27.3 实际问题与反比例函数 讲义 2026-2027学年人教版九年级数学上册

本初中数学讲义聚焦“实际问题与反比例函数”核心知识点，系统梳理反比例函数解决实际问题的基本思路与步骤，整合跨学科应用（如物理杠杆原理、压强公式）及与一次函数的综合应用（分段函数模型），构建从方法掌握到实际应用再到综合拓展的学习支架。 该资料以跨学科实例（如欧姆定律中电流与电阻关系、密度与体积关系）和分层通关练习为特色，通过实际情境抽象反比例关系培养数学眼光，分析函数性质提升推理能力，用函数模型解决问题发展应用意识，课中辅助教师高效授课，课后助力学生巩固知识、查漏补缺。

27.3 实际问题与反比例函数 目录 Part1考点突破 考点1：反比例函数解决实际问题的基本思路与步骤 考点2：反比例函数在跨学科中的应用 考点3：一次函数与反比例函数的综合实际应用 Part2 题型探究 题型1：反比例函数在实际生活中的应用 题型2：反比例函数在跨学科中的应用 题型3：一次函数与反比例函数的综合实际应用 Part3 分层通关 【考点1：反比例函数解决实际问题的基本思路与步骤】 1、基本思路 建立函数解析式→利用函数图象和性质求解→获得实际问题的答案。关键是从实际问题中抽象出两个变量之间的反比例关系，确定比例系数k，再运用反比例函数的图象和性质解决问题。 2、一般步骤 （1）审清题意，根据常量、变量之间的关系，设出函数解析式，待定的系数用字母表示； （2）由题目中的已知条件，列出方程，求出待定系数； （3）写出函数解析式，并注意解析式中变量的取值范围； （4）利用函数解析式、函数的图象和性质等去解决问题。 3、常见实际问题模型 当两个变量的乘积为定值时，这两个变量成反比例关系。设两个变量为和，定值为，则，即（）。 常见模型包括：工程问题（工作总量一定，工作效率与工作时间成反比）、行程问题（路程一定，速度与时间成反比）、物理问题（压力一定，压强与受力面积成反比；电压一定，电流与电阻成反比等）。 【考点2：反比例函数在跨学科中的应用】 1、物理中的反比例关系 杠杆原理：阻力×阻力臂=动力×动力臂，即动力与动力臂满足反比例关系：。动力臂越长，撬动物体所需的力越小。 压强公式：压力一定时，压强与受力面积成反比例关系：。受力面积越大，压强越小。 欧姆定律：电压一定时，电流与电阻成反比例关系：。电阻越大，电流越小。 2、其他学科中的反比例关系 密度问题：质量一定时，密度与体积成反比；功率问题：功率一定时，力与速度成反比；焦距问题：眼镜度数与镜片焦距成反比等。这些跨学科问题的核心都是识别出"乘积为定值"的两个变量，建立反比例函数模型求解。 3、解题要点 跨学科应用题通常结合图象或表格给出数据，解题时要：①识别学科背景中的反比例关系；②从图象或表格中读取一组对应值，用待定系数法求k；③结合函数性质（增减性、取值范围）分析实际意义；④注意自变量的取值范围要符合实际情境。 【考点3：一次函数与反比例函数的综合实际应用】 1、分段函数模型 在实际问题中，两个变量之间的关系可能在不同阶段分别满足一次函数和反比例函数。例如饮水机加热阶段水温与时间成一次函数关系，降温阶段成反比例函数关系。解题时需要分段讨论，分别求出各段的函数解析式。 2、求分段函数解析式 一次函数段：利用待定系数法，已知两点坐标求y=kx+b；反比例函数段：已知一点坐标求y=k/x。注意分段点处两个函数的函数值相等，这是连接两段的关键。 3、综合应用 在经济问题（如产销额、利润）中，可能出现前期反比例函数、后期一次函数的分段模型；在工程问题中，可能出现效率变化导致的分段函数。解题时要结合图象分析各段的实际意义，利用函数性质求解最值、取值范围等问题。 注意：解决综合实际应用题时，要特别关注自变量的取值范围，确保解在实际意义范围内；同时要检验分段点处函数的连续性。 【题型1：反比例函数在实际生活中的应用】 【例1】某校对八年级学生进行体能测试，用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四个班学生成绩的合格率与该班参加测试人数的情况，如图所示，其中描述甲、丁两个班情况的点恰好在同一个反比例函数的图像上，则这四个班合格人数最多的班级是（ ） A．甲班 B．乙班 C．丙班 D．丁班 【变式1】某村耕地总面积为50公顷，且该村人均耕地面积（单位：公顷/人）与总人口（单位：人）的函数图象如图所示，则下列说法正确的是（     ） A．该村人均耕地面积随总人口的增多而增多 B．该村人均耕地面积y与总人口x成正比 C．若该村人均耕地面积为2公顷，则总人口有100人 D．当该村总人口为500人时，人均耕地面积为公顷 【变式2】某综合实践小组的学生借助自制的密度计，对不同液体的密度进行测量，当该密度计在各类液体中处于悬浮状态时，浸在液体中的高度（）是液体的密度（）的反比例函数，其图象如图所示（），下列说法正确的是（ ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【变式3】小臻想探究不同远视眼镜镜片的度数与焦距的关系．她将收集到的镜片[对应度数y（单位：度）已知]正对太阳，前后移动镜片，直至地面上的光斑最小，此时用刻度尺测出镜片中心到光斑的距离x（即焦距，单位：）．她记录多组数据后，用计算机绘制了y与x的关系图象（如图）．根据图象判断，下列结论正确的是（     ） A．y与x的关系式为 B．镜片度数越大，镜片中心到光斑的距离越大 C．当时， D．镜片度数越小，镜片中心到光斑的距离越大 【题型2：反比例函数在跨学科中的应用】 【例2】已知蓄电池的电压U（单位：V）为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）成反比例函数关系，它们的函数关系图象如图所示．当电流I从增加到时，电阻R（    ） A．减小了 B．减小了 C．增大了 D．增大了 【变式1】在二胡演奏中，当弦的张力、线密度等条件不变时，弦的振动频率（单位：）与振动弦长（单位：）近似成反比例函数关系，其图象如图所示．若振动弦长为时，测得振动频率为，振动频率低于时，振动弦长应该（    ） A．大于 B．小于 C．大于 D．小于 【变式2】某玩具汽车的功率P（单位：W）为定值，行驶速度V（单位：m/s）与所受阻力F（单位：N）成反比例函数关系，它的图象如图所示．当该玩具汽车受到的阻力为时，玩具汽车的速度为_______． 【变式3】在如图1所示的电源电压恒定的电路中，小明闭合开关S后，移动滑动变阻器的滑片，电流I与电阻R成反比例函数关系，函数图象如图2所示，点P的坐标为，则电源电压U为（提示：）________． 【题型3：一次函数与反比例函数的综合实际应用】 【例3】如图为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升20℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降，此时水温与通电时间成反比例关系．当水温降至20℃时，饮水机再自动加热，若水温在20℃时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（   ）． A．水温从20℃加热到80℃，需要 B．水温下降过程中，与的函数关系式是 C．接通电源后，时，水温为25℃ D．在一个周期内水温不低于40℃的时间为 【变式1】长江高级中学的自动饮水机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降．此时水温（）与通电时间（）成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热，若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中正确的是（   ） A．水温从加热到，需要 B．水温下降过程中，与的函数关系式是 C．上午点接通电源，可以保证当天能喝到不超过的水 D．水温不低于的时间为 【变式2】为保障学生饮水健康安全，鹿鸣路初中配备了智能全自动饮水机．八年级数学兴趣小组研究发现：饮水机接通电源后加热时，水温匀速上升，每分钟上升，加热到时停止加热；随后水温自然回落，此阶段水温与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热，开始下一轮循环．若初始水温在时接通电源，八年级数学兴趣小组绘制了水温随通电时间变化的部分函数图象（如图所示），请结合图象解答下列问题． (1)图象中停止加热后水温自然回落至的过程中，水温与通电时间x（min）之间的函数关系式是______，自变量x的取值范围是_____； (2)图象中从接通电源开始，到水温首次回落至为止，求这一过程中水温不低于时长为多少分钟？ (3)早晨7：40接通电源启动加热（此时水温为），当天上午9：20下课时同学们______（填“能”或“不能”）接到的温开水，此时水温为______． 【变式3】某工厂年3月份至6月份进行为期4个月的环保治污改造，改造过程中月产销额受到一定影响，改造完成后月产销额直线上升．在此改造过程中月产销额y（万元）与月份x之间满足反比例函数关系，改造完成后从7月份起满足一次函数关系，如图，点B，C，D在同一直线上． (1)求今年5月份的产销额； (2)求环保治污改造完成后，月份的产销额比3月份增长了多少万元？ 【基础通关练】 1．古代杠杆工具“踏碓”利用力矩平衡工作，阻力与阻力臂的乘积保持不变，动力随动力臂变化．下列说法错误的是（ ） A．与成反比例关系 B．越长，越小 C．每增加，一定减少固定值 D．动力臂增大，动力明显减小 2．根据压强公式，当压力（单位：）一定时，压强（单位：）与受力面积（单位：）成反比例关系．若某物体受力面积增加，则受到的压强比原来减少．设该物体原受力面积为，压力为定值，下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 3．现在人们的生活越来越好，很多人在休闲时间外出旅游，为携带方便，人们通常会利用真空压缩机压缩衣物以减小体积，同一件羽绒服质量m（g）不变，其体积v（）与密度（）有反比例函数关系如图所示，当压缩到密度大于时，其体积可以是（ ） A． B． C． D． 4．密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积V（单位：）发生变化时，气体的密度ρ（单位：）随之变化．已知密度ρ与体积V是反比例函数关系，其图象如图所示，当时，．观察图象，下列说法不正确的是（   ） A．ρ与V的函数关系式是 B．当时， C．当时， D．当时，ρ的变化范围是 5．视野角度是指汽车在道路上行驶时，驾驶人员目视前方左右两侧视线所构成的夹角，其值与车速有关．随着车速的增加，驾驶人员的视野会逐渐变窄，导致两侧的视野范围逐渐缩小，视野角度（度）与车速是反比例函数关系，其图像如图所示．当车速为时，视野角度为_____度． 6．已知近视眼镜的度数（度）是镜片焦距（）的反比例函数，当近视眼镜的度数是度时，镜片的焦距为，那么近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（）之间的函数关系式为________． 【提升通关练】 1．汽车轮胎的摩擦系数是影响行车安全的重要因素，在一定条件下，它会随车速的变化而变化．研究发现，某款轮胎的摩擦系数与车速之间的函数关系如图所示． 下列说法中错误的是（ ） A．汽车静止时，这款轮胎的摩擦系数为 B．当时，这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而减小 C．要使得这款轮胎的摩擦系数高于，车速应高于 D．当车速从加速到时，该轮胎的摩擦系数减小了 2．已知将相同质量的金属完全浸入盛满水的杯中，金属的密度与溢出的水的体积成反比例（常见金属密度如表所示）．如果将密度为的A种金属完全浸入盛满水的杯中，测得溢出的水的体积为，再将与A种金属质量相同的B种金属完全浸入盛满水的杯中后，测得溢出的水的体积为，那么B种金属的种类是（     ） 金属种类 密度（） 金 19.3 银 10.5 铜 8.9 铁 7.9 A．金 B．银 C．铜 D．铁 3．密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积V（单位：）发生变化时，气体的密度ρ（单位：）随之变化．已知密度ρ与体积V是反比例函数关系，其图象如图所示，当时，．观察图象，下列说法不正确的是（ ） A．ρ与V的函数关系式是 B．当时， C．当时， D．当时，ρ的变化范围是 4．图甲是药液自动添加模拟装置，装有药液的容器置于压敏电阻上保持水平接触挤压．阻值与所施加压力的关系图线如图乙所示，图丙是压敏电阻消耗的最大电功率与电阻箱的阻值关系图象，则以下说法错误的是（     ） A．当药液质量增加时，阻值也增大 B．当压敏电阻增大时，最大电功率减小 C．当药液质量增加时，最大电功率也随之增大 D．压敏电阻消耗的最大电功率与电阻箱的阻值关系为反比例函数 5．如图1，这是某电路图，滑动变阻器的电阻为，电功率为，关于的反比例函数图像如图2所示．某同学通过调节电阻，发现当从增加到时，电功率减少了，则当时，的值为（ ） A．18 B．15 C．12 D．10 6．在温度不变的条件下，某汽缸内气体压强与体积成反比例函数关系，其图象如图所示，若压强由加压到，则气体体积压缩了______． 7．在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强与汽缸内气体的体积成反比例，关于 的函数图象如图所示．则反比例函数的解析式为__________． 8．某算力中心总算力固定不变，完成全部运算任务所需时间：t（单位：）与在线算力节点数（单位：个）成反比例函数关系．已知开启40个算力节点工作时，完成全部任务需．若全部任务需在内完成，则至少需要开启__________个算力节点． 9．根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强p（单位：）是它的受力面积S（单位：）的反比例函数，其函数图象如图所示． (1)求p关于S的函数关系式． (2)当时，求受力面积S的变化范围． 10．最近火爆全网，说明人工智能已经逐渐融入我们的生活．小明家餐厅为了跟上时代的步伐，购买了一个送餐机器人，这种机器人与地面的接触面积是可以调整的．在水平地面上，当机器人对地面的压力一定时，地面所受压强与接触面积之间的关系如表： 地面所受压强 … … 接触面积 … … (1)求地面所受压强关于接触面积的函数表达式； (2)若送餐机器人要经过一段水平玻璃通道，且这段玻璃通道能承受的最大压强为，问这种机器人与玻璃通道的接触面积至少为多少平方米？ 11．小明探究琴弦振动频率与弦长的关系，他选取两根不同材质的琴弦（记为1号弦，2号弦），实验中保持两根琴弦的张力相同，并利用人工智能软件测量琴弦发出声音时的振动频率，调整琴弦的弦长为L（单位：cm）时，1号弦的振动频率为（单位：Hz），2号弦的振动频率为（单位：Hz），部分数据如下： cm 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Hz 900 600 450 360 300 257 225 200 180 Hz 1200 800 600 480 400 343 300 267 240 通过分析数据，发现可以用函数刻画与L，与L之间的关系． (1)在给出的平面直角坐标系中，画出函数的图象； (2)当弦长为25cm时，1号弦的振动频率为为______Hz（结果保留整数）； (3)当频率为400Hz时，对应2号弦长与1号弦长的差为______cm（结果保留整数）； (4)要使1号弦的频率是2号弦的频率的倍，1号弦的弦长与2号弦的弦长的比是否为定值；若是，请求出比值，若不是，请说明理由． 【培优通关练】 1．在实验课上，小明做了一个实验，如图①在仪器左边托盘（固定）中放置一个物体，在右边托盘（可左右移动）中放置一个可以装水的容器，容器的质量为．在容器中加入一定质量的水，可以使仪器左右平衡．改变托盘与点的距离（）（），记录容器中加入水的质量，得到下表： 托盘与点的距离 容器与水的总质量 加入水的质量 通过描点连线得到如图②所示的，关于的函数图象，则下列说法正确的是（   ） A．是关于的反比例函数 B．是关于的反比例函数 C．随的增大而减小 D．的图象向下平移个单位可得的图象 2．在探索凸透镜成像的实验中，某数学兴趣小组尝试用数学的知识和方法来探究凸透镜成像规律．在实验室中固定一个凸透镜，设物距为u、像距为v和焦距为f，取值时保证，画出如图1所示的光路图，根据实验数据研究绘制了如图2所示的之间的函数图象，下列说法错误的是（     ） （1）当时，物体成倒立、放大的实像，即． （2）光路原理：通过凸透镜中心的光线不发生改变；平行于主光轴的光线经过折射后光线经过焦点． A．当时，像距v随物距u的增大而减小 B．当时，物体通过凸透镜成像为倒立、放大的实像 C．当时，物体通过凸透镜成像为倒立、等大的实像 D．改变物距u、存在 3．某电子科技公司研发出一套学习软件，并对这套学习软件在周的销售时间内，做出了下面的预测：设第x周该软件的周销售量为（单位：千套），当时，与成反比；当时，与成正比，并预测得到了如表中对应的数据． 周 千套 设第周销售该软件每千套的利润为（单位：千元），与满足如图中的函数关系图象： (1)求与的函数关系式； (2)观察图象，当时，与的函数关系式为_______． (3)第周销售该学习软件所获的周利润总额为多少？ (4)在这周的销售时间内，是否存在所获周利润总额不变的情况？若存在，求出这个不变的值；若不存在，请说明理由． 4．杆秤是中国传统的不等臂杠杆式称重工具，是古代度量衡的代表．如图，杆秤由秤杆、秤砣、秤盘、提纽组成．秤盘固定悬挂在秤杆的端点处，提纽固定在点处，秤砣悬挂的位置记为点．杆秤称物符合杠杆原理“动力动力臂阻力阻力臂”． 设秤盘的质量为，秤砣的质量为，物体的质量为，，．根据杠杆原理、可得：．（秤杆自身的质量忽略不计，秤砣可以悬挂在点处．） (1)已知一款秤杆长度，提纽到秤盘固定点距离； ①根据题意，求出关于的函数表达式； ②在秤杆上可以标出质量的刻度，求零刻度所对应的点与点之间的距离； (2)在（1）的条件下．由于秤砣生锈，秤砣的质量会变大，导致杆秤称物的质量有偏差．用生锈的秤砣称得一个物体的质量为，若该物体的实际质量为，求生锈秤砣的质量； (3)若杆秤可用长度，为保证杆秤的最大刻度不小于，请计算的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $ 27.3 实际问题与反比例函数 目录 Part1考点突破 考点1：反比例函数解决实际问题的基本思路与步骤 考点2：反比例函数在跨学科中的应用 考点3：一次函数与反比例函数的综合实际应用 Part2 题型探究 题型1：反比例函数在实际生活中的应用 题型2：反比例函数在跨学科中的应用 题型3：一次函数与反比例函数的综合实际应用 Part3 分层通关 【考点1：反比例函数解决实际问题的基本思路与步骤】 1、基本思路 建立函数解析式→利用函数图象和性质求解→获得实际问题的答案。关键是从实际问题中抽象出两个变量之间的反比例关系，确定比例系数k，再运用反比例函数的图象和性质解决问题。 2、一般步骤 （1）审清题意，根据常量、变量之间的关系，设出函数解析式，待定的系数用字母表示； （2）由题目中的已知条件，列出方程，求出待定系数； （3）写出函数解析式，并注意解析式中变量的取值范围； （4）利用函数解析式、函数的图象和性质等去解决问题。 3、常见实际问题模型 当两个变量的乘积为定值时，这两个变量成反比例关系。设两个变量为和，定值为，则，即（）。 常见模型包括：工程问题（工作总量一定，工作效率与工作时间成反比）、行程问题（路程一定，速度与时间成反比）、物理问题（压力一定，压强与受力面积成反比；电压一定，电流与电阻成反比等）。 【考点2：反比例函数在跨学科中的应用】 1、物理中的反比例关系 杠杆原理：阻力×阻力臂=动力×动力臂，即动力与动力臂满足反比例关系：。动力臂越长，撬动物体所需的力越小。 压强公式：压力一定时，压强与受力面积成反比例关系：。受力面积越大，压强越小。 欧姆定律：电压一定时，电流与电阻成反比例关系：。电阻越大，电流越小。 2、其他学科中的反比例关系 密度问题：质量一定时，密度与体积成反比；功率问题：功率一定时，力与速度成反比；焦距问题：眼镜度数与镜片焦距成反比等。这些跨学科问题的核心都是识别出"乘积为定值"的两个变量，建立反比例函数模型求解。 3、解题要点 跨学科应用题通常结合图象或表格给出数据，解题时要：①识别学科背景中的反比例关系；②从图象或表格中读取一组对应值，用待定系数法求k；③结合函数性质（增减性、取值范围）分析实际意义；④注意自变量的取值范围要符合实际情境。 【考点3：一次函数与反比例函数的综合实际应用】 1、分段函数模型 在实际问题中，两个变量之间的关系可能在不同阶段分别满足一次函数和反比例函数。例如饮水机加热阶段水温与时间成一次函数关系，降温阶段成反比例函数关系。解题时需要分段讨论，分别求出各段的函数解析式。 2、求分段函数解析式 一次函数段：利用待定系数法，已知两点坐标求y=kx+b；反比例函数段：已知一点坐标求y=k/x。注意分段点处两个函数的函数值相等，这是连接两段的关键。 3、综合应用 在经济问题（如产销额、利润）中，可能出现前期反比例函数、后期一次函数的分段模型；在工程问题中，可能出现效率变化导致的分段函数。解题时要结合图象分析各段的实际意义，利用函数性质求解最值、取值范围等问题。 注意：解决综合实际应用题时，要特别关注自变量的取值范围，确保解在实际意义范围内；同时要检验分段点处函数的连续性。 【题型1：反比例函数在实际生活中的应用】 【例1】某校对八年级学生进行体能测试，用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四个班学生成绩的合格率与该班参加测试人数的情况，如图所示，其中描述甲、丁两个班情况的点恰好在同一个反比例函数的图像上，则这四个班合格人数最多的班级是（ ） A．甲班 B．乙班 C．丙班 D．丁班 【答案】C 【分析】设反比例函数表达式为，表示出甲、乙、丙、丁，过乙点作y轴平行线交反比例函数于点，过丙点作y轴平行线交反比例函数于点，然后结合图象判断即可． 【详解】解：∵甲、丁两个班级情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上， ∴设反比例函数表达式为， 则甲、乙、丙、丁， 过乙点作y轴平行线交反比例函数于点，过丙点作y轴平行线交反比例函数于点，如图所示： 由图可知， ∴甲、、、丁在反比例函数图象上， 根据题意可知合格人数， ∴，即甲、丁两个班级合格人数相同； ，即乙班级合格人数比甲、丁两个班级合格人数少； ，即丙班级合格人数比甲、丁两个班级合格人数多； 综上所述：乙班级合格人数甲班级合格人数丁班级合格人数丙班级合格人数， ∴这四个班合格人数最多的是丙． 【变式1】某村耕地总面积为50公顷，且该村人均耕地面积（单位：公顷/人）与总人口（单位：人）的函数图象如图所示，则下列说法正确的是（     ） A．该村人均耕地面积随总人口的增多而增多 B．该村人均耕地面积y与总人口x成正比 C．若该村人均耕地面积为2公顷，则总人口有100人 D．当该村总人口为500人时，人均耕地面积为公顷 【答案】D 【分析】根据题意，判断出人均耕地面积y与总人口x成反比例关系，根据成反比例关系可判断A、B，再根据所列代数式求x值或y值，可判定C，D． 【详解】解：根据题意，，则， 故该村人均耕地面积y与总人口x成反比例，人均耕地面积随总人口的增多而减少， 故选项B、A错误，不符合题意； 当时，由得，即若该村人均耕地面积为2公顷，则总人口有25人，故选项C错误，不符合题意； 当时，，即当该村总人口为500人时，人均耕地面积为公顷，故选项D正确，符合题意． 【变式2】某综合实践小组的学生借助自制的密度计，对不同液体的密度进行测量，当该密度计在各类液体中处于悬浮状态时，浸在液体中的高度（）是液体的密度（）的反比例函数，其图象如图所示（），下列说法正确的是（ ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】B 【分析】待定系数法求出反比例函数解析式为，然后结合图象逐项分析求解判断即可． 【详解】解：由图象得，当时，，故A错误； 设反比例函数解析式为， 将代入得，， 解得， ∴， ∴当时，，故C错误； 当时，， ∵当时，h随的增大而减小， ∴当时，，故B正确； 由图象得，当时，，故D错误． 【变式3】小臻想探究不同远视眼镜镜片的度数与焦距的关系．她将收集到的镜片[对应度数y（单位：度）已知]正对太阳，前后移动镜片，直至地面上的光斑最小，此时用刻度尺测出镜片中心到光斑的距离x（即焦距，单位：）．她记录多组数据后，用计算机绘制了y与x的关系图象（如图）．根据图象判断，下列结论正确的是（     ） A．y与x的关系式为 B．镜片度数越大，镜片中心到光斑的距离越大 C．当时， D．镜片度数越小，镜片中心到光斑的距离越大 【答案】D 【分析】先求出反比例函数的解析式，再根据反比例函数的图象和性质，逐项判断即可求解． 【详解】解：根据题意得：该函数图象过点， 设镜片度数y（度）与镜片到光斑的距离x（米）的解析式为， 把点代入得：， 解得：， ∴镜片度数y（度）与镜片到光斑的距离x（米）的解析式为，故A选项错误，不符合题意； 当时，，故C选项错误，不符合题意； ∵， ∴当时，y随x的增大而减小， 即镜片度数越大，镜片到光斑的距离越小，故B选项错误，不符合题意； 镜片度数越小，镜片到光斑的距离越大，故D选项正确，符合题意． 【题型2：反比例函数在跨学科中的应用】 【例2】已知蓄电池的电压U（单位：V）为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）成反比例函数关系，它们的函数关系图象如图所示．当电流I从增加到时，电阻R（    ） A．减小了 B．减小了 C．增大了 D．增大了 【答案】A 【分析】先利用待定系数法求出电压的值，得到与的函数关系式，再分别计算电流为和时对应的电阻值，最后求差即可． 【详解】解：设， 由图象可知，函数图象经过点， 把，代入得：， 反比例函数的解析式为， 当时，， 当时，， ， 当电流从增加到时，电阻减小了． 【变式1】在二胡演奏中，当弦的张力、线密度等条件不变时，弦的振动频率（单位：）与振动弦长（单位：）近似成反比例函数关系，其图象如图所示．若振动弦长为时，测得振动频率为，振动频率低于时，振动弦长应该（    ） A．大于 B．小于 C．大于 D．小于 【答案】C 【分析】先利用待定系数法求出反比例函数解析式，再根据振动频率低于列出不等式，结合求解即可． 【详解】解：设与的函数关系式为， ∵当时，， ∴， ∴， ∵振动频率低于， ∴， ∵为弦长，， ∴， 即． 【变式2】某玩具汽车的功率P（单位：W）为定值，行驶速度V（单位：m/s）与所受阻力F（单位：N）成反比例函数关系，它的图象如图所示．当该玩具汽车受到的阻力为时，玩具汽车的速度为_______． 【答案】4 【分析】利用待定系数法求出反比例函数解析式，再求出自变量为5时的函数值即可． 【详解】解：设， 由图象可知，反比例函数经过点， ， 解得：， ， 当时，， 即当该玩具汽车受到的阻力为时，玩具汽车的速度为． 【变式3】在如图1所示的电源电压恒定的电路中，小明闭合开关S后，移动滑动变阻器的滑片，电流I与电阻R成反比例函数关系，函数图象如图2所示，点P的坐标为，则电源电压U为（提示：）________． 【答案】 【分析】根据题意可知电流与电阻满足反比例函数关系，已知函数图象经过点，将点的横纵坐标分别作为和的值代入公式，即可求出电源电压的值． 【详解】解：由题意可知，与的函数关系式为 函数图象经过点， ∴将点代入得： 电源电压为． 【题型3：一次函数与反比例函数的综合实际应用】 【例3】如图为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升20℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降，此时水温与通电时间成反比例关系．当水温降至20℃时，饮水机再自动加热，若水温在20℃时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（   ）． A．水温从20℃加热到80℃，需要 B．水温下降过程中，与的函数关系式是 C．接通电源后，时，水温为25℃ D．在一个周期内水温不低于40℃的时间为 【答案】D 【分析】根据题意求出加热阶段解析式及反比例函数解析式，逐一判断选项即可． 【详解】解：升温速率，初始温度， 设加热阶段解析式：， 令，，解得， 即加热分钟达到． 设反比例函数，代入： ，， 故降温阶段：． 令，，，即一个完整周期为． 选项A：水温从加热到，需要3min加热段， 令： ，，， 用时3分钟，A正确； 选项B：水温下降过程中，与的函数关系式是，B正确； 选项C：，处于降温阶段，代入： ，水温，正确； 选项D：分两段计算对应的范围： 加热段：， ，，加热段符合条件时长：． 降温段：， ，，降温段符合条件时长：． 总时长：，D错误． 【变式1】长江高级中学的自动饮水机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降．此时水温（）与通电时间（）成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热，若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中正确的是（   ） A．水温从加热到，需要 B．水温下降过程中，与的函数关系式是 C．上午点接通电源，可以保证当天能喝到不超过的水 D．水温不低于的时间为 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的实际应用，熟练掌握函数解析式的确定及函数值的计算是解题的关键． 先分析加热阶段的时间，再确定降温阶段的反比例函数解析式，然后逐一验证每个选项． 【详解】解：∵水温从加热到，升温幅度为，加热速度是每分钟 ∴所需时间为，故项错误． ∵加热到时，用时，即此时，降温阶段与成反比例， ∴设，代入得，解得，即，故项错误． 上午点接通电源，距离接通电源的时间为． 当时，代入，得，即后水温降至，然后饮水机再次加热后，水温再次升到，， 当时，，故上午点接通电源，可以保证当天不能喝到不超过的水，故项错误． 加热阶段：水温从到，当时，，解得，加热阶段满足的时间是． 降温阶段：代入到，得，降温阶段满足的时间是． ∴总时间为，故项正确． 故选：． 【变式2】为保障学生饮水健康安全，鹿鸣路初中配备了智能全自动饮水机．八年级数学兴趣小组研究发现：饮水机接通电源后加热时，水温匀速上升，每分钟上升，加热到时停止加热；随后水温自然回落，此阶段水温与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热，开始下一轮循环．若初始水温在时接通电源，八年级数学兴趣小组绘制了水温随通电时间变化的部分函数图象（如图所示），请结合图象解答下列问题． (1)图象中停止加热后水温自然回落至的过程中，水温与通电时间x（min）之间的函数关系式是______，自变量x的取值范围是_____； (2)图象中从接通电源开始，到水温首次回落至为止，求这一过程中水温不低于时长为多少分钟？ (3)早晨7：40接通电源启动加热（此时水温为），当天上午9：20下课时同学们______（填“能”或“不能”）接到的温开水，此时水温为______． 【答案】(1)，； (2)； (3)能；40 【分析】(1)先根据加热速率求出停止加热时的通电时间，再用待定系数法求反比例函数表达式，最后求水温降至时的总时间确定自变量范围． (2)分加热和回落两个阶段分别求出水温为时对应的通电时间，再分别计算两阶段中水温不低于的时长并求和． (3)先求一个完整周期时长，再计算内经历几个完整周期，判断下课时处于第几轮的哪个阶段，进而求出水温和是否在～范围内． 【详解】（1）解：∵ 初始水温为，每分钟上升， ∴ 加热到所需时间为， 即停止加热时，． 设停止加热后水温与通电时间的函数关系式为， ∵ 图象过点， ∴ ， 解得， ∴ 函数关系式为． 当水温降至时，， 解得， ∴ 自变量的取值范围是． （2）解：由题意，饮水机接通电源后加热时，水温匀速上升，每分钟上升， 加热阶段水温与通电时间的关系为()， 当时，， 解得， ∴ 加热阶段水温不低于的时长为． 回落阶段水温与通电时间的关系为()， 当时，， 解得， ∴ 回落阶段水温不低于的时长为． ∴ 这一过程中水温不低于的总时长为． （3）解：∵ 加热需，回落需， ∴一个完整周期为． ∵ 早晨7:40到上午9:20共， ， ∴ 经过个完整周期后，第个周期又进行了． 第个周期中，前加热，后回落， ∵ ， ∴ 此时处于第个周期的回落阶段， 故可知，第1个周期的温度，第个周期开始后第的温度一样， 此时的温度为： ∵ ， ∴ 同学们能接到～的温开水， 此时水温为． 【变式3】某工厂年3月份至6月份进行为期4个月的环保治污改造，改造过程中月产销额受到一定影响，改造完成后月产销额直线上升．在此改造过程中月产销额y（万元）与月份x之间满足反比例函数关系，改造完成后从7月份起满足一次函数关系，如图，点B，C，D在同一直线上． (1)求今年5月份的产销额； (2)求环保治污改造完成后，月份的产销额比3月份增长了多少万元？ 【答案】(1)万元 (2)万元 【分析】本题考查了反比例函数和一次函数的解析式及性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）设反比例函数的解析式为，由点代入，解得，则反比例函数的解析式为，当时，即可求出今年5月份的产销额； （2）设一次函数的解析式为，当时，，得，由图可知，当时，，得，解得，，则一次函数的解析式为，当时，，即可解答本题． 【详解】（1）解：设反比例函数的解析式为， 由点代入得， 解得， 则反比例函数的解析式为， 当时，， 即今年5月份的产销额为万元； （2）解：设一次函数的解析式为， 当时，， ， 得， 由图可知，当时，，得； 解得，， 则一次函数的解析式为， 当时，， ， 则月份的产销额比3月份增长了万元． 【基础通关练】 1．古代杠杆工具“踏碓”利用力矩平衡工作，阻力与阻力臂的乘积保持不变，动力随动力臂变化．下列说法错误的是（ ） A．与成反比例关系 B．越长，越小 C．每增加，一定减少固定值 D．动力臂增大，动力明显减小 【答案】C 【分析】根据题意推出动力与动力臂为反比例函数关系，结合反比例函数的性质逐一判断选项即可． 【详解】解：设（），由题意得：， ∴，即，是关于的反比例函数． ∵符合反比例函数定义，∴A选项正确． ∵，反比例函数随增大而减小，∴越长越小，B选项正确． 举例验证C选项：设，当时，；增加变为时，，减少量为；再增加变为时，，减少量约为，减少值不是固定值，因此C选项错误． 由反比例函数性质可知，增大时减小，即动力臂增大，动力明显减小，因此D选项正确． 2．根据压强公式，当压力（单位：）一定时，压强（单位：）与受力面积（单位：）成反比例关系．若某物体受力面积增加，则受到的压强比原来减少．设该物体原受力面积为，压力为定值，下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】已知该物体原受力面积为，压力是定值， 由压强公式可得，原压强为， 受力面积增加， 变化后的受力面积为，变化后的压强为， 由题意得，变化后的压强比原来减少，即原压强 现压强 ， 可得方程． 3．现在人们的生活越来越好，很多人在休闲时间外出旅游，为携带方便，人们通常会利用真空压缩机压缩衣物以减小体积，同一件羽绒服质量m（g）不变，其体积v（）与密度（）有反比例函数关系如图所示，当压缩到密度大于时，其体积可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设体积v（）与密度（）的反比例函数关系式为，运用待定系数法求出m，得到该反比例函数关系式，进而根据图象即可求解． 【详解】解：设体积v（）与密度（）的反比例函数关系式为， 从图上可以看出图象过点， 将其代入得，解得， ∴， 当时，， 综合各个选项，只有符合． 4．密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积V（单位：）发生变化时，气体的密度ρ（单位：）随之变化．已知密度ρ与体积V是反比例函数关系，其图象如图所示，当时，．观察图象，下列说法不正确的是（   ） A．ρ与V的函数关系式是 B．当时， C．当时， D．当时，ρ的变化范围是 【答案】C 【分析】设，把代入求出k，即可判断A；令，求出V，即可判断B；结合图象即可判断C；当或9时，求出的对应值，即可判断D. 【详解】选项A：设，把代入函数关系式，则，正确，不符合题意； 选项B：将代入，得，结论正确，不符合题意； 选项C：反比例函数中， ，在时，随增大而减小． 当时，对应，不是，结论错误，符合题意； 选项D：当时，，当时，， ∴当时，，结论正确，不符合题意． 5．视野角度是指汽车在道路上行驶时，驾驶人员目视前方左右两侧视线所构成的夹角，其值与车速有关．随着车速的增加，驾驶人员的视野会逐渐变窄，导致两侧的视野范围逐渐缩小，视野角度（度）与车速是反比例函数关系，其图像如图所示．当车速为时，视野角度为_____度． 【答案】40 【分析】先求得视野角度f（度）与车速成反比例函数关系，再求出车速为时的函数值即可解答． 【详解】解：设视野角度（度）与车速是反比例函数关系为， 把点代入得：，解得：， 所以视野角度（度）与车速是反比例函数关系为， 当时，，即当车速为时，视野角度为40度． 6．已知近视眼镜的度数（度）是镜片焦距（）的反比例函数，当近视眼镜的度数是度时，镜片的焦距为，那么近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（）之间的函数关系式为________． 【答案】 【分析】先设出反比例函数的一般形式，再代入已知对应值求解即可． 【详解】解：设反比例函数解析式为， 将，代入解析式得： ， 解得：， 因此与之间的函数关系式为． 【提升通关练】 1．汽车轮胎的摩擦系数是影响行车安全的重要因素，在一定条件下，它会随车速的变化而变化．研究发现，某款轮胎的摩擦系数与车速之间的函数关系如图所示． 下列说法中错误的是（ ） A．汽车静止时，这款轮胎的摩擦系数为 B．当时，这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而减小 C．要使得这款轮胎的摩擦系数高于，车速应高于 D．当车速从加速到时，该轮胎的摩擦系数减小了 【答案】C 【分析】结合给定的摩擦系数车速函数图像，读取特殊点的数值、判断函数的增减性，依次验证四个选项的描述是否正确，最终找出说法错误的选项． 【详解】解：A、汽车静止时车速，由图象可得此时摩擦系数，说法正确； B、时，图象呈下降趋势，说明摩擦系数随车速增大而减小，说法正确； C、由图象可知，车速时，且车速越大摩擦系数越小，因此摩擦系数高于时，车速应低于，原说法错误； D、时，时，摩擦系数减小了，说法正确． 2．已知将相同质量的金属完全浸入盛满水的杯中，金属的密度与溢出的水的体积成反比例（常见金属密度如表所示）．如果将密度为的A种金属完全浸入盛满水的杯中，测得溢出的水的体积为，再将与A种金属质量相同的B种金属完全浸入盛满水的杯中后，测得溢出的水的体积为，那么B种金属的种类是（     ） 金属种类 密度（） 金 19.3 银 10.5 铜 8.9 铁 7.9 A．金 B．银 C．铜 D．铁 【答案】B 【分析】本题利用反比例函数的性质求解，根据密度与溢出体积成反比例得到定值（即金属质量），再计算B金属的密度，对照表格得到结果． 【详解】解：设金属密度为，溢出的水的体积为 ， ∵金属的密度与溢出的水的体积成反比例，且A，B金属质量相同， ∴（ 为定值，即金属质量），且 将A金属数据代入得：，， ∴ 对B金属，， ∴. 对照表格可知，密度为的金属是银，因此B种金属为银． 3．密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积V（单位：）发生变化时，气体的密度ρ（单位：）随之变化．已知密度ρ与体积V是反比例函数关系，其图象如图所示，当时，．观察图象，下列说法不正确的是（ ） A．ρ与V的函数关系式是 B．当时， C．当时， D．当时，ρ的变化范围是 【答案】C 【分析】设，把代入求出k，即可判断A；令，求出V，即可判断B；结合图象即可判断C；当或9时，求出的对应值，即可判断D. 【详解】选项A：设，把代入函数关系式，则，正确，不符合题意； 选项B：将代入，得，结论正确，不符合题意； 选项C：反比例函数中， ，在时，随增大而减小． 当时，对应，不是，结论错误，符合题意； 选项D：当时，，当时，， ∴当时，，结论正确，不符合题意． 4．图甲是药液自动添加模拟装置，装有药液的容器置于压敏电阻上保持水平接触挤压．阻值与所施加压力的关系图线如图乙所示，图丙是压敏电阻消耗的最大电功率与电阻箱的阻值关系图象，则以下说法错误的是（     ） A．当药液质量增加时，阻值也增大 B．当压敏电阻增大时，最大电功率减小 C．当药液质量增加时，最大电功率也随之增大 D．压敏电阻消耗的最大电功率与电阻箱的阻值关系为反比例函数 【答案】C 【分析】由图乙分析与压力的关系，判断A选项；由图丙数据计算与的乘积，确定函数关系，判断D选项；根据串联电路功率极值条件及图丙规律，分析变化时的变化趋势，判断B、C选项 【详解】解：由图乙可知，随压力的增大而增大，当药液质量增加时，压力增大，则阻值增大，故A说法正确； 由图丙可知，当时，，；当时，，， 所以，即与成反比例函数关系，故D说法正确； 在串联电路中，当时，消耗的电功率最大，最大值为，图丙反映的正是这一最大功率与的关系，由可知，越大，越小， 当药液质量增加时，增大，若要使获得最大功率，需调节，此时也增大，导致减小， 所以当增大时，减小，故B说法正确，C说法错误． 5．如图1，这是某电路图，滑动变阻器的电阻为，电功率为，关于的反比例函数图像如图2所示．某同学通过调节电阻，发现当从增加到时，电功率减少了，则当时，的值为（ ） A．18 B．15 C．12 D．10 【答案】D 【分析】设关于的反比例函数关系式为，当时，功率为，则当时，功率为，根据反比例函数的图像的性质结合题意可得方程，据此可得的值，进而得出k的值，再把代入函数关系式求解即可． 【详解】解：设关于的反比例函数关系式为，当时，功率为，则当时，功率为， ∴，， ∴，解得， ∴， ， 当时，，即当时，P的值为． 6．在温度不变的条件下，某汽缸内气体压强与体积成反比例函数关系，其图象如图所示，若压强由加压到，则气体体积压缩了______． 【答案】 【分析】先求出反比例函数关系式，再分别求出气体体积，作差求解即可． 【详解】解：设反比例函数关系式为， 反比例函数图象经过点， ，解得， 反比例函数关系式为． 当时，即，解得； 当时，即，解得， ． 即气体体积压缩了． 7．在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强与汽缸内气体的体积成反比例，关于 的函数图象如图所示．则反比例函数的解析式为__________． 【答案】 【详解】解：设关于的函数解析式为， 由图象可把点代入得：， ∴关于的函数解析式为． 8．某算力中心总算力固定不变，完成全部运算任务所需时间：t（单位：）与在线算力节点数（单位：个）成反比例函数关系．已知开启40个算力节点工作时，完成全部任务需．若全部任务需在内完成，则至少需要开启__________个算力节点． 【答案】 【分析】根据题意求出反比例函数解析式即可得解． 【详解】解：根据题意设， 开启40个算力节点工作时，完成全部任务需， ， 解得：， ， 当时，，解得：， 若全部任务需在内完成，则至少需要开启个算力节点． 9．根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强p（单位：）是它的受力面积S（单位：）的反比例函数，其函数图象如图所示． (1)求p关于S的函数关系式． (2)当时，求受力面积S的变化范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，依据图象上点的坐标可以求得p与S之间的函数关系式； （2）将压强代入函数关系式即可求得受力面积的取值范围． 【详解】（1）解：设， ∵点在这个函数的图象上， ∴， ∴， ∴p与S的函数关系式为． （2）解：令，则， 令，则， ∴当时，受力面积S的变化范围为． 10．最近火爆全网，说明人工智能已经逐渐融入我们的生活．小明家餐厅为了跟上时代的步伐，购买了一个送餐机器人，这种机器人与地面的接触面积是可以调整的．在水平地面上，当机器人对地面的压力一定时，地面所受压强与接触面积之间的关系如表： 地面所受压强 … … 接触面积 … … (1)求地面所受压强关于接触面积的函数表达式； (2)若送餐机器人要经过一段水平玻璃通道，且这段玻璃通道能承受的最大压强为，问这种机器人与玻璃通道的接触面积至少为多少平方米？ 【答案】(1) (2)9.6×10-3 m2 【分析】（1）由表格的数据可知，当机器人对地面的压力一定时，地面所受压强与接触面积之间成反比例函数的关系．设地面所受压强关于接触面积的函数表达式为，利用待定系数法求解即可． （2）将代入求解即可． 【详解】（1）解：设地面所受压强关于接触面积的函数表达式为． 将代入， 得， ∴地面所受压强关于接触面积的函数表达式为． （2）解：将代入时， 则， ∴当这段玻璃通道能承受的最大压强为时，这种机器人与玻璃通道的接触面积至少为平方米． 11．小明探究琴弦振动频率与弦长的关系，他选取两根不同材质的琴弦（记为1号弦，2号弦），实验中保持两根琴弦的张力相同，并利用人工智能软件测量琴弦发出声音时的振动频率，调整琴弦的弦长为L（单位：cm）时，1号弦的振动频率为（单位：Hz），2号弦的振动频率为（单位：Hz），部分数据如下： cm 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Hz 900 600 450 360 300 257 225 200 180 Hz 1200 800 600 480 400 343 300 267 240 通过分析数据，发现可以用函数刻画与L，与L之间的关系． (1)在给出的平面直角坐标系中，画出函数的图象； (2)当弦长为25cm时，1号弦的振动频率为为______Hz（结果保留整数）； (3)当频率为400Hz时，对应2号弦长与1号弦长的差为______cm（结果保留整数）； (4)要使1号弦的频率是2号弦的频率的倍，1号弦的弦长与2号弦的弦长的比是否为定值；若是，请求出比值，若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)720 (3)15 (4)是定值，比值为 【分析】(1)根据表格数据描点、连线即可． (2)观察数据表，发现为定值，故与成反比例关系，将代入求值． (3)分别令和，求出对应的弦长，再求差． (4)由代入两个反比例函数表达式，化简后判断与的比值是否为定值． 【详解】（1）由数据表验证： 解： ， 与成反比例关系，， 在坐标系中描点、、、、、、、、， 用光滑曲线依次连接各点，得到的图象． （2）解：观察数据表，发现为定值，故与成反比例关系，， 当cm时， （Hz）， 琴弦1的振动频率为． （3）解：由数据表验证：， ， 当Hz时，（cm）， 当Hz时，（cm）， （cm）， 即琴弦2与琴弦1的长度之差为． （4）解：设琴弦1的长度为，琴弦2的长度为， 由题意：， ， ， 琴弦1与琴弦2的长度之比为定值，比值为． 【培优通关练】 1．在实验课上，小明做了一个实验，如图①在仪器左边托盘（固定）中放置一个物体，在右边托盘（可左右移动）中放置一个可以装水的容器，容器的质量为．在容器中加入一定质量的水，可以使仪器左右平衡．改变托盘与点的距离（）（），记录容器中加入水的质量，得到下表： 托盘与点的距离 容器与水的总质量 加入水的质量 通过描点连线得到如图②所示的，关于的函数图象，则下列说法正确的是（   ） A．是关于的反比例函数 B．是关于的反比例函数 C．随的增大而减小 D．的图象向下平移个单位可得的图象 【答案】A 【分析】先根据杠杆平衡原理，验证与的乘积为定值，得出是关于的反比例函数，即可判断A；再由推导的表达式，判断其不是反比例函数，即可判断B；接着分析与的一次函数性质，即可判断C；最后根据“上加下减”法则判断图象平移单位长度，即可判断D． 【详解】解：选项A：根据杠杆平衡原理，左边力矩固定，因此右边总重量与距离的乘积为定值， 代入表格数据验证：，即，可化为，故是关于的反比例函数， ∴A正确，该选项符合题意； 选项B：加入水的质量（容器质量为），代入得，反比例函数不含常数项，因此不是关于的反比例函数； ∴B错误，该选项不符合题意； 选项C：由可知，与是一次函数关系，且，因此随的增大而增大， ∴C错误，该选项不符合题意； 选项D：函数图象平移遵循“上加下减”原则，的图象向下平移个单位才能得到的图象，而非个单位， ∴D错误，该选项不符合题意． 2．在探索凸透镜成像的实验中，某数学兴趣小组尝试用数学的知识和方法来探究凸透镜成像规律．在实验室中固定一个凸透镜，设物距为u、像距为v和焦距为f，取值时保证，画出如图1所示的光路图，根据实验数据研究绘制了如图2所示的之间的函数图象，下列说法错误的是（     ） （1）当时，物体成倒立、放大的实像，即． （2）光路原理：通过凸透镜中心的光线不发生改变；平行于主光轴的光线经过折射后光线经过焦点． A．当时，像距v随物距u的增大而减小 B．当时，物体通过凸透镜成像为倒立、放大的实像 C．当时，物体通过凸透镜成像为倒立、等大的实像 D．改变物距u、存在 【答案】D 【分析】根据图1和图2，逐项判断即可． 【详解】解：选项A：由图2可知当时，像距v随物距u的增大而减小，正确； 选项B：由图2可知当时，，由图1知物体通过凸透镜成像为倒立、放大的实像，正确； 选项C：由图2可知当时，．作出光路图如图1，由题意可知，，， ∴， ∴，即此时为倒立、等大的实像，正确； 选项D：作出直线．如图2可以看出直线与原函数图象的交点为，其余的原函数图象均在直线的上方， ∴，故不存在任何一点满足，错误． 3．某电子科技公司研发出一套学习软件，并对这套学习软件在周的销售时间内，做出了下面的预测：设第x周该软件的周销售量为（单位：千套），当时，与成反比；当时，与成正比，并预测得到了如表中对应的数据． 周 千套 设第周销售该软件每千套的利润为（单位：千元），与满足如图中的函数关系图象： (1)求与的函数关系式； (2)观察图象，当时，与的函数关系式为_______． (3)第周销售该学习软件所获的周利润总额为多少？ (4)在这周的销售时间内，是否存在所获周利润总额不变的情况？若存在，求出这个不变的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)元 (4)存在，不变的值为240 【分析】本题考查了一次函数的应用，，正比例与反比例的应用； （1）通过待定系数法求函数关系式． （2）观察图象，分析函数图象性质，分段求解． （3）设第周销售该学习软件所获的周利润总额为，列出函数关系式，将代入，即可求解； （4）先求得当时，与的函数关系式为，根据分段表示出的函数关系式，即可求解． 【详解】（1）解：当时，设， 根据表格中的数据，当时，， ， 解得：， ， 当时，设， 根据表格中的数据，当时，， ， 解得：， ， 即：， 与的函数关系式为； （2）解：当时，设与的函数关系式为， 将，；，代入， 得：， 解得：， 当时，设与的函数关系式为， 故答案为：； （3）设第周销售该学习软件所获的周利润总额为， 当时， 当时，千元 即元 （4）存在，不变的值为， 由函数图像得：当时，设与的函数关系式为， 将，；，代入， 得：， 解得：， 当时，与的函数关系式为， 当时， ； 当时，； 当时，， 综上所述，在这周的销售时间内，存在所获周利润总额不变的情况，这个不变的值为． 4．杆秤是中国传统的不等臂杠杆式称重工具，是古代度量衡的代表．如图，杆秤由秤杆、秤砣、秤盘、提纽组成．秤盘固定悬挂在秤杆的端点处，提纽固定在点处，秤砣悬挂的位置记为点．杆秤称物符合杠杆原理“动力动力臂阻力阻力臂”． 设秤盘的质量为，秤砣的质量为，物体的质量为，，．根据杠杆原理、可得：．（秤杆自身的质量忽略不计，秤砣可以悬挂在点处．） (1)已知一款秤杆长度，提纽到秤盘固定点距离； ①根据题意，求出关于的函数表达式； ②在秤杆上可以标出质量的刻度，求零刻度所对应的点与点之间的距离； (2)在（1）的条件下．由于秤砣生锈，秤砣的质量会变大，导致杆秤称物的质量有偏差．用生锈的秤砣称得一个物体的质量为，若该物体的实际质量为，求生锈秤砣的质量； (3)若杆秤可用长度，为保证杆秤的最大刻度不小于，请计算的取值范围． 【答案】(1)①；②零刻度所对应的点与点之间的距离为 (2)生锈秤砣的质量为 (3) 【分析】（1）①根据公式代入已知数量可得答案；②由零刻度时，，即可求解； （2）根据题意可得当一个物体的质量为，，设生锈的秤砣的质量为，可得，即可求解； （3）把 ，代入，可得，从而得到越大，越小，即可求解． 【详解】（1）解：① ，，， ， ． ②∵零刻度时， ， ． ∴零刻度所对应的点与点之间的距离为． （2）解：∵当一个物体的质量为， ， ， 设生锈的秤砣的质量为， ， 解得：， ∴生锈秤砣的质量为． （3）解：由题意得： ，代入．得： ， ， ， 越大，越小， 当时，， ． 学科网（北京）股份有限公司 $