详解】易知． 因为，所以，所以， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 故，则的最大值是． 故选：A 5．已知正数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将目标式整理为齐次式，再结合均值不等式即可求得结果. 【详解】 ，因为，故， 则，当且仅当，也即取得等号， 故的最小值为. 故选：D. 6．关于的方程有两个相等的正根，则（    ） A．有最大值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最小值 【答案】B 【分析】依题意可得，则，再利用基本不等式计算可得. 【详解】因关于的方程有两个相等的正根， 所以，所以. ， 当且仅当时取等号，所以有最大值. 故选：B. 7．已知，，且，则的最小值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】先将变形得，然后用“1”的代换与相乘，化简整理后再利用基本不等式即可求出最小值. 【详解】由，得， 所以， 当且仅当时，即时等号成立，将其代入，解得， 所以的最小值是. 8．某食品加工厂生产某种食品，第一年产量为，第二年的增长率为，第三年的增长率为，这两年的平均增长率为（均大于零），则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意有，进而有，再应用基本不等式，即可比较大小. 【详解】由题意且， 则由基本不等式可得， 当且仅当，即时取等号，故. 故选：B 二、多选题 9．若，，且，则下列结论正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为6 D．的最大值为1 【答案】ABC 【分析】根据基本不等式即可判断ABC，根据二次函数的性质判断D. 【详解】对于A，由，得，即，所以，当且仅当时，等号成立，A正确； 对于B，，当且仅当时，等号成立，B正确； 对于C，由，则， 当且仅当，即，时，等号成立，C正确； 对于D，由，则，所以，即， ，无最大值，D错误． 10．若恒成立，则实数的取值可能是（　　） A． B． C． D．1 【答案】BCD 【分析】先利用基本不等式求出的最大值，再根据恒成立思想得到参数范围即可. 【详解】因为，所以， 当且仅当，即时等号成立， 由题意得恒成立，故得. 故选：BCD． 11．下列不等式一定成立的有（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】对于A，分和两种情况利用基本不等式即可判断，对于B，利用基本不等式即可判断，对于C，由，利用二次函数即可判断，对于D，由利用基本不等式即可判断. 【详解】对于A，当时，，当且仅当时，等号成立， 当时，，当且仅当时，等号成立，所以，故A错误； 对于B，，当且仅当时，即时，等号成立，故B正确； 对于C，由，当时，等号成立，故C正确； 对于D，由， 当且仅当，即不成立，所以等号不成立， 所以，故D正确， 故选：BCD. 三、填空题 12．若正实数，满足，则的最小值为______. 【答案】16 【详解】因为，为正实数，且， 所以，且，即，，所以. 对因式分解可得， 所以（当且仅当，即，时取等号）， 故的最小值为16. 13．下列命题中正确的有_________（填写序号） ①的最小值是2 ②当时，的最小值是3 ③当时，的最大值是5 ④若正数x，y满足，则的最小值为3 【答案】②③④ 【分析】由已知结合基本不等式计算和的最小值与积的最大值，对选项进行判断. 【详解】对于①，， 若，则有，方程无解，所以等号取不到，最小值不是2，①错； 对于②，当时，有， 当且仅当，即时等号成立，②正确； 对于③，当时，有，则， 当且仅当，即时等号成立，③正确； 对于④，正数x，y满足，则， 当且仅当，即时等号成立，④正确. 14．正数m，n满足，则的最小值为________． 【答案】2 【详解】因，则，当且仅当时取等号. 则 即，解得，（舍去） 当且仅当时等号成立，故的最小值为2. 四、解答题 15．已知a>b>c，你能比较出4与(a-c)的大小吗？ 【答案】(a-c)≥4 【分析】由a-c=(a-b)+(b-c)得(a-c)＝[(a-b)+(b-c)]，利用基本不等式求得最小值即可判断． 【详解】(a-c)≥4，理由如下： 因为a-c=(a-b)+(b-c)， 所以[(a-b)+(b-c)] =2++， 又a>b>c，所以+≥2， 故(a-c)≥4， 当且仅当=时，取等号. 16．（1）已知，求的最小值； （2）若，求的最大值． 【答案】（1）9；（2）． 【分析】（1）将变形为，根据基本不等式即可求解. （2）先证明，再利用基本不等式求的最小值即可. 【详解】（1）因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为9． （2），当且仅当时，等号成立； ∴ 又，当且仅当时， 即，等号成立； ∴，当且仅当， 即时等号成立， 所以的最大值为． 17．（1）若实数，求的最小值，并求此时的值； （2）若，求的最大值，并求此时的值. 【答案】(1)的最小值是3，此时；(2)的最大值是-4，此时. 【分析】(1)根据给定条件进行配凑，再借助均值不等式求解即得； (2)根据给定条件利用均值不等式求出的最小值即可. 【详解】(1)因实数，则，当且仅当时取“=”， 由且解得：， 所以的最小值是3，此时； (2)因，则，当且仅当时取“=”， 由且解得：， 所以的最大值是-4，此时. 18．已知，，，求： （1）的最小值； （2）的最大值. 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）利用均值不等式可得，即，代入可得到关于的不等式，解得的最小值； （2）化简得，再利用均值不等式，代入可得到关于的不等式，解得的最大值. 【详解】（1）， ，当且仅当时，等号成立， 又，， ，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值 （2）化简得， 又，当且仅当时，等号成立， ，解得 ，当且仅当时，等号成立， 所以的最大值是 19．某公司建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为，房屋正面每平方米的造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元，如果墙高为，且不计房屋背面和地面的费用.设房屋正面的长度为，房屋的总造价为元. (1)求关于的函数关系式； (2)当为多少时，总造价最低？最低总造价是多少？ 【答案】(1)（）. (2)当时，总造价最低，最低总造价为63400元. 【分析】（1）根据各个面的面积直接写出总造价； （2）利用基本不等式即可求解. 【详解】（1）由地面面积为，得房屋侧面的宽度为， 所以房屋正面的造价为， 房屋侧面的造价为， 所以房屋的总造价为 . （2）由（1）知， 当且仅当，即时等号成立， 所以当时，总造价最低，最低总造价为63400元. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2基本不等式 导学案 ★ 提纲携领 夯实基础 【1】概念填空 （1）重要不等式 ，有______________________，当且仅当时，等号成立． （2）基本不等式 如果，有，当且仅当___________时，等号成立． 其中，叫做正数a，b的___________，叫做正数a，b的___________． 基本不等式表明：两个正数的算术平均数______________________它们的几何平均数． （3）基本不等式与最值 已知x，y都是正数，则 ①如果积等于定值P（积为定值），那么当___________时，和有最小值___________． ②如果和等于定值S（和为定值），那么当___________时，有最大值___________． 【2】思考1：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足“一正二定三相等”指的是什么？ 【3】思考2：在多次使用基本不等式求最值时，我们应注意什么问题？ 【4】思考3：你能写出基本不等式的几种变形吗？ 【5】思考4：（1）基本不等式中的a，b可以是代数式吗？ （2）与是等价的吗？ 【6】思考5：不等式和基本不等式成立的条件有什么不同？ 【7】思考6：试着将平均值不等式进行推广． 【8】知识应用：判断正误． （1）对于任意均成立．( ) （2）若a，b同号，则．( ) （3）若，则恒成立．( ) （4）若，且，则．( ) ★★ 心中有考点 学习有方向 考点 对应题目 练后感悟 基本不等式的内容及辨析 1，11,13 由基本不等式求积的最大值 2 由基本不等式求和的最小值 3，12 二次比一次的分式型问题 4 二次比二次的分式型问题 5 一次比二次的分式型问题 6 “1”的妙用求最值 7 基本不等式的实际应用 8，19 条件等式求最值 9，14，16,17,18 基本不等式恒成立问题 10 由基本不等式比较大小 15 ★★★ 脚踏实地 训练为本 一、单选题 1．下列几个不等式中，不能取到等号的是（    ） A． B． C． D． 2．若，则取最大值时x的值是（   ） A． B． C． D． 3．已知则的最小值为（   ） A． B．0 C．4 D． 4．已知，则的最大值是（    ）． A． B． C．5 D．8 5．已知正数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．关于的方程有两个相等的正根，则（    ） A．有最大值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最小值 7．已知，，且，则的最小值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 8．某食品加工厂生产某种食品，第一年产量为，第二年的增长率为，第三年的增长率为，这两年的平均增长率为（均大于零），则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．若，，且，则下列结论正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为6 D．的最大值为1 10．若恒成立，则实数的取值可能是（　　） A． B． C． D．1 11．下列不等式一定成立的有（   ） A． B． C． D． 三、填空题 12．若正实数，满足，则的最小值为______. 13．下列命题中正确的有_________（填写序号） ①的最小值是2 ②当时，的最小值是3 ③当时，的最大值是5 ④若正数x，y满足，则的最小值为3 14．正数m，n满足，则的最小值为________． 四、解答题 15．已知a>b>c，你能比较出4与(a-c)的大小吗？ 16．（1）已知，求的最小值； （2）若，求的最大值． 17．（1）若实数，求的最小值，并求此时的值； （2）若，求的最大值，并求此时的值. 18．已知，，，求： （1）的最小值； （2）的最大值. 19．某公司建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为，房屋正面每平方米的造价为1200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元，如果墙高为，且不计房屋背面和地面的费用.设房屋正面的长度为，房屋的总造价为元. (1)求关于的函数关系式； (2)当为多少时，总造价最低？最低总造价是多少？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $