精品解析：海南保亭黎族苗族自治县保亭中学2025-2026学年度第二学期高一期中考试数学试题

2025-2026 学年度第二学期高一数学期中考试试卷 满分 150 分， 考试时间 120 分钟 姓名：_____ 班级：_____ 考号：_____ 命题人：于传伟 审核人：罗彩琴 注意事项： 1. 答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息. 2. 请将答案正确填写在答题卡上. 第Ⅰ卷 一、单选题 （本题共 8 道题， 每小题 5 分， 共 40 分. 在每小题给出四个选项中， 只有一项符合题目要求.） 1. 若，，则（ ） A. B. C. D. 以上都不对 【答案】C 【解析】 【详解】，. 2. 复数的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由，其对应共轭复数为. 3. 已知平面向量，的夹角为，且，，则（ ） A. 3 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据，先求的值，进而求得. 【详解】解：由数量积的定义， 所以， 因此. 4. 已知向量，，若，则（ ） A. 0或 B. 0 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由向量平行的坐标表示列出等式求解即可. 【详解】由平面向量平行的坐标充要条件可得：， 整理为：，解得或. 5. 已知向量与向量平行，则锐角（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量共线的坐标公式及角为锐角可得结果. 【详解】由向量与向量平行， 可得，即， 由于为锐角，则，所以. 故选：B. 6. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用平面向量数量积的坐标公式得，利用同角三角函数的平方关系，及二倍角公式计算即可. 【详解】易知，所以， 则，即. 故选：D 7. 如图所示，中，点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的三等分点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量基本定理结合已知条件求解即可 【详解】因为点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的三等分点， 所以 , 故选：A 8. 蜂巢的精密结构是通过优胜劣汰的进化自然形成的，若不计蜂巢壁的厚度．蜂巢的横截面可以看成正六边形网格图，如图所示．已知为图中7个正六边形（边长为1）的三个固定顶点，则（ ） A. 12 B. C. 16 D. 【答案】A 【解析】 【分析】建立如图所示的平面直角坐标系，得，，再由平面向量的数量积运算即可求解． 【详解】建立如图所示的平面直角坐标系： 由于正六边形的边长为1， 所以，， 所以， 所以， 故选：A 二、多选题 (本题共 3 小题， 每小题 6 分， 共 18 分. 全部选对得 6 分， 部分选对的得部分分， 选错或者不选得 0 分.) 9. 下列各式的值为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用特殊角的三角函数值、二倍角的正弦、余弦、正切公式对选项进行化简求值，所得结果是的选项即为正确选项. 【详解】对于A，； 对于B，； 对于C，； 对于D，. 故选：ABC 10. 已知平面向量，，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若在上的投影向量为，则 D. 若与夹角为锐角，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用向量垂直时的坐标公式判断选项A；根据已知条件，利用向量线性运算的坐标形式，建立等量关系判断选项；根据投影向量的公式，代入坐标求值即可判断选项；根据向量夹角为锐角可得数量积大于，验证共线时的的取值，即可判断选项. 【详解】解：选项A，， ， 又，，， 解得，A正确； 选项B，，， ，解得，B正确； 选项C，在上的投影向量为，则，所以 ， 代入坐标得，化简得，易知方程无解，C错误； 选项D，与夹角为锐角，，解得， 若与共线，则，解得， 而当时，取不到，因此与夹角为锐角时，，正确. 11. 将函数的图象先纵坐标不变，横坐标缩短为到原来的，然后向左平移个单位长度得到函数图象，则（ ） A. 是函数的一个解析式 B. 直线是函数图象的一条对称轴 C. 函数是周期为π的奇函数 D. 函数的递减区间为 【答案】BD 【解析】 【分析】先求出的解析式，再对四个选项一一验证：对于A：直接利用解析式验证；对于B：直接求出对称轴方程进行验证；对于C：利用奇函数的定义进行否定；对于D：直接求出函数的递减区间. 【详解】由函数的图象先纵坐标不变，横坐标缩短为到原来的，得， 再由函数的图象向左平移个单位长度得到函数图象， 所以. 对于A：，故A错误； 对于B：，要求的对称轴，只需令， 则，当k=1时，解得：， 所以直线是函数图象的一条对称轴，故B正确； 对于C：，故， 所以函数不是奇函数，故C错误； 对于D：要求函数的递减区间，只需， 解得：，即函数的递减区间为，故D正确. 故选：BD 第 Ⅱ 卷 三、填空题 （本题共 3 小题， 每小题 5 分， 共 15 分.） 12. 复数在复平面内对应的点所在的象限为第_______象限. 【答案】二 【解析】 【详解】， 对应的点为，位于第二象限. 13. 已知向量，且，则_______. 【答案】 【解析】 【详解】， . 又， ，解得. 14. 向量在正方形网格中的位置如图所示. 若向量与共线，则实数_________. 【答案】2 【解析】 【分析】由图得，根据向量与共线，结合共线向量基本定理设，即可解得实数的值. 【详解】由图可知，， 因为向量与共线，所以根据共线向量基本定理可设：， 即，则， 所以，解得. 故答案为：2. 四、解答题 (本题共 5 小题， 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 15. 已知是虚数单位，复数． （1）当复数为实数时，求的值； （2）当复数为纯虚数时，求的值. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）根据复数为实数得出方程解出即可； （2）根据复数为纯虚数得出方程组解出即可. 【小问1详解】 由复数， 当复数为实数时，，解得：或. 【小问2详解】 由复数， 当复数为纯虚数时，，解得：. 16. 已知向量. （1）若，求的值； （2）记，求函数的最大值和最小值及对应的的值. 【答案】（1） （2）时，，时， 【解析】 【分析】（1）根据向量共线的坐标公式即可求解； （2）根据向量数量积的坐标公式结合辅助角公式，然后利用正弦型函数的性质即可求解. 【小问1详解】 由向量 . 因为，所以 ，解得， 又因为，所以； 【小问2详解】 由 ， 因为，所以， 当时，即时，； 当时，即时， ． 17. 已知平面向量，， ，，且与的夹角为． （1）求； （2）若与垂直，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量的模长公式结合数量积的定义即可求解； （2）根据向量垂直的条件结合数量积的运算律即可求解. 【小问1详解】 由题意可得 ，所以. 【小问2详解】 因为向量与垂直， 所以 ， 解得. 18. 已知函数． （1）求函数的解析式，并求其图象的对称轴方程； （2）求函数在上的单调递增区间． 【答案】（1），对称轴方程为； （2）和 【解析】 【分析】（1）直接对的表达式进行三角恒等变换即可求出解析式，进而得到其图象的对称轴方程； （2）先考虑的单调递增区间，然后令属于该区间即可解得的单调区间. 【小问1详解】 ， 由，解得； 所以，函数图象的对称轴方程为； 【小问2详解】 当时，有，要使单调递增， 则需要，或， 解得，或； 故函数在上的单调递增区间为和． 19. 如图所示，某小区为美化环境，准备在小区内的草坪的一侧修建一条直路OC，另一侧修建一条休闲大道.休闲大道的前一段是函数的图象的一部分，后一段是函数的图象，图象的最高点为，且，垂足为点F. （1）求函数的解析式； （2）若在草坪内修建如图所示的矩形儿童乐园PMFE，点P在曲线OD上且横坐标为，点E在OC上，求儿童乐园的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据函数图象，结合正弦型函数的性质求参数值，即可得； （2）根据（1）所得解析式求出点，结合图象的连续性求参数，进而求点P，即可求面积. 【小问1详解】 由图象，可知，， 将代入中，得 ， 所以 . ∵， ∴，故. 【小问2详解】 在中，令， ，则， 由在曲线OD上，则，故曲线为，则， ∴矩形PMFE的面积为，即儿童乐园的面积为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026 学年度第二学期高一数学期中考试试卷 满分 150 分， 考试时间 120 分钟 姓名：_____ 班级：_____ 考号：_____ 命题人：于传伟 审核人：罗彩琴 注意事项： 1. 答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息. 2. 请将答案正确填写在答题卡上. 第Ⅰ卷 一、单选题 （本题共 8 道题， 每小题 5 分， 共 40 分. 在每小题给出四个选项中， 只有一项符合题目要求.） 1. 若，，则（ ） A. B. C. D. 以上都不对 2. 复数的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 3. 已知平面向量，的夹角为，且，，则（ ） A. 3 B. C. 2 D. 4. 已知向量，，若，则（ ） A. 0或 B. 0 C. D. 5. 已知向量与向量平行，则锐角（ ） A. B. C. D. 6. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图所示，中，点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的三等分点，则（ ） A. B. C. D. 8. 蜂巢的精密结构是通过优胜劣汰的进化自然形成的，若不计蜂巢壁的厚度．蜂巢的横截面可以看成正六边形网格图，如图所示．已知为图中7个正六边形（边长为1）的三个固定顶点，则（ ） A. 12 B. C. 16 D. 二、多选题 (本题共 3 小题， 每小题 6 分， 共 18 分. 全部选对得 6 分， 部分选对的得部分分， 选错或者不选得 0 分.) 9. 下列各式的值为的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知平面向量，，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若在上的投影向量为，则 D. 若与夹角为锐角，则 11. 将函数的图象先纵坐标不变，横坐标缩短为到原来的，然后向左平移个单位长度得到函数图象，则（ ） A. 是函数的一个解析式 B. 直线是函数图象的一条对称轴 C. 函数是周期为π的奇函数 D. 函数的递减区间为 第 Ⅱ 卷 三、填空题 （本题共 3 小题， 每小题 5 分， 共 15 分.） 12. 复数在复平面内对应的点所在的象限为第_______象限. 13. 已知向量，且，则_______. 14. 向量在正方形网格中的位置如图所示. 若向量与共线，则实数_________. 四、解答题 (本题共 5 小题， 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 15. 已知是虚数单位，复数． （1）当复数为实数时，求的值； （2）当复数为纯虚数时，求的值. 16. 已知向量. （1）若，求的值； （2）记，求函数的最大值和最小值及对应的的值. 17. 已知平面向量，， ， ，且与的夹角为． （1）求； （2）若与垂直，求的值. 18. 已知函数． （1）求函数的解析式，并求其图象的对称轴方程； （2）求函数在上的单调递增区间． 19. 如图所示，某小区为美化环境，准备在小区内的草坪的一侧修建一条直路OC，另一侧修建一条休闲大道.休闲大道的前一段是函数的图象的一部分，后一段是函数的图象，图象的最高点为，且，垂足为点F. （1）求函数的解析式； （2）若在草坪内修建如图所示的矩形儿童乐园PMFE，点P在曲线OD上且横坐标为，点E在OC上，求儿童乐园的面积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $