15.1 二次根式 课时作业 2026-2027学年冀教版数学 八年级上册

**基本信息** 初中数学同步练，新授课使用，覆盖二次根式概念、有意义条件、双重非负性及两个基本性质，分层设计科学，通过“基础巩固-能力提升-拓展探究-综合应用”路径强化知识理解与应用，培养抽象能力、运算能力及应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|单一知识点|判断题、选择题、填空题辨析概念，强化双重非负性等基础考点| |能力提升|综合知识点|解答题结合数轴、三角形三边关系，深化性质应用与符号判断| |拓展探究|高阶思维|阅读材料题、数形结合问题，培养推理意识与创新思维| |综合应用|实际情境|正方形面积计算等问题，体现数学与现实联系，发展应用意识|

15.1　二次根式 冀教版数学八年级上册　第十五章　二次根式　课时作业 一、学习目标 1．了解二次根式的概念，能准确判断一个式子是否为二次根式； 2．掌握二次根式有意义的条件，会求式子中字母的取值范围； 3．理解二次根式的双重非负性，并能利用它解决求值问题； 4．掌握两个基本性质，能进行简单的化简与计算。 二、知识梳理 知识点1　二次根式的概念 一般地，我们把形如 （）的式子叫做二次根式，其中符号“”中的“根号”叫做二次根号， 叫做被开方数。 判断要点：一个式子是二次根式，必须同时满足两个条件——①根指数是 2（通常省略不写）；②被开方数是非负数（可以是一个数，也可以是含字母的式子）。两个条件缺一不可。 例如：，， 都是二次根式； 的根指数是 3，它是三次根式，不是二次根式； 的被开方数是负数，这个式子没有意义。 知识点2　二次根式有意义的条件 二次根式 有意义的条件是：被开方数 。求字母的取值范围时，常见有以下三种情形。 （1）只含二次根式：由“被开方数非负”列不等式。如 有意义，则 ，解得 。 （2）二次根式在分母上：既要被开方数非负，又要分母不为 0，因此被开方数必须大于 0。如 有意义，则 ，解得 。 （3）二次根式与分式同时出现：几个条件要同时满足，取公共部分。如 有意义，则 且 ，解得 且 。 【例题1】求下列各式中 的取值范围：（1）；（2）。 【解】（1）由 ，得 ；（2）由 且 ，得 且 。 知识点3　二次根式的双重非负性 二次根式 中隐含着两个非负性：一是被开方数非负，即 ；二是二次根式的值非负，即 。这一性质简称“双重非负性”。 常用结论：若几个非负数的和等于 0，则每一个非负数都等于 0。常见的非负数有：、、。例如由 可得 且 。 【例题2】已知 ，求 的值。 【解】由非负性得 ，，所以 ，，故 。 知识点4　性质1：一个非负数的算术平方根的平方 　（） 例如：，，。 知识点5　性质2：一个数的平方的算术平方根 即：当 时，；当 时，。 例如：，，（因为 ）。 知识点6　两个性质的区别 （1） 是先开方后平方，字母 必须满足 ，结果直接是 ； （2） 是先平方后开方，字母 可以取任意实数，结果是 ，需要先判断 的正负再去掉绝对值符号。 【例题3】化简：。 【解】因为 ，所以 ，故 。 【例题4】已知 ，化简 。 【解】因为 ，所以 ，，原式 。 易错提醒：① 的结果一定是非负数，绝不能直接写成 ；②化简 时，一定要先判断 的符号；③ 表示 的相反数，它是非正数，不要与 混淆。 三、基础巩固 （一）判断题（正确的打“√”，错误的打“×”） 1． 是二次根式。（　　） 2．对任意实数 ，都有 。（　　） 3．。（　　） 4．当 时， 有意义。（　　） 5． 是一个负数。（　　） （二）选择题 1．下列各式中，一定是二次根式的是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 2．若二次根式 有意义，则 的取值范围是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 3．若式子 有意义，则 满足（　　） A．　　B．　　C． 且 　　D． 4．计算 的结果是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 5．化简 的结果是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 6．已知 ，则 等于（　　） A．　　B．　　C．　　D． 7．若 ，则 的值为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 8．下列计算正确的是（　　） A．　　B． C．　　D． 9．下列各式中，字母 可以取任意实数的是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 10．若 ，则 的取值范围是（　　） A．　　B．　　C．　　D． （三）填空题 1．当 ＿＿＿＿＿＿ 时，二次根式 有意义。 2．当 ＿＿＿＿＿＿ 时，二次根式 有意义。 3．计算： ＿＿＿＿＿＿； ＿＿＿＿＿＿。 4．化简： ＿＿＿＿＿＿； ＿＿＿＿＿＿。 5．若 ，则 的取值范围是 ＿＿＿＿＿＿。 6．若 ，则 ＿＿＿＿＿＿。 7．一个正方形的面积是 ，则它的边长是 ＿＿＿＿＿＿。 8．当 时，二次根式 的值等于 ＿＿＿＿＿＿。 9．若 与 都有意义，则 ＿＿＿＿＿＿。 10．已知 ，则 ＿＿＿＿＿＿。 四、能力提升 （四）解答题 1．求下列各式中字母的取值范围。 （1）；　　（2）； （3）；　　（4）。 2．计算下列各式。 （1）；　　（2）； （3）；　　（4）。 3．已知 ，化简：。 4．已知 ，求 的值。 5．已知 ，求 的值。 6．若 ，求 的取值范围，并化简 。 7．实数 在数轴上的位置如图所示，化简：。 第 23 题图 8．已知 、、 是△ABC 的三边长，化简：。 9．当 取何值时，代数式 有最小值？最小值是多少？ 10．已知实数 满足 ，且 ，求 的值。 11．已知 、 为实数，且 ，求 的值。 12．先化简，再求值：，其中 。 五、拓展探究 1．阅读下面的解题过程，然后解答问题。 因为 ，所以化简 时，可先把被开方数写成完全平方式： 再根据 的取值范围去掉绝对值符号。请你仿照上面的方法解答： （1）化简 ； （2）当 时，化简 ； （3）当 时，化简 。 2．对于任意实数 ，比较 与 的大小，并说明理由。 3．小明在解题时遇到这样一个问题：已知 满足 ，求 的取值范围。 他是这样思考的：原式可化为 ，而 表示数轴上 与 1 之间的距离， 表示 与 4 之间的距离，而 1 与 4 之间的距离恰好是 3。请你按照这个思路，写出 的取值范围，并说明理由。 六、综合应用 1．已知 ，求 的值。 2．若式子 有意义，求 的值，并求出这个式子的值。 3．若 ，求 的取值范围。 4．已知 满足 ，求 的取值范围。 5．一个正方形花坛的面积是 平方米，则它的边长为 米。 （1）当 时，求这个花坛的边长； （2）若要使花坛的边长不小于 3 米，求 的取值范围。 参考答案与解析 （一）判断题（正确的打“√”，错误的打“×”） 1． 是二次根式。（　　） 2．对任意实数 ，都有 。（　　） 3．。（　　） 4．当 时， 有意义。（　　） 5． 是一个负数。（　　） （二）选择题 1．【答案】C 【解析】判断二次根式要看两点：根指数为 2，被开方数非负。A 的根指数是 3，不符合；B 中被开方数 ，无意义；D 中 的符号不确定，不一定有意义；C 中 ，所以 恒成立，一定是二次根式。故选 C。 2．【答案】B 【解析】由二次根式有意义的条件得 ，解得 。注意这里的“”不能丢，因为 是有意义的。故选 B。 3．【答案】C 【解析】式子中既有二次根式又有分式，两个条件要同时满足：由 得 ；由分母 得 。取公共部分，得 且 。故选 C。 4．【答案】B 【解析】。负号在括号内且指数为偶数，结果为正。故选 B。 5．【答案】B 【解析】。也可先算 ，再开方得 。切记结果非负。故选 B。 6．【答案】C 【解析】因为 ，所以 ，，所以原式 。由 知 ，结果为正，符合非负性。故选 C。 7．【答案】C 【解析】因为 ，，两个非负数的和为 0，所以它们都等于 0，即 ，，得 ，，所以 。故选 C。 8．【答案】C 【解析】A 中 ，错误；B 中 ，错误；C 中 ，符合性质 （），正确；D 中 ，错误。故选 C。 9．下列各式中，字母 可以取任意实数的是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 10．若 ，则 的取值范围是（　　） A．　　B．　　C．　　D． （三）填空题 1．【答案】 【解析】由 ，得 ，解得 。 2．【答案】 【解析】由 ，两边同除以 （不等号方向改变），得 。当 时 有意义，所以能取到 0。 3．【答案】； 【解析】；。注意系数 2 也要平方。 4．【答案】； 【解析】；因为 ，所以 ，故 。 5．【答案】 【解析】因为 ，要使 ，必须有 ，解得 。 6．【答案】 【解析】，，两者的和为 0，所以 ，，得 ，，故 。 7．【答案】 【解析】设正方形的边长为 （），则 ，所以 。边长是正数，舍去负值。 8．【答案】 【解析】把 代入，得 。 （四）解答题 1．【解】（1）由 ，得 ，解得 。 （2）因为 ，所以 恒成立，故 可以取任意实数。 （3）二次根式在分母上，被开方数必须大于 0，由 ，解得 。 （4）由 得 ；由 得 。所以 且 。 2．【解】（1）。 （2）。 （3）。 （4）因为 ，所以 ，故 。 3．【解】因为 ，所以 ，。 所以原式 。 【点拨】化简 型的式子，第一步一定是判断括号内式子的符号，第二步才是去绝对值符号。 4．【解】因为 ，，且两者的和为 0， 所以 ，，解得 ，。 所以 。 5．【解】由二次根式有意义的条件得 且 ，即 且 ，所以 。 把 代入，得 。所以 。 6．【解】因为 ，由 得 ，所以 。 又因为 ，所以 ，所以 。 7．【解】由数轴可知 ，所以 ，。 所以原式 。 8．【解】因为 、、 是三角形的三边长，由三角形的三边关系可知： ，即 ；，即 。 所以原式 。 9．【解】因为 ，所以 。 当且仅当 ，即 时，代数式取得最小值，最小值是 2。 10．【解】由 ，得 ，所以 。 又由 ，得 或 。因为 ，所以 舍去，故 。 11．【解】因为 ，，且两者的和为 0， 所以 ，，解得 ，。所以 。 12．【解】原式 。当 时，，， 所以原式 。故所求值为 5。 【点拨】本题化简的结果与 无关（当 时结果恒为 5），这正体现了绝对值化简中“分类讨论”的价值。 （五）拓展探究 1．【解】（1）。 （2）当 时，，所以 。 （3）。 因为 ，所以 ，， 所以原式 。 2．【解】当 时，，此时 ； 当 时，，此时 。 综上所述，对任意实数 ，都有 ，当且仅当 时取等号。 3．【解】原式可化为 。 当 时，原式 ，由 得 ，与 矛盾，舍去； 当 时，原式 ，恒成立； 当 时，原式 ，由 得 ，与 矛盾，舍去。 所以 的取值范围是 。 【点拨】从数轴上看，只有当点 落在 1 与 4 之间（含端点）时，它到 1 和到 4 的距离之和才恰好等于 3；若点在区间外，距离之和一定大于 3。数形结合能让分类讨论的结果更直观。 （六）综合应用 1．【解】三个非负数的和为 0，则每个都为 0，所以 ，，， 解得 ，，。所以 ，故 。 2．【解】由 有意义得 ；由 有意义得 ，即 。 两者同时成立，所以 。此时原式 。 3．【解】因为 ，要使 ，必须 ，解得 。 【点拨】 说明 ， 说明 。本题中 ，所以 ，同样得 。 4．【解】原式化为 。 当 时，原式 ，由 得 ，与 矛盾，舍去； 当 时，原式 ，恒成立； 当 时，原式 ，由 得 ，与 矛盾，舍去。 所以 的取值范围是 。 5．【解】（1）当 时，边长为 （米）。 （2）由 ，且 ，两边平方得 。所以 的取值范围是 （单位：平方米）。 七、课堂小结 1．本节的一切结论都源于一个词——非负性。被开方数非负，决定了字母的取值范围；算术平方根非负，决定了 必须写成 。 2．两个性质容易混淆，可以这样记： 是“先开方、后平方”，运算的前提是 ，结果原样返回； 是“先平方、后开方”， 取任何实数都可以，结果要戴上绝对值的“帽子”。 3．化简含字母的根式，解题的第一步永远是判断符号，第二步才是去绝对值。养成这个习惯，可以避免本章中一大半的错误。 本课时小结：二次根式的核心是“非负性”。被开方数非负决定了字母的取值范围，根式的值非负决定了化简 时必须加绝对值符号。把这两条抓牢，本节的题目就都能顺利解决。 第 页 / 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $