专题 27.3 实际问题与反比例函数 讲义- 2026-2027学年人教版九年级数学上册

本讲义聚焦实际问题与反比例函数应用这一核心知识点，系统梳理建立模型步骤、八大常考实际模型及核心解题规律，搭建从反比例函数理论到实际应用的完整学习支架。 资料特色在于融合工程、杠杆、行程等多领域情境，通过分层例题与变式题培养数学眼光与推理能力，同步检测多样化题目助力学生用数学语言表达，课中适配分层教学，课后便于查漏补缺。

专题 27.3 实际问题与反比例函数（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识梳理与解读 1 【知识点一】实际问题建立反比例函数模型步骤 1 【知识点二】八大常考反比例函数实际模型 2 【知识点三】核心解题规律与易错点 2 二.题型精析 2 【题型 1】工程装卸总量不变问题（基础入门·教材例1） 2 【题型 2】杠杆平衡实际应用（基础必会·教材例2） 5 【题型 3】行程速度时间问题（能力提升） 7 【题型 4】电学功率电阻问题（中档拔高） 11 【题型 5】几何体积面积模型（难点突破） 15 【题型 6】反比例函数与几何综合应用 19 【题型 7】反比例函数与二次函数综合应用 25 三.同步检测 31 （一）选择题（共4题，每小题4分，合计16分） 31 （二）填空题（共5题，每小题4分，合计20分） 33 （三）解答题（共8题，每小题8分，合计64分） 36 一.知识梳理与解读 【知识点一】实际问题建立反比例函数模型步骤 1. 审清题意：区分题目中的常量、自变量、因变量，找准两个变量乘积为定值的等量关系。 2. 列函数解析式：根据实际公式列出恒等关系式，整理变形为反比例函数标准形式 。 3. 确定自变量取值范围：结合实际意义取值，长度、速度、时间、质量、电阻等物理量均为正数，不可直接使用 。 4. 利用性质解题：借助反比例函数增减性，求解变量取值范围、最值、方案问题。 5. 检验作答：所得结果必须符合实际生活、物理规律，舍去不合理的解。 【要点提示】实际问题中的反比例函数图象，只取第一象限单支双曲线，无其他象限图象。 【知识点二】八大常考反比例函数实际模型 1. 工程工作模型：总工作量一定，工作效率与工作时间成反比例； 2. 行程运动模型：总路程一定，行驶速度与行驶时间成反比例； 3. 杠杆平衡模型：阻力、阻力臂一定，动力与动力臂成反比例； 4. 电学电路模型：电压恒定，电功率与电阻成反比例； 5. 力学做功模型：做功总量一定，作用力与移动距离成反比例； 6. 气体恒温模型：温度不变，气体压强与体积成反比例； 7. 矩形面积模型：面积固定，长与宽成反比例； 8. 立体体积模型：体积固定，底面积与高成反比例。 【知识点三】核心解题规律与易错点 1. 实际应用题中 ，在第一象限内：自变量越大，函数值越小。 2. 出现“至少、至多、不超过、最少、最多”等关键词，必须利用反比例增减性求边界值。 3. 所有变量取值必须为正数，解题必须写明自变量取值范围，属于必考得分点。 二.题型精析 【题型 1】工程装卸总量不变问题（基础入门·教材例1） 【例题1】（23-24九年级上·辽宁大连·期末）一工程中，某工程队工人每天需要挖掘20吨土的深沟，整个工程完毕恰好用了6天. （1）在工程结束后，工人需要把所有的土进行回填，在整个回填过程中，平均回填速度v（单位：吨/天）与回填天数t之间有怎样的函数关系? （2）由于遇到紧急情况，要求整个回填工程不超过4天完毕，那么平均每天至少要回填多少吨土? 【答案】（1）；（2）平均每天至少要回填30吨土 【分析】本题考查反比例函数的应用，根据题意列出反比例函数解析式是解题关键. （1）首先根据题意可知总工作量为吨不变，故回填速度v与回填天数t之间为反比例关系，即，变形即可得出v关于t的函数关系式； （2）由得出，再将代入，即可求出v的取值范围． 解：（1）设总工作量为k吨，根据已知条件得， ∴v关于t的函数表达式为； （2）∵， ∴， ∵， ∴， 解得． 那么平均每天至少要回填30吨土． 【变式1】（24-25八年级下·河北廊坊·期末）一项市政工程，需运送土石方106米3，某运输公司承办了这项运送土石方的工程，则运送公司平均每天的工作量y（米3/天）与完成运送任务所需时间x（天）之间的函数关系图象大致是（　　） A A． B． C． D． 【答案】A 试题分析：首先根据题意列出两个变量之间的函数关系，然后根据函数关系式确定函数的图象． 解：∵xy=106米3， ∴y=（x＞0，y＞0） ∴函数是反比例函数且其图象位于第一象限， 故选A． 点评：本题考查了反比例函数的应用及反比例函数的图象，正确的列出反比例函数的解析式是解决本题的关键． 【变式2】（2026·四川成都·三模）成都天府绿道要修一段步道，工程总量固定，每天修建的长度米和修建天数天成反比例函数关系．若每天修40米，需要6天完工；若每天修建30米，则需要________天完工． 【答案】 【分析】结合已知条件求出工程总长度，再用总长度除以每天修建的长度，即可得到所需天数，用到反比例函数两变量乘积为定值的性质． 解：解 ∵每天修建的长度和修建天数成反比例函数关系 ∴设， 可得，其中为工程总长度 将，代入式子 得， 即工程总长度为（米） 当时， 代入得 解得 答：需要天完工． 【变式3】（23-24九年级上·江西南昌·期中）在伊通河治理工程实验过程中，某工程队接受一项开挖水架的工程，所需天数（单位：天）与每天完成的工程量（单位：m/天）之间的函数关系图象是如图所示的双曲线的一部分． （1）请根据题意，求关于的函数解析式； （2）若该工程队有台挖掘机，每台挖掘机每天能够开挖水渠，则该工程队需用多少天才能完成此项任务？ 【答案】（1）；（2）天 【分析】（1）将点代入反比例函数的解析式，即可求得反比例函数的解析式； （2）用工作效率乘以工作时间即可得到工作量，然后除以工作效率即可得到工作时间． 解：（1）解：设解析式为， ∵点在其图象上， 将代入反比例函数的解析式，得, 解得：， ∴所求函数关系式为． （2）解：由题意知，台挖掘机每天能够开挖水渠（米）， 当时，， 故该工程队需要用天才能完成此项任务． 【点拨】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是从中整理出解决实际问题的函数模型． 【题型 2】杠杆平衡实际应用（基础必会·教材例2） 【例题2】（24-25九年级上·安徽合肥·期中）杠杆原理也称为“杠杆平衡条件”，要使杠杆平衡，作用在杠杆上两个力矩（力与力臂的乘积）大小必须相等，即：阻力阻力臂动力动力臂，用代数式表示为．如图，已知石头重量（阻力）为，阻力臂长，小华想用一根撬棍撬起这块石头，但他只有的力量，那么他该选择动力臂为多少米的撬棍才能撬动这块大石头？ 【答案】小华该选择动力臂为的撬棍才能撬动这块大石头 【分析】本题主要考查反比例函数的应用，求出反比例函数式是解题的关键．根据阻力阻力臂动力动力臂，可得出F与l的函数关系式；将代入可求出l即可． 解：依题意，得， ∴． 当时，， 解得． 答：小华该选择动力臂为的撬棍才能撬动这块大石头 【变式1】（24-25九年级下·湖南娄底·期中）古希腊科学家阿基米德曾说：“给我一个支点，我可以撬动地球．”人们把阿基米德的发现归纳为“杠杆原理”，要使杠杆平衡，作用在杠杆上的两个力矩（力与力臂的乘积）大小必须相等，即阻力阻力臂动力动力臂．如图，保证杠杆左侧阻力与阻力臂都不变，要使杠杆平衡，右侧动力与动力臂满足的函数关系是（    ） A．正比例函数关系 B．一次函数关系 C．反比例函数关系 D．二次函数关系 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的应用，根据阻力阻力臂动力动力臂，且杠杆左侧阻力与阻力臂都不变即可得到结论．正确理解题意是解题的关键． 解：根据题意可知，阻力阻力臂动力动力臂，且阻力与阻力臂都不变， 右侧动力与动力臂满足为定值， 右侧力与力臂满足的函数关系是反比例函数关系， 故选：C． 【变式2】（24-25九年级上·河南郑州·期末）阿基米德说：“给我一个支点，我就能撬动整个地球”，这句话精辟地阐明了一个重要的物理学知识——杠杆原理，即“阻力×阻力臂=动力×动力臂”．若已知某杠杆的阻力和阻力臂分别为和，则这一杠杆的动力与动力臂之间的函数关系式是______． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的应用．直接利用阻力×阻力臂=动力×动力臂，进而得出动力F关于动力臂l的函数关系式，从而确定其图象即可． 解：∵阻力×阻力臂=动力×动力臂，阻力和阻力臂分别为和， ∴动力F和动力臂l之间的函数解析式为， 则， ∴这一杠杆的动力与动力臂之间的函数关系式是， 故答案为：． 【变式3】（2025·吉林白山·模拟预测）古希腊科学家阿基米德生活在公元前3世纪，他提出了杠杆平衡，现在我们称之为“杠杆原理”，用公式表示为：“动力动力臂阻力阻力臂”．园园想用撬棍去撬动一块石头，已知阻力和阻力臂分别是和． （1）求动力（单位：）关于动力臂（单位：m）的函数关系式． （2）若，求此时需要的动力的大小． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，正确的求出函数关系式是解题的关键： （1）根据杠杆原理，进行求解即可； （2）把代入函数解析式，进行求解即可． 解：（1）根据题意得，即． ∴关于的函数关系式为． （2）当时，． ∴此时需要的动力为． 【题型 3】行程速度时间问题（能力提升） 例题：甲乙两地路程固定，若车速为60km/h，4小时可以到达。设车速为 ，时间为 。 （1）求 与 的函数关系式； （2）若要求2～3小时到达，求车速的取值范围。 解：（1）总路程：，。 （2），， 随 增大而减小，得 。 即车速应控制在80km/h～120km/h之间。 【例题3】（24-25八年级下·江苏南京·期末）A，B两地相距．汽车以的平均速度从A地到达B地需要． （1）①写出y与x的函数关系式； ②如果汽车的平均速度不超过，那么汽车从A地到B地至少需要多少时间？ （2）若某车从A地驶往B地，先以的平均速度行驶，余下路程的行驶平均速度是原平均速度的倍，两段路程共用，求a的值． 【答案】（1）①；②；（2）70 【分析】本题考查反比例函数的应用，分式方程的应用，从实际问题中抽象出函数解析式是解题的关键． （1）①根据时间路程除以速度列出函数解析式即可； ②把代入反比例函数解析式，求出y的值，根据反比例函数性质得出答案即可； （2）根据两段路程共用，列出分式方程，解方程即可． 解：（1）①解：根据题意，得：， 答：y与x的函数表达式为； ②把代入得， ∵， ∴在每个象限内y随x的增大而减小， ∵汽车的平均速度不超过， ∴汽车从A地到B地至少需要； （2）解：余下路程的行驶平均速度是，根据题意得： ， 解得：， 经检验是所列方程的解， ∴的值为70． 【变式1】（24-25八年级下·江苏无锡·期末）体育课上，甲、乙、丙、丁四位同学进行跑步训练，如图用四个点分别描述四位同学的跑步时间y（分钟）与平均跑步速度x（米/分钟）的关系，其中描述甲、丙两位同学的y与x之间关系的点恰好在同一个反比例函数的图像上，则在这次训练中跑的路程最多的是（  ）    A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【分析】根据反比例函数图象与性质求解即可． 解：∵甲、丙两位同学的y与x之间关系的点恰好在同一个反比例函数的图像上， ∴设这个反比例函数表达式为， 若甲，乙，丙，丁， 过乙点作y轴平行线交反比例函数于点，过丁点作y轴平行线交反比例函数于点，如图所示，      ∵、、、在反比例函数图象上， ∴， 由图可知，，， ∴，， 由题意可知，训练中跑的路程为：， ∴甲和丙训练跑的路程相等，乙训练跑的路程小于甲和丙训练跑的路程，丁训练跑的路程大于甲和丙训练跑的路程， ∴丁训练跑的路程最多， 故选：D． 【点拨】本题考查反比例函数图象与性质的实际应用，理解题意，熟练掌握反比例函数图象与性质是解题的关键． 【变式2】（2026·湖南娄底·一模）在一段时间内，某新能源汽车的续航里程是一个定值，且在满电情况下平均每天行驶路程y（单位：）与行驶时间x（单位：天）满足反比例函数关系．已知该汽车满电情况下平均每天行驶，可行驶4天；若平均每天行驶，则可行驶______天． 【答案】5 【分析】利用待定系数法解得满电情况下新能源汽车平均每天行驶路程y与行驶时间x的反比例函数关系式，然后将代入求解即可． 解：设满电情况下新能源汽车平均每天行驶路程y（单位：）与行驶时间x（单位：天）的反比例函数关系为， 该汽车满电情况下平均每天行驶，可行驶4天，可得， 即满电情况下新能源汽车平均每天行驶路程y与行驶时间x的反比例函数关系为， 若平均每天行驶，可将代入， 得，解得（天）， 即可行驶5天． 【变式3】（2026·河南·中考真题）今年是红军长征胜利90周年，为传承红色基因、厚植爱国情怀，某校学生上午从学校出发步行到长征纪念广场开展研学活动，学生步行的平均速度（）与步行全程所用时间（）的函数关系如图1所示． （1）求关于的函数表达式． （2）如果学生从学校出发步行到长征纪念广场所用时间不超过，那么学生步行的平均速度至少为多少？ （3）学生出发后，李老师带着补给物品从学校出发，沿与学生相同的路线先去补给点，为学生整理、发放补给物品后，再去长征纪念广场．李老师、学生已走路程（）与学生步行时间（）的函数关系如图2所示．下列三个说法： ①李老师在补给点停留的时间为； ②李老师比学生先到达长征纪念广场； ③学生从学校到补给点所走路程为． 其中正确说法的序号是_____． 【答案】（1）；（2）学生步行的平均速度至少为；（3）②③ 【分析】（1）由题意知，是的反比例函数，设，代入，即可求解； （2）将代入，求得，结合题意，即可求解； （3）根据函数图象分析即可求解． 解：（1）解：由题意知，是的反比例函数，设 当时， ∴ ∴ （2）把代入，得 ∴学生步行的平均速度至少为 （3）解：根据函数图象可得：①李老师在补给点停留的时间为，故①不正确； ②李老师比学生先到达长征纪念广场，故②正确； ③学生从学校到补给点所走路程为，故③正确． 【题型 4】电学功率电阻问题（中档拔高） 例题：家庭电路电压恒为220V，用电器功率 ，电阻 ，满足 。 （1）写出 关于 的函数解析式； （2）若电阻取值范围为110Ω～220Ω，求功率变化范围。 解：（1）代入 ，得 。 （2）， 越大， 越小。 当 时，；当 时，。 故功率范围：。 【例题4】（24-25九年级上·吉林松原·期末）紫外线杀菌灯的电阻随温度的变化的大致图象如图所示．通电后温度由室温上升到时，电阻与温度成反比例．在温度达到时，电阻下降到最小值，随后电阻随温度升高而增加，温度每上升，电阻增加． （1）当时，求与之间的函数关系式； （2）紫外线杀菌灯在使用过程中，温度在什么范围内时，电阻不超过． 【答案】（1）；（2）当时，电阻不超过 【分析】此题主要考查了反比例函数的应用．解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际意义中找到对应的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式，再根据自变量的值求算对应的函数值． （1）设关系式为，将代入求； （2）将代入函数关系式求出的值． 解：（1）解：设． ∵过点， ， ∴当时，与的关系式为：； （2）解：将代入上式中得：． ∴温度在时，电阻． ∵在温度达到时，电阻下降到最小值；随后电阻随温度升高而增加，温度每上升，电阻增加， 当时，， 把代入得； 把代入得； 故当时，电阻不超过． 【变式1】（25-26八年级下·四川绵阳·期末）某景区有一种叫“喊泉”的游玩项目．它是通过声音的响度刺激声敏电阻，声敏电阻的阻值（）和声音的响度（）成反比例关系，且满足．当声敏电阻低于时，水泵开始喷水；当响度越大时，声敏电阻越小，则喷出的水柱越远．如图是某人声音的响度（）随时间（）变化的关系图，下列说法错误的是（     ） A．第时，声敏电阻的阻值为 B．超过时开始产生水柱 C．在第至时喷出的水柱最高 D．喷出水柱的时长超过 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的实际应用以及一次函数图象的分析．重难点在于理解电阻R与响度h的相互制约关系，以及将图象中的响度变化转化为电阻的变化，从而判断喷水状态和水柱高度． 解：①当时，设， 把代入，得， ②当时， ③当时，设， 把和代入，得， 解得， ， 综上所述：， 选项A：由关系图知，第时，， ， 故选项A说法正确，不符合题意； 选项B：当时，， ，解得 故选项B说法正确，不符合题意； 选项C：当，h始终保持最大值100，所以声敏电阻最小，喷出的水柱最高， 故选项C说法正确，不符合题意； 选项D：把代入，得， 把代入，得, 喷出水柱的时长为， 故选项D说法错误，符合题意． 【变式2】（2025·湖南衡阳·三模）如图是某电路图，电压恒定不变，滑动变阻器的电功率与电阻存在关系：．当滑动变阻器的电阻时，其电功率．小明通过调节电阻，若电功率为，则电阻为_______． 【答案】8 【分析】本题考查了反比例函数的应用，先根据题意得出，再求出当电功率为时的值即可，正确求出反比例函数的解析式是解此题的关键． 解：滑动变阻器的电功率与电阻存在关系：， 由滑动变阻器的电阻时，其电功率，可得， ∴． 当电功率为时，则， 故答案为：． 【变式3】（2024·湖南·模拟预测）物理实验课上，小明为探究电流与接入电路的滑动变阻器之间的关 系，设计如图所示的电路图．已知电源的电压保持不变，小灯泡的电阻为．改变接入电路的滑动变阻器的电阻， 电流表的读数即电流发生改变．当接入电路的滑动变阻器的电阻为时，电流表的读数为． （1）求电路中的电阻关于接入电路的滑动变阻器的电阻之间的函数关系， （2）求电流关于电路中的电阻的函数关系； （3）如果电流表的读数为，则接入电路的滑动变阻器的电阻为多少？ 【答案】（1）；（2）；（3）接入电路的滑动变阻器的电阻为． 【分析】本题考查了反比例函数应用，掌握串联电路的特点以及欧姆定理是解题关键． （1）根据串联电路的特点可知，灯泡与滑动变阻器串联接入电路，则电路中的总电阻等于各部分的电阻之和，即可求解； （2）由欧姆定律可知，，进而得出电源的电压为，即可求解； （3）将代入（2）所求解析式，即可求解． 解：（1）解：由题意可知，灯泡与滑动变阻器串联接入电路，则电路中的总电阻等于各部分的电阻之和， 电路中的电阻； （2）解：由欧姆定律可知，， 由题意可知，小灯泡的电阻为，当接入电路的滑动变阻器的电阻为时，电流表的读数为， ，解得：， 即电源的电压为， 电流关于电路中的电阻的函数关系为； （3）解：电流表的读数为， ， 解得：， 答：接入电路的滑动变阻器的电阻为． 【题型 5】几何体积面积模型（难点突破） 例题：制作容积为 的圆锥形漏斗，漏斗口面积为 ，高为 ，圆锥体积 。 （1）求 关于 的函数解析式； （2）若漏斗口面积不超过 ，求高的最小值。 解：（1），整理得 。 （2） 令 ，即 ，解得 ，即高最小为9cm。 【例题5】（25-26九年级上·福建莆田·期末）某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压和气体的体积存在一定的函数关系．下表是几组气体的气压与气体的体积的对应值． 气体的体积 气体的气压 （1）试确定气体的气压关于气体的体积的函数解析式； （2）当气体的体积为时，求气体的气压． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查反比例函数的实际应用； （1）先通过表格数据判断与的乘积为定值，确定二者是反比例函数关系，进而求出函数解析式， （2）代入指定的体积值计算对应的气压． 解：（1）解：由表格中的对应数据计算 可得 所以 结合实际背景，气体体积不能为0， 因此自变量的取值范围是即气体的气压关于气体的体积的函数解析式为； （2）解：当时 答：气体的气压为． 【变式1】（25-26八年级下·河南南阳·期末）为方便携带，人们在户外运动时常使用真空压缩袋压缩衣物以减小体积．同一件羽绒服的质量（单位：）不变，其体积（单位：）与密度（单位：）成反比例函数关系，如图所示．当压缩后密度是时，其体积是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用待定系数法可求出，再求出时，V的值即可得到答案． 解：设， 由题意得，， ∴， ∴， 当时，， ∴当压缩后密度是时，其体积是． 【变式2】（2026·山西吕梁·一模）在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的某种气体，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变，密度（单位：）是体积（单位：）的反比例函数，它的图像如图所示，当时，气体的密度是_______． 【答案】 【分析】设密度是体积的反比例函数为，把点代入解析式，根据待定系数法求得函数解析式，再将代入函数解析式求解即可． 解：设密度是体积的反比例函数为， 把点代入，得，解得， ∴， 当时，． 【变式3】（2026·山东聊城·一模）如图，燃油机由汽缸、活塞、连杆、曲轴、飞轮组成（如图所示），活塞在汽缸内往复运动，通过连杆带动曲轴做圆周运动，当温度不变时，连杆的不同位置造成活塞运动，则汽缸的体积发生变化，活塞内的气体的压强随之变化某实验小组测试了四种状态下气体压强和汽缸体积的数据如下： 气体压强 汽缸体积 实验小组发现活塞里的气体的压强与气体体积满足反比例函数关系． （1）求该反比例函数的表达式； （2）画出该函数的图象，并求出当气体体积为时，气体的压强为______； （3）若汽缸内气体的压强不能超过，则其体积要控制在什么范围？ 【答案】（1）；（2）画出函数图象如图所示， ， （3）不少于 【分析】（1）设，将代入解析式计算即可得出结果； （2）根据（1）中的解析式画出函数图象，再求出当时，的值即可； （3）求出当时，的值，即可得出结果． 解：（1）解：设， 将代入解析式可得， 解得， 即； （2）解：图象略， 当时，， 汽缸内气体的压强是； 故答案为：； （3）解：当时，， 为了安全起见，气体的体积应不少于． 【题型 6】反比例函数与几何综合应用 【例题6】（2024·山东枣庄·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，，交反比例函数的图象于点，点P在反比例函数的图象上，横坐标为，轴交直线于点Q，D是y轴上任意一点，连接、． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）求面积的最大值． 【答案】（1）一次函数的关系式为，反比例函数的关系式为；（2）面积的最大值是4 【分析】（1）由，的坐标可求出一次函数的关系式，进而求出点的坐标，确定反比例函数的关系式； （2）根据题意，要使的面积最大，可用点P的横坐标表示的面积，依据二次函数的最大值的计算方法求出结果即可． 解：（1）解：把，代入一次函数得， ，解得， ∴一次函数的关系式为， 当时，， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴，解得 ∴反比例函数的关系式为， 答：一次函数的关系式为，反比例函数的关系式为； （2）解：∵点P在反比例函数的图象上，横坐标为，轴交直线于点Q， ∴点，点， ∴， ∴， ∵，， ∴当时，最大， 答：面积的最大值是4． 【变式1】（24-25九年级上·浙江温州·开学考试）如图，四边形中，，交x轴正半轴于点A，反比例函数经过点C，交的中点于D，平分，若，则k的值为（     ） A．12 B． C．8 D． 【答案】B 【分析】作交于，证明得到，再证明DE为图形的中位线得到，设，则，，，把代入中求出，所以，，则，根据两点间的距离公式得到，然后解方程可得到满足条件的的值． 解：作的中点E，连接，如图， ∴， 点为的中点， 为图形的中位线， ∴， 平分， ， ∵ ， ， ， ， 设，则，，， 在的图象上， ， 解得， 经检验，是原方程的解， ，， ， 即， 解得（负值已舍去）． 【变式2】（24-25九年级上·贵州铜仁·阶段检测）如图，已知反比例函数的图象上有一组点，它们的横坐标依次增加1，且点横坐标为1．“①，②，③．．．”分别表示如图所示的三角形的面积，记，，．．．，则______，______，______（用含的式子表示）． 【答案】 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，求出点的横坐标为，纵坐标为 ，得出第个三角形的面积为，然后分别计算即可；再将代入化简得出，即可求解． 解：点在反比例函数的图象上，且横坐标依次增加，点横坐标为 点的横坐标为，纵坐标为 第个三角形（即序号为的三角形）的底边长为，高为 第个三角形的面积为 ①的面积为，②的面积为，③的面积为，④的面积为，，⑦的面积为，⑧的面积为 ，， ． 【变式3】（2025·河南信阳·三模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点O为坐标原点，顶点A，C在反比例函数的图象上，且点A的纵坐标为6，点C的纵坐标为，点B的坐标为． （1）求k的值； （2）直接写出a的值； （3）将菱形向下平移，当点B落到反比例函数的图象上时，求平移的距离． 【答案】（1）；（2）；（3）7 【分析】（1）过点C作轴于点E，过点A作轴于点F，证明，易得，即可确定，然后将其代入反比例函数解析式并求解即可； （2）连接交于点P，则，，结合（1）可知，可确定点坐标，然后根据线段中点的性质求解即可． （3）令，代入中，得，即可求出平移距离. 解：（1）解：如图，过点C作轴于点E，过点A作轴于点F，则． ∵四边形是菱形， ． ， ∴点B在的平分线上， ， ． 又， ， ， ． 将代入，得． （2）如图，连接交于点P，则，， ∵点A的纵坐标为6， ∴， 由（1）可知，， ∴， ∴， ∴，即， ∴． （3）令，代入中，得， ∴平移距离为． 【点拨】本题主要考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、平移的知识、中心对称图形的性质、反比例函数的应用等知识，熟练掌握相关知识，正确作出辅助线是解题关键． 【题型 7】反比例函数与二次函数综合应用 【例题7】（24-25九年级上·浙江杭州·期中）已知二次函数（是常数，且） （1）证明：不论取何值时，该二次函数图象总与轴有两个交点； （2）若，是该二次函数图象上的两个不同点，当时，求二次函数表达式； （3）若二次函数图象与轴两个交点的横坐标分别为，（其中），是关于的函数．且，当时，求的取值范围． 【答案】（1）证明：在二次函数中， ∵， ∴不论取何值时，该二次函数图象总与轴有两个交点； （2） （3）或 【分析】本题主要考查二次函数与轴的交点的判定，二次函数图象的性质，反比例函数与一次函数的交点求不等式的解集，理解二次函数与轴交点的判定方法“，有两个不同的交点”，二次函数图象的对称性，反比例函数与一次函数图象的性质，掌握二次函数图象的性质，反比例函数与一次函数交点求不等式的解集的方法是解题的关键． （1）根据二次函数与轴交点的判定方法进行判定即可； （2）当时，点是二次函数上关于对称轴对称的两个点，由此可得对称轴直线，解出的值，代入即可求解； （3）分别用含的式子表示出，再代入，得到是关于的函数是反比例函数，根据题意作图，数形结合分析即可求解． 解：（1）略 （2）解：∵，是该二次函数图象上的两个不同点， ∴当时，点是二次函数上关于对称轴对称的两个点， ∴二次函数对称轴为， ∴， 解得，， ∴二次函数解析式为：； （3）解：令，则， ∵， ∴， ∵， 解得，，， ∵， ∴， 如图所示， 当时，， 解得，， ∴当时，或． 【变式1】（2026·湖北襄阳·一模）二次函数的图象在平面直角坐标系中的位置如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数图象得到，再判断一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象即可． 解：二次函数的图象开口向下， ， 对称轴在轴右侧， ， ， 抛物线与轴的交点在轴的正半轴， ； 一次函数经过第一、二、四象限， 反比例函数图象在第一、三象限； 只有C选项同时符合两个函数的位置特点． 【变式2】（24-25九年级上·山东东营·期末）如图，曲线是二次函数图像的一部分（其中是抛物线与轴的交点，是抛物线顶点），曲线是反比例函数图像的一部分，两点的纵坐标相等，由点开始不断重复“”的过程，形成一组波浪线．若点和是波浪线上的点，则的最大值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查反比例函数图像上点的坐标特征、二次函数的性质等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键．由抛物线求出点、点，由点求出双曲线，再求出，得到个单位一循环，求出、的最大值即可求解． 解：∵点在抛物线上， ∴令，则， ∴， 又∵点是抛物线的顶点， ∴， ∴, ∵点B在双曲线上， ∴， ∴双曲线解析式为， ∵两点的纵坐标相等， 当时，， ∴点， ∵， 所以点P的纵坐标和时的纵坐标相等， 当时，, 所以， ∵波浪线的最高点为二次函数顶点， 所以n的最大值为12， 所以最大值为． 故答案为． 【变式3】（25-26九年级上·广东佛山·阶段检测）新定义：若一个点的横坐标与纵坐标之和为6，那么称这个点为“和六点”．已知反比例函数的图象经过点，二次函数的图象经过该反比例函数图象上的所有“和六点”． （1）求二次函数的解析式 （2）已知二次函数与反比例函数的图象交于第一象限的两点，（点的横坐标小于点的横坐标）两点，为抛物线对称轴上一动点．若是以为顶点的等腰三角形，求点的坐标． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了二次函数与反比例函数综合，两点间距离公式，等腰三角形的定义，正确理解题意求出反比例函数上的“和六点”的坐标是解题的关键． （1）先利用待定系数法求出反比例函数解析式为，设反比例函数上的“和六点”为，根据“和六点”的定义建立方程求出反比例函数上的“和六点”坐标，进而利用待定系数法求出抛物线解析式即可； （2）先求出对称轴，再设出点P坐标，根据，利用两点间距离公式建立方程求解即可． 解：（1）解：反比例函数的图象经过点， ． 反比例函数的解析式为． 设反比例函数上的“和六点”为． ． 解得， 经检验，都是原方程的解， 反比例函数图象上的“和六点”的坐标为． 二次函数的图象经过点，． ，解得， 二次函数的解析式为． （2）解：由（1）可知，抛物线解析式为． 抛物线对称轴为直线． 点在抛物线的对称轴上， ∴可设． 联立得， 解得， 二次函数与反比例函数的图象交于，（点的横坐标小于点的横坐标）两点， ． 是以为顶点的等腰三角形， ． ， ， ． 解得． 点的坐标为． 三.同步检测 （一）选择题（共4题，每小题4分，合计16分） 1．（2026·广西南宁·三模）已知某物体的质量与其体积成反比例关系，即，当体积是时，质量为．则与的函数关系式是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 解：∵，当时，， ∴， 解得， ∴与的函数关系式为． 2．（2026·山东泰安·三模）某闭合电路中，电源的电压为定值，电流与电阻成反比例．图中表示的是该电路中电流I与电阻R之间函数关系的图象，当电阻为时，电流I的值为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】先求出反比例函数表达式，再代入求解即可． 解：由题意设，则代入，得， ∴， 当电阻为时，． 3．（2026·河北邯郸·模拟预测）已知蓄电池的电压U（单位：V）为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）成反比例函数关系，它们的函数关系图象如图所示．当电流I从增加到时，电阻R（    ） A．减小了 B．减小了 C．增大了 D．增大了 【答案】A 【分析】先利用待定系数法求出电压的值，得到与的函数关系式，再分别计算电流为和时对应的电阻值，最后求差即可． 解：设， 由图象可知，函数图象经过点， 把，代入得：， 反比例函数的解析式为， 当时，， 当时，， ， 当电流从增加到时，电阻减小了． 4．（2026·内蒙古通辽·模拟预测）如图，为提升校园绿化质量，园艺师傅对花坛绿植进行药液喷洒养护，已知喷雾阶段土壤表层每立方厘米药液浓度与时间成正比例，喷雾结束后与成反比例．当每立方厘米药液浓度低于时，对绿植的养护效果消失，则下列说法中正确的是（     ） A．喷洒阶段的函数解析式为 B．喷洒完成后，当时，药液浓度为 C．土壤表层药液浓度为的时间点只有个 D．从喷洒开始到养护效果完全消失，共经过 【答案】D 【分析】分别求出两段函数的解析式，再逐一进行判断即可. 解：设喷洒阶段的函数解析式为，喷洒完成后的函数解析式为， 把分别代入，得，， ∴喷洒阶段的函数解析式为，喷洒完成后的函数解析式为，故选项A错误； 当时，，故喷洒完成后，当时，药液浓度为，故选项B错误； 由图象可知土壤表层药液浓度为的时间点有2个，故选项C错误； 当时，；当时，， 从喷洒开始到养护效果完全消失，共经过；故选项D正确. （2） 填空题（共5题，每小题4分，合计20分） 5．（25-26八年级下·山东青岛·期末）已知近视眼镜的度数（度）是镜片焦距（）的反比例函数，当近视眼镜的度数是度时，镜片的焦距为，那么近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（）之间的函数关系式为________． 【答案】 【分析】先设出反比例函数的一般形式，再代入已知对应值求解即可． 解：设反比例函数解析式为， 将，代入解析式得： ， 解得：， 因此与之间的函数关系式为． 6．（25-26八年级下·山西临汾·阶段检测）某算力中心总算力固定不变，完成全部运算任务所需时间：t（单位：）与在线算力节点数（单位：个）成反比例函数关系．已知开启40个算力节点工作时，完成全部任务需．若全部任务需在内完成，则至少需要开启__________个算力节点． 【答案】 【分析】根据题意求出反比例函数解析式即可得解． 解：根据题意设， 开启40个算力节点工作时，完成全部任务需， ， 解得：， ， 当时，，解得：， 若全部任务需在内完成，则至少需要开启个算力节点． 7．（2026·辽宁铁岭·模拟预测）某科技公司研发的四足机器人（机器狗），其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．在一次测试中，技术人员记录了一组数据：当总质量时，最快速度；则最快移动速度与载重后总质量之间的函数表达式为___________． 【答案】 【分析】根据反比例函数的定义，设出函数表达式，利用待定系数法，代入已知数值求出比例系数，即可得到最终函数表达式． 解：设与的函数表达式为 ， 将 代入表达式，得 ， 解得 ， 因此与之间的函数表达式为 ． 8．（25-26八年级下·上海松江·期末）汽车的功率P（瓦）与行驶速度v（米/秒）和汽车所受的牵引力F（牛）之间的关系为．某汽车的功率P（瓦）为一定值，汽车行驶时的速度v（米/秒）与它所受的牵引力F（牛）之间的函数关系如图所示．当它所受牵引力为1000牛时，汽车的速度为______米/秒． 【答案】60 【分析】首先根据题意确定与的函数关系，然后将代入计算即可． 解：根据题意，将点代入， 可得， 即该汽车的功率P（瓦）为一定值，可得， 当它所受牵引力为1000牛时， 汽车的速度为（米/秒）． 9．（2026·山西太原·二模）无人驾驶拖拉机匀速行驶时，发动机的输出功率保持恒定，牵引力（单位：）与速度（单位：）满足反比例函数关系．已知某无人驾驶拖拉机进行耕地作业，当匀速行驶速度为，牵引力．为保证耕地的效果，牵引力不能低于，则拖拉机速度（单位：）的最大值为_______． 【答案】 【分析】因为牵引力F和速度v是反比例函数关系，所以先设反比例函数的一般形式，其中k为常数且，把已知的、代入反比例函数表达式，求出k的值，确定F与v的函数解析式，因为要求，所以将代入已得到的函数解析式，求解对应的v值，结合反比例函数的增减性，得到v的最大值． 解：∵牵引力和速度是反比例函数关系， ∴设， 将，代入解析式，得， ∴函数关系式为， 当时，代入得， ∵， 解得， ∴拖拉机速度的最大值为． （3） 解答题（共8题，每小题8分，合计64分） 10．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，科技小组准备用材料围建一个面积为的长方形科技园，其中一边靠墙，墙长，设的长为，的长为． （1）求关于x的函数关系式； （2）y与x是什么函数关系？ 【答案】（1）；（2）反比例函数关系 【分析】用长方形的面积建立和的关系式，即可求得函数关系式，根据关系式即可确定函数关系． 解：（1）解：由题意得，， ∴ ∵墙长，靠墙边为， ∴，即 ∴ ∴； （2）∵符合反比例函数的形式， ∴y与x是反比例函数关系． 11．（25-26九年级上·河南周口·期末）如图，根据小孔成像的物理原理，当小孔到像的距离和蜡烛火焰高度不变时，火焰的像高是小孔到蜡烛的距离的反比例函数，且当时，． （1）求关于的函数解析式． （2）若火焰的像高为，求小孔到蜡烛的距离． 【答案】（1）；（2）小孔到蜡烛的距离为． 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，掌握好相关知识是关键． （1）使用待定系数法求函数解析式即可； （2）将代入（1）中的解析式，求出的值． 解：（1）解：设反比例函数的解析式为， 将，代入，得， ， 解得， ∴关于的函数解析式为； （2）解：将代入，得， ， 解得． 答：小孔到蜡烛的距离为． 12．（25-26九年级上·陕西咸阳·期末）某粮库需要把晾晒场上的玉米入库封存，已知入库所需要的时间（单位：天）与入库平均速度（单位：吨/天）之间满足反比例函数关系，且当入库平均速度为400吨/天时，入库所需要的时间为3天．求与之间的函数关系式，并求当入库平均速度为200吨/天时，入库所需要的时间为多少天？ 【答案】反比例函数的表达式为，当入库平均速度为200吨/天时，入库所需要的时间为6天 【分析】本题考查了反比例函数的应用． 设反比例函数的表达式为将代入求出解析式，再将代入求解即可． 解：设反比例函数的表达式为， 将代入中，得， 解得， 反比例函数的表达式为， 令，则， 当入库平均速度为200吨/天时，入库所需要的时间为6天． 13．（25-26九年级上·陕西安康·期末）机器狗凭借灵活机动和视觉识别，已从实验室走向工业巡检、安防巡逻和应急救援等多元场景，突破人力与设备的应用空白．若“机器狗”最快移动速度是载重后总质量的反比例函数，即．已知一款“机器狗”载重后总质量为时，它的最快移动速度为． （1）求V关于m的函数解析式； （2）若机器狗载重后总质量为时，它的最快移动速度为多少？ 【答案】（1）与的解析式为；（2） 【分析】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是掌握反比例函数的性质． （1）利用待定系数法求解即可； （2）将代入反比例函数解析式中求出，即可求解． 解：（1）解：总质量时，它的最快移动速度为， ， 与的解析式为； （2）解：当时，， 机器狗载重后总质量为时，它的最快移动速度为． 14．（25-26九年级上·甘肃张掖·期末）近年来，我国煤矿事故频频发生，其中最严重的灾害是瓦斯爆炸，瓦斯爆炸后会产生高温、高压、冲击波，并放出有毒气体．如图，在一次瓦斯爆炸煤矿事故的调查中发现：从零时起，井内空气中浓度达到后，浓度呈直线型增加，在第7小时达到最高值，发生爆炸，爆炸后空气中浓度开始下降，此时空气中浓度与时间成反比例函数关系． （1）求爆炸后y与x之间的函数表达式； （2）救援人员只有在空气中浓度降至及以下时，方可进入现场开展救援工作．则救援人员至少在爆炸后多长时间才能下井开展救援？ 【答案】（1）y＝，自变量x的取值范围是；（2）救援人员至少在爆炸后73.5小时才能下井 【分析】本题考查了反比例函数，解题的关键是求出反比例函数的关系式． （1）利用待定系数法求反比例函数的解析式即可； （2）求出时，对应的反比例函数的函数值，然后减去7即可求解． 解：（1）解：因为爆炸后浓度成反比例下降，所以可设y与x的函数关系式为， 由图像知过点，则． 解得：， 所以，此时自变量x的取值范围是； （2）当时，由，得 解得：， （小时）， 故救援人员至少在爆炸后73.5小时才能下井． 15．（25-26八年级下·上海嘉定·期末）学生上课时注意力集中的程度可以用注意力指数来表示．某班学生在一节数学课中的注意力指数随上课时间（分钟）的变化情况如图所示．上课开始时注意力指数为30，第2分钟时注意力指数为40，前10分钟内是的一次函数；10分钟以后与成反比例．根据图中所提供的信息，回答下列问题： （1）上课几分钟时，注意力指数达到最高？最高注意力指数是多少？ （2）如果讲解一道难度较高的数学题，要求学生的注意力指数不低于50，为了保证教学效果，本节课讲解这道题的用时最多为多少分钟？ 【答案】（1）上课分钟时，注意力指数达到最高，最高注意力指数是；（2）本节课讲解这道题的用时最多为分钟 【分析】（1）利用待定系数法求出前分钟内与的函数关系式为，再结合一次函数的性质计算即可得出结果； （2）由（1）可得前分钟内的函数解析式为，当时，求得，求出分钟后与的函数关系式为，当时，求得，从而可得注意力指数不低于的持续时间，即可得出结果． 解：（1）解：设前分钟内与的函数关系式为， 将和代入解析式得， 解得， ∴前分钟内与的函数关系式为， ∵， ∴随着的增大而增大， ∵当时，， ∴上课分钟时，注意力指数达到最高，最高注意力指数是； （2）解：由（1）可得前分钟内的函数解析式为， 当时，， 解得， 设分钟后与的函数关系式为， 将代入解析式得， ∴， ∴分钟后与的函数关系式为， 当时，， 解得， ∴注意力指数不低于的持续时间为（分钟）， ∴为了保证教学效果，本节课讲解这道题的用时最多为分钟． 16．（25-26八年级下·山东济南·期末）“人潮人海中，有你有我”，上下学的“停车大战”与“拥堵大戏”已成为社会热点问题．某校对本校下午放学校门口“堵塞”情况做了一次调查后发现：每天放学时间3分钟后校门外学生流量变化大致可以用“拥挤指数”y（）与放学后时间x（分）的函数关系描述．如图，3~13分钟函数图象为抛物线，且在第13分钟达到该函数最大值100（此时为抛物线的顶点）；13分钟之后为函数（）的图象的一部分． （1）求二次函数和反比例函数的表达式（需明确x的取值范围）； （2）若“拥挤指数”，出于安全考虑，需要护学岗执勤人员维护秩序、疏导交通．请依据图象计算每天至少需要执勤的时间． 【答案】（1）（），（）；（2）每天至少需要执勤的时间为分钟 【分析】（1）将分别代入二次函数和反比例函数计算即可； （2）将分别代入二次函数和反比例函数求出的值，相减即可， 解：（1）解：由题意可知：抛物线的顶点坐标为， 设该二次函数的解析式为， 把点代入，得：， 解得， ∴所求二次函数的解析式为（）， 把点代入得：， ∴所求反比例函数的解析式为（）； （2）解：由， 解得，（不合题意，舍去）， 由， 解得， ， 答：每天至少需要执勤的时间为分钟． 17．（25-26八年级下·江苏盐城·阶段检测）为保障学生饮水健康安全，鹿鸣路初中配备了智能全自动饮水机．八年级数学兴趣小组研究发现：饮水机接通电源后加热时，水温匀速上升，每分钟上升，加热到时停止加热；随后水温自然回落，此阶段水温与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热，开始下一轮循环．若初始水温在时接通电源，八年级数学兴趣小组绘制了水温随通电时间变化的部分函数图象（如图所示），请结合图象解答下列问题． （1）图象中停止加热后水温自然回落至的过程中，水温与通电时间x（min）之间的函数关系式是______，自变量x的取值范围是_____； （2）图象中从接通电源开始，到水温首次回落至为止，求这一过程中水温不低于时长为多少分钟？ （3）早晨7：40接通电源启动加热（此时水温为），当天上午9：20下课时同学们______（填“能”或“不能”）接到的温开水，此时水温为______． 【答案】（1），；（2）；（3）能；40 【分析】（1） 先根据加热速率求出停止加热时的通电时间，再用待定系数法求反比例函数表达式，最后求水温降至时的总时间确定自变量范围． （2） 分加热和回落两个阶段分别求出水温为时对应的通电时间，再分别计算两阶段中水温不低于的时长并求和． （3） 先求一个完整周期时长，再计算内经历几个完整周期，判断下课时处于第几轮的哪个阶段，进而求出水温和是否在～范围内． 解：（1）解：∵ 初始水温为，每分钟上升， ∴ 加热到所需时间为， 即停止加热时，． 设停止加热后水温与通电时间的函数关系式为， ∵ 图象过点， ∴ ， 解得， ∴ 函数关系式为． 当水温降至时，， 解得， ∴ 自变量的取值范围是． （2）解：由题意，饮水机接通电源后加热时，水温匀速上升，每分钟上升， 加热阶段水温与通电时间的关系为（）， 当时，， 解得， ∴ 加热阶段水温不低于的时长为． 回落阶段水温与通电时间的关系为（）， 当时，， 解得， ∴ 回落阶段水温不低于的时长为． ∴ 这一过程中水温不低于的总时长为． （3）解：∵ 加热需，回落需， ∴一个完整周期为． ∵ 早晨7:40到上午9:20共， ， ∴ 经过个完整周期后，第个周期又进行了． 第个周期中，前加热，后回落， ∵ ， ∴ 此时处于第个周期的回落阶段， 故可知，第1个周期的温度，第个周期开始后第的温度一样， 此时的温度为： ∵ ， ∴ 同学们能接到～的温开水， 此时水温为． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 27.3 实际问题与反比例函数（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识梳理与解读 1 【知识点一】实际问题建立反比例函数模型步骤 1 【知识点二】八大常考反比例函数实际模型 2 【知识点三】核心解题规律与易错点 2 二.题型精析 2 【题型 1】工程装卸总量不变问题（基础入门·教材例1） 2 【题型 2】杠杆平衡实际应用（基础必会·教材例2） 3 【题型 3】行程速度时间问题（能力提升） 4 【题型 4】电学功率电阻问题（中档拔高） 6 【题型 5】几何体积面积模型（难点突破） 7 【题型 6】反比例函数与几何综合应用 9 【题型 7】反比例函数与二次函数综合应用 10 三.同步检测 12 （一）选择题（共4题，每小题4分，合计16分） 12 （二）填空题（共5题，每小题4分，合计20分） 13 （三）解答题（共8题，每小题8分，合计64分） 14 一.知识梳理与解读 【知识点一】实际问题建立反比例函数模型步骤 1. 审清题意：区分题目中的常量、自变量、因变量，找准两个变量乘积为定值的等量关系。 2. 列函数解析式：根据实际公式列出恒等关系式，整理变形为反比例函数标准形式 。 3. 确定自变量取值范围：结合实际意义取值，长度、速度、时间、质量、电阻等物理量均为正数，不可直接使用 。 4. 利用性质解题：借助反比例函数增减性，求解变量取值范围、最值、方案问题。 5. 检验作答：所得结果必须符合实际生活、物理规律，舍去不合理的解。 【要点提示】实际问题中的反比例函数图象，只取第一象限单支双曲线，无其他象限图象。 【知识点二】八大常考反比例函数实际模型 1. 工程工作模型：总工作量一定，工作效率与工作时间成反比例； 2. 行程运动模型：总路程一定，行驶速度与行驶时间成反比例； 3. 杠杆平衡模型：阻力、阻力臂一定，动力与动力臂成反比例； 4. 电学电路模型：电压恒定，电功率与电阻成反比例； 5. 力学做功模型：做功总量一定，作用力与移动距离成反比例； 6. 气体恒温模型：温度不变，气体压强与体积成反比例； 7. 矩形面积模型：面积固定，长与宽成反比例； 8. 立体体积模型：体积固定，底面积与高成反比例。 【知识点三】核心解题规律与易错点 1. 实际应用题中 ，在第一象限内：自变量越大，函数值越小。 2. 出现“至少、至多、不超过、最少、最多”等关键词，必须利用反比例增减性求边界值。 3. 所有变量取值必须为正数，解题必须写明自变量取值范围，属于必考得分点。 二.题型精析 【题型 1】工程装卸总量不变问题（基础入门·教材例1） 【例题1】（23-24九年级上·辽宁大连·期末）一工程中，某工程队工人每天需要挖掘20吨土的深沟，整个工程完毕恰好用了6天. （1）在工程结束后，工人需要把所有的土进行回填，在整个回填过程中，平均回填速度v（单位：吨/天）与回填天数t之间有怎样的函数关系? （2）由于遇到紧急情况，要求整个回填工程不超过4天完毕，那么平均每天至少要回填多少吨土? 【变式1】（24-25八年级下·河北廊坊·期末）一项市政工程，需运送土石方106米3，某运输公司承办了这项运送土石方的工程，则运送公司平均每天的工作量y（米3/天）与完成运送任务所需时间x（天）之间的函数关系图象大致是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（2026·四川成都·三模）成都天府绿道要修一段步道，工程总量固定，每天修建的长度米和修建天数天成反比例函数关系．若每天修40米，需要6天完工；若每天修建30米，则需要________天完工． 【变式3】（23-24九年级上·江西南昌·期中）在伊通河治理工程实验过程中，某工程队接受一项开挖水架的工程，所需天数（单位：天）与每天完成的工程量（单位：m/天）之间的函数关系图象是如图所示的双曲线的一部分． （1）请根据题意，求关于的函数解析式； （2）若该工程队有台挖掘机，每台挖掘机每天能够开挖水渠，则该工程队需用多少天才能完成此项任务？ 【题型 2】杠杆平衡实际应用（基础必会·教材例2） 【例题2】（24-25九年级上·安徽合肥·期中）杠杆原理也称为“杠杆平衡条件”，要使杠杆平衡，作用在杠杆上两个力矩（力与力臂的乘积）大小必须相等，即：阻力阻力臂动力动力臂，用代数式表示为．如图，已知石头重量（阻力）为，阻力臂长，小华想用一根撬棍撬起这块石头，但他只有的力量，那么他该选择动力臂为多少米的撬棍才能撬动这块大石头？ 【变式1】（24-25九年级下·湖南娄底·期中）古希腊科学家阿基米德曾说：“给我一个支点，我可以撬动地球．”人们把阿基米德的发现归纳为“杠杆原理”，要使杠杆平衡，作用在杠杆上的两个力矩（力与力臂的乘积）大小必须相等，即阻力阻力臂动力动力臂．如图，保证杠杆左侧阻力与阻力臂都不变，要使杠杆平衡，右侧动力与动力臂满足的函数关系是（    ） A．正比例函数关系 B．一次函数关系 C．反比例函数关系 D．二次函数关系 【变式2】（24-25九年级上·河南郑州·期末）阿基米德说：“给我一个支点，我就能撬动整个地球”，这句话精辟地阐明了一个重要的物理学知识——杠杆原理，即“阻力×阻力臂=动力×动力臂”．若已知某杠杆的阻力和阻力臂分别为和，则这一杠杆的动力与动力臂之间的函数关系式是______． 【变式3】（2025·吉林白山·模拟预测）古希腊科学家阿基米德生活在公元前3世纪，他提出了杠杆平衡，现在我们称之为“杠杆原理”，用公式表示为：“动力动力臂阻力阻力臂”．园园想用撬棍去撬动一块石头，已知阻力和阻力臂分别是和． （1）求动力（单位：）关于动力臂（单位：m）的函数关系式． （2）若，求此时需要的动力的大小． 【题型 3】行程速度时间问题（能力提升） 例题：甲乙两地路程固定，若车速为60km/h，4小时可以到达。设车速为 ，时间为 。 （1）求 与 的函数关系式； （2）若要求2～3小时到达，求车速的取值范围。 【例题3】（24-25八年级下·江苏南京·期末）A，B两地相距．汽车以的平均速度从A地到达B地需要． （1）①写出y与x的函数关系式； ②如果汽车的平均速度不超过，那么汽车从A地到B地至少需要多少时间？ （2）若某车从A地驶往B地，先以的平均速度行驶，余下路程的行驶平均速度是原平均速度的倍，两段路程共用，求a的值． 【变式1】（24-25八年级下·江苏无锡·期末）体育课上，甲、乙、丙、丁四位同学进行跑步训练，如图用四个点分别描述四位同学的跑步时间y（分钟）与平均跑步速度x（米/分钟）的关系，其中描述甲、丙两位同学的y与x之间关系的点恰好在同一个反比例函数的图像上，则在这次训练中跑的路程最多的是（  ）    A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【变式2】（2026·湖南娄底·一模）在一段时间内，某新能源汽车的续航里程是一个定值，且在满电情况下平均每天行驶路程y（单位：）与行驶时间x（单位：天）满足反比例函数关系．已知该汽车满电情况下平均每天行驶，可行驶4天；若平均每天行驶，则可行驶______天． 【变式3】（2026·河南·中考真题）今年是红军长征胜利90周年，为传承红色基因、厚植爱国情怀，某校学生上午从学校出发步行到长征纪念广场开展研学活动，学生步行的平均速度（）与步行全程所用时间（）的函数关系如图1所示． （1）求关于的函数表达式． （2）如果学生从学校出发步行到长征纪念广场所用时间不超过，那么学生步行的平均速度至少为多少？ （3）学生出发后，李老师带着补给物品从学校出发，沿与学生相同的路线先去补给点，为学生整理、发放补给物品后，再去长征纪念广场．李老师、学生已走路程（）与学生步行时间（）的函数关系如图2所示．下列三个说法： ①李老师在补给点停留的时间为； ②李老师比学生先到达长征纪念广场； ③学生从学校到补给点所走路程为． 其中正确说法的序号是_____． 【题型 4】电学功率电阻问题（中档拔高） 例题：家庭电路电压恒为220V，用电器功率 ，电阻 ，满足 。 （1）写出 关于 的函数解析式； （2）若电阻取值范围为110Ω～220Ω，求功率变化范围。 【例题4】（24-25九年级上·吉林松原·期末）紫外线杀菌灯的电阻随温度的变化的大致图象如图所示．通电后温度由室温上升到时，电阻与温度成反比例．在温度达到时，电阻下降到最小值，随后电阻随温度升高而增加，温度每上升，电阻增加． （1）当时，求与之间的函数关系式； （2）紫外线杀菌灯在使用过程中，温度在什么范围内时，电阻不超过． 【变式1】（25-26八年级下·四川绵阳·期末）某景区有一种叫“喊泉”的游玩项目．它是通过声音的响度刺激声敏电阻，声敏电阻的阻值（）和声音的响度（）成反比例关系，且满足．当声敏电阻低于时，水泵开始喷水；当响度越大时，声敏电阻越小，则喷出的水柱越远．如图是某人声音的响度（）随时间（）变化的关系图，下列说法错误的是（     ） A．第时，声敏电阻的阻值为 B．超过时开始产生水柱 C．在第至时喷出的水柱最高 D．喷出水柱的时长超过 【变式2】（2025·湖南衡阳·三模）如图是某电路图，电压恒定不变，滑动变阻器的电功率与电阻存在关系：．当滑动变阻器的电阻时，其电功率．小明通过调节电阻，若电功率为，则电阻为_______． 【变式3】（2024·湖南·模拟预测）物理实验课上，小明为探究电流与接入电路的滑动变阻器之间的关 系，设计如图所示的电路图．已知电源的电压保持不变，小灯泡的电阻为．改变接入电路的滑动变阻器的电阻， 电流表的读数即电流发生改变．当接入电路的滑动变阻器的电阻为时，电流表的读数为． （1）求电路中的电阻关于接入电路的滑动变阻器的电阻之间的函数关系， （2）求电流关于电路中的电阻的函数关系； （3）如果电流表的读数为，则接入电路的滑动变阻器的电阻为多少？ 【题型 5】几何体积面积模型（难点突破） 例题：制作容积为 的圆锥形漏斗，漏斗口面积为 ，高为 ，圆锥体积 。 （1）求 关于 的函数解析式； （2）若漏斗口面积不超过 ，求高的最小值。 【例题5】（25-26九年级上·福建莆田·期末）某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压和气体的体积存在一定的函数关系．下表是几组气体的气压与气体的体积的对应值． 气体的体积 气体的气压 （1）试确定气体的气压关于气体的体积的函数解析式； （2）当气体的体积为时，求气体的气压． 【变式1】（25-26八年级下·河南南阳·期末）为方便携带，人们在户外运动时常使用真空压缩袋压缩衣物以减小体积．同一件羽绒服的质量（单位：）不变，其体积（单位：）与密度（单位：）成反比例函数关系，如图所示．当压缩后密度是时，其体积是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·山西吕梁·一模）在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的某种气体，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变，密度（单位：）是体积（单位：）的反比例函数，它的图像如图所示，当时，气体的密度是_______． 【变式3】（2026·山东聊城·一模）如图，燃油机由汽缸、活塞、连杆、曲轴、飞轮组成（如图所示），活塞在汽缸内往复运动，通过连杆带动曲轴做圆周运动，当温度不变时，连杆的不同位置造成活塞运动，则汽缸的体积发生变化，活塞内的气体的压强随之变化某实验小组测试了四种状态下气体压强和汽缸体积的数据如下： 气体压强 汽缸体积 实验小组发现活塞里的气体的压强与气体体积满足反比例函数关系． （1）求该反比例函数的表达式； （2）画出该函数的图象，并求出当气体体积为时，气体的压强为______； （3）若汽缸内气体的压强不能超过，则其体积要控制在什么范围？ 【题型 6】反比例函数与几何综合应用 【例题6】（2024·山东枣庄·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，，交反比例函数的图象于点，点P在反比例函数的图象上，横坐标为，轴交直线于点Q，D是y轴上任意一点，连接、． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）求面积的最大值． 【变式1】（24-25九年级上·浙江温州·开学考试）如图，四边形中，，交x轴正半轴于点A，反比例函数经过点C，交的中点于D，平分，若，则k的值为（     ） A．12 B． C．8 D． 【变式2】（24-25九年级上·贵州铜仁·阶段检测）如图，已知反比例函数的图象上有一组点，它们的横坐标依次增加1，且点横坐标为1．“①，②，③．．．”分别表示如图所示的三角形的面积，记，，．．．，则______，______，______（用含的式子表示）． 【变式3】（2025·河南信阳·三模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点O为坐标原点，顶点A，C在反比例函数的图象上，且点A的纵坐标为6，点C的纵坐标为，点B的坐标为． （1）求k的值； （2）直接写出a的值； （3）将菱形向下平移，当点B落到反比例函数的图象上时，求平移的距离． 【题型 7】反比例函数与二次函数综合应用 【例题7】（24-25九年级上·浙江杭州·期中）已知二次函数（是常数，且） （1）证明：不论取何值时，该二次函数图象总与轴有两个交点； （2）若，是该二次函数图象上的两个不同点，当时，求二次函数表达式； （3）若二次函数图象与轴两个交点的横坐标分别为，（其中），是关于的函数．且，当时，求的取值范围． 【变式1】（2026·湖北襄阳·一模）二次函数的图象在平面直角坐标系中的位置如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·山东东营·期末）如图，曲线是二次函数图像的一部分（其中是抛物线与轴的交点，是抛物线顶点），曲线是反比例函数图像的一部分，两点的纵坐标相等，由点开始不断重复“”的过程，形成一组波浪线．若点和是波浪线上的点，则的最大值为______． 【变式3】（25-26九年级上·广东佛山·阶段检测）新定义：若一个点的横坐标与纵坐标之和为6，那么称这个点为“和六点”．已知反比例函数的图象经过点，二次函数的图象经过该反比例函数图象上的所有“和六点”． （1）求二次函数的解析式 （2）已知二次函数与反比例函数的图象交于第一象限的两点，（点的横坐标小于点的横坐标）两点，为抛物线对称轴上一动点．若是以为顶点的等腰三角形，求点的坐标． 三.同步检测 （一）选择题（共4题，每小题4分，合计16分） 1．（2026·广西南宁·三模）已知某物体的质量与其体积成反比例关系，即，当体积是时，质量为．则与的函数关系式是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·山东泰安·三模）某闭合电路中，电源的电压为定值，电流与电阻成反比例．图中表示的是该电路中电流I与电阻R之间函数关系的图象，当电阻为时，电流I的值为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（2026·河北邯郸·模拟预测）已知蓄电池的电压U（单位：V）为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）成反比例函数关系，它们的函数关系图象如图所示．当电流I从增加到时，电阻R（    ） A．减小了 B．减小了 C．增大了 D．增大了 4．（2026·内蒙古通辽·模拟预测）如图，为提升校园绿化质量，园艺师傅对花坛绿植进行药液喷洒养护，已知喷雾阶段土壤表层每立方厘米药液浓度与时间成正比例，喷雾结束后与成反比例．当每立方厘米药液浓度低于时，对绿植的养护效果消失，则下列说法中正确的是（     ） A．喷洒阶段的函数解析式为 B．喷洒完成后，当时，药液浓度为 C．土壤表层药液浓度为的时间点只有个 D．从喷洒开始到养护效果完全消失，共经过 （2） 填空题（共5题，每小题4分，合计20分） 5．（25-26八年级下·山东青岛·期末）已知近视眼镜的度数（度）是镜片焦距（）的反比例函数，当近视眼镜的度数是度时，镜片的焦距为，那么近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（）之间的函数关系式为________． 6．（25-26八年级下·山西临汾·阶段检测）某算力中心总算力固定不变，完成全部运算任务所需时间：t（单位：）与在线算力节点数（单位：个）成反比例函数关系．已知开启40个算力节点工作时，完成全部任务需．若全部任务需在内完成，则至少需要开启__________个算力节点． 7．（2026·辽宁铁岭·模拟预测）某科技公司研发的四足机器人（机器狗），其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．在一次测试中，技术人员记录了一组数据：当总质量时，最快速度；则最快移动速度与载重后总质量之间的函数表达式为___________． 8．（25-26八年级下·上海松江·期末）汽车的功率P（瓦）与行驶速度v（米/秒）和汽车所受的牵引力F（牛）之间的关系为．某汽车的功率P（瓦）为一定值，汽车行驶时的速度v（米/秒）与它所受的牵引力F（牛）之间的函数关系如图所示．当它所受牵引力为1000牛时，汽车的速度为______米/秒． 9．（2026·山西太原·二模）无人驾驶拖拉机匀速行驶时，发动机的输出功率保持恒定，牵引力（单位：）与速度（单位：）满足反比例函数关系．已知某无人驾驶拖拉机进行耕地作业，当匀速行驶速度为，牵引力．为保证耕地的效果，牵引力不能低于，则拖拉机速度（单位：）的最大值为_______． （3） 解答题（共8题，每小题8分，合计64分） 10．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，科技小组准备用材料围建一个面积为的长方形科技园，其中一边靠墙，墙长，设的长为，的长为． （1）求关于x的函数关系式； （2）y与x是什么函数关系？ 11．（25-26九年级上·河南周口·期末）如图，根据小孔成像的物理原理，当小孔到像的距离和蜡烛火焰高度不变时，火焰的像高是小孔到蜡烛的距离的反比例函数，且当时，． （1）求关于的函数解析式． （2）若火焰的像高为，求小孔到蜡烛的距离． 12．（25-26九年级上·陕西咸阳·期末）某粮库需要把晾晒场上的玉米入库封存，已知入库所需要的时间（单位：天）与入库平均速度（单位：吨/天）之间满足反比例函数关系，且当入库平均速度为400吨/天时，入库所需要的时间为3天．求与之间的函数关系式，并求当入库平均速度为200吨/天时，入库所需要的时间为多少天？ 13．（25-26九年级上·陕西安康·期末）机器狗凭借灵活机动和视觉识别，已从实验室走向工业巡检、安防巡逻和应急救援等多元场景，突破人力与设备的应用空白．若“机器狗”最快移动速度是载重后总质量的反比例函数，即．已知一款“机器狗”载重后总质量为时，它的最快移动速度为． （1）求V关于m的函数解析式； （2）若机器狗载重后总质量为时，它的最快移动速度为多少？ 14．（25-26九年级上·甘肃张掖·期末）近年来，我国煤矿事故频频发生，其中最严重的灾害是瓦斯爆炸，瓦斯爆炸后会产生高温、高压、冲击波，并放出有毒气体．如图，在一次瓦斯爆炸煤矿事故的调查中发现：从零时起，井内空气中浓度达到后，浓度呈直线型增加，在第7小时达到最高值，发生爆炸，爆炸后空气中浓度开始下降，此时空气中浓度与时间成反比例函数关系． （1）求爆炸后y与x之间的函数表达式； （2）救援人员只有在空气中浓度降至及以下时，方可进入现场开展救援工作．则救援人员至少在爆炸后多长时间才能下井开展救援？ 15．（25-26八年级下·上海嘉定·期末）学生上课时注意力集中的程度可以用注意力指数来表示．某班学生在一节数学课中的注意力指数随上课时间（分钟）的变化情况如图所示．上课开始时注意力指数为30，第2分钟时注意力指数为40，前10分钟内是的一次函数；10分钟以后与成反比例．根据图中所提供的信息，回答下列问题： （1）上课几分钟时，注意力指数达到最高？最高注意力指数是多少？ （2）如果讲解一道难度较高的数学题，要求学生的注意力指数不低于50，为了保证教学效果，本节课讲解这道题的用时最多为多少分钟？ 16．（25-26八年级下·山东济南·期末）“人潮人海中，有你有我”，上下学的“停车大战”与“拥堵大戏”已成为社会热点问题．某校对本校下午放学校门口“堵塞”情况做了一次调查后发现：每天放学时间3分钟后校门外学生流量变化大致可以用“拥挤指数”y（）与放学后时间x（分）的函数关系描述．如图，3~13分钟函数图象为抛物线，且在第13分钟达到该函数最大值100（此时为抛物线的顶点）；13分钟之后为函数（）的图象的一部分． （1）求二次函数和反比例函数的表达式（需明确x的取值范围）； （2）若“拥挤指数”，出于安全考虑，需要护学岗执勤人员维护秩序、疏导交通．请依据图象计算每天至少需要执勤的时间． 17．（25-26八年级下·江苏盐城·阶段检测）为保障学生饮水健康安全，鹿鸣路初中配备了智能全自动饮水机．八年级数学兴趣小组研究发现：饮水机接通电源后加热时，水温匀速上升，每分钟上升，加热到时停止加热；随后水温自然回落，此阶段水温与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热，开始下一轮循环．若初始水温在时接通电源，八年级数学兴趣小组绘制了水温随通电时间变化的部分函数图象（如图所示），请结合图象解答下列问题． （1）图象中停止加热后水温自然回落至的过程中，水温与通电时间x（min）之间的函数关系式是______，自变量x的取值范围是_____； （2）图象中从接通电源开始，到水温首次回落至为止，求这一过程中水温不低于时长为多少分钟？ （3）早晨7：40接通电源启动加热（此时水温为），当天上午9：20下课时同学们______（填“能”或“不能”）接到的温开水，此时水温为______． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $