精品解析：海南儋州市2025-2026学年第二学期高一年级期中学业质量监测数学试题

儋州市2026年春季学期高一年级期中学业质量监测试题 数学 考生注意： 1．本试卷共150分，考试时间120分钟． 2．作答时，请将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．） 1. 已知复数，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 已知与为非零向量，，若三点共线，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 在复平面内，复数对应的点在第二象限，则实数的取值范围为（    ） A. B. C. D. 5. 雷锋塔，位于浙江省杭州市西湖区，是“西湖十景”之一、中国九大名塔之一，为中国首座彩色铜雕宝塔.如图，某同学为测量雷锋塔的高度，在雷锋塔的正西方向找到一座建筑物，高约为，在地面上点E处（A，C，E三点共线）测得建筑物顶部B，雷锋塔顶部D的仰角分别为和，在B处测得塔顶部D的仰角为，则雷锋塔的高度约为（ ） A. B. C. D. 6. 在中，已知，则向量在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 7. 把函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若函数为偶函数，则的可能取值为（ ） A. B. C. D. 8. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则是（ ） A. 正三角形 B. 一个内角余弦值为的直角三角形 C. 底角余弦值为的等腰三角形 D. 底角正弦值为的等腰三角形 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，全对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．共18分．） 9. 已知向量，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. 已知，若，则 D. 与夹角的余弦值为 10. 已知函数的部分图象如下图所示，下列说法正确的有（    ） A. 函数在上单调递增 B. 函数的图象关于直线对称 C. 函数的图象关于点对称 D. 该图象对应的函数解析式为 11. 在中，内角、、所对的边分别为、、，已知，，则（ ） A. B. 的周长的最大值为 C. 当最大时，的面积为 D. 的取值范围为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 若是关于的实系数方程的一个复数根，则__________. 13. 已知，如果与的夹角为钝角，则的取值范围是_____. 14. 函数的最小值是______ 四、解答题（本题共5小题，共77分．） 15. 已知，. （1）求； （2）若在复平面内对应的向量分别为，且，求实数的值. 16. 如图，已知菱形的边长为，，为的中点，点在对角线上，且，设，． （1）用向量，表示，； （2）求的值． 17. 已知的内角所对的边分别为，且． （1）求角的大小； （2）点在边上，且，求的周长． 18. 已知向量，，函数，相邻对称轴之间的距离为． （1）求的解析式； （2）求函数单调递增区间和对称轴方程； （3）将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位得的图象，若关于x的方程在上只有一个解，求实数m的取值范围． 19. 成都市为迎接2022年世界大学生运动会，需规划公路自行车比赛赛道，该赛道的平面示意图为如图的五边形，根据自行车比赛的需要，需预留出，两条服务车道（不考虑宽度），，，，，为赛道，，，，．注：为千米． （1）若，求服务通道的长； （2）在（1）的条件下，求折线赛道的最长值（即最大）．（结果保留根号） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 儋州市2026年春季学期高一年级期中学业质量监测试题 数学 考生注意： 1．本试卷共150分，考试时间120分钟． 2．作答时，请将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．） 1. 已知复数，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的乘法化简复数，利用共轭复数的定义和复数的概念可得结果. 【详解】因为，则，故的虚部为. 2. 已知与为非零向量，，若三点共线，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据三点共线可得向量共线，由此结合向量的相等列式求解，即得答案. 【详解】由题意知，三点共线，故, 且共线， 故不妨设，则， 所以，解得， 故选：D 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由诱导公式及两角差的正弦公式求得，再根据二倍角公式即可求解． 【详解】因为 ， 所以． 4. 在复平面内，复数对应的点在第二象限，则实数的取值范围为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为复数在复平面内对应的点在第二象限， 所以，解得， 所以的取值范围为. 5. 雷锋塔，位于浙江省杭州市西湖区，是“西湖十景”之一、中国九大名塔之一，为中国首座彩色铜雕宝塔.如图，某同学为测量雷锋塔的高度，在雷锋塔的正西方向找到一座建筑物，高约为，在地面上点E处（A，C，E三点共线）测得建筑物顶部B，雷锋塔顶部D的仰角分别为和，在B处测得塔顶部D的仰角为，则雷锋塔的高度约为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】在直角三角形中利用锐角三角函数表示斜边长，根据三角形内角和以及平行线性质可得角的度数，在结合正弦定理，可得答案. 【详解】在中，；在中，； 由图可知，易知， 在中，，根据正弦定理可得：， 则. 故选：C. 6. 在中，已知，则向量在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据数量积公式确定的形状，再代入投影向量的公式. 【详解】两边平方得，即， 又两边平方得， 即，即， 如图，，向量与的夹角为， 所以向量在上的投影向量为. 7. 把函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若函数为偶函数，则的可能取值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】将向左平移个单位长度得到的解析式为， 为偶函数，则有即，， 令依次为可得的值为，只有时为整数. 8. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则是（ ） A. 正三角形 B. 一个内角余弦值为的直角三角形 C. 底角余弦值为的等腰三角形 D. 底角正弦值为的等腰三角形 【答案】C 【解析】 【分析】根据平面向量的线性运算可得，根据正弦定理可得，在中，求出即可求解. 【详解】因为， 所以，即，由及正弦定理， 得． 所以，即有，三角形不可能为等边三角形和直角三角形，排除AB； 所以该等腰三角形底角的余弦值为，C正确； 该等腰三角形底角正弦值为，D错误. 故选：C． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，全对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．共18分．） 9. 已知向量，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. 已知，若，则 D. 与夹角的余弦值为 【答案】BC 【解析】 【分析】由向量垂直的坐标表示可判断A错误，利用模长的坐标公式可得B正确，再由向量平行的坐标表示可判断C正确，利用夹角的坐标公式计算可知D错误. 【详解】对于A，易知，所以不垂直，即A错误； 对于B，，可得，可得B正确； 对于C，由且可得，解得，即C正确； 对于D，设与的夹角为，所以，可得D错误. 故选：BC 10. 已知函数的部分图象如下图所示，下列说法正确的有（    ） A. 函数在上单调递增 B. 函数的图象关于直线对称 C. 函数的图象关于点对称 D. 该图象对应的函数解析式为 【答案】BCD 【解析】 【分析】先由函数的图象依次求出，即得函数的解析式，再根据正弦函数的图象对称性与单调性逐一代入计算判断即得. 【详解】由图可知，，函数的最小正周期，则， 图象经过点，则得，因，则， 故函数的解析式为，故D正确； 对于A，当时，，因函数在上先减后增，故A错误； 对于B，因为函数的最小值，故B正确； 对于C，因，故C正确； 故选：BCD. 11. 在中，内角、、所对的边分别为、、，已知，，则（ ） A. B. 的周长的最大值为 C. 当最大时，的面积为 D. 的取值范围为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用正弦定理结合余弦定理可求出的值，结合角的取值范围可求得角的值，可判断A选项；利用余弦定理结合基本不等式可求出的周长的最大值为，可判断B选项；利用正弦定理结合三角形的面积公式可判断C选项；利用正弦定理、三角恒等变换结合正弦型函数的值域可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为， 由正弦定理可得，整理可得， 由余弦定理可得， 因为，故，A错； 对于B选项，因为，由余弦定理和基本不等式可得 ，即， 当且仅当时，等号成立，故的周长为， 即的周长的最大值为，B对； 对于C选项，由正弦定理可得，则， 当且仅当时，取最大值，此时，，，C对； 对于D选项，由正弦定理可得，则，， 所以， ， 因为，则，可得，则，D对. 故选：BCD. 【点睛】方法点睛：求三角形有关代数式的取值范围也是一种常见的类型，主要方法有两类： （1）找到边与边之间的关系，利用基本不等式来求解； （2）利用正弦定理，转化为关于某个角的三角函数，利用函数思想求解. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 若是关于的实系数方程的一个复数根，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据实系数方程虚根成对出现得另一根，再结合韦达定理求得结果. 【详解】因为是关于的实系数方程的一个复数根， 所以是关于的实系数方程的另一个复数根， 因此 故答案为： 13. 已知，如果与的夹角为钝角，则的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用向量夹角为钝角可得其数量积小于零，且不共线，解不等式即可. 【详解】向量与的夹角为钝角，则， 解得或； 又向量与不共线，所以，解得且； 故所求的取值范围是. 故答案为： 14. 函数的最小值是______ 【答案】 【解析】 【详解】， 当时，函数有最小值为. 四、解答题（本题共5小题，共77分．） 15. 已知，. （1）求； （2）若在复平面内对应的向量分别为，且，求实数的值. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由复数的四则运算代入计算，即可得到结果； （2）由向量垂直的坐标运算代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 因为，所以 因为，所以. 【小问2详解】 由（1）可知，则， ，因为，所以， 解得. 16. 如图，已知菱形的边长为，，为的中点，点在对角线上，且，设，． （1）用向量，表示，； （2）求的值． 【答案】（1）， （2）1 【解析】 【分析】（1）根据条件，利用向量的线性运算，即可求解； （2）利用（1）中结果，由向量数量积的定义和运算律，即可求解. 【小问1详解】 因为，，所以； 因为，，所以， 所以． 【小问2详解】 由题知，，，的夹角为， 所以. 17. 已知的内角所对的边分别为，且． （1）求角的大小； （2）点在边上，且，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理结合诱导公式计算得出，最后结合角的范围求解； （2）应用余弦定理得出，，即可求解. 【小问1详解】 由及正弦定理得， 所以， 所以， 因为，所以，所以． 【小问2详解】 在中，，解得， 在中，，所以， 所以周长． 18. 已知向量，，函数，相邻对称轴之间的距离为． （1）求的解析式； （2）求函数单调递增区间和对称轴方程； （3）将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位得的图象，若关于x的方程在上只有一个解，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2）答案见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）首先利用数量积公式和三角恒等变换化简函数， （2）根据解析式，再结合三角函数的性质，即可求解； （3）首先利用三角函数的图象变换求函数的解析式，再通过换元后，结合的图象，即可求解. 【小问1详解】 ， ， ， 因为相邻的对称轴之间的距离为，所以的最小正周期为， 所以，得，所以. 【小问2详解】 令， 则， 所以的单调递增区间为; 令, 解得, 即的对称轴方程为. 【小问3详解】 由（1）知，将图象上所有点的横坐标缩短为原来的，得到函数， 再向左平移个单位得， 令，则， 所以， 因为在上只有一个解，    由的图象可得，或， 所以的取值范围是 19. 成都市为迎接2022年世界大学生运动会，需规划公路自行车比赛赛道，该赛道的平面示意图为如图的五边形，根据自行车比赛的需要，需预留出，两条服务车道（不考虑宽度），，，，，为赛道，，，，．注：为千米． （1）若，求服务通道的长； （2）在（1）的条件下，求折线赛道的最长值（即最大）．（结果保留根号） 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）在中由正弦定理求得，在中由余弦定理表示出，从而求得； （2）在中，用余弦定理表示出，然后结合基本不等式可得的最大值． 【详解】解：（1）在中，由正弦定理得：，； 在中，由余弦定理得， ， ． （2）在中，由余弦定理得：， ，， ， ， ， ．（当且仅当时取“” 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $