第一章空间向量与立体几何单元试卷（二）-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

《空间向量与立体几何》单元测试（二）

高二 数学

本卷满分150分，考试时间120分钟。

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．给出下列命题：

①零向量的方向是任意的；

②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；

③若空间向量，满足，则；

④空间中任意两个单位向量必相等．

其中正确命题的个数为（    ）．

A． B． C． D．

2．设，向量，，，且，，则（    ）．

A． B． C．5 D．6

3．我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，过点的直线的一个法向量为，则直线的点法式方程：，化简得．类比以上做法，在空间直角坐标系中，经过点的平面的一个法向量为，则该平面的方程为（     ）

A． B．

C． D．

4．已知为空间的一组基底，能与，组成基底的向量是（    ）

A． B． C． D．

5．对于三维向量，，定义，，，则（    ）

A． B． C． D．以上选项均不正确

6．如图，在正方体中，点P满足，则向量与

夹角的余弦值为（    ）

 

A． B． C． D．

7．已知为空间中四点，任意三点不共线，O为平面ABC外一点，且，若四点共面，则的最小值为（    ）

A． B． C．9 D．4

8．在空间直角坐标系中，，，点满足，则点到轴距离的最大值为（     ）

A． B．4 C． D．

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题列出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9．已知空间向量，，下列说法正确的是（   ）

A．若，则

B．若，则在上的投影向量为

C．若，则

D．若与的夹角为钝角，则

10．正方体的棱长为2，点，分别为棱，的中点，则有（   ）

A．与平面平行

B．

C．平面

D．四边形的面积为

11．在棱长为2的正方体中，点P满足，且，，则下列说法正确的是（   ）

A．若，则平面

B．若，则

C．若，则P到平面的距离为

D．若，时，直线与平面所成角为，则

第II卷（非选择题）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12．已知点，点，则点到直线的距离为________.

13．如图，在棱长为9的正四面体中，是的重心，是棱的中点，点在线段上，且有，则线段的长度为_______________.

14．在正方体中，，点,在线段上，且.点、、是正方体表面上动点,且，则的最小值为______.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15．如图，在四棱锥中，底面，底面是直角梯形，，，，点是棱上的动点，且．

(1)若，证明：平面；

(2)若与平面所成角的正弦值为，求的值．

 

 

 

16．如图所示，在四棱锥中，平面，底面为等腰梯形，且，连接．

(1)证明：平面平面；

(2)求平面与平面所成锐角的余弦值．

 

 

 

 

17．如图，顶点为的圆锥的轴截面是等边三角形，是底面圆周上的点，是底面圆内的点，为底面圆圆心，，垂足为，，垂足为，且，是的中点．

(1)证明：平面；

(2)求二面角的余弦值的取值范围；

(3)若，求三棱锥的体积．