第十七章因式分解单元复习2026-2027学年人教版数学八年级上册

**基本信息** 本练习聚焦因式分解单元复习，通过基础巩固、综合应用、创新拓展三层设计，构建从概念理解到实际应用的完整知识巩固路径，培养抽象能力、推理意识与创新意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|因式分解定义、基本公式（平方差/完全平方）|选择2（定义辨析）、填空11-12（直接分解），占比50%，强化运算能力| |综合|公式综合应用、代数变形|选择7（完全平方参数）、解答18（条件求值），占比25%，提升推理意识| |拓展|规律探究、实际情境|选择10（豫数定义）、解答20（数形结合），占比25%，发展创新意识|

· 第十七章 因式分解 单元复习 · 2026-2027学年人教版数学八年级上册 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．已知，则代数式的值是（   ） A．6 B． C． D．4 2．下列从左边到右边的式子变形是因式分解的是（     ） A． B． C． D． 3．已知，则a的值为（    ） A．1 B．3 C． D． 4．琪琪借助某AI工具命制了如下①～④四道试题，星星发现其中有一道不能按要求分解因式，则该题是（   ） 用平方差公式分解下列各式： ①；②；③；④． A．①题 B．②题 C．③题 D．④题 5．已知，，则的值为（     ） A．6 B．8 C．12 D．18 6．若，则的值为（     ） A．12 B．18 C．24 D．27 7．若多项式可以用完全平方公式分解因式，则m的值为（    ） A． B． C．2 D．4 8．已知，，为的三边长，且满足，则是（     ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 9．已知则按此规律推算的结果一定能（     ） A．被12整除 B．被13整除 C．被14整除 D．被15整除 10．定义如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“豫数”．如，，，因此4、12、20都是“豫数”，有关“豫数”说法正确的是（　　） A．28是“豫数” B．32是“豫数” C．所有“豫数”都是6的倍数 D．最小的“豫数”是2 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．分解因式：___________ 12．因式分解：________． 13．已知，，，则代数式的值为______． 14．如图，长方形的长宽分别为，，且比大3，面积为10，则的值为_______． 15．生活中我们经常用到密码，有一种密码的产生采取以下方式：，当，都取时，各因式的值是，，，于是可以把“”作为一个六位数密码．类似的对于多项式，当、都取时，最小的位密码是__________． 三．解答题（本大题共5小题，共75分） 16．（1） （2） 17．因式分解： (1)； (2)． 18．已知，求代数式的值． 19．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把这样的数称为“三角形数”，第个“三角形数”可表示为：，某数学兴趣小组对“三角形数”展开探究． (1)数学兴趣小组发现，每相邻两个“三角形数”的和有如下规律： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； … 按照以上规律，解决下列问题： ①写出第5个等式： ； ②写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明； (2)数学兴趣小组还发现：，，，即任意一个三角形数乘8再加1都是一个完全平方数，请你对发现的该结论加以证明． 20．数与形是数学研究的两大部分，它们间的联系称为数形结合，数形结合大致分为两种情形，或者借助图形的直观来阐明数之间的关系，或者借助数的精确性来阐明图形的属性，即“以形助数”或“以数解形”，整式乘法中也利用图形面积来论证数量关系．现用砖块相同的面（如材料图，长为，宽为的小长方形）拼出以下图形，延长部分边框，则把这些拼图置于如图所示的正方形或大长方形内，请解答下列问题． (1)求图1中空白部分的面积（用含的代数式表示）． (2)图1，图2中空白部分面积分别为、，求值． (3)图3中空白面积为，根据图形中的数量关系，将下列式子写成含、的整式乘积的形式： ①． ②． 试卷第2页，共3页 试卷第3页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D B B D D D C D A 1．A 【分析】本题考查了已知式子的值，求代数式的值．将代数式变形为，然后代入已知条件计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选：A 2．D 【分析】因式分解是把一个多项式化成几个整式乘积的形式，根据定义逐一判断选项即可． 【详解】解：A、左边是单项式，不是多项式，故A不符合要求； B、变形是整式乘法，右边是多项式，不是整式乘积的形式，故B不符合要求； C、右边是和的形式，不是几个整式乘积的形式，故C不符合要求； D、左边是多项式，右边是两个整式的乘积，符合因式分解的定义，故D符合要求． 3．B 【详解】解：∵， ∴． 4．B 【详解】解：①； ②，无法使用平方差公式进行因式分解； ③； ④， 该题是②无法使用平方差公式进行因式分解． 5．D 【分析】本题利用提公因式法对所求代数式因式分解，再整体代入已知条件计算，不需要分别求出每个未知数的值． 【详解】解：∵ 已知， ∴ 整体代入得，原式 ． 6．D 【分析】根据已知条件得到的值，把所求式子因式分解为，据此代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ 7．D 【分析】本题考查完全平方公式与因式分解，多项式可以用完全平方公式分解因式，则可以写成的形式，由此可解． 【详解】解：， ∵多项式可以用完全平方公式分解因式， ∴， 故选：D． 8．C 【分析】对已知等式变形配方，利用平方数的非负性推导三边关系，即可判断三角形形状． 【详解】解：∵， ∴ ， ∴ ， 即 ， ∵，，， ∴， 可得 ， ∴是等边三角形． 9．D 【分析】对连续运用平方差公式分解因式即可得到答案． 【详解】解： ， ∵都是正整数， ∴一定能被15整除， ∴的结果一定能被15整除． 10．A 【分析】先设两个连续偶数，利用平方差公式推导出“豫数”的一般形式，再结合各选项判断正误． 【详解】解：设两个连续偶数分别为和（为整数，）， ∵ “豫数”可表示为两个连续偶数的平方差， ∴ 豫数 豫数是乘以奇数． 对选项逐一判断： A、，是奇数，且，符合“豫数”定义，选项正确； B、，是偶数，不符合“豫数”定义，选项错误； C、当时，得到最小豫数为，不是的倍数，选项错误； D、最小豫数为，选项错误． 11． 【分析】本题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握平方差公式是解题的关键．利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： 故答案为： 12． 【分析】先对原式变形构造公因式，再提取公因式，最后利用平方差公式进行二次因式分解，即可得到结果． 【详解】解： ． 13． 【分析】本题考查完全平方公式因式分解．先求出的值，再利用恒等式进行计算． 【详解】解：已知， 则， ， ， 根据恒等式，将上述值代入可得： ． 故答案为：． 14． 【分析】本题考查了因式分解，长方形的面积公式，由题意得，，再将要求的式子变形为，代入求解即可，掌握提公因式法是解题的关键． 【详解】解：由题意得：，， ∴， 故答案为：． 15． 【详解】解： 当时，， ∴最小的位密码是：． 16．（1）4；（2）9 【分析】（1）根据平方差公式求解即可； （2）根据完全平方公式求解即可； 【详解】（1） ； （2） ． 【点睛】此题考查了利用平方差公式和完全平方公式因式分解，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 17．(1) (2) 【详解】（1）解： （2）解： ． 18．3 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 19．(1)①； ②猜想：； 证明如下： 等式左边 ． 等式右边 等式左边等式右边， 等式成立； (2) 发现：， 证明如下： 等式左边， 等式右边， 等式左边等式右边， 等式成立， 任意一个三角形数乘8再加1都是一个完全平方数． 【分析】本题主要考查整式的混合运算的应用、因式分解，正确理解“三角形数”的概念是解题的关键． （1）①根据题意即可写出第5个等式； ②根据题意即可写出第n个等式，再进行求解即可； （2）根据规律得到等式并化简即可证明． 【详解】（1）解：（1）①第5个等式：； 故答案为：； ②略 （2）略 20．(1) (2) (3)①；② 【分析】（1）结合图形，图1中空白部分的面积等于大正方形的面积减去个小长方形的面积； （2）根据图形，图2中空白部分的面积等于大长方形的面积减去个小长方形的面积，再列出关于，的方程组并解方程组即可； （3）结合图形，图3中空白面积为等于大长方形的面积减去个小长方形的面积，将及写成含、的整式乘积的形式． 【详解】（1）解：∵图1小正方形的边长为，其中阴影部分面积为， ∴． （2）解：∵图2小长方形的长为，宽为，其中阴影部分面积为， ∴， ∵面积分别为、， ∴ 由，得， ∴； （3）解：∵图3小长方形的长为，宽为，其中阴影部分面积为， ∴， ∴① ②． 【点睛】本题考查了分解因式的应用，长方形的面积，完全平方公式的应用，多项式乘多项式的法则，培养学生的观察图形的能力和化简能力，数形结合思想是解题的关键． 答案第8页，共8页 答案第1页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 $