27.2 反比例函数的图象和性质（讲义）2026-2027学年人教版九年级数学上册

本初中数学讲义聚焦反比例函数的图象和性质，系统梳理反比例函数的图象特征（双曲线、不与坐标轴相交）、性质（象限分布、增减性、对称性）、系数k的几何意义（矩形与三角形面积）及与一次函数的综合应用（解析式、交点、不等式、面积），构建从概念到综合应用的递进学习支架。 资料通过考点突破、题型探究（含例题与变式）、分层通关（基础/提升/培优）的设计，以反比例函数与几何综合题为例，培养学生的几何直观和推理能力，课中辅助教师高效授课，课后助力学生查漏补缺，提升应用意识与数学思维。

27.2 反比例函数的图象和性质 目录 Part1考点突破 考点1：反比例函数的图象与性质 考点2：反比例函数系数k的几何意义 考点3：反比例函数与一次函数的综合 Part2 题型探究 题型1：反比例函数的图象与性质 题型2：反比例函数系数k的几何意义 题型3：求反比例函数解析式 题型4：反比例函数与一次函数的综合 题型5：反比例函数与几何综合及规律探究 Part3 分层通关 【考点1：反比例函数的图象与性质】 1、反比例函数的图象 反比例函数的图象是双曲线，由两支不连贯的曲线组成。因为自变量x≠0，且函数值y≠0，所以图象无限接近坐标轴但永远不与坐标轴相交。 2、反比例函数的性质 对于反比例函数（为常数，）： 当时：图象的两支曲线分别位于第一、第三象限；在每一个象限内，随的增大而减小。 当时：图象的两支曲线分别位于第二、第四象限；在每一个象限内，随的增大而增大。 注意：反比例函数的增减性不是连续的，必须强调"在每一个象限内"，不能笼统地说"y随x的增大而增大（或减小）"。 3、反比例函数图象的对称性 反比例函数的图象关于原点成中心对称。正比例函数y=kx与反比例函数y=k/x在同一坐标系中时，若有交点，则两个交点关于原点对称。 【考点2：反比例函数系数k的几何意义】 1、k的几何意义 过反比例函数图象上任意一点作轴、轴的垂线，所得矩形的面积等于。 2、三角形面积 过反比例函数图象上任意一点作某一坐标轴的垂线，连接该点与原点，所得三角形的面积等于。 3、应用要点 利用k的几何意义可以快速求解与反比例函数图象相关的面积问题，也可以由已知面积反求k的值。注意k的符号由图象所在象限决定：第一、三象限k>0，第二、四象限k<0。 【考点3：反比例函数与一次函数的综合】 1、求函数解析式 已知反比例函数图象上一点的坐标，将其代入y=k/x即可求出k的值，确定反比例函数解析式。已知一次函数图象上两点的坐标，利用待定系数法可求出一次函数解析式。 2、交点问题 一次函数与反比例函数的交点坐标同时满足两个函数的解析式。联立两个函数的解析式，解方程组即可求出交点坐标。若正比例函数与反比例函数有交点，则两个交点关于原点对称。 3、不等式的图象解法 利用函数图象解不等式时，观察一次函数图象在反比例函数图象上方（或下方）时对应的自变量取值范围，即为不等式的解集。注意要分区间讨论，不能遗漏。 4、面积问题 在一次函数与反比例函数的综合题中，常涉及三角形、四边形的面积计算。可利用坐标表示线段长度，结合k的几何意义，将不规则图形分割为规则图形求解。 【题型1：反比例函数的图象与性质】 【例1】反比例函数的图像大致是（ ） A． B． C． D． 【变式1】反比例函数的大致图象是（    ） A．B． C． D． 【变式2】已知反比例函数 的图象分布在第二、四象限，则下列说法正确的是（ ） A．，在每个象限内，y随x增大而减小 B．， 在每个象限内，y随x增大而增大 C．， 在每个象限内，y随x增大而增大 D．， 在每个象限内，y随x增大而减小 【变式3】若三点都在函数的图象上，则的大小关系是（     ） A． B． C． D．无法确定 【题型2：反比例函数系数k的几何意义】 【例2】反比例函数的图象如图所示，点是反比例函数图象上一点，过点作轴于点，连接，则的面积是（ ） A．1 B．2 C．5 D．6 【变式1】如图，在矩形中，点、在轴上，点、分别在反比例函数和上，若矩形的面积为6，则的值是（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图，点，分别为反比例函数（）与（）图象上的点，轴，点在轴上，连接、，则的面积为（ ）． A．6.5 B．8.5 C．11 D．13 【变式3】如图，点A，B分别为反比例函数与图象上的点，轴，点P在x轴上，连接、，则的面积为______． 【题型3：求反比例函数解析式】 【例3】反比例函数的图象如图所示，则的值可能是（    ） A．6 B．10 C． D． 【变式1】已知反比例函数的图像经过点，那么这个反比例函数的表达式是（ ） A． B． C． D． 【变式2】图1是一盏亮度可调节的台灯，通过调节电阻来控制电流实现灯光亮度的变化．电流（单位：）与电阻（单位：）之间成反比例函数关系，其图象如图2所示．当时，该台灯的电阻是___________． 【变式3】已知反比例函数的图象如图所示，试回答下列问题： (1)求这个函数的表达式； (2)你认为点，是否在这个函数的图象上，请说明理由． 【题型4：反比例函数与一次函数的综合】 【例4】已知，则反比例函数和一次函数的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【变式1】如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，则关于x的不等式的解集是（     ） A．或 B．或 C．或 D． 【变式2】如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点．在反比例函数图象上有一点，过点作轴于点，连接，． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)求四边形的面积． 【变式3】如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点，与y轴交于点C． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)根据图象，直接写出时x的取值范围． 【题型5：反比例函数与几何综合及规律探究】 【例5】如图，在平面直角坐标系中，点，，将向右平移到位置，点A、O的对应点分别是C、E，函数的图象经过点C和的中点F，则k的值为（     ） A． B． C． D．15 【变式1】如图，平面直角坐标系中，的对角线、相交于，已知，，若函数图象经过点、图象经过点，则___________． 【变式2】如图，在反比例函数的图像上有点、、、…，它们的横坐标依次为1、2、3、4… ，分别过这些点作轴与 轴的垂线，图中所构成的涂色部分的面积从左到右依次为、、…，请用含有 的代数式表示的值___________． 【变式3】如图，在菱形中，，，．反比例函数的图像经过点． (1)求反比例函数的解析式； (2)菱形的对角线与相交于点，将菱形沿轴的正方向平移，当点恰好在反比例函数的图像上时，试判断此时点是否也在反比例函数的图像上？请说明理由． 【基础通关练】 1．反比例函数的图象一定经过的点是（ ） A． B． C． D． 2．阿基米德说：“给我一个支点，我就能撬动整个地球”这句话精辟地阐明了一个重要的物理学知识——杠杆原理即“阻力×阻力臂=动力×动力臂”．若已知某一杠杆的阻力和阻力臂分别为和，则这一杠杆的动力F和动力臂l之间的函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 3．如图，过原点的直线与反比例函数的图像交于A，B两点，若点，则点B的坐标为（ ） A． B． C． D． 4．若点A(x1，2)、B(x2，-1)、C(x3，4)都在反比例函数 的图象上，则x1、x2、x3的大小关系是（     ） A． B． C． D． 5．已知反比例函数，下列结论正确的是（ ） A．点在该函数的图象上 B．该函数的图象分别位于第二、第四象限 C．当时， D．当时， 6．如图，点A是反比例函数图象上的一个动点，过点A作轴，轴，垂足分别为B，C，则矩形的面积为________． 【提升通关练】 1．点在函数图象上，下列说法正确的是（ ） A．y随x的增大而增大 B．图象关于y轴对称 C．点和点都在图象上 D．当时， 2．对于反比例函数，下列结论正确的是（     ） A．点在该函数的图象上 B．该函数的图象分别位于第二、第四象限 C．当时， D．y随x的增大而减小 3．若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系为（ ） A． B． C． D． 4．如图，点在反比例函数（）的图象上，点是上一点，作轴于点，连接．若，的面积为，则的值为（ ） A． B． C． D． 5．记实数，，…，中的最小数为，例如，则函数的图象大致为（ ） A． B． C． D． 6．如图，的边交反比例函数的图象于点，且，点，，在坐标轴上，已知的面积为16，则的值为________． 7．如图，平面直角坐标系xOy中，直线与双曲线的交点A，B位于第一，第三象限．分别过点A，B作x轴，y轴的垂线，交于点C，若，，则k的值是______． 8．如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴，垂足为B，与反比例函数的图象交于点D．若，则k的值为__________． 9．如图，在矩形中，，，反比例函数的图象经过矩形边的中点D，交边于点E． (1)求反比例函数的表达式； (2)在x轴上找一点P使的周长最小，求此时点P的坐标； (3)在（2）的条件下，直接写出的面积． 10．在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数（）交于、两点，一次函数交轴于点，点在轴正半轴上，满足，连接、． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)计算的面积． 11．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与y轴交于点C． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)根据图象，直接写出时x的取值范围． 【培优通关练】 1．已知二次函数的图象如下，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ） A． B． C． D． 2．如图，，，，…是分别以为直角顶点，一条直角边在x轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点，，，…，均在反比例函数的图象上，则的值为（     ） A． B． C． D． 3．如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在反比例函数（，）和的图象上，点在轴上，连接、、，轴于点，若，则的值为_____． 4．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点，其中点A、点B的横坐标分别是和3． (1)当时，自变量的取值范围为________； (2)求出一次函数和反比例函数的表达式； (3)将直线向上平移m个单位长度后，与反比例函数图象交于C，D两点，与两坐标轴分别相交于E，F两点．若，求m的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 27.2 反比例函数的图象和性质 目录 Part1考点突破 考点1：反比例函数的图象与性质 考点2：反比例函数系数k的几何意义 考点3：反比例函数与一次函数的综合 Part2 题型探究 题型1：反比例函数的图象与性质 题型2：反比例函数系数k的几何意义 题型3：求反比例函数解析式 题型4：反比例函数与一次函数的综合 题型5：反比例函数与几何综合及规律探究 Part3 分层通关 【考点1：反比例函数的图象与性质】 1、反比例函数的图象 反比例函数的图象是双曲线，由两支不连贯的曲线组成。因为自变量x≠0，且函数值y≠0，所以图象无限接近坐标轴但永远不与坐标轴相交。 2、反比例函数的性质 对于反比例函数（为常数，）： 当时：图象的两支曲线分别位于第一、第三象限；在每一个象限内，随的增大而减小。 当时：图象的两支曲线分别位于第二、第四象限；在每一个象限内，随的增大而增大。 注意：反比例函数的增减性不是连续的，必须强调"在每一个象限内"，不能笼统地说"y随x的增大而增大（或减小）"。 3、反比例函数图象的对称性 反比例函数的图象关于原点成中心对称。正比例函数y=kx与反比例函数y=k/x在同一坐标系中时，若有交点，则两个交点关于原点对称。 【考点2：反比例函数系数k的几何意义】 1、k的几何意义 过反比例函数图象上任意一点作轴、轴的垂线，所得矩形的面积等于。 2、三角形面积 过反比例函数图象上任意一点作某一坐标轴的垂线，连接该点与原点，所得三角形的面积等于。 3、应用要点 利用k的几何意义可以快速求解与反比例函数图象相关的面积问题，也可以由已知面积反求k的值。注意k的符号由图象所在象限决定：第一、三象限k>0，第二、四象限k<0。 【考点3：反比例函数与一次函数的综合】 1、求函数解析式 已知反比例函数图象上一点的坐标，将其代入y=k/x即可求出k的值，确定反比例函数解析式。已知一次函数图象上两点的坐标，利用待定系数法可求出一次函数解析式。 2、交点问题 一次函数与反比例函数的交点坐标同时满足两个函数的解析式。联立两个函数的解析式，解方程组即可求出交点坐标。若正比例函数与反比例函数有交点，则两个交点关于原点对称。 3、不等式的图象解法 利用函数图象解不等式时，观察一次函数图象在反比例函数图象上方（或下方）时对应的自变量取值范围，即为不等式的解集。注意要分区间讨论，不能遗漏。 4、面积问题 在一次函数与反比例函数的综合题中，常涉及三角形、四边形的面积计算。可利用坐标表示线段长度，结合k的几何意义，将不规则图形分割为规则图形求解。 【题型1：反比例函数的图象与性质】 【例1】反比例函数的图像大致是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了反比例函数的图像与性质，理解函数与图像的关系是解题的关键； 根据反比例函数的比例系数，得出函数图像是位于第二四象限的双曲线，据此判断即可． 【详解】解：由知，， ∴反比例函数经过第二、四象限， 故选：A． 【变式1】反比例函数的大致图象是（    ） A．B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数图象的性质，熟练掌握反比例函数的比例系数包括前面的符号是解题的关键．根据反比例函数图象的性质并结合其比例系数解答即可． 【详解】解：， 此函数图象在二、四象限， 故选：A． 【变式2】已知反比例函数 的图象分布在第二、四象限，则下列说法正确的是（ ） A．，在每个象限内，y随x增大而减小 B．， 在每个象限内，y随x增大而增大 C．， 在每个象限内，y随x增大而增大 D．， 在每个象限内，y随x增大而减小 【答案】B 【分析】先根据图象所在象限确定比例系数的符号，求出m的取值范围，再结合反比例函数的增减性判断选项即可. 【详解】解：∵反比例函数的图象分布在第二、四象限，比例系数， ∴，在每个象限内，随增大而增大； 解得. 【变式3】若三点都在函数的图象上，则的大小关系是（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】先根据比例系数判断反比例函数图象所在象限和增减性，再根据各点横坐标判断点所在象限，进而比较函数值大小． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴函数图象的两个分支分别位于第二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大. ∵， ∴点、在第二象限， ∴. ∵， ∴点在第四象限， ∴. 综上可得． 【题型2：反比例函数系数k的几何意义】 【例2】反比例函数的图象如图所示，点是反比例函数图象上一点，过点作轴于点，连接，则的面积是（ ） A．1 B．2 C．5 D．6 【答案】B 【分析】直接根据值的几何意义，即可得出结果. 【详解】解：∵点是反比例函数图象上一点，轴于点， ∴的面积是. 【变式1】如图，在矩形中，点、在轴上，点、分别在反比例函数和上，若矩形的面积为6，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设与轴交于点，根据反比例函数的几何意义可知，矩形的面积为，矩形的面积为，由矩形的面积为6建立方程求解即可． 【详解】解：如图，设与轴交于点， 四边形是矩形，点、在轴上， 轴，轴，轴， 四边形和四边形均为矩形． 点在反比例函数的图象上， ． 点在反比例函数的图象上，且图象在第一象限， ， ． ， ， ． 【变式2】如图，点，分别为反比例函数（）与（）图象上的点，轴，点在轴上，连接、，则的面积为（ ）． A．6.5 B．8.5 C．11 D．13 【答案】A 【分析】连接，，设与轴交于点，将 面积转化为 的面积，然后结合反比例函数系数 的几何意义求解． 【详解】解：如图，连接 ，，设 与 轴交于点 ， 轴， ， 点 ， 分别为反比例函数 ，的图象上的点， ，， ． 【变式3】如图，点A，B分别为反比例函数与图象上的点，轴，点P在x轴上，连接、，则的面积为______． 【答案】 【分析】连接，，设与轴交于点，将面积转化为的面积，然后结合反比例函数系数的几何意义求解． 【详解】解：如图，连接，，设与轴交于点， 轴， ，轴， 点A，B分别为反比例函数与图象上的点， ，， ． 【题型3：求反比例函数解析式】 【例3】反比例函数的图象如图所示，则的值可能是（    ） A．6 B．10 C． D． 【答案】A 【分析】根据，，且，即可作答． 【详解】解：根据反比例函数的图象性质可知，， 结合图象得， 只有A选项在此范围内． 【变式1】已知反比例函数的图像经过点，那么这个反比例函数的表达式是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将已知点的坐标代入反比例函数一般式，求出系数k即可得到函数表达式． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴将，代入解析式得， 解得， ∴反比例函数的表达式为． 【变式2】图1是一盏亮度可调节的台灯，通过调节电阻来控制电流实现灯光亮度的变化．电流（单位：）与电阻（单位：）之间成反比例函数关系，其图象如图2所示．当时，该台灯的电阻是___________． 【答案】 【分析】本题主要考查反比例函数的应用、用待定系数法求反比例函数解析式、反比例函数的图象与性质．要熟练掌握物理或化学学科中的一些具有反比例函数关系的公式．同时体会数学中的转化思想是解答本题的关键．设电流（A）与电阻之间的函数关系，根据待定系数法求得，将代入函数关系式中，求出即可． 【详解】解：由图象可知，电流（A）与电阻之间满足反比例函数关系， 设电流（A）与电阻之间的函数关系为， 点在函数的图象上， ， 解得：， 电流（A）与电阻之间的函数关系为， 当时，， ． 故答案为：． 【变式3】已知反比例函数的图象如图所示，试回答下列问题： (1)求这个函数的表达式； (2)你认为点，是否在这个函数的图象上，请说明理由． 【答案】(1)这个函数的表达式为； (2)不在这个函数的图象上，理由见解析． 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，待定系数法求解析式，掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． （）把点代入即可求解； （）当时，即可判断点是否在这个函数的图象上． 【详解】（1）解：根据图象可知，反比例函数的图象过点， ∴， ∴这个函数的表达式为； （2）解：不在这个函数的图象上，理由， 当时，， ∴点不在这个函数的图象上． 【题型4：反比例函数与一次函数的综合】 【例4】已知，则反比例函数和一次函数的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分和两种情况，进行讨论，判断即可. 【详解】解：当时，则，则双曲线过一、三象限， ∵，，则直线过一、二、四象限； 当时，则，则双曲线过二、四象限， ∵，，则直线过一、二、三象限； 观察可知，只有选项C的图象符合题意. 【变式1】如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，则关于x的不等式的解集是（     ） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】A 【分析】根据函数图象得到当或时在上方，即可得到答案． 【详解】解：一次函数与反比例函数的图象交于，两点， 根据函数图象可知当或时在上方， 关于的不等式解集是或． 【变式2】如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点．在反比例函数图象上有一点，过点作轴于点，连接，． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）将点分别代入一次函数和反比例函数，可求出和． （2）由反比例函数的表达式求出点的坐标，再分别求一次函数与轴交点和点的坐标，将四边形分割为两个三角形求面积即可． 【详解】（1）解：由题意，点在一次函数上， ，解得； 一次函数的表达式为． 点在反比例函数上， ，解得， 反比例函数的表达式为． （2）解：点 在反比例函数 上， ∴点 的坐标为， 轴，垂足 在 轴上， 点的坐标为， 直线 与 轴交点 ， 令 ，则，解得， ∴ 点的坐标为， ， 四边形的面积为． 【变式3】如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点，与y轴交于点C． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)根据图象，直接写出时x的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）根据待定系数法求出一次函数与反比例函数的表达式； （2）观察图象，找到的图象在的图象上方部分的图象所对应的自变量取值范围即可． 【详解】（1）解：将代入得， ∴反比例函数的表达式为， 将代入得， ∴， 将、代入得， 解得， ∴一次函数的表达式为； （2）根据图象，当时，也就是的图象在的图象上方，所以在点A的左侧及y轴和点B之间的图象，即或． 【题型5：反比例函数与几何综合及规律探究】 【例5】如图，在平面直角坐标系中，点，，将向右平移到位置，点A、O的对应点分别是C、E，函数的图象经过点C和的中点F，则k的值为（     ） A． B． C． D．15 【答案】D 【分析】根据图形的平移，设平移距离为，分别表示点的坐标，由中点坐标的计算得到，把点C，F代入计算即可求解． 【详解】解：点，， ∴， ∵将向右平移到位置，设平移距离为， ∴， ∴， ∵点F是线段的中点， ∴点F的横坐标为，纵坐标为， ∴， ∵点C，F在反比例函数的图象上， ∴，即， 解得， ． 【变式1】如图，平面直角坐标系中，的对角线、相交于，已知，，若函数图象经过点、图象经过点，则___________． 【答案】/ 【分析】过点作轴的垂线，垂足为，过点作轴的垂线，垂足为，两直线相交于点，则四边形是矩形，设，相交于点，先证明是等腰直角三角形，设，证明，求得，作轴于点，作轴于点，则四边形是矩形，再证明，求得，再根据反比例函数的性质求解即可． 【详解】解：过点作轴的垂线，垂足为，过点作轴的垂线，垂足为，两直线相交于点，则四边形是矩形，设，相交于点， ∵， ∴， ∵在中，， ∴与平行，，， ∴， ∵， ∴设，则，， ∴，， ∴是等腰直角三角形， 设，即，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 作轴于点，作于点，则四边形是矩形，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴, ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∵、在函数图象上， ∴，， ∵在函数图象上， ∴， ∴． 【变式2】如图，在反比例函数的图像上有点、、、…，它们的横坐标依次为1、2、3、4… ，分别过这些点作轴与 轴的垂线，图中所构成的涂色部分的面积从左到右依次为、、…，请用含有 的代数式表示的值___________． 【答案】 【分析】根据反比例函数的性质求出，再相加求和即可 【详解】解：的横坐标依次为1、2、3、4…， 的宽都为1，的纵坐标依次为， 的高依次为， 可归纳总结出的高为， 故， 【变式3】如图，在菱形中，，，．反比例函数的图像经过点． (1)求反比例函数的解析式； (2)菱形的对角线与相交于点，将菱形沿轴的正方向平移，当点恰好在反比例函数的图像上时，试判断此时点是否也在反比例函数的图像上？请说明理由． 【答案】(1) (2)解：平移后点E不在反比例函数的图像上，理由如下： ∵，，，菱形沿轴的正方向平移，点恰好在反比例函数的图像上， ∴菱形沿轴的正方向平移，此时点D和点C重合， 即菱形沿轴的正方向平移8个单位，点恰好在反比例函数的图像上， ∵菱形中， ∴点E是的中点， ∵，， ∴，即， ∴平移后点的坐标为，即， 当时，反比例函数值为，而． ∴平移后点E不在反比例函数的图像上． 【分析】（1）如图：过点C作轴于点Q，根据两点间的距离公式得到，根据菱形的性质得到，，根据勾股定理得到，求得，得到，把点C代入即可解答； （2）先说明菱形沿轴的正方向平移8个单位，点恰好在反比例函数的图像上，然后求出平移后点的坐标为，再判断其是否在反比例函数图像即可解答． 【详解】（1）解：如图：过点C作轴于点Q， ∵，， ∴， ∵菱形中，， ∴，，， ， ， ，， ∴， ∵点C在反比例函数的图像上． ， ∴反比例函数的表达式为； （2）略 【基础通关练】 1．反比例函数的图象一定经过的点是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将各选项点的坐标代入解析式验证即可． 【详解】解：∵反比例函数解析式为， 对选项A，点，当时，， ∴点不在函数图象上，A不符合题意； 对选项B，点，当时，，等式成立， ∴点在函数图象上，B符合题意； 对选项C，点，当时，， ∴点不在函数图象上，C不符合题意； 对选项D，点，当时，， ∴点不在函数图象上，D不符合题意． 2．阿基米德说：“给我一个支点，我就能撬动整个地球”这句话精辟地阐明了一个重要的物理学知识——杠杆原理即“阻力×阻力臂=动力×动力臂”．若已知某一杠杆的阻力和阻力臂分别为和，则这一杠杆的动力F和动力臂l之间的函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查反比例函数的图象与性质，解题的关键是理解题意；由题意易得，则有，然后问题可求解． 【详解】解：由题意得：， ∴，是反比例函数解析式，且， 只有B选项符合题意； 故选：B． 3．如图，过原点的直线与反比例函数的图像交于A，B两点，若点，则点B的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据反比例函数图像的对称性求解即可． 【详解】解：∵过原点的直线与反比例函数的图像交于A，B两点，， ∴A，B两点关于原点对称， ∵点A的坐标是， 点B的坐标为． 4．若点A(x1，2)、B(x2，-1)、C(x3，4)都在反比例函数 的图象上，则x1、x2、x3的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将三个点的纵坐标代入反比例函数解析式，求出，，的值，再比较大小即可得到结果． 【详解】解：∵点，，都在反比例函数的图象上， ∴分别将三点纵坐标代入解析式： 代入点得，解得， 代入点得，解得， 代入点得，解得， ∵ ， ∴ ． 5．已知反比例函数，下列结论正确的是（ ） A．点在该函数的图象上 B．该函数的图象分别位于第二、第四象限 C．当时， D．当时， 【答案】C 【分析】反比例函数中，根据点在函数图象上的判定，反比例函数的象限分布和增减性，逐一判断选项即可． 【详解】解：A、∵反比例函数， ∴当时，，故A错误； B、∵， ∴反比例函数图象位于第一、第三象限，故B错误； C、∴在每一象限内，随的增大而减小， ∵，两点都在第三象限， ∴，故C正确； D、若，，满足， 此时，， ∴，不符合，故D错误． 6．如图，点A是反比例函数图象上的一个动点，过点A作轴，轴，垂足分别为B，C，则矩形的面积为________． 【答案】4 【分析】由于点A是反比例函数上一点，矩形的面积． 【详解】解：由题意得：． 【提升通关练】 1．点在函数图象上，下列说法正确的是（ ） A．y随x的增大而增大 B．图象关于y轴对称 C．点和点都在图象上 D．当时， 【答案】C 【分析】根据反比例函数的图象与性质，对所给选项依次进行判断即可． 【详解】解：由题知， 因为反比例函数解析式为， 所以该反比例函数的图象位于第二、四象限，且在每个象限内y随x的增大而增大， 故A选项不符合题意； 因为反比例函数的图象不关于y轴对称， 故B选项不符合题意； 因为点在函数图象上， 则， 所以， 所以点和点都在图象上， 故C选项符合题意； 当时，， 故D选项 不符合题意． 2．对于反比例函数，下列结论正确的是（     ） A．点在该函数的图象上 B．该函数的图象分别位于第二、第四象限 C．当时， D．y随x的增大而减小 【答案】B 【详解】解：A、当时，，点不在该函数图象上，A错误； B、反比例函数中，，则该函数的图象分别位于第二、第四象限，B正确； C、当时，，可得，即，不符合，C错误； D、时，反比例函数仅在每个象限内满足随的增大而增大，对全体x不满足y随x增大而减小，D错误． 3．若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将三个点的纵坐标代入反比例函数解析式，分别求出横坐标的值，再比较大小即可得到结果． 【详解】解：∵点，，都在反比例函数的图象上， ∴分别代入解析式得： ，，， ∵， ∴． 4．如图，点在反比例函数（）的图象上，点是上一点，作轴于点，连接．若，的面积为，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据和同高，求出的面积，再根据反比例函数系数的几何意义求出的值，最后结合反比例函数图象在第二象限求解即可． 【详解】点在上，， 和同高， ， 的面积为， ， 轴， ， 解得， 点所在的反比例函数图象在第二象限， ， ． 5．记实数，，…，中的最小数为，例如，则函数的图象大致为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别求出三个函数 ，， 的交点，确定在不同 取值范围内哪个函数值最小，从而确定分段函数的解析式及图象走势． 【详解】解：令 ，， 联立， ，即 ， 解得 ， 当 时， ，且 ， 此时 ，图象为从 出发的线段， 联立 ，即 ，解得 （约等于2.8）， 当 时， 且 ， 此时 ，图象为上升线段 ， 当 时，， 此时 ，图象为下降的双曲线分支 综上所述， 图象先从 快速上升，转折后缓慢上升，最后下降，只有A选项符合． 6．如图，的边交反比例函数的图象于点，且，点，，在坐标轴上，已知的面积为16，则的值为________． 【答案】4 【分析】连接，由平行四边形的性质得到，可证明，由平行线的性质得到，再由反比例函数比例系数的几何意义可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴轴， ∵点P在反比例函数的图象上， ∴， 又∵反比例函数的图象经过第一象限，即， ∴． 7．如图，平面直角坐标系xOy中，直线与双曲线的交点A，B位于第一，第三象限．分别过点A，B作x轴，y轴的垂线，交于点C，若，，则k的值是______． 【答案】 12 【详解】正比例函数与反比例函数的交点、关于原点对称，因此设，则（其中）， 由，可知：， 解得，，即点的坐标为， 将代入双曲线：, 故. 8．如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴，垂足为B，与反比例函数的图象交于点D．若，则k的值为__________． 【答案】 【分析】根据反比例函数k的几何意义得，结合，可得，进而可求出k的值． 【详解】解：∵点A在反比例函数的图象上，点D在反比例函数的图象上，轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 9．如图，在矩形中，，，反比例函数的图象经过矩形边的中点D，交边于点E． (1)求反比例函数的表达式； (2)在x轴上找一点P使的周长最小，求此时点P的坐标； (3)在（2）的条件下，直接写出的面积． 【答案】(1) (2) (3)1 【分析】（1）先求解，再进一步求解即可； （2）作点D关于轴的对称点F，连接交轴于点P，则点P就是所求点，再进一步求解即可． （3）利用，进一步计算即可． 【详解】（1）解：依题意，在矩形中，，， ∴， ∵为的中点， ∴ 反比例函数的图象经过点D， ， 反比例函数的表达式为． （2）解：连接，作点D关于轴的对称点F，连接交轴于点P，则点P就是所求点． ∴， 把代入， ∴， ∴， 设直线的表达式为， 把，代入，得： ， 解这个方程组，得， 当时，，， ． （3）解：如图，∵，，， ． 10．在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数（）交于、两点，一次函数交轴于点，点在轴正半轴上，满足，连接、． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)计算的面积． 【答案】(1)一次函数：，反比例函数： (2)的面积为 【分析】（1）将B点坐标代入​​即可求出，再将A点横坐标代入反比例函数解析式求出m，得到A点坐标．将A、B两点坐标代入，解二元一次方程组得到​和b，即可得到答案． （2）因为一次函数与y轴交点的横坐标为0，所以令一次函数中得到C点坐标，进而得到长度，结合且D在x轴正半轴，得到D点坐标．可知垂直于轴，长度为．求出点到直线（直线）的水平距离代入三角形面积公式，计算即得答案． 【详解】（1）解：已知点在反比例函数上， ∴， 解得， ∴反比例函数解析式为：． ∵点在反比例函数上， ∴， ∴． 将、代入一次函数，得方程组， 解得， ∴一次函数解析式为：． （2）解：∵一次函数交轴于，令，得， ∴， ∴． ∵，且在轴正半轴， ∴， ∴． ∵、， 可知垂直于轴， 长度为． 点到直线（直线）的水平距离设为h， ∴， ∴． 11．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与y轴交于点C． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)根据图象，直接写出时x的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）将代入求出反比例函数的表达式，进而求出，将，代入计算即可； （2）直接根据函数图象作答即可． 【详解】（1）解：将代入得，解得：， ∴反比例函数的表达式为； 将代入得，解得：， ∴， 将，代入得： ， 解得：， ∴； （2）解：由函数图象可知，当时，或． 【培优通关练】 1．已知二次函数的图象如下，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数图象的性质得到，，，由此得到一次函数、反比例函数图象经过的象限，把代入得到，联立方程组得到一次函数与反比例函数的交点坐标，由此即可求解． 【详解】解：根据二次函数图象得到，开口向下，对称轴直线为，二次函数图象与x轴交于点，二次函数与y轴交于正半轴， ∴，，， ∴， ∴一次函数的图象经过第二、三、四象限， 反比例函数经过第一、三象限， 当时，， ∴， ∴， 解得，或， ∴一次函数与反比例函数的交点坐标为，， ∴符合题意的函数图象是A选项 ． 2．如图，，，，…是分别以为直角顶点，一条直角边在x轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点，，，…，均在反比例函数的图象上，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据点的坐标，确定，可求反比例函数关系式，由点是等腰直角三角形的斜边中点，可以得到的长，然后再设未知数，表示点的坐标，确定，代入反比例函数的关系式，建立方程解出未知数，表示点的坐标，确定，……然后再求和． 【详解】解：如图，过……分别作轴的垂线，垂足分别为……， 则， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴，即． 其斜边的中点在反比例函数中， ∴， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， 设，则， 此时将代入得， 解得，即， 同理， ． ∴ ． 3．如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在反比例函数（，）和的图象上，点在轴上，连接、、，轴于点，若，则的值为_____． 【答案】 【分析】设点的坐标为，根据轴可知点、的横坐标均为，分别代入两个反比例函数解析式表示出和的长度，利用建立关于的方程求解即可． 【详解】解：设点的坐标为，其中， 轴于点， 点、的横坐标均为 点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上， ，， 由图象可知，点在第一象限，点在第四象限， ，， ， ， ， ． 4．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点，其中点A、点B的横坐标分别是和3． (1)当时，自变量的取值范围为________； (2)求出一次函数和反比例函数的表达式； (3)将直线向上平移m个单位长度后，与反比例函数图象交于C，D两点，与两坐标轴分别相交于E，F两点．若，求m的值． 【答案】(1)或 (2)一次函数的表达式为：，反比例函数的表达式为 (3) 【分析】（1）直接由图象法求解即可； （2）把点、代入一次函数得：，解得：，即可求解； （3）根据直线，得，设直线与y轴交于点G，再由，即，求得，则，把代入，得即可确定平移后的函数解析式，再由一次函数的平移即可求解． 【详解】（1）解：∵一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点，且点A、点B的横坐标分别是和3． ∴由图象可得：当时，自变量x的取值范围为或； （2）解：∵点 、点的横坐标分别是和3， ∴点、， 将点、代入一次函数得： ， 解得：， ∴一次函数的表达式为：，反比例函数的表达式为； （3）解：∵直线， ， 设直线与y轴交于点G， 令，则， ∴， 又， ， 即， 解得， ∴， ∴ 设平移后的函数解析式为： 把代入，得， 直线的表达式为， ∵直线向上平移m个单位长度， ∴平移后的函数解析式为：， ∴， 解得：． 学科网（北京）股份有限公司 $