15.2 二次根式的乘除运算 课时作业 2026-2027学年冀教版数学 八年级上册

**基本信息** 初中数学冀教版八年级上册“二次根式的乘除运算”同步练，以“基础巩固-能力提升-拓展探究-综合应用”分层设计，实现从概念理解到综合应用的递进，培养运算能力与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|乘法/除法法则、最简二次根式概念|判断题（5题）、选择（10题）、填空（10题），聚焦单一知识点辨析与简单运算| |能力提升|化简、分母有理化、简单应用|解答题（10题），整合乘除运算与化简，如长方形面积计算| |拓展探究|规律探究、取值范围讨论|阅读材料题（3题），通过分母有理化技巧迁移、等式规律归纳，发展推理意识| |综合应用|跨知识点综合、实际问题|综合题（7题），结合面积计算、大小比较，强化数学眼光与应用意识|

15.2　二次根式的乘除运算 冀教版数学八年级上册　第十五章　二次根式　课时作业 一、学习目标 1．理解并掌握二次根式的乘法法则与除法法则，能正确进行乘除运算； 2．会用积的算术平方根、商的算术平方根的性质化简二次根式； 3．理解最简二次根式的概念，会把一个二次根式化成最简二次根式； 4．掌握分母有理化的基本方法，能解决与乘除运算有关的简单实际问题。 二、知识梳理 知识点1　二次根式的乘法法则 　（，） 文字表述：两个算术平方根的积，等于它们被开方数之积的算术平方根。使用时必须注意两个被开方数都是非负数这一前提。 法则可以推广到三个或三个以上的二次根式相乘，例如 。 当根号前面有系数时，把系数与系数相乘、被开方数与被开方数相乘，即 　（，） 【例题1】计算：（1）；（2）。 【解】（1）原式 ；（2）原式 。 知识点2　积的算术平方根的性质 　（，） 这是乘法法则的逆用，主要用来化简二次根式：把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）开出来，移到根号外面。 例如：；（）。 化简技巧：把被开方数分解成“一个完全平方数（式）与另一个因数（式）的积”，且要取最大的完全平方因数。如化简 ，应写成 ，而不是 （还没化到最简）。 知识点3　二次根式的除法法则 　（，） 逆用即得商的算术平方根的性质： 　（，） 注意除法中被除式的被开方数可以为 0，而除式的被开方数必须大于 0，否则分母为 0，式子无意义。 【例题2】计算：（1）；（2）。 【解】（1）原式 ；（2）原式 。 知识点4　最简二次根式 满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式： （1）被开方数中不含分母（也不含小数）； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 例如：、（）都是最简二次根式；而 （含能开得尽方的因数 4）、（被开方数含分母）、（被开方数是小数）都不是最简二次根式。 运算结果必须化为最简二次根式，这是二次根式运算的基本要求，也是考试评分的重要依据。 知识点5　分母有理化 把分母中的根号化去，叫做分母有理化。基本方法是分子、分母同乘一个适当的二次根式： 　（） 【例题3】化简：（1）；（2）。 【解】（1）原式 ；（2）原式 。 易错提醒：①运用法则前先看被开方数是否非负；②化简要一次到位，结果必须是最简二次根式；③根号外的系数不要漏乘或漏开方，如 ，当 时等于 。 三、基础巩固 （一）判断题（正确的打“√”，错误的打“×”） 1．。（　　） 2．因为 ，所以 。（　　） 3． 是最简二次根式。（　　） 4．。（　　） 5． 是最简二次根式。（　　） （二）选择题 1．计算 的结果是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 2．下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 3．化简 的结果是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 4．计算 的结果是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 5．化简 的结果是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 6．若等式 成立，则 应满足（　　） A．　　B．　　C．　　D． 为任意实数 7．计算 的结果是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 8．下列计算错误的是（　　） A．　　B． C．　　D． 9．已知 ，，化简 的结果是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 10．一个长方形的面积为 cm²，宽为 cm，则它的长为（　　） A． cm　　B． cm　　C． cm　　D． cm （三）填空题 1．计算： ＿＿＿＿＿＿。 2．化简： ＿＿＿＿＿＿。 3．计算： ＿＿＿＿＿＿。 4．计算： ＿＿＿＿＿＿。 5．化简： ＿＿＿＿＿＿。 6．当 时，化简 ＿＿＿＿＿＿。 7．计算： ＿＿＿＿＿＿。 8．若等式 成立，则 的取值范围是 ＿＿＿＿＿＿。 9．边长为 cm 的正方形的面积是 ＿＿＿＿＿＿ cm²。 10．计算： ＿＿＿＿＿＿。 四、能力提升 （四）解答题 1．计算下列各式。 （1）；　　（2）； （3）；　　（4）。 2．计算下列各式。 （1）；　　（2）； （3）；　　（4）。 3．把下列各式化成最简二次根式。 （1）；　　（2）；　　（3）；　　（4）。 4．把下列各式分母有理化。 （1）；　　（2）；　　（3）；　　（4）。 5．计算：。 6．已知 ，，化简下列各式。 （1）；　　（2）；　　（3）；　　（4）。 7．如图，一个长方形的长为 cm，宽为 cm，求这个长方形的面积。 第 7 题图 8．已知一个长方形的面积为 cm²，长为 cm，求它的宽。 9．比较 与 的大小，并写出比较的过程。 10．已知 ，且 ，求 的值。 五、拓展探究 1．阅读下面的材料，然后解答问题。 在进行二次根式的化简时，如果分母中含有二次根式，可以把分子、分母同乘同一个二次根式，使分母中的根号化去，这种方法叫做分母有理化。例如： 请你用上面的方法化简下列各式： （1）；　　（2）；　　（3）。 2．观察下面的等式，探究其中的规律。 ，，，…… （1）请你写出第 4 个等式； （2）用含正整数 （）的式子表示上面的规律，并验证它的正确性。 3．已知等式 成立，求 的取值范围；再讨论：若只要求式子 有意义， 的取值范围又是什么？ 六、错例辨析 下面是四位同学的解题片段，请你判断对错，并写出正确的解法。 错例1　。 【诊断】把被开方数相乘错记成相加。【正解】。 错例2　。 【诊断】二次根式没有“和的算术平方根等于算术平方根的和”这样的性质，乘法法则不能照搬到加法上。【正解】，它已是最简二次根式。 错例3　。 【诊断】化简没有进行到底， 还能继续化简，说明分解时没有取最大的完全平方因数。【正解】。 错例4　当 时，（）。 【诊断】忘记 ，直接把 移到了根号外，结果的符号出错。【正解】。 七、综合应用 1．计算：。 2．已知 ，，计算 ，并求当 ， 时该式的值。 3．判断 与 是否相等，并说明理由。 4．一块正方形铁皮的面积为 平方分米，它的边长为 分米。若把这块铁皮的面积扩大到原来的 4 倍，它的边长变为原来的多少倍？如果扩大到原来的 9 倍呢？ 5．一个长方形的长为 cm，宽为 cm。 （1）求这个长方形的面积； （2）求与这个长方形面积相等的正方形的边长（结果化为最简二次根式）。 6．计算：。 7．已知 （），求 的值，并计算 。 参考答案与解析 （一）判断题 1．√ 　【解析】，，两边相等，符合乘法法则。 2．× 　【解析】乘法法则要求两个被开方数都非负。 与 都没有意义，所以不能这样拆开。正确的算法是先算括号内的积：。 3．× 　【解析】，含有能开得尽方的因数 9，，故 不是最简二次根式。 4．√ 　【解析】，符合除法法则。 5．× 　【解析】被开方数 中含有分母，不符合最简二次根式的条件，。 （二）选择题 1．【答案】B 【解析】。注意被开方数相乘，不是相加。故选 B。 2．【答案】D 【解析】A 中 ，含能开尽方的因数；B 中被开方数含分母；C 中被开方数是小数（，实质仍含分母）；D 中 10 分解为 ，不含能开尽方的因数，也不含分母。故选 D。 3．【答案】A 【解析】。选项 C 虽数值相等，但 仍可化简，不是最简形式。故选 A。 4．【答案】A 【解析】。故选 A。 5．【答案】A 【解析】。故选 A。 6．【答案】B 【解析】乘法法则要求两个被开方数均非负，即 且 。当 时，等式两边都为 0，仍成立，所以 。故选 B。 7．【答案】B 【解析】。系数相乘、被开方数相乘。故选 B。 8．【答案】C 【解析】A：，正确；B：，正确；C：，结果应为正数，错误；D：，正确。故选 C。 9．【答案】B 【解析】。因为 ，所以 ，原式 。故选 B。 10．【答案】A 【解析】长 （cm）。故选 A。 （三）填空题 1．【答案】 【解析】。注意结果要化为最简二次根式。 2．【答案】 【解析】。 3．【答案】 【解析】。 4．【答案】 【解析】。 5．【答案】 【解析】。约分不要遗漏。 6．【答案】 【解析】，因为 ，所以原式 。 7．【答案】 【解析】。 8．【答案】 【解析】要使等式成立，必须 且 ，即 且 ，取公共部分得 。 9．【答案】 【解析】面积 。 10．【答案】 【解析】。 （四）解答题 1．【解】（1）原式 。 （2）原式 。 （3）原式 。 （4）原式 。 2．【解】（1）原式 。 （2）原式 。 （3）原式 。 （4）原式 。 3．【解】（1）。 （2）。 （3）。 （4）。 4．【解】（1）。 （2）。 （3）。 （4）。 5．【解】原式 。 【点拨】连乘连除时，可以把被开方数集中到一个根号内先约分，再开方，这样最简便。 6．【解】（1）。 （2）（因为 ）。 （3）。 （4）（因为 ）。 7．【解】面积 （cm²）。 答：这个长方形的面积是 cm²。 8．【解】宽 （cm）。 答：它的宽是 cm。 9．【解】，。 因为 ，所以 ，即 。 【点拨】比较两个带系数的二次根式的大小，常用的方法是把根号外的系数移到根号内，再比较被开方数的大小。 10．【解】因为 ，所以 。 把 代入，得原式 。 （五）拓展探究 1．【解】（1）。 （2）。 （3）。 2．【解】（1）第 4 个等式是 。 （2）规律为：（ 为正整数，且 ）。 验证：左边 ； 右边 。左边 右边，所以规律成立。 3．【解】要使 成立，必须两个被开方数都非负， 即 且 ，解得 。 若只要求 有意义，只需 ，此时 与 同号或其中一个为 0， 即 或 。 【点拨】这说明积的算术平方根性质的成立范围，比“积非负”这一条件要严格，使用时不能随意拆分。 （六）综合应用 1．【解】原式 。 2．【解】（因为 ）。 当 ， 时，原式 。 3．【解】相等。理由如下：； 。两式的结果都是 ，所以它们相等。 4．【解】面积扩大到原来的 4 倍后，边长为 ，是原来的 2 倍； 面积扩大到原来的 9 倍后，边长为 ，是原来的 3 倍。 答：边长分别变为原来的 2 倍和 3 倍。 5．【解】（1）面积 （cm²）。 （2）设正方形的边长为 cm（），则 ，所以 （cm）。 答：长方形的面积是 12 cm²，与它面积相等的正方形的边长是 cm。 6．【解】原式 。 7．【解】由 两边平方得 。 所以 。 八、课堂小结 1．乘除运算的核心是两条法则：、，使用的前提是被开方数非负（作除数时必须为正）。 2．法则正用可以“合二为一”进行运算，逆用可以“一分为二”进行化简，两个方向都要熟练。 3．一切运算的结果都要化成最简二次根式：被开方数不含分母、不含能开得尽方的因数或因式。 4．遇到分母含根号，就用分母有理化；遇到根号内含分母，就先用商的算术平方根拆开再有理化。 第 页 / 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $