精品解析：海南儋州市第二中学2025-2026学年高一下学期期中模拟数学试题

儋州市第二中学2025-2026学年度春季学期高一年级 数学试卷 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】由复数除法即可求解. 【详解】因为，所以. 故选：A. 2. 化简：（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量的线性运算即可. 【详解】由． 故选：A. 3. 已知，，若，则（ ） A. B. 6 C. 4 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量平行充要条件列出关于k的方程，解之即可求得k的值. 【详解】由，，， 可得，解之得. 故选：B 4. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用余弦定理计算可得. 【详解】在中由余弦定理. 故选：C 5. 已知向量，，.若、、三点共线，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出向量，由题意可得，利用平面向量共线的坐标表示可得出关于的等式，解之即可. 【详解】因为向量，，， 所以，， 因为、、三点共线，则，所以，，解得. 故选：C. 6. 在中，若，，，则（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】运用同角平方关系可求，然后利用正弦定理，计算即可得到． 【详解】解：，，， ， 由正弦定理可得，， ． 故选：D． 7. 已知点G是三角形ABC所在平面内一点，满足，则G点是三角形ABC的（ ） A. 垂心 B. 内心 C. 外心 D. 重心 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用平面向量的线性运算和三角形重心的定义，即可判断点G是△ABC的重心. 【详解】因为，所以. 以GA、GB为邻边作平行四边形GADB，连接GD交AB于点O.如图所示: 则，所以，CO是AB边上的中线，所以G点是△ABC的重心. 故选：D 8. 雷锋塔，位于浙江省杭州市西湖区，是“西湖十景”之一、中国九大名塔之一，为中国首座彩色铜雕宝塔.如图，某同学为测量雷锋塔的高度，在雷锋塔的正西方向找到一座建筑物，高约为，在地面上点E处（A，C，E三点共线）测得建筑物顶部B，雷锋塔顶部D的仰角分别为和，在B处测得塔顶部D的仰角为，则雷锋塔的高度约为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】在直角三角形中利用锐角三角函数表示斜边长，根据三角形内角和以及平行线性质可得角的度数，在结合正弦定理，可得答案. 【详解】在中，；在中，； 由图可知，易知， 在中，，根据正弦定理可得：， 则. 故选：C. 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 已知复数，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【详解】对于选项A，，A正确； 对于选项B，，B正确； 对于选项C，可知，则，C错误； 对于选项D，，D正确； 10. 若向量 则（ ） A. B. C. 在上的投影向量为(1,0) D. 与的夹角为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据平面向量运算的坐标表示计算判断． 【详解】对于A，由已知，，，，A错； 对于B，，B正确； 对于C，，在上的投影向量为，C正确； 对于D，，又，所以，D错． 11. 已知的内角所对的边分别为，则下列说法正确的是（       ） A. 若，则一定是等腰三角形 B. 若，则 C. 若为锐角三角形，则 D. 若，则为锐角三角形 【答案】BC 【解析】 【分析】根据正弦定理边角互化，结合三角形的性质，可判断A、B的正误，根据正弦函数的性质及诱导公式，可判断C的正误，根据数量积公式，可判断D的正误，即可得答案. 【详解】对于A：若，由正弦定理边化角得， 所以，即， 所以或， 所以或， 所以为等腰三角形或直角三角形，故A错误； 对于B：若，由正弦定理角化边得， 根据三角形内大边对大角可得，角，故B正确； 对于C：若为锐角三角形，则， 所以， 因为在上为增函数， 所以，故C正确； 对于D：由题意得， 所以，即角A为锐角，但无法得到角B、C是否为锐角， 所以不能得到为锐角三角形，故D错误. 故选：BC 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 设、均为单位向量，且，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据及数量积的运算律计算可得. 【详解】因为、均为单位向量，且， 所以 . 故答案为： 13. 已知，，则______. 【答案】5 【解析】 【分析】根据复数的加法法则和模长公式计算即可. 【详解】由题意， 则， 故答案为：5 14. 在中，角，，所对的边分别为，，，且，，则的面积的最大值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据余弦定理以及基本不等式可得，即可利用面积公式求解. 【详解】由余弦定理得．因为，所以（当时取等号）． 又，所以， 所以的面积的最大值为． 故答案为： 四、解答题（共77分） 15. 已知复数，其中． （1）若z是实数，求实数m的值； （2）若z在复平面内对应的点位于第二象限，求实数m的取值范围； （3）若z是纯虚数，求的模． 【答案】（1）或． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据虚部等于0解方程即可； （2）根据实部小于0，虚部大于0解不等式即可； （3）根据实部等于0，虚部不等于0求得，再求对应复数的模即可. 【小问1详解】 解：因为是实数， 所以，z的虚部为0，即，解得或． 【小问2详解】 解：因为z对应的点在第二象限，则实部小于0，虚部大于0，即：， 解第一个不等式得，解第二个不等式得或， 取交集得． 所以实数m的取值范围为 【小问3详解】 解：因为z是纯虚数，所以实部等于0，虚部不等于0，即：， 解得，此时， 所以． 16. 在边长为2的菱形中， （1）以，为基底，分别表示和； （2）证明：； （3）点在线段上运动，求的最值. 【答案】（1） （2）由， 由边长为2的菱形，可得， 所以，即，故AC⊥BD得证； （3）最小值为，最大值为. 【解析】 【分析】（1）利用平行四边形加法法则和三角形减法法则即可； （2）利用向量积为零来证明两直线垂直； （3）利用共线向量和向量的数量积运算，即可得到二次函数求最值. 【小问1详解】 根据平行四边形向量加法法则，可得： 根据三角形向量减法法则，可得： 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设，其中，则： ，， 所以， 因为， 所以， 这是开口向上的二次函数，对称轴为 ​， 所以在区间上单调递增： 则当时，取得最小值，当时，取得最大值. 17. 已知函数. （1）求函数的最小正周期； （2）将函数图象上所有的点向左平移个单位后，得到函数的图象，当时，求函数的值域. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用倍角公式和辅助角公式化简，再用周期公式即可求最小正周期； （2）通过图像平移求得解析式，在用整体代换法求得在时的值域. 【小问1详解】 因为， 所以最小正周期为：； 【小问2详解】 由（1）知， 所以函数图象上所有的点向左平移个单位，得到函数的解析式为 ， 因为，所以， 所以当时，；当时，， 所以的值域为：. 18. 在中，内角所对的边分别为，且满足. （1）求角； （2）已知，， （ⅰ）求的周长； （ⅱ）点在上，满足，连接，作于，求线段的长度. 【答案】（1） （2）（ⅰ）（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，再利用两角和公式化简即可求角； （2） （ⅰ）用余弦定理求边，即可求出周长，（ⅱ）再利用正弦定理求角，即可解直角三角形求边. 【小问1详解】 根据正弦定理，将边化角可得： ， 又因为， 又因为在中，，所以， 即，又因为，， ，即 ； 【小问2详解】 因为，  ，整理得，解得或（舍去）， 因此周长为； 已知，，故， 由正弦定理 ， 因为，为直角三角形，故， 可得. 19. 已知三角形内角对边分别为，向量，且. （1）求角； （2）若，三角形边上有一点，求的长； （3）角的平分线交于点，且，求面积最小值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由向量垂直得到方程，结合正弦定理得到，求出； （2）根据向量基本定理得到，两边平方，得到，求出模长； （3）由和三角形面积公式得到方程，求出，由基本不等式求出，得到三角形面积最小值. 【小问1详解】 由得，， 由正弦定理得，， ，所以，所以， 故，又，所以 【小问2详解】 因为点在上，， 故， 所以 ， 所以； 【小问3详解】 ，由， 即，得， 于是，解得，当且仅当时取等号， 故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 儋州市第二中学2025-2026学年度春季学期高一年级 数学试卷 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 1 2. 化简：（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，若，则（ ） A. B. 6 C. 4 D. 2 4. 已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量，，.若、、三点共线，则（ ） A. B. C. D. 6. 在中，若，，，则（ ） A. B. C. 3 D. 7. 已知点G是三角形ABC所在平面内一点，满足，则G点是三角形ABC的（ ） A. 垂心 B. 内心 C. 外心 D. 重心 8. 雷锋塔，位于浙江省杭州市西湖区，是“西湖十景”之一、中国九大名塔之一，为中国首座彩色铜雕宝塔.如图，某同学为测量雷锋塔的高度，在雷锋塔的正西方向找到一座建筑物，高约为，在地面上点E处（A，C，E三点共线）测得建筑物顶部B，雷锋塔顶部D的仰角分别为和，在B处测得塔顶部D的仰角为，则雷锋塔的高度约为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 已知复数，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 若向量 则（ ） A. B. C. 在上的投影向量为(1,0) D. 与的夹角为 11. 已知的内角所对的边分别为，则下列说法正确的是（       ） A. 若，则一定是等腰三角形 B. 若，则 C. 若为锐角三角形，则 D. 若，则为锐角三角形 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 设、均为单位向量，且，则__________. 13. 已知，，则______. 14. 在中，角，，所对的边分别为，，，且，，则的面积的最大值为________． 四、解答题（共77分） 15. 已知复数，其中． （1）若z是实数，求实数m的值； （2）若z在复平面内对应的点位于第二象限，求实数m的取值范围； （3）若z是纯虚数，求的模． 16. 在边长为2的菱形中， （1）以，为基底，分别表示和； （2）证明：； （3）点在线段上运动，求的最值. 17. 已知函数. （1）求函数的最小正周期； （2）将函数图象上所有的点向左平移个单位后，得到函数的图象，当时，求函数的值域. 18. 在中，内角所对的边分别为，且满足. （1）求角； （2）已知，， （ⅰ）求的周长； （ⅱ）点在上，满足，连接，作于，求线段的长度. 19. 已知三角形内角对边分别为，向量，且. （1）求角； （2）若，三角形边上有一点，求的长； （3）角的平分线交于点，且，求面积最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $