6.3.3 余角与补角导学案 2026-2027学年人教版数学七年级上册

该初中数学导学案聚焦余角与补角的概念及性质，通过观察三角尺、折叠长方形纸片等问题探究导入，引导学生从具体情境抽象出数学概念，构建“问题探究-概念形成-实例运用”的学习支架，衔接前后知识脉络。 以问题驱动概念建构，通过实例分析与变式训练深化理解，培养学生数学抽象与逻辑推理能力，达标检测覆盖不同层次习题，助力学生运用数学语言解决实际问题，提升应用意识与实践能力。

姓名： 学科： 日期： 积避步，至千里 6.3.3余角与补角导学案（学生版） (制作：许鸥 课时：2课时 日期：2026年9月17日 地区：云南省昆明市) 【学习目标】 1.经历问题探究，认识与理解余角与补角的概念：（数学抽象、直观想象•重点） 2.经历问题探究，理解与掌握余角与补角的性质，并能运用其解决相关的实际问题.（直观想 象逻辑推理·重难点) 【学习过程】 一、余角与补角的概念 (一)问题探究 1.问题1：观察下面三角尺，图中∠A与∠B有怎样的数量关系？ 探究： 图 中 第 个 3 角 尺 ∠A+∠B= 第 二 不 三 角 尺 ∠A+∠B= 2.问题2：将一张长方形纸片，沿一个角折叠后，折痕与长方形的边形成了4个角.其中∠1与 ∠2有什么数量关系？23与24有什么数量关系？ 2 34 探究：由题意据“长方形的四个角都是 ”可知 姓名： 学科： 日期： 积陆步，至千里 ∠1+∠2= 又据“ 的定义”可知∠3+∠4= (二)余角与补角的概念 1.余角的概念 图6.3-13 一般地，如图6.3-13，如果两个角的 等于 (直角)，就说这两个角互 为 (complementary angle),简称这两个角 ,其中一个角是另一个 角的 用数学语言表述为： ,41与∠2 的定义)；反之也成立 2.补角的概念 3 图6.3-14 类似地，如图6.3-14，如果两个角的 等于 (平角)，就说这两个 角互为 (supplementaryangle),简称这两个角 ,其中一个角是另 姓名： 学科： 日期： 积避步，至千里 一个角的 用数学语言表述为： .∠3与∠4 的定义)；反之也成立 【温馨提示】 (1)余（补）角指的是两个角之间的 关系，与 无关，且它们是成对 出现的，单独的一个角或两个以上的角不能称为余（补）角. (2)若两个角互余，则这两个角一定都是 若两个角互补，则这两个角可能 都是 也可能是一个 、一个 (三)实例运用 例1若∠A=10°，则∠A的余角为( A.80° B.90° C.170° D.190° 例2一个角的度数是36°，则它的补角的度数是( ) A.54° B.72° C.144° D.120° 例3如图6.3-15，点A,O,B在同一条直线上，射线0D和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC,图 中哪些角互为余角？ 姓名： 学科： 日期： 积避步，至千里 B 图6.3-15 分析：互为余角的两个角的和是90°，而已知条件中隐含互为补角的条件，再利用角平分线的 条件，便可以发现互为余角的角. 解： ,点A,O,B在同一条直线上， E .∠AOC+∠BOC= (- 的定义) 图6.3-15 又'，射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC =A0C 的定 义) ㄥCOD+ㄥCOE= 等式基本事实) ∴.∠COD和∠COE互为 同理可得 也互为余角. 姓名： 学科： 日期： 积避步，至千里 (四)变式训练 【变式1】一个角的补角比这个角的余角的3倍少10°，这个角为() A.20° B.35° C.40° D.50 【变式2】如图，已知∠AOB=160°，OF平分∠AOB,OE在OA的下方，且4∠1=∠2. E (1)判断∠1与∠2互余吗？试说明理由. (2)判断∠1与∠AOB互补吗？试说明理由. 5 姓名： 学科： 日期： 积避步，至千里 二、余角与补角的性质 (一)问题探究 1.问题1 如图，∠1与∠2，∠3都互余，∠2与∠3的大小有什么关系？你能从中总结出规律吗？ 2 探究： .∠1与∠2互余 .∠1+∠2= (余角的定义) .∠2= ① 又.∠1与∠3互余 .∠1+∠3= (余角的定义) 6 姓名： 学科： 日期： 积避步，至千里 .∠3= ② .由①②可知 故可总结得出“ 的余角 2.问题2 已知：∠1与∠2互为余角，∠3与∠4互为余角，如果∠1=∠3，那么∠2与∠4相等吗？为什么？ 你能从中总结出规律吗？ 2 1 3 探究： .∠1与∠2互余 .∠1+∠2= (余角的定义) .∠2= ① 又∠3与∠4互余 .∠3+∠4= (余角的定义) .24= ② 又，∠1=∠3 姓名： 学科： 日期： 积避步，至千里 ∴.由①②可知： (等量代换) 故可总结得出“ 的余角 3.问题3 如图，∠1与∠2，∠3都互补，∠2与∠3的大小有什么关系？你能从中总结出规律吗？ 22 13 探究： ,∠1与∠2互补 .∠1+∠2= (补角的定义) .∠2= ① 又∠1与23互补 .∠1+∠3= (补角的定义) .∠3= ② ∴.由①②可知： 故可总结得出“ 的补角 1 2.问题2 8 姓名： 学科： 日期： 积避步，至千里 已知：∠1与22互为补角，∠3与∠4互为补角，如果∠1=∠3，那么∠2与∠4相等吗？为什么？ 你能从中总结出规律吗？ 探究： .∠1与∠2互补 .∠1+∠2= (补角的定义) .∠2= ① 又.∠3与24互补 .∠3+∠4= (补角的定义) .∠4= ② 又.∠1=∠3 ∴.由①②可知： 代换) 故可总结得出“ 的补角 (二)余角与补角的性质 1.余角的性质 )的余角 用数学语言表述为 9 姓名： 学科： 日期： 积陆步，至千里 ①.∠1+∠2= ,∠1+∠3= 的余角 1 3 ②.∠1+∠2= ,∠3+∠4= 且 的余角 2.补角的性质 ) 的补角 用数学语言表述为 1 2 ○3 ①.∠1+∠2= ,∠1+∠3= 的补角 10 姓名： 学科： 日期： 积避步，至千里 2 ② ∠1+∠2= ,∠3+∠4= 且 的补角 (三)实例运用 例4一副三角板按如图的四个位置摆放，其中∠a和∠B一定相等的是（ ) 例5如图，点O在直线AB上，∠AOC=120°，射线OD在射线OC的左侧，∠DOC=40°，∠AOC与 ∠AOE互补，求2DOE的度数. 11 姓名： 学科： 日期： 积避步，至千里 解：，点O在直线AB上， ∴.∠A0B=1800（平角的定义)， ∴.∠AOC+-=180°， .·∠AOC=120°， ∴=180°-120°=60°， .∠AOC与∠AOE互补， +=180°， ∠A0E=--=60。（ .'∠COD=40 ·-----=∠A0B-∠A0E-∠B0C-∠C0D=180°-60°-60°-40=20： (四)变式训练 【变式1】已知∠1+∠2=90°，∠2+∠3=180°，∠3+∠4=180°.那么∠1与∠4的关系是 12 姓名： 学科： 日期： 积避步，至千里 A.相等 B.互余 C.互补 D.无法确定 【变式2】36.如图，∠AOC和∠B0D都是直角. B (1)如果∠D0C=29°，那么∠AOB的度数为。. (2)找出图中相等的角.如果∠D0C≠29°，它们还会相等吗？ (3)若∠DOC的度数越来越小，则∠AOB的度数将如何变化？ 13 姓名： 学科： 日期： 积避步，至千里 四、达标检测 1.已知∠A=55°，则∠A的余角的大小为( ) A.25° B.35° C.65 D.125° 2.若一个角等于它余角的2倍，则这个角是( )度 14 姓名： 学科： 日期： 积避步，至千里 A.75 B.60 C.15 D.30 3.已知一个角的补角的度数为68°，则这个角的度数为( ) A.22° B.32° C.112o D.122° 4.如图所示，点O为直线AB上一点，∠AOC=∠DOE=90°，那么下列互为余角的是( ) E B A.∠DOC与∠EOB B.∠AOD与∠DOE C.∠AOD与∠EOB D.∠AOD与∠COE 5.如图，将一副直角三角板的直角顶点重叠在一起，由∠AOC+∠BOC=∠DOB+∠BOC,可直 接推导出∠AOC=∠DOB,依据是() A.同角的余角相等 B.等角的余角相等 C.同角的补角相等 D.等角的补角相等 15 姓名： 学科： 日期： 积跬步，至千里 6.已知∠A与∠B互余，∠B与∠C互补，∠A=30°，则∠C= 7.72°20的角的余角等于；2531的角的补角等于 8.一个角的补角是125°，则这个角的余角为 9.若∠1+∠2=180°，∠1+∠3=180°，则∠2=∠3，理由是 10..∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°， ∴.∠1=∠3 (填依据)· 11.如果∠1与∠2互补，∠3与∠4互补，且∠1=∠3，∠2=55°，那么∠4=°. 12.一块三角板的直角顶点落在直尺上，按如图所示放置. 0 [mmmifnnijmmmm 0123456789 (1)∠1+∠2= 16 姓名： 学科： 日期： 积避步，至千里 (2)若∠1的补角比∠2的2倍多30°，求∠1的度数. 13.如图，直线AE与CD相交于点B,射线BG在∠ABD内. G F D C E (1)若∠DBE的邻补角是它的余角的3倍， ①∠DBE的度数为_； ②若∠DBG=∠ABG-33°，求∠DBG的度数： (2)若射线BF平分∠ABC,∠FBG=100°，探求∠ABG与∠DBG的数量关系. 17 姓名： 学科： 日期： 积避步，至千里 14.一个角的余角的3倍比它的补角的2倍少120°，求这个角的度数. 15.如图，点O是直线AB上一点，∠BOC与∠AOE互为余角，OD是∠BOC的平分线.若 ∠AOE=48,求∠D0E的度数. 16.如图，点O是直线AB上一点，∠AOE=∠FOD=90°，OB平分∠COD. (1)请直接写出图中所有与4EOF相等的角： (2)写出图中与∠DOE互补的一个角，并说明理由. 18 姓名： 学科： 日期： 积避步，至千里 17.如图所示，直线AB与直线DF相交于点O,OC是∠AOD的平分线，OE在∠BOD内，且 ∠DOE=∠AOD'∠COE=78· D C B (1)求∠EOB的度数： (2)写出∠DOE的所有补角. 18.如图，∠AOC和∠BOD均为直角. 19 姓名： 学科： 日期： 积避步，至千里 D (1)若∠AOB=28°，求∠COD的度数： (2)若∠AOB逐渐增大，∠AOD将如何变化？请你给出结论并说明理由. 19.如图，将两块直角三角板的直角顶点C叠放在一起 (1)试判断∠ACD与∠BCE的大小关系，并说明理由： (2)若∠BCD=30°，求∠ACE的度数： (3)猜想∠ACE与∠BCD的数量关系，并说明理由. 20 姓名： 学科： 日期： 积避步，至千里 20.如图，∠AOB=∠COD=90°，OE平分∠BOD,∠AOC=32°，求∠COE的度数。 以下是小亮的做法： 0 E B 解：由∠AOB=∠COD=90°得 ∠AOC+∠BOC=90'∠BOC+∠BOD=90°· 根据 得 =∠A0C=32°。 因为OE平分∠BOD, 所以根据 ,得 ∠DOE=∠BOE=— 00000。 (1)完成填空： (2)请用两种不同的思路补全小亮解题过程中未完成的部分. 21 姓名： 学科： 日期： 积避步，至千里 21.如图，O为直线AB上一点，在AB的上方依次引射线OC,OE,OD,且∠COD=90°. B (1)当∠AOC=∠EOC时，OD是∠EOB的平分线吗？试说明理由. (2)若∠EOD=66°，∠AOC=2∠COE. ①求∠EOB的度数. ②现射线OE绕着点O以每秒1°的速度逆时针方向旋转到OA,再原速返回到OB时停止，同时∠COD 绕着O以相同的速度顺时针方向旋转到OD与OB重合，再原速返回到OC与OA重合时停止，在此运动 过程中，当∠EOC+∠EOD为固定值时，求时间t的范围. 22 姓名： 学科： 日期： 积避步，至千里 23 姓名: 学科: 日期: 6.3.3余角与补角 导学案（教用版） （ 制作：许 鸥 课时：2课时 日期：2026年9月17日 地区：云南省昆明市 ） 【学习目标】 1. 经历问题探究，认识与理解余角与补角的概念；（数学抽象、直观想象•重点） 2. 经历问题探究，理解与掌握余角与补角的性质，并能运用其解决相关的实际问题.（直观想象逻辑推理•重难点） 【学习过程】 1、 余角与补角的概念 （1） 问题探究 1.问题1：观察下面三角尺，图中与有怎样的数量关系？ 探究：上图中第一个三角尺 第二个三角尺 2.问题2：将一张长方形纸片，沿一个角折叠后，折痕与长方形的边形成了4个角.其中与有什么数量关系？与有什么数量关系？ 探究：由题意据“长方形的四个角都是直角”可知 又据“平角的定义”可知 （2） 余角与补角的概念 1. 余角的概念 一般地，如图6.3-13，如果两个角的和等于90°（直角)，就说这两个角互为余角（complementary angle)，简称这两个角互余，其中一个角是另一个角的余角. 用数学语言表述为： ∵与互余 ∴（余角的定义）；反之也成立. 2. 补角的概念 类似地，如图6.3-14，如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角（supplementaryangle)，简称这两个角互补，其中一个角是另一个角的补角. 用数学语言表述为： ∵与互补 ∴（补角的定义）；反之也成立. 【温馨提示】 （1)余（补）角指的是两个角之间的数量关系，与位置无关，且它们是成对出现的，单独的一个角或两个以上的角不能称为余（补）角. （2）若两个角互余，则这两个角一定都是锐角；若两个角互补，则这两个角可能都是直角，也可能是一个锐角、一个钝角. （3） 实例运用 例1若，则的余角为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.95 【知识点】求一个角的余角 【详解】解：若，则的余角为． 例2一个角的度数是，则它的补角的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.95 【知识点】求一个角的补角 【详解】解：∵若两个角互补，则两角的度数和为， 已知该角的度数为， ∴它的补角度数为． 例3 如图6.3-15，点在同一条直线上，射线和射线分别平分和，图中哪些角互为余角？ 分析：互为余角的两个角的和是90°，而已知条件中隐含互为补角的条件，再利用角平分线的条件，便可以发现互为余角的角. 解： ∵点在同一条直线上， ∴(平角的定义) 又∵射线和射线分别平分和 ∴ （角平分线的定义） ∴等式基本事实） ∴和互为余角. 同理可得 和，和，和也互为余角. （4） 变式训练 【变式1】一个角的补角比这个角的余角的3倍少，这个角为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.75 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、解一元一次方程（二）——去括号、求一个角的余角、求一个角的补角、与余角、补角有关的计算 【分析】设这个角的度数为，根据一个角的补角比这个角的余角的3倍少列一元一次方程求解即可，准确理解余角补角的概念是解题关键． 【详解】解：设这个角为，则这个角的余角为，补角为， ∵补角比这个角的余角的倍少， ∴列方程得：， 展开整理得：， 解得， ∴这个角为． 【变式2】如图，已知，平分，在的下方，且． (1)判断与互余吗？试说明理由． (2)判断与互补吗？试说明理由． 【解】(1)与不互余，理由如下： 如图， ∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴与不互余． (2)与互补，理由如下： 如图， ∵，， ∴， ∴与互补． 二、余角与补角的性质 （一）问题探究 1.问题1 如图，与，都互余，与的大小有什么关系？你能从中总结出规律吗？ 探究： ∵与互余 ∴（余角的定义） ∴ ① 又∵与互余 ∴（余角的定义） ∴ ② ∴由①②可知 （等量代换） 故可总结得出“同角的余角相等” 2.问题2 已知：与互为余角，与互为余角，如果，那么与相等吗？为什么?你能从中总结出规律吗？ 探究： ∵与互余 ∴（余角的定义） ∴ ① 又∵与互余 ∴（余角的定义） ∴ ② 又∵ ∴ ∴由①②可知： （等量代换） 故可总结得出“等角的余角相等” 3.问题3 如图，与，都互补，与的大小有什么关系？你能从中总结出规律吗？ 探究： ∵与互补 ∴（补角的定义） ∴ ① 又∵与互补 ∴（补角的定义） ∴ ② ∴由①②可知： （等量代换） 故可总结得出“同角的补角相等” 2.问题2 已知：与互为补角，与互为补角，如果，那么与相等吗？为什么?你能从中总结出规律吗？ 探究： ∵与互补 ∴（补角的定义） ∴ ① 又∵与互补 ∴（补角的定义） ∴ ② 又∵ ∴ ∴由①②可知： （等量代换） 故可总结得出“等角的补角相等” （二）余角与补角的性质 1.余角的性质 同角（等角）的余角相等. 用数学语言表述为 ①∵， ∴（同角的余角相等）； ②∵且， ∴（等角的余角相等）. 2.补角的性质 同角（等角）的补角相等. 用数学语言表述为 ①∵， ∴（同角的补角相等）； ②∵且， ∴（等角的补角相等）. （3） 实例运用 例4一副三角板按如图的四个位置摆放，其中和一定相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】三角板中角度计算问题、同(等)角的余(补)角相等的应用 【分析】本题考查三角板中角度关系以及计算．根据图形中两个角的位置关系依次确定度数关系，从而可得答案． 【详解】解：A、，则与不一定相等，故该选项不符合题意； B、由同角的余角相等可得，故该选项符合题意； C、，则与不一定相等，故该选项不符合题意； D、，则与不一定相等，故该选项不符合题意； 故选：B． 例5如图，点在直线上，，射线在射线的左侧，，与互补，求的度数． 解：∵点在直线上， （平角的定义）， ______， ， ∴______， ∵与互补， ______＋______， （__________）， ， ． 【答案】；；；；；同角的补角相等； 【难度】0.65 【知识点】几何图形中角度计算问题、与余角、补角有关的计算、同(等)角的余(补)角相等的应用 【分析】先利用平角的定义求出的度数，再根据互补的定义求出的度数，最后通过平角减去已知的、、，得到的度数． 【详解】解：∵点在直线上， (平角的定义)， ， ， ∴， ∵与互补， ， (同角的补角相等)， ， ． （4） 变式训练 【变式1】已知，， ．那么与的关系是（   ） A．相等 B．互余 C．互补 D．无法确定 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】同(等)角的余(补)角相等的应用 【分析】本题考查互余和互补的性质，先利用同角的补角相等得出，再结合与互余的关系，推导与的关系. 【详解】解：∵， ， ∴，（同角的补角相等） ∵， ∴， ∴与互余， 故选：B． 【变式2】36．如图，和都是直角． (1)如果，那么的度数为 °． (2)找出图中相等的角．如果，它们还会相等吗？ (3)若的度数越来越小，则的度数将如何变化？ 【答案】(1)151； (2)相等的角有，；当时，它们仍然相等； (3)的度数会越来越大． 【难度】0.65 【知识点】几何图形中角度计算问题、求一个角的余角、求一个角的补角、同(等)角的余(补)角相等的应用 【分析】（1）利用直角的度数减去的度数求出的度数，再将与直角的度数相加，通过角的和差求出的度数； （2）先根据直角的定义直接得到与相等，再利用角的和差得出和均为的余角，结合同角的余角相等的性质，判断即使的度数改变，这些角仍保持相等； （3）先通过角的和差推导出与的数量关系式，再根据该关系式分析当度数越来越小时，的度数变化情况． 【详解】（1）解：∵和都是直角， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：相等的角有，， ∵， ∴， ∴， 即使，和仍然是的余角， 根据同角的余角相等，它们仍然相等，和始终是直角，也仍然相等； （3）解：由， 可知当的度数越来越小时，的度数会越来越大． 4、 达标检测 1．已知，则的余角的大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.95 【知识点】求一个角的余角 【分析】根据互余两角的和为计算即可得到结果. 【详解】解：∵ 互余的两个角的和为，， ∴ 的余角为 . 2．若一个角等于它余角的2倍，则这个角是（     ）度 A．75 B．60 C．15 D．30 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号、求一个角的余角、与余角、补角有关的计算 【分析】假设出这个角，根据余角的定义表示出余角，根据数量关系列出一元一次方程即可求解． 【详解】解：设这个角的度数为， ∵ 互余的两个角的和为， ∴ 这个角的余角为， 根据题意列方程得， 展开得， 移项合并得， 解得， ∴ 这个角是． 3．已知一个角的补角的度数为，则这个角的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】求一个角的补角 【详解】解：∵互为补角的两个角的和为，该角的补角为， ∴这个角的度数为． 4．如图所示，点为直线上一点，，那么下列互为余角的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】几何图形中角度计算问题、与余角、补角有关的计算、同(等)角的余(补)角相等的应用 【分析】利用角度和差表示出角的数量关系，利用互余的定义求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 即与互余． 5．如图，将一副直角三角板的直角顶点重叠在一起，由，可直接推导出，依据是（   ） A．同角的余角相等 B．等角的余角相等 C．同角的补角相等 D．等角的补角相等 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】同(等)角的余(补)角相等的应用 【分析】本题主要考查了余角的知识．根据“同角的余角相等”，即可获得答案． 【详解】解：∵， ∴（同角的余角相等）． 故选：A 6．已知与互余，与互补，，则__________． 【答案】/120度 【难度】0.85 【知识点】求一个角的余角、求一个角的补角、与余角、补角有关的计算 【分析】先根据互余的定义结合已知条件求出，再根据互补的定义求出即可． 【详解】解：∵与互余，， ∴， ∵与互补， ∴． 7．的角的余角等于________；的角的补角等于________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】角度的四则运算、求一个角的余角、求一个角的补角 【分析】互余两角和为，互补两角和为，利用进行度分换算计算即可． 【详解】解：∵互余的两角的和为，且， ∴； ∵互补的两角的和为， ∴． 8．一个角的补角是，则这个角的余角为 ___________． 【答案】/35度 【难度】0.85 【知识点】求一个角的余角、求一个角的补角 【分析】先根据补角定义求出原角的度数，再根据余角定义计算余角的度数. 【详解】解：∵ 互为补角的两个角的和为，这个角的补角是， ∴ 这个角的度数为 ， ∵ 互为余角的两个角的和为， ∴ 这个角的余角为 . 9．若，，则，理由是________ 【答案】同角的补角相等 【难度】0.95 【知识点】同(等)角的余(补)角相等的应用 【分析】和都与同一个角互补，根据补角的性质即可推出结论． 【详解】解：，， （同角的补角相等）． 故答案为：同角的补角相等 10．∵，， ∴________（填依据）． 【答案】同角的余角相等 【难度】0.95 【知识点】同(等)角的余(补)角相等的应用 【分析】根据余角的性质，两个角都与同一个角互余，则这两个角相等，据此得出推理依据． 【详解】解：∵，， ∴（同角的余角相等）． 11．如果与互补，与互补，且，，那么____． 【答案】55 【难度】0.85 【知识点】与余角、补角有关的计算、同(等)角的余(补)角相等的应用 【详解】解： 与互补，与互补， ，， ， ， 又 ， ． 12．一块三角板的直角顶点落在直尺上，按如图所示放置． (1)___________°． (2)若的补角比的2倍多，求的度数． 【答案】(1)90 (2) 【难度】0.65 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、三角板中角度计算问题、与余角、补角有关的计算 【分析】（1）根据三角板的性质得，再根据平角定义得出答案； （2）设，则，根据题意列出方程求出解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得， ∴； （2）解：设，则， 根据题意，得， 解得， ． 13．如图，直线与相交于点，射线在内． (1)若的邻补角是它的余角的3倍， ①的度数为 ； ②若，求的度数； (2)若射线平分，，探求与的数量关系． 【答案】(1)①；② (2) 【难度】0.77 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、角平分线的有关计算、与余角、补角有关的计算 【分析】（1）①设，根据题意列方程求解即可； ②根据平角的定义列方程求出，然后代入求解即可； （2）根据角平分线的定义设，然后分别表示出和，进而求解即可． 【详解】（1）解：①设 根据题意得， 解得 ∴的度数为； ②∵，， ∴ 解得 ∴； （2）解：∵平分 ∴设 ∵ ∴， ∴． 14．一个角的余角的3倍比它的补角的2倍少，求这个角的度数． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号、与余角、补角有关的计算 【分析】本题考查余角补角的概念和一元一次方程的应用． 先设出这个角的度数，根据题目中的数量关系列出一元一次方程，求解即可得到结果． 【详解】解：设这个角的度数为． 根据余角和补角的定义，这个角的余角为 ，补角为 ． 由题意得：． 展开整理得： ． 解得：． 15．如图，点是直线上一点，与互为余角，是的平分线．若，求的度数． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算、与余角、补角有关的计算 【分析】余角的定义可求出，结合角平分线的定义可得，由平角的定义可得的度数，进而求出的度数． 【详解】解：∵与互为余角， ∴ ．                                              ∵， ∴，                                          又∵是的平分线， ∴， ∵点是直线上一点， ∴ ， ∴，                                          ∴． 16．如图，点是直线上一点，，平分． (1)请直接写出图中所有与相等的角； (2)写出图中与互补的一个角，并说明理由． 【答案】(1)， (2) 解：与互补或与互补，理由如下： ∵点是直线上一点， ∴， ∵， ∴，即， ∴与互补； ∵， ∴，即， ∵平分， ∴， ∴，即， ∴与互补； 综上，与互补或与互补． 【难度】0.65 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算、与余角、补角有关的计算、同(等)角的余(补)角相等的应用 【分析】（1）根据同角的余角相等及角平分线的定义，进行作答即可； （2）根据互补的两个角和为，作答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴与相等的角有，； （2）略 17．如图所示，直线与直线相交于点O，是的平分线，在内，且，． (1)求的度数； (2)写出的所有补角． 【答案】(1) (2)，，. 【难度】0.75 【知识点】角平分线的有关计算、与余角、补角有关的计算 【分析】（1）根据角平分线的定义和角的和差关系进行求解即可； （2）根据补角的定义，进行求解即可. 【详解】（1）解：∵是的平分线， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， 又∵， ∴的补角为，，. 18．如图，和均为直角． (1)若，求的度数； (2)若逐渐增大，将如何变化？请你给出结论并说明理由． 【答案】(1) (2) 将逐渐增大．理由如下： 若逐渐增大，应顺时针旋转，则可知最大值为，如图所示： 若继续旋转，将逐渐减小，与题中所给条件矛盾， 若逐渐增大，则将逐渐增大． 【难度】0.73 【知识点】几何图形中角度计算问题、同(等)角的余(补)角相等的应用 【分析】（1）由同角的余角相等即可得到答案； （2）按照题意，作出图形讨论即可得到答案． 【详解】（1）解：和均为直角， ， 则； （2）略 19．如图，将两块直角三角板的直角顶点叠放在一起． (1)试判断与的大小关系，并说明理由； (2)若，求的度数； (3)猜想与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) 解：．理由如下： ， ， ； (2) (3) 解：，理由如下： ， ， ． 【难度】0.85 【知识点】几何图形中角度计算问题、同(等)角的余(补)角相等的应用 【分析】本题主要考查了几何图中角的计算，数形结合，熟练掌握余角的性质，是解题的关键． （1）根据余角的性质进行求解即可； （2）根据，求出结果即可； （3）根据与的数量关系，进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：， ； （3）略 20．如图，，平分，，求的度数。 以下是小亮的做法： 解：由得 ，． 根据______，得 ______。 因为平分， 所以根据______，得 ______， …… (1)完成填空； (2)请用两种不同的思路补全小亮解题过程中未完成的部分． 【答案】(1)同角的余角相等（余角的性质），，角平分线的定义， (2) 解：思路1：∵，由（1）得， ∴； 思路2：由得，， 由（1）得 所以． 【难度】0.85 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算、同(等)角的余(补)角相等的应用 【分析】本题考查了角的和差计算，角平分线的定义，与余角有关的计算． （1）先由同角得余角相等得到，再由角平分线定义得到，即可填空； （2）思路1，由即可求解；思路2，先求出，再由即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 21．如图，为直线上一点，在的上方依次引射线，，，且． (1)当时，是的平分线吗？试说明理由． (2)若，． ①求的度数． ②现射线绕着点以每秒的速度逆时针方向旋转到，再原速返回到时停止，同时绕着以相同的速度顺时针方向旋转到与重合，再原速返回到与重合时停止，在此运动过程中，当为固定值时，求时间的范围． 【答案】(1) 解：是的平分线，理由如下： ∵为直线上一点，且． ∴，， ∵， ∴， ∴是的平分线； (2)①； ②或或 【难度】0.4 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算、同(等)角的余(补)角相等的应用 【分析】此题考查了角平分线的相关计算、角的和差、余角的性质等知识，分类讨论是解题的关键． （1）根据题意得到，，由等角的余角相等即可得到答案； （2）①先求出，得到，利用平角即可得到答案；②分情况讨论即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）①∵，， ∴， ∴， ∴， 答：的度数为． ②∵， ∴，， 当时，与重合， ∴当时，绕着点O逆时针方向旋转，绕点O顺时针旋转，在的内部，是固定值， 当时，与重合，， ； ∴当时，如图，绕点O逆时针方向旋转，未与重合，绕着点顺时针方向旋转， 此时， ， ∴， ∴此时的大小发生改变； 当时，与重合，， ∴当时，绕点逆时针旋转，绕着点逆时针方向旋转，两者旋转速度相同， ∴的大小不变， ∴此时的值不变； 当时，与重合， ∴当时，绕着点顺时针方向旋转，绕点逆时针旋转，在外部，和都逐渐减小，因此的值逐渐变小； 当时，与重合，停止旋转，在内部， ， ∴当时，绕着点顺时针方向旋转，绕点逆时针旋转，在内部，是固定值； 当时，与重合， ∴当时，绕着点顺时针方向旋转，停止旋转，在内部，是固定值； 当时，与重合，停止旋转， ∴当时，绕着点顺时针方向旋转，停止旋转，在外部，和都逐渐变大，逐渐变大； 综上所述，当为固定值时，或或． - 1 - - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 $