25.1 一元二次方程的概念 教学设计 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦一元二次方程的概念，通过复习一元一次方程的概念（只含一个未知数、未知数次数为1、整式方程），引导学生类比迁移，建立新旧知识联系，为探究新知搭建学习支架。 该资料亮点在于以三个现实情境（人体雕像黄金分割、矩形铁皮制方盒、单循环排球赛）为载体，引导学生用数学眼光发现数量关系，通过小组合作探究归纳概念，培养数学思维。学科特色教学方法结合讲授与探究，实例具体，助力学生建立模型意识，也为教师提供可操作的教学流程。

25.1 一元二次方程的概念 教学设计 课题 25.1 一元二次方程的概念 学科 数学 年级 九年级 教材版本 人教版（2024） 课时 1课时 课型 新授课 教学目标 1.理解一元二次方程及其相关概念，能够熟练地把一元二次方程化为一般形式。 2.会应用一元二次方程的根的概念解决有关问题。 3.经历把实际问题转化为数学模型的过程，体会方程是刻画现实世界中数量关系的工具，增强对一元二次方程的感性认识。 教学重点 通过建立方程，归纳得出一元二次方程的概念、一般形式和一元二次方程的根的概念。 教学难点 通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念。 教学方法 讲授法、探究法、合作交流、练习巩固 教学准备 多媒体课件 课后练习 完成课本第25.1节随堂练习及课后巩固练习 板书设计 见板书设计部分 教学过程 教学环节 教师活动 学生活动 设计意图 一、复习回顾 教师提问：下列式子是否是一元一次方程？课件展示若干式子。 学生回答，教师回顾一元一次方程的概念：只含一个未知数、未知数次数都是1、两边都是整式的方程。 引出课题：今天类比一元一次方程的学习方法，认识一类新的方程——一元二次方程。 判断课件中的式子是否为一元一次方程，回顾一元一次方程的概念，感知方程分类的标准（未知数个数、未知数最高次数、整式） 通过复习旧知识，让学生产生新旧知识上的强烈冲击，产生强烈的求知欲，建立类比的学习方法，为下面探究新知识打下基础。 二、情境引入 问题①人体雕像 情境引入：现有三个实际问题，根据题干信息列方程、化简方程、观察所得结果，你发现了什么？师生互动，随机抽查学生回答。 问题①（人体雕像）：在设计人体雕像时，使雕像的腰部以上与腰部以下的身长比，等于腰部以下与全身的身长比，可以增加视觉美感。如果某人体雕像全身长为5 m，按照上述比例，雕像腰部以下为多长？ 分析：雕像腰部以上的身长AC与腰部以下的身长BC满足等量关系：AC∶BC=BC∶AB。 解：设雕像腰部以下的身长BC为x m，则 AC=(5−x) m。由比例关系列方程： 整理得 ，即 设雕像腰部以下身高为x m（则腰部以上为(5−x) m），根据等量关系 AC∶BC=BC∶AB 列出比例方程 ，整理得 ，再化为 以人体雕像创设比例情境，引导学生把黄金分割的比例关系转化为分式比例方程，体验从实际问题抽象方程的全过程，为归纳一元二次方程概念提供素材；展示雕像图直观理解等量关系。 二、情境引入 问题②矩形铁皮 问题②（矩形铁皮制无盖方盒）：有一块矩形铁皮，长100 cm，宽50 cm。在它的四角各切去一个同样大小的正方形铁皮，然后将四周凸出部分折起，就能制作一个无盖方盒。如果要制作的无盖方盒的底面积为3600 cm²，那么矩形铁皮各角应切去边长为多少的正方形铁皮？ 分析：设各角切去的正方形边长为x cm，那么制成的无盖方盒的底面长为(100−2x) cm，宽为(50−2x) cm。 解：根据方盒的底面积为3600 cm²，得方程： 展开并化简，得 观察矩形铁皮切正方形制无盖方盒示意图，设每角切去正方形的边长为x cm，写出盒底长(100−2x) cm、宽(50−2x) cm，根据底面积3600 cm²列方程 (100−2x)(50−2x)=3600，展开并化为 x²−75x+350=0 通过矩形铁皮制作无盖方盒的实际问题，让学生体会面积等量关系列出方程的建模方法，训练括号展开与化简的运算，理解系数为负的一元二次方程的一般形式。 二、情境引入 问题③单循环排球赛 问题③（单循环排球赛）：要组织一次排球邀请赛，赛制为单循环形式（每两支球队之间比赛1场）。根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，组织者应邀请多少支球队参赛？ 分析：全部比赛的场数为 7×4=28 场。 解：设应邀请x支队参赛，那么每个队要与其他(x−1)支队各赛一场。因为甲队对乙队与乙队对甲队是同一场比赛，所以全部比赛共场数为： 整理得 小结：观察上述三个方程，它们有什么共同点？为归纳一元二次方程的概念做准备。 分析单循环赛制：全部比赛场数为7×4=28场；设应邀请x支队，则每个队与其他(x−1)支队各赛一场，且每两队间的比赛被重复计数，列方程 ，化简得 通过单循环比赛的场次问题，让学生体会组合计数的等量关系，列出含分母的方程并化简为整式方程，进一步积累一元二次方程的实例，理解实际背景中方程简化的意义。 三、探究1 一元二次方程 的概念 探究1：一元二次方程的概念。 教师提问：观察上述问题中的三个方程，它们有什么共同点？以小组为单位讨论。 提示：类比一元一次方程，从未知数个数、未知数最高次数、式子是否为整式三方面分析。 学生讨论后集体回答，共同点： （1）方程的两边都是整式； （2）都只含1个未知数； （3）未知数的最高次数都是2。 概念板书：一般地，如果方程中只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是2，这样的方程叫作一元二次方程。 小组讨论三个方程的共同点，从未知数个数、最高次数、是否整式三方面归纳：两边都是整式、只含1个未知数、未知数最高次数是2，总结得出一元二次方程的概念 让学生经历合作探究的过程，通过观察、发现、归纳，结合一元一次方程的概念概括出一元二次方程的概念，培养学生抽象概括的能力。 四、探究2 一元二次方程 的一般形式 探究2：一元二次方程的一般形式。 板书一般形式：一元二次方程一般可以写成如下形式： （其中a、b、c是常数，a≠0） 分别讲解：ax² 是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项。 辨一辨：为什么一般形式中要限制 a≠0？b、c 可以为0吗？ 答案：当 a=0 时，ax²=0，方程变为 bx+c=0，是一元一次方程；当 a≠0 时，才是一元二次方程；b、c 可以为0。 看图理解一般形式 ax²+bx+c=0 的结构分解：二次项ax²及系数a、一次项bx及系数b、常数项c；自主思考并回答“为什么限制a≠0”：a=0时ax²=0，退化为bx+c=0的一元一次方程，只有a≠0才是一元二次方程，b、c可以为0 通过一般形式结构分解图，帮助学生清晰建立“项”与“系数”的对应关系；通过辨析 a≠0 的限定条件，强化对一元二次方程定义的深层理解，突破概念易错点。 五、探究3 一元二次方程 的根 探究3：一元二次方程的根的概念。 概念：使方程左右两边相等的未知数的值，就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫作一元二次方程的根。 判断一个数是不是一元二次方程的根的方法：将这个数代入一元二次方程的左右两边，看是否相等，若相等，则该数是这个方程的根；若不相等，则该数不是这个方程的根。 理解一元二次方程的根（解）的概念：使方程两边相等的未知数的值；掌握判断一个数是否为方程的根的方法——代入左右两边看是否相等 衔接一元一次方程的解的概念，自然迁移到一元二次方程的根，明确代入检验的判定方法，为后续验根环节做铺垫。 六、典型例题 例 化一般形式 例（教材P3）：将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项。 （1）x²−5x=7； （2）5x²−2x=4。 解：（1）移项得 x²−5x−7=0，它的二次项系数为1，一次项系数为−5，常数项为−7； （2）移项得 5x²−2x−4=0，它的二次项系数为5，一次项系数为−2，常数项为−4。 注意：一元二次方程的每一项（系数）都应包括它前面的符号。 教师点评规范格式，强调移项变号与系数带符号书写。 独立完成将两个方程化为一元二次方程一般形式并写出各项系数的过程，注意移项变号，明确每一项（系数）都要包括它前面的符号，与教师答案对照并修正书写格式 通过问题，引发学生思考一元二次方程中各项系数符号的原因，加深对一元二次方程概念的理解；通过引导学生自主实践，掌握化一元二次方程的一般形式的方法，并熟练判断其二次项系数、一次项系数和常数项。 七、当堂检测 通过课件展示练习题，教师带着学生进行练习，进一步巩固新知。 检测围绕一元二次方程概念辨析、化为一般形式并确定系数、判断方程的根展开。 独立完成课件中的当堂练习，重点核对方程是否为一元二次方程、化为一般形式并写出各项系数、用代入法判断根，集体评议订正 当堂检验学生对一元二次方程概念、一般形式、根的概念的掌握情况，反馈矫正，巩固知识运用能力。 八、课堂小结 提问：今天我们学习了哪些知识？ 1. 一元二次方程的概念：只含一个未知数、两边是整式、未知数最高次数是2。 2. 一般形式：ax²+bx+c=0（a≠0），二次项系数a、一次项系数b、常数项c。 3. 一元二次方程的根（解）：使方程两边相等的未知数的值，用代入法判断。 回顾一元二次方程的概念、一般形式 ax²+bx+c=0（a≠0）及各项系数、一元二次方程的根的概念与判定方法，畅谈从实际问题建模的体会 梳理一元二次方程的概念、一般形式与根的概念，帮助学生建构关于一元二次方程的完整认知，强化建模与转化意识。 板书设计 25.1 一元二次方程的概念 一、概念 只含1个未知数、两边整式 未知数最高次数是2 二、一般形式 ax²+bx+c=0 (a≠0) 二次项ax²系数a、一次项bx系数b 常数项c；a=0时退化为一元一次 三、方程的根 使方程两边相等的未知数的值 代入检验是否相等 板演：例 化一般形式 学生板演区 教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $