福建省龙岩市某校2025-2026学年高一上学期数学周末作业 2025.10.10

**基本信息** 融合数学文化与实际情境，梯度设计考查函数与集合核心知识，适配高一上学期周测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题|命题真假判断、函数奇偶性与单调性、充分必要条件|第4题结合华罗庚名言与商标图象抽象，考查数形结合（数学眼光）| |多选题|3题|集合运算、函数性质、狄利克雷函数|第11题引入数学史，考查函数定义理解（数学思维）| |填空题|3题|函数单调性、集合新定义、最值问题|第13题以“对偶关系”新定义，考查集合应用（数学语言）| |解答题|5题|单调性证明、二次函数、抽象函数、不动点|第19题以不动点定义探究函数性质，考查逻辑推理（数学思维）|

2028届高一上数学周末作业 2025.10.10参考答案 1．D 2．B  3．A 4．A  5． A  解：根据题意，不等式，即：， 当，由可得，可得 当，由，可得或， 综上不等式的解集：故选： 6． C  解：由题意可知：在上单调递减，即； 在上也单调递减，即； 又是R上的减函数，则，， 解得，则实数a的取值范围是故选 7．B 解：由，得， 所以，所以 当时，单调递增区间为，当时，单调递增区间为 综上可得函数的单调递增区间为和 8． C  解：函数是定义域为R，且对，，且，有， 即，设，易得为单调递增函数， 对于不等式，变形可得：，即， 则有，解得：，即不等式的解集为故选： 9．ABD  10． BC解：对于A：，不是奇函数，故A错误； 对于B：时，在递增，故B正确； 对于C，D，画出函数和的图象，如图示： 显然函数的值域是故C正确， 和的图象有3个交点，故D错误；故选： 11．AD  解：当，则，此时， 当，则，此时， 综上所述，，故A正确. 对B，由题意可知，故B错误. 对C，由题意可知均为有理数，所以，故C错误. 对D，若，则，则 若，则，则综上可得：，故D正确， 故选： 12． 13． 解：集合的所有的“对偶关系”有与6，与4，2与0，a与7，这些组合的“对偶关系”有4对，集合有个． 那么，可得当时，则，也满足“对偶关系”． 可得实数a的取值集合为故答案为 14． 解：方法一、由，可得，由，可得 则， 当且仅当，时，等号成立，可得的最小值为； 方法二、，故， 当且仅当，即，时取得等号，可得的最小值为故答案为： 15．解Ⅰ令且， 则， 为，所以，，， 所以，故在上单调递增． Ⅱ由Ⅰ知在上单调递增， 又恒成立恒成立， 所以m的取值范围是 16．解：是二次函数，且的解集是， 设， 在区间上是减函数，在区间上是增函数 ，， 在区间上的最大值是，得 因此函数的表达式为 由得，函数图象的开口向上，对称轴为 ①当时，即时，在上单调递减， 此时的最小值； ②当时，在上单调递增，此时的最小值； ③当时，函数在对称轴处取得最小值，此时， 综上所述的表达式为：， 当时，取最小值  17．解：根据题意，函数在上单调递增，证明如下：设， 则， 又由，则，则，故函数在上单调递增， 根据题意，函数在定义域上单调递增， 若，则有，解可得，即不等式的解集为； 根据题意，的定义域为时，值域为，而在上单调递增， 则有，故方程的两个根为正数m，n， 对于方程，即，变形可得， 若方程有两个不等的正根，则有， 解可得，则a的取值范围为  18．解：令，得，，且， 令，，得，，； 在R上单调递减，证明如下：任取，，且，则： ， ，，且时，，，， 即，在R上单调递减； 令，得，， ， 又在R上单调递减，，， ，解得，原不等式的解集为  19．解：，由，解得或， 所求的不动点为或 令，则①， 由题意，方程①恒有两个不等实根，， 即恒成立，则，故  设，，， 又，是的不动点，，， 、B的中点为又AB的中点在上， ， ， 而，是方程的两个根，，即， ，当，即  答案第2页，共4页 答案第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2028届高一上数学周末作业 2025.10.10 一、单选题 1．下列命题为真命题的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2．下列在定义域内既是奇函数又是减函数的是(      ) A. B. C. D. 3．使“”成立的必要不充分条件是(     ) A. B. C. 或 D. 或 4．我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征.我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是     A. B. C. D. 5．设函数则不等式的解集是（     ） A. B. C. D. 6．已知函数满足对任意实数，都有成立，则实数a的取值范围是     A. B. C. D. 7．若定义在R上的函数满足，则的单调递增区间为(     ) A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 8．若函数是定义域为R，且对，，且，有，不等式的解集为(     ) A. B. C. D. 二、多选题 9．设全集，集合，，则下列运算正确的是(     ) A. B. C. D. 10．已知函数，则(     ) A. B. 在上单调递增 C. 函数的值域是 D. 方程有两个实数根 11．1837年，狄利克雷提出了函数的现代定义，即如果变量y与变量x相关，使得根据某个规则，每个x值都对应唯一一个y值，那么y就是关于自变量x的函数．并举出了个著名的函数-狄利克雷函数：，下列说法正确的有     A. B. 的值域为C. D. 三、填空题 12．已知函数在区间上单调递减，则实数m的取值范围是          . 13．若，则，就称A是“对偶关系”集合，若集合的所有非空子集中是“对偶关系”的集合一共15个，则实数a的取值集合为          .  14．已知R，则的最小值是          .   四、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．已知函数 Ⅰ用单调性定义证明：在上单调递增； Ⅱ若对，恒成立，求实数m的取值范围． 16．已知函数为二次函数，不等式的解集是，且在区间上的最大值为 求的解析式； 设函数在上的最小值为，求的表达式及的最小值． 17．已知定义在上函数，其中 判断函数在上的单调性，并用定义法进行证明； 解不等式； 设，若的定义域为时，值域为，则求正实数a的取值范围. 18．已知定义域为R，对任意x，都有， 当时，，且 求； 试判断在R上的单调性，并证明； 解不等式： 19．定义：若函数在其定义域内存在实数，使，则称是的一个不动点.已知函数 当，时，求函数的不动点； 若对任意的实数b，函数恒有两个不动点，求a的取值范围； 在的条件下，若图象上两个点A、B的横坐标是函数的不动点，且A、B的中点C在函数的图象上，求b的最小值. 第4页，共4页 第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $