4.1 指数 分层同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 该同步练习以“中等-提高-高考-创新”分层设计，覆盖指数概念、运算及综合应用，通过梯度题型实现从基础巩固到创新拓展的知识路径，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |中等题型|单一知识点（概念、基本运算）|直接对应课时基础目标，如分数指数幂表示题| |提高题型|性质综合应用（条件化简、关系推导）|深化性质理解，如含参数化简题| |高考题型|高考能力考点（方程应用、综合化简）|对接高考题型，如方程根求值题| |创新题型|跨情境创新（新定义运算）|培养创新意识，如自定义运算题|

新课标高中数学分层梯度题型精练 第四章指数函数与对数函数 4.1指数导学案 (人教A版2019必修第一册) 【分层梯度题型精练】 一、单项选择题 中等题型 1,若y≠0，则等式y=-下成立的条件是（) A.x>0,y>0 B.x>0,y<0 C.x<0,y>0 D.x<0,y<0 2计算：-16+阅+0-可=() A.π B.4-π C.2-π D.4+π 提高题型 3.设a,b,c均为不等于1的正数，且a2=b3=c,则abc的值为（) A.3 B.2 C.1 D月 4.已知a<b,且ab≠0，化简二次根式V-ab的正确结果是() A:-avab B.-avab C.avab D.a√-ab 5.已知a,b∈R,且3a+b=4,则8+2的最小值是() A.2 B.22 C.4 D.8 高考题型 第1页共4页 新课标高中数学分层梯度题型精练 23 6已知正数mn满足3”g=9则所+的最小值为（) A.2√6 B.4+2W5 C.8+4v3 D.8+2V3 7.下列各式中成立的是（) A.(份=m B.4=3 C.x3+y3=(x+y)4 D.5=5 创新题型 8.已知正实数a,b满足a+b=1,则下列结论正确的是（) A.0<a庙s 8+80 C.Va+Vb≥√2 D.2+2≥22 二、多项选择题 9.已知a5+a5=3,下列各式正确的是() A.a25+a25=7 B.a35+a35=24 C.aita5 D.a25Va5+1 a9g=25 10.a>0,b>0,x>0,y>0,下列运算（化简）中正确的有（) A.)i B.（xy°(4y）=4x c.[1-2-1+2)'+1+2=3-22 第2页共4页 新课标高中数学分层梯度题型精练 三、填空题 [x3-6,x>0 11.(中等题型)已知函数f(x)= x<0则fa) 12.(提高题型)设aeR,且a2-a2=2,求a-a1= 四、解答题 中等题型 13.用分数指数幂表示下列各式： (1)a.a: (2Vav(a>0.b>0): (3)Na "bab2(a>0,b>0. 14.已知x+=22 求(r-er+. 高考题型 15已知60>是方程-5r50的两很宋没 va+6a-6的值. 31 3x4y2 16.（1)化简： 1】 x,少>0) >s]5E26 12 21 2 (2）设a3+b3=4,x=a+3a3b3,y=b+3a3b3,求(x+y)+(x-y)3的值 第3页共4页 新课标高中数学分层梯度题型精练 创新题型 17.定义新运算：a⊕b=a云(a>0,b0),计算27⊕3+16⊕2的值。 第4页共4页新课标高中数学分层梯度题型精练 第四章指数函数与对数函数 4.1指数导学案（人教A版2019必修第一册) 【分层梯度题型精练（含详细解析）】 一、单项选择题 中等题型 1,若y≠0，则等式y=-下成立的条件是（) A.x>0,y>0 B.x>0,y<0 C.x<0,y>0 D.x<0,y<0 【答案】C [x2y3>0 【解析】 .由-炒>0，得x<0 :xy≠0x≠0y≠0 y>0 y>0 故选C 2.计算：-162+ 27月 8 +2-=() A.π B.4-π C.2-π D.4+π 【答案】A m6-可-}2- 故选：A 提高题型 3.设a,b,c均为不等于1的正数，且a2=b3=c,则abc的值为（) A.3 B.2 1 C.1 D.2 【答案】C 【深拐1g=分=心：6=2子-6 即a2b3=a2bb=a2b2c2=1,又a,b,c均为不等于1的正数 第1页共7页 新课标高中数学分层梯度题型精练 所以abc=l 故选：C 4.已知a<b,且ab≠0，化简二次根式V-ab的正确结果是() A.-avab B.-a√ab C.a√ab D.av-ab 【答案】A 【解析】V-ab有意义，-ab≥0，ab≤0， 又：a<b,a<0,b>0,√-ab=-a√-ab 故选：A 5.已知a,b∈R,且3a+b=4,则8+2的最小值是（) A.2 B.2V2 C.4 D.8 【答案】D 【解析】因为3a+b=4 所以8°+2°=20+2≥2202=2√206=2√2=8， 当且仅当2=2即3a=b=2时等号成立 故选：D 高考题型 已知正数m满足39二9则2+的最小值为（ A.2√6 B.4+2V5 C.8+45 D.8+25 【答案】B 【解析】因为正数m、n满足3”.9=9，即3"32”=3+2=9=32，可得m+2n=2 mn2nm2Vnm =4+2W5 3m_4n n m 当且仅当m+2n=2时.即当m=5-1时，等号成立 m>0,n>0 。-3-V5 n= 2 第2页共7页 新课标高中数学分层梯度题型精练 因此名的辰小值为4+25 故选：B 7.下列各式中成立的是（) m A.n -m'ni B.-4=-3 C.x3+y3=(x+y)4 D.V5=5 【答案】D 【解析】对于A选项 〔==m,A项误 对于B选项， -3)-3=3=3=5+3,B选项错误： 对于C选项，(x+y)=x+y)≠+少， C选项错误； 对于D选项丽--- D选项正确 故选：D 创新题型 8.已知正实数a,b满足a+b=1,则下列结论正确的是（) A.0<丽s4 19 B.a b 1+2≥20 c.√a+b≥2 D.2°+2≥2√2 【答案】D 【解析】正实数a,b满足a+b=1 对于A0<历≤”生-，当且仅当0=办时取等号，A错误 ab(a+b+马0+2+9≥0+2x3=6,当且仅当b=3知=时攻等号 对于B, a b a b B错误， 对于C石+6=a+b+2而≤+a+6-2,当且仅当a=b=时取等号：C错误： 对于D,2”+2≥2√22=22：当且仅当a=b=2时取等号，D正确 故选：D 第3页共7页 新课标高中数学分层梯度题型精练 二、多项选择题 9.已知a5+a5=3,下列各式正确的是（) A.a25+a25=7 B.a35+a35=24 a兰+a2=V5 D.a26Va5+1 I答案】ACD 【解析1Aa25+a23-(a5+a-2=9-2=7,故A正确) B.a5+a5=(a5+a5)(a25-1+a25）=3x6=18,故B错误； C.由a5+a5=3可知a>0:故a2+a2>0: =a5+255所以，+。5放c正 D.因为a25a5+1 3535 =a2+a2 33 33) 又a2+a2 =a+。5+2=20,所以原式-2N5枚0正确. 故选：ACD 10.a>0,b>0,x>0,y>0,下列运算（化简）中正确的有（) A(- B.(y(4y）=4x c.[-j]-+++-3-2万 c.2w〔sj-low I答案】ABD 【解析】对于A, ca=品= 故A正确； 对于B,（xy(4y）=4xy-=4y°=4x,故B正确； 第4页共7页 新课标高中数学分层梯度题型精练 对于e[-回'0--1-15-小1 故C错误； 对于D, 故选：ABD 三、填空题 x3-6,x>0 11.(中等题型)已知函数f(x)=1 <0，则(a) x 【答案1月 【解析】因为4>0，所以将x=4代入f(x)=x-6中，可得f(4)=(4)3-6=-2 因为-2<0 所以将：2代入)=车，可得/心-2》=弓号 故答案为：一2 12.(提高题型) 设a∈R,且a2-a2=2,求a-a1= 【答案】4V2 【解标1对，-。-2左右同时平方 ai-a3 =a+a-2=4→a+a=6 同时由a2-a2=2可判断a>1, 则a-a>0,(a-a=(a+a-4=32→a-a=42 故答案为4√2 四、解答题 中等题型 13.用分数指数幂表示下列各式： (1)a.; ②VVaVa>0,b>0: 第5页共7页 新课标高中数学分层梯度题型精练 (3)Vab2ab(a>0,b>0) I答案】()a；2a6;3a86 【解标】(1)a2a=a=a号=a (2)因为a>0,b>0 (3)因为a>0,b>0 8 所以 a 14已知x+1-=22 求er+日 【答案】(1)±2；(2)10W2 保用@因为+片25，所似-42日2空=8 ,1)2 即r42+是8，F+=8-2-6 （=-2=-2+ 因为+2=6，所以=6-2-4，则x-±4=2 ar+(+以-e-+ 已知+252+6 所以r+=22x6-)=22x5=105 高考题型 15已知。，60e>6)是方程-550的两根末没：a va+6a-6的值. 第6页共7页 新课标高中数学分层梯度题型精练 【答案】2W5 【解析】由题意，得a+b=5,ab=5. 又(a-b}2=(a+b)2-4ab=52-4x5=5,而a>b,所以a-b=5. 所以88e-6山g a-b 5 a-b√a+b 所以a+6+a-625 31 3x y2 16.(1)化简： -(x,y>0) 2 21 2 (2)设a3+b3=4,x=a+3ab,y=b+3a3b3,求(x+)+(x-y)的值. 【答案】(1)-10y;(2)8 31 3x4y2 【解标】(1)原式3-10y 10t (2)令a3=A,b3=B, 则x=A+3AB2,y=B3+3AB x+y=A+3AB2+3AB+B3=(A+B)3,x-y=A+3AB2-3AB-B3=(A-B)3. 所以++-=(4+旷+4-旷=2(+）=2。+b]-8 2 所以(x+y)+(x-y)3=8 创新题型 17定义新运算：a⊕b=a5(a>0,b≠0)，计算27⊕3+16⊕2的值。 【解析】根据定义运算： 27⊕3=273=3：16⊕2=162=4° 原式=3+4=7。 【答案】7 第7页共7页