4.5.1 函数的零点与方程的解 练习-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 以函数零点概念为核心，通过“概念理解-性质应用-综合迁移”的递进式训练，系统构建方程与函数的转化方法体系，培养数学抽象与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |求函数的零点|3题|零点定义转化为方程求解，结合函数单调性判断|从零点概念出发，建立函数与方程的基础联系| |根据零点求参数|3题|方程思想，根与系数关系，二次函数性质应用|深化零点与函数解析式参数的关联| |零点存在性定理应用|8题|函数连续性判断，区间端点函数值符号分析|掌握零点存在的判定方法，培养几何直观| |零点区间求参数范围|13题|单调性分析，端点值符号不等式，分类讨论|综合应用定理与函数性质，提升推理能力| |函数与方程综合应用|10题|函数图像转化，方程根的个数与图像交点关系|实现知识迁移，培养模型意识与综合解题能力|

4.5.1 函数的零点与方程的解 知识点一 求函数的零点 1．函数的零点为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 2．函数零点的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 3．函数的零点为1，2，则不等式的解集为（   ） A． B．或 C． D．或 知识点二 根据零点求函数解析式中的参数 4．已知是函数的零点，则的最小值为（　　） A．0 B．1 C．4 D．5 5．“”是“函数存在零点”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知函数有唯一零点，则（    ） A．0 B． C．2 D． 知识点三 零点存在性定理的应用 7．已知函数的图象是连续不断的，有如下的x，对应值表 x 1 2 3 4 5 6 7 136.136 15.552 10.88 11.238 由表可知函数存在零点的区间有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．函数的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 9．方程的根所在区间为（    ） A． B． C． D． 10．函数的零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 11．函数零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 12．已知函数，当时，x所在的区间为（    ） A． B． C． D． 知识点四 根据零点所在的区间求参数范围 13．函数，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 14．已知函数在上存在零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 15．函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 16．函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 17．若函数的零点在内，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 18．若函数f（x）＝3ax＋1－2a在区间（－1，1）内存在一个零点，则a的取值范围是（    ） A． B． C．（－∞，－1） D．（－∞，－1）∪ 19．已知函数在区间上存在零点，则（    ） A． B． C．或 D． 20．“a>3”是“函数f(x)=ax+3在[-1,2]上存在零点”的(　　) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 21．“”是“函数在区间上存在零点”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 22．已知, 关于x的方程有两个小于1的正根，则p是q的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 23．已知函数在区间内有两个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 24．若函数在区间内恰有一个零点，则（    ） A． B． C． D． 25．设为实数，若关于的方程有两根，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 26．已知函数，若是函数的零点，且，则的值（    ） A．恒为正数 B．等于0 C．恒为负数 D．不能确定正负 27．已知实数是函数的两个零点，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 28．若函数的图象与轴有交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 29．记函数的零点分别为，则（    ） A． B． C． D． 知识点五 函数与方程的综合应用 30．已知函数．若关于的方程有个不同的实数根，则实数的取值范围为___． 31．若函数有两个零点，则的取值范围是__________． 32．函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是_____. 33．已知函数若函数恰有5个零点，则实数的取值范围为________． 34．已知函数，若函数有8个零点，则实数的取值范围为___________． 35．已知函数，若函数恰有3个不同的零点，则实数的取值范围（      ） A． B． C． D． 36．已知函数，，若对任意，存在，使得成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 37．函数的零点个数为（    ）. A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B D B C C D A C D 题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 答案 B A C A B D A D C A 题号 21 22 23 24 25 26 27 28 29 35 答案 A C A D B A B A B C 题号 36 37 答案 B A 1．C 【分析】根据零点的概念，结合函数与方程的关系，利用指数函数与一次函数的单调性，可得答案. 【详解】由，即，易知与方程组只有一组解， 由函数为增函数，函数为减函数， 则两函数有且仅有一个交点，即方程存在唯一解， 当时，，所以函数的零点为. 故选：C. 2．B 【分析】令函数等于0，解出对应方程的根即可. 【详解】令函数，即， 当时，满足题意， 当时，， 解得：或，因为，所以满足题意， 当时，， 解得：或，因为，所以满足题意， 综上所述：方程有3个实数解，即函数有3个零点， 故选：B. 3．D 【分析】根据三个二次的关系可得系数的值，进而可得一元二次不等式的解集. 【详解】因为函数的零点为1，2，所以方程的根为， 由根与系数关系得. 所以不等式即为，， 所以不等式的解集为或. 故选：D. 4．B 【分析】依题意可得，从而得到或，再分、两种情况讨论，分别求出的最小值，即可得解. 【详解】因为是函数的零点， 所以，即，则或， 解得或， 当时，当且仅当时取等号，所以的最小值为； 当时，当且仅当时取等号，所以的最小值为； 又，综上可得的最小值为，此时，. 故选：B 5．C 【分析】先求出满足“函数存在零点”的的取值范围，再根据充份、必要条件定义判断即可. 【详解】函数存在零点等价于方程有解，等价于有解， 而，从而，因此， 反之，当时，有解， 所以“”是“函数存在零点”的充要条件. 故选：C. 6．C 【分析】根据函数是偶函数计算求参，再代入检验即可. 【详解】定义域为， ，所以函数为偶函数， 又因为函数有唯一零点，根据零点关于轴对称，得出，所以， 当时，函数有唯一零点，符合题意； 当时，函数有零点，不符合题意舍； 故选：C. 7．D 【详解】∵，，，， ∴函数存在零点的区间有共4个. 8．A 【分析】先判断函数在定义域上的单调性，再根据零点存在定理判断即可. 【详解】由题意可知函数的定义域为， 又因为与在均单调递减， 所以在均单调递减且连续， 因为，， 所以函数的唯一零点所在区间为. 9．C 【分析】原方程的根等价于函数 的零点，先判断 单调递增，然后利用零点存在性定理逐一判断即可. 【详解】原方程的根等价于函数 的零点，的定义域为 ， 函数 在 上单调递增，函数 在 上单调递增， 因此 在 上单调递增，在定义域内最多只有 1 个零点， ， 因此 时，，无零点，A 选项错误； ，因此 时，， 无零点，B选项错误； ， 因为 ，因此 ， 此时 且 ，，根据零点存在定理，存在 ，使得 ， 即方程的根在区间 内，C选项正确； ， 结合 单调递增， 时 ，故区间 内无零点，D选项错误. 10．D 【分析】先确定函数的定义域与单调性，再计算各区间端点的函数值，结合零点存在性定理判断零点所在区间. 【详解】由函数可知，函数的定义域为， 又与在上单调递增，所以函数在上单调递增， 因为， 所以，根据零点存在性定理可知，函数的零点所在区间为. 11．B 【详解】因函数与都是上的增函数，则也是上的增函数， 又， 故函数有唯一的零点，其所在区间为. 12．A 【分析】根据的单调性，结合特殊点的函数值，分析即可得答案. 【详解】因为为增函数，且， ， 所以x所在的区间为. 13．C 【详解】由题得，令，由函数性质可知为增函数， 又，，根据零点存在性定理可知：， 即的取值范围为. 14．A 【分析】先判断函数的单调性，再结合零点存在性定理求解即可. 【详解】因为函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 要使函数在上存在零点， 则，解得， 则实数的取值范围为. 15．B 【分析】先根据零点分析得，然后利用指数函数单调性和反比例函数的单调性可知，函数在单调递增，进而利用零点存在性定理列不等式求解即可. 【详解】当时，在上恒成立，此时在区间内无零点； 要使函数的一个零点在区间内，则， 因为函数和在单调递增，所以函数在单调递增， 由零点存在性定理可知，解得． 故选：B 16．D 【分析】利用单调性将命题转化为，再解不等式即可. 【详解】由于在上单调递增， 故命题等价于，即， 解得，所以实数的取值范围是. 故选：D. 17．A 【分析】根据零点存在定理可得，解不等式求的取值范围． 【详解】因为的零点在内，所以，即， 解得或， 故选：A. 18．D 【分析】当a＝0，不合题意，舍去，根据函数f（x）＝3ax＋1－2a在区间（－1，1）内是单调函数，利用零点存在性定理列不等式求解. 【详解】当a＝0时，f（x）＝1与x轴无交点，不合题意，所以a≠0； 函数f（x）＝3ax＋1－2a在区间（－1，1）内是单调函数， 所以f（－1）·f（1）＜0，即（5a－1）（a＋1）＞0， 解得a＜－1或a＞. 故选：D. 19．C 【解析】首先判断函数在上单调，利用零点存在性定理即可求解. 【详解】∵在区间上单调且存在零点， ∴， ∴或． 故选：C 【点睛】本题考查了利用零点存在性定理求参数的取值范围，需掌握定理的内容，属于基础题. 20．A 【详解】由于“函数f(x)＝ax＋3在(－1,2)上存在零点”⇔f(－1)f(2)<0⇔(－a＋3)(2a＋3)<0⇔a<－或a>3，则“a>3”是“函数f(x)＝ax＋3在(－1,2)上存在零点”的充分不必要条件． 21．A 【详解】试题分析：根据函数零点的条件，结合充分条件和必要条件的定义即可得到结论． 解：若函数f（x）=ax+3在[﹣1，1]上存在零点， 则f（﹣1）f（1）≤0， 即（a+3）（﹣a+3）≤0， 故（a+3）（a﹣3）≥0， 解得a≥3或a≤﹣3， 即a＜﹣4是a≥3或a≤﹣3的充分不必要条件， 故“a＜﹣4”是函数f（x）=ax+3在[﹣1，1]上存在零点的充分不必要条件， 故选A 考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断． 22．C 【分析】先求出“方程有两个小于1的正根”的等价条件，再利用充分必要条件判断即得. 【详解】设，为方程的两个小于1的正根， 则，且，， 因且等价于且， 则得，且， 故是的必要条件； 当，时，若取，， 此时方程无实根，故不是的充分条件. 综上可得，p是q的必要不充分条件. 23．A 【分析】函数在区间上有两个零点，即函数在上与x轴有两个交点，则需要满足，根据二次函数图像列出不等式即可求解. 【详解】由函数在区间内有两个零点，得到函数在上与x轴有两个交点， 所以，即， 整理得，解得 所以则的取值范围为. 故选：A. 24．D 【分析】将函数在区间内恰有一个零点转化为方程在区间内恰有一根，然后分类讨论结合一次方程和二次方程根的分布列不等式求解即可. 【详解】函数在区间内恰有一个零点转化为方程在区间内恰有一根， 当时，方程可化为，解得，满足题意； 当时，方程为一元二次方程，其对称轴为，. 若，，此时方程的解为，满足题意； 若，即当且时， 由题意只需，解得且， 又时，，即， 其实数根为，满足题意， 时，，即， 其实数根为，满足题意， 所以且； 综上，实数的取值范围为. 故选：D. 25．B 【分析】方程有两个不相等实数根，需满足判别式，再根据，分析函数值，对称轴位置等，进而求出的范围. 【详解】关于的方程有两根，且. ，解得. 故选：B 26．A 【分析】首先判断函数的单调性，再根据是函数的零点，得到在上，有，则答案可得. 【详解】∵函数在上单调递减， 且是函数的零点， ， ∴在上，有， ，. 故选：A. 27．B 【分析】在同一平面直角坐标系中作出函数与的图像，结合图像进行讨论得到的范围. 【详解】令，则，在同一平面直角坐标系中作出函数与的图像，如图所示.    不妨设，则由图像可得，所以，故D错误. ， ，故C错误. ，，即， 又，，故A错误，B正确. 故选：B. 28．A 【分析】将问题转化为有解，则实数的取值范围即为函数的值域，然后根据指数函数单调性求解值域即可得解． 【详解】函数的图象与轴有交点，有解， 则实数的取值范围即为函数的值域， ，，实数的取值范围是． 故选：A 29．B 【分析】由零点的概念可知，根据指对互化得，构造函数，则，根据的单调性得，即可得解. 【详解】函数的零点分别为， ， 由，得，即， 显然函数在上单调递增，，即. 故选：B. 30． 【详解】已知，其值域为， 令，则原方程可化为，即：， 要使有个不同实数根， 需满足有两个不同的实数根，且这两实数根均大于． 设，即要使的两实数根均大于，则需满足： ，即，得． 所以的取值范围为． 31． 【分析】方法一：令,则即，,转化为一元二次方程有两个正根的问题. 方法二：把函数 有两个零点转化为方程有两个实数根的问题，再转化为,即函数与函数交点问题. 【详解】令，得，即， 方法一： 令，则，即，, 则一元二次方程有两个正根， 那么， 所以，的取值范围是. 方法二： 设，那么设，则， 由于在上单调递减，在上单调递增， 故在上单调递减，在上单调递增，且， 根据函数图象可知，函数有两个零点，则的取值范围是. 32． 【分析】先判断函数在上单调递增且连续，再利用零点存在定理求解即可. 【详解】函数在上的图象连续不断， 因为在上单调递增， 所以在上单调递增， 若在区间上存在零点， 根据函数零点存在定理可知， 只需满足， 即， 解得， 所以实数m的取值范围是. 33． 【分析】依题意作出函数的图象和值域，结合函数图象，根据函数与方程的关系，分类讨论解的个数，即可求解. 【详解】当时，，由，当且仅当时，即时，等号成立， 且在上单调递减，在上单调递增， 当时，在上单调递增，且其值域为， 作出函数的示意图，由图知： 当时，有1个解；当时，有2个解； 当时，有3个解；当有2个解. 若恰有5个零点， 即与的解的总个数为5个， 因为值域为，所以可知， 情况一：有2个解，即或，且有3个解，则， 即或，解得； 情况二：有3个解，即，且有2个解，则或， 即或，解得. 综上可知，的取值范围为.    34． 【分析】据题意对实数进行讨论，分，，再利用函数零点问题，结合函数图象进行分析求解． 【详解】当时，，对称轴为. 当时，函数在单调递增，函数图象如下： 令，则由， 结合图象可得或，即或. 结合图象可知，有2个解，有1个解， 此时函数有3个零点，不符合题意. 当时，函数在单调递增，在单调递减，函数图象如下： 令，则由，结合图象可得或或， 即或或. 由图可知，有2个解，有3个解， 又函数有8个零点，则需有3个解. 需使，解得. 综上，实数的取值范围为. 35．C 【分析】根据的表达式，先画出函数图象，再令，利用数形结合即可求出函数恰有3个不同的零点时，的取值范围. 【详解】由，可画出函数的图象，如图所示， 易知处的函数值为，即如图中的点，所以， 令，则，由图可知， 当时，与无交点； 当时，与有2个交点； 当时，与有1个交点. 令，则，化简得，解得，， 要使函数恰有3个不同的零点， 则当时，有2个零点，且当时，有1个零点，共3个零点， 满足题意，此时的取值范围为； 或者，当时，有2个零点，且当时，有1个零点，共3个零点， 满足题意，此时的取值范围为， 当时，，此时只有1个零点，不合题意， 综上，函数恰有3个不同的零点时，的取值范围为. 36．B 【分析】利用求两个函数的值域，把等式成立问题转化为值域的包含关系，从而可求参数的范围. 【详解】对于，当时，，则； 当时，，故函数的值域为； 设，则的值域为. 因对任意，存在，使得成立,即成立， 故函数的值域是函数值域的子集， 故只需，即，解得. 37．A 【分析】根据分段函数性质，分别求两段之内的零点即可。 【详解】当时，由，无零点. 当时，， 由以及均在上单调递增，可知在上单调递增. 又， 根据零点存在定理可得，在上存在一个零点， 根据函数的单调性可知，在上存在唯一零点. 综上所述，的零点个数为. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $