第十七章 因式分解 单元卷 2026-2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 本卷为初中数学第十七章因式分解单元复习卷，全面覆盖因式分解核心知识，通过基础巩固、能力提升与创新应用三层设计，适配单元复习需求，强化运算能力与推理意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|因式分解定义、公因式、图形验证等式|结合密码翻译情境（第10题），考查概念辨析与几何直观| |填空题|6/18|提公因式法、公式法、参数求解|融入电阻串联实际应用（第15题），体现模型意识| |解答题|8/72|十字相乘法、配方法、数形结合、新定义“优美数”|设置阅读理解题（19题十字相乘法迁移）与探究题（23题优美数），层次分明，发展创新意识与推理能力|

第十七章 因式分解（原卷版） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1、下列各式从左边到右边的变形中，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 2、多项式的公因式是（    ） A． B． C． D． 3、已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 4、若为任意整数，则的值总能（   ） A．被4整除 B．被5整除 C．被6整除 D．被7整除 5、已知，，则多项式的值为（   ） A． B．15 C． D．2 6、把多项式（3x-2）(2x-5)-(2x-5)(2x-3) 进行因式分解的结果为(2x+m)(nx+1)，其中m，n均为整数，则m-n的值为（    ）． A． B． C． D．8 7、如图，边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形后，将剩余部分通过割补拼成新的图形．根据图形能验证的等式为（ ） A B. C. D. 8、如图，长宽分别为、的长方形周长为10．面积为6，则的值为（   ） A．60 B．60 C．120 D．120 9、因式分解的结果是 （ ） A． B． C． D． 10、小赵是一位密码翻译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，，，，分别对应下列六个字：国、爱、我、中、丽、美，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ） A. 我爱美丽 B. 中国美丽 C. 我爱中国 D. 美我中国 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11、多项式的公因式是______． 12、因式分解： ． 13、若可以因式分解为，那么的值为 ． 14、如果两数满足，那么 ． 15、如图，把，，三个电阻串联起来，线路上的电流为，电压为，则．当，，，时，求得的值是 ． 16、已知，则代数式的值为 三、解答题：本题共8小题，共72分，17-18，每题6分，19-21，每题8分, 22-24，每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、 因式分解： （1）； （2）． 18、先阅读下面的内容，再解决问题． 例题：若，求和的值． 解：， ． ． ． ． 问题：已知，求的值． 19、【阅读理解】用“十字相乘法”分解因式． Ⅰ．次项系数． Ⅱ．常数项，验算：“交叉相乘之和” ①，②， ③，④． Ⅲ．发现第③个“交叉相乘之和”的结果等于一次项系数， 即， 则． 像这样分解因式的方法叫做十字相乘法． 【迁移运用】仿照此方法，分解因式： (1)； (2)． 20、19世纪的法国数学家苏菲·热门给出了一种分解因式的方法：他抓住了该式只有两项，而且属于平方和的形式，要使用公式法就必须添一项，随即将此项减去，即可得，人们为了纪念苏菲·热门给出的这一解法，就把它叫做“热门定理”． （1）利用“热门定理”把分解因式． 热门定理的本质是构造完全平方，用的是“添项”的方法，对于超过两项的多项式，也可以采取“添项”的方法，先添项再减去这项，构造完全平方进行分解．例如对于二次三项式，可以先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有，像这样的方法统称为“配方法”． （2）请利用“配方法”分解因式：． 21、仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为，得， 则． ． 解得：． 另一个因式为的值为， 解法二：二次三项式有一个因式是， 当，即时，． 把代入， 得， 而． 问题：仿照以上两种方法解答下面问题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 22、数形结合是解决数学问题的一种重要思想方法，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式，将一些多项式因式分解．例如：利用图1可以得到． (1)请把表示图2面积的多项式因式分解：_________________（直接列出等式即可）； (2)若，，求的值； (3)如图3，有足够数量的边长分别为，的正方形纸片和长为，宽为的长方形纸片，请利用这些纸片将多项式因式分解：__________________．（直接列出等式即可） 23、若一个正整数x能表示成（a，b是正整数，且）的形式，则称这个数为“优美数”，a与b是x的一个平方差分解． 例如：因为，所以5是“优美数”，3与2是5的平方差分解； 再如：也是“优美数”．∵（其中x，y是正整数），所以M也是“优美数”， 与y是M的一个平方差分解． (1)判断：27是否是“优美数”，如果是，请写出27的所有平方差分解；如果不是，请说明理由． (2)设两个连续正奇数为和（其中n是正整数），由它们构成的“优美数”能被8整除吗？如果能，请说明理由；如果不能，请举例说明． (3)已知（x，y是正整数，k是常数，且），要使N是“优美数”，请写出一个符合条件的一个k值______． 24、阅读材料A：利用完全平方公式，可以解决很多的数学问题． 例如：若，，求的值． 解：∵，， ∴， 即：．∴． 阅读材料B：在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元法），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．下面是小明同学用换元法对多项式进行因式分解的过程． 解：令， 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） （1）请根据材料A，解答问题：若，，求的值； （2）请根据材料B，解答问题： ①在材料B中，老师说，小明同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果______； ②因式分解：． （3）综合运用： 若实数x满足，求的值． —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十七章 因式分解（解析版） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1、下列各式从左边到右边的变形中，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【详解】解：，是整式的乘法，则A不符合题意； ，则B符合题意； ，等号的右边不是积的形式，则C不符合题意； 不能因式分解，则D不符合题意； 2、多项式的公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：多项式的公因式是； 3、已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ，，故A正确． 4、若为任意整数，则的值总能（   ） A．被4整除 B．被5整除 C．被6整除 D．被7整除 【答案】C 【详解】解： ． 和中必有一个为偶数， 一定能被6整除． 5、已知，，则多项式的值为（   ） A． B．15 C． D．2 【答案】C 【详解】解：∵， 又∵，， ∴， 6、把多项式（3x-2）(2x-5)-(2x-5)(2x-3) 进行因式分解的结果为(2x+m)(nx+1)，其中m，n均为整数，则m-n的值为（    ）． A． B． C． D．8 【答案】B 【详解】解： ， 由题意得：， ， ， 7、如图，边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形后，将剩余部分通过割补拼成新的图形．根据图形能验证的等式为（ ） A B. C. D. 【答案】B 【详解】解∶左边阴影部分的面积为，右边阴影部分的面积为， ∵前后两个图形中阴影部分的面积相等， ∴验证的等式为， 8、如图，长宽分别为、的长方形周长为10．面积为6，则的值为（   ） A．60 B．60 C．120 D．120 【答案】B 【详解】解：∵边长为a，b的长方形周长为10，面积为6， ∴a+b==5，ab=6， 则 =-2×6×5 =60． 9、因式分解的结果是 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解： ． 10、小赵是一位密码翻译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，，，，分别对应下列六个字：国、爱、我、中、丽、美，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ） A. 我爱美丽 B. 中国美丽 C. 我爱中国 D. 美我中国 【答案】C 【详解】解： ， 对应“爱”，对应“我”，对应“国”，对应“中”． 四个因式组合为“爱、我、国、中”， 只有C“我爱中国”符合， 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11、多项式的公因式是______． 【答案】 【详解】解：多项式的公因式是． 故答案为： 12、因式分解： ． 【答案】 【详解】解： ， 故答案为：． 13、若可以因式分解为，那么的值为 ． 【答案】1 【详解】解：由题意，得：， ∴， ∴， ∴； 故答案为：1 14、如果两数满足，那么 ． 【答案】 【详解】解：， ①②，得， ∴， ②①，得， 则， 故答案为：． 15、如图，把，，三个电阻串联起来，线路上的电流为，电压为，则．当，，，时，求得的值是 ． 【答案】320 【详解】解：∵，，，， ∴ ． 故答案为：320． 16、已知，则代数式的值为 【答案】 【详解】解：∵， ∴ =+ =+ = 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共72分，17-18，每题6分，19-21，每题8分, 22-24，每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、 因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【详解】解： （1）； （2） ． 18、先阅读下面的内容，再解决问题． 例题：若，求和的值． 解：， ． ． ． ． 问题：已知，求的值． 【答案】． 【详解】解：， ， ， ， ， 解得：． 19、【阅读理解】用“十字相乘法”分解因式． Ⅰ．次项系数． Ⅱ．常数项，验算：“交叉相乘之和” ①，②， ③，④． Ⅲ．发现第③个“交叉相乘之和”的结果等于一次项系数， 即， 则． 像这样分解因式的方法叫做十字相乘法． 【迁移运用】仿照此方法，分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 20、19世纪的法国数学家苏菲·热门给出了一种分解因式的方法：他抓住了该式只有两项，而且属于平方和的形式，要使用公式法就必须添一项，随即将此项减去，即可得，人们为了纪念苏菲·热门给出的这一解法，就把它叫做“热门定理”． （1）利用“热门定理”把分解因式． 热门定理的本质是构造完全平方，用的是“添项”的方法，对于超过两项的多项式，也可以采取“添项”的方法，先添项再减去这项，构造完全平方进行分解．例如对于二次三项式，可以先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有，像这样的方法统称为“配方法”． （2）请利用“配方法”分解因式：． 【答案】（1）；（2） 【详解】解：（1） ； （2） ． 21、仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为，得， 则． ． 解得：． 另一个因式为的值为， 解法二：二次三项式有一个因式是， 当，即时，． 把代入， 得， 而． 问题：仿照以上两种方法解答下面问题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 【答案】另一个因式为的值为10 【详解】解：解法一：设另一个因式为， 由题意得：， 则， 解得：， 另一个因式为的值为10． 解法二：二次三项式有一个因式是， 当，即时，， 把代入， 得， 而． 另一个因式是的值为10． 22、数形结合是解决数学问题的一种重要思想方法，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式，将一些多项式因式分解．例如：利用图1可以得到． (1)请把表示图2面积的多项式因式分解：_________________（直接列出等式即可）； (2)若，，求的值； (3)如图3，有足够数量的边长分别为，的正方形纸片和长为，宽为的长方形纸片，请利用这些纸片将多项式因式分解：__________________．（直接列出等式即可） 【答案】(1) (2)56 (3) 【详解】（1）解：由图可知：； （2）解：，，， ， ； （3）解：如图所示， ． 23、若一个正整数x能表示成（a，b是正整数，且）的形式，则称这个数为“优美数”，a与b是x的一个平方差分解． 例如：因为，所以5是“优美数”，3与2是5的平方差分解； 再如：也是“优美数”．∵（其中x，y是正整数），所以M也是“优美数”， 与y是M的一个平方差分解． (1)判断：27是否是“优美数”，如果是，请写出27的所有平方差分解；如果不是，请说明理由． (2)设两个连续正奇数为和（其中n是正整数），由它们构成的“优美数”能被8整除吗？如果能，请说明理由；如果不能，请举例说明． (3)已知（x，y是正整数，k是常数，且），要使N是“优美数”，请写出一个符合条件的一个k值______． 【答案】(1)27是“优美数”， 14与13，6与3都是27的平方差分解 (2)能，见详解 (3) 【详解】（1）解：27是“完美数”， ∵， ， ∴27是“完美数”，14与13，6与3都是27的平方差分解； （2）解： ， ∵能被8整除， ∴由它们构成的“优美数”能被8整除； （3）解：∵ ； ∴当时，为“优美数”，此时， 故当时，N为“优美数”． 24、阅读材料A：利用完全平方公式，可以解决很多的数学问题． 例如：若，，求的值． 解：∵，， ∴， 即：．∴． 阅读材料B：在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元法），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．下面是小明同学用换元法对多项式进行因式分解的过程． 解：令， 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） （1）请根据材料A，解答问题：若，，求的值； （2）请根据材料B，解答问题： ①在材料B中，老师说，小明同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果______； ②因式分解：． （3）综合运用： 若实数x满足，求的值． 【答案】（1） （2）①；② （3） 【小问1详解】 解：，， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 ①设， 原式 ， 故答案为：； ②； 【小问3详解】 设，， ， 实数满足， ， ， ， ， ， ， ． —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $