3.5 共点力的平衡（重难点专练）物理人教版必修第一册

可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 3.5共点力的平衡（题型突破） 题型01单个物体的静态平衡衡问题 1.【答案】D 2.【答案】B 3.【答案】C 4.【答案】C 】题型02多个物体的静态平衡问题 5.【答案】C 6.【答案】C 7.【答案】D 8.【答案】B 题型03三维空间的静态平衡问题 9.【答案】A 10.【答案】C 11.【答案】D 12.【答案】C 题型04动态平衡（解析法） 13.【答案】A 14.【答案】C 15.【答案】D 16.【答案】B 1/3 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ■题型05动态平衡（图解法） 17.【答案】D 18.【答案】D 19.【答案】D 20.【答案】A 题型06动态平衡（相似三角形法） 21.【答案】D 22.【答案】C 23.【答案】C 24.【答案】C 题型07动态平衡（拉密定理法、正弦定理法或辅助圆法） 25.【答案】A 26.【答案】D 27.【答案】B 28.【答案】C 题型08活结和死结问题 29.【答案】D 30.【答案】D 31.【答案】B 32.【答案】A 题型09动杆和定杆的问题 33.【答案】A 213 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 34.【答案】D 35.【答案】B 36.【答案】B 1题型10 平衡问题中的临界和极值问题 37.【答案】D 38.【答案】B 39.【答案】B 40.【答案】B 313 3.5 共点力的平衡（题型突破） 题型01 单个物体的静态平衡问题 题型02 多个物体的静态平衡问题 题型03 三维空间的静态平衡问题 题型04 动态平衡（解析法） 题型05 动态平衡（图解法） 题型06 动态平衡（相似三角形法） 题型07 动态平衡（拉密定理法、正弦定理法或辅助圆法） 题型08 活结和死结问题 题型09 动杆和定杆的问题 题型10 平衡问题中的临界和极值问题 ▌题型01 单个物体的静态平衡问题 1.处理平衡问题的常用方法 合成法 物体在三个共点力作用下处于平衡状态时，任意两个力的合力与第三个力大小相等、方向相反 分解法 物体在三个共点力作用下处于平衡状态时，将某个力按作用效果分解，则其分力与其他两个力分别平衡 正交 分解法 物体在多个共点力作用下处于平衡状态，应用正交分解法，则有 ∑Fx＝F1x＋F2x＋F3x＋…＋Fnx＝0， ∑Fy＝F1y＋F2y＋F3y＋…＋Fny＝0 矢量 三角形法 如果三个力首尾相接恰好构成三角形，则这三个力的合力为零。矢量三角形法可以充分利用几何边角关系求解平衡问题 2.应用共点力平衡条件解题的步骤 (1)明确研究对象(物体、质点或绳的结点等)。 (2)分析研究对象所处的运动状态，判定其是否处于平衡状态。 (3)对研究对象进行受力分析，并画出受力示意图。 (4)建立合适的坐标系，应用共点力的平衡条件，选择恰当的方法列出平衡方程。 (5)求解方程，并讨论结果。 1．如图所示，用三根轻绳将质量为m的物块悬挂在空中，已知ac和bc与竖直方向的夹角分别为30°和60°，重力加速度为g，则（　　） A．ac绳中的拉力大小是 B．ac绳中的拉力大小是 C．bc绳中的拉力大小是 D．bc绳中的拉力大小是 2．如图所示，轻质细绳AO和BO相交于O点，其A、B端是固定的，在O点用轻质细绳悬挂质量为m的物体，平衡时，AO水平，BO与水平方向的夹角为，已知细绳AO和BO能承受的最大拉力相同，AO和BO的力大小分别为和。则（　　） A． B． C．与的合力大小为mg，合力方向竖直向下 D．增大物体的质量，最先断的是细绳AO 3．如图所示，质量为的木块能够静止于倾角为的固定斜面上，现对木块施加大小为（为重力加速度大小）、沿水平方向且平行于斜面的恒定拉力，木块恰好能在斜面上匀速运动。则木块与斜面间的动摩擦因数为（　　） A． B． C． D． 4．图甲中挂钩架的相邻挂钩间距为15cm，图乙中单肩包的宽度约35cm，将包挂在挂钩上，要使包的背带受力最小，则背带之间的挂钩个数应为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ▌题型02 多个物体的静态平衡问题 系统内所有物体均处于平衡状态（静止或匀速直线运动），合外力都为0，多利用整体法和隔离法。通常的做法是： 1.先用整体法求出外部作用力； 2.再隔离其中一个物体，求出物体间内力。 5．如图所示，斜面体C静置于水平地面上，物块A悬挂在绳OP、OQ的结点O处，OP水平，OQ与竖直方向的夹角为53°且跨过轻质光滑定滑轮与斜面体C上质量为 的物块B相连，斜面体C的质量，倾角为53°，B与C之间、C与地面之间的动摩擦因数均为。改变物块A的质量，使A、B、C始终保持静止，设滑动摩擦力与最大静摩擦力相等，g取，，，当A的质量达到最大时，B与斜面间的摩擦力大小为（     ） A． B． C． D． 6．如图所示，小球A、B大小相同，质量分别为和，竖直悬挂在丝线下方。现整个装置受到水平向右的风力影响（两球受到的风力大小相等），则两球达到平衡后的位置可能是（　　） A． B． C． D． 7．如图所示有1、2、3三个质量为的木块，a、b为两个劲度系数为的轻弹簧。三个木块按如图连接并处于静止状态，其中水平桌面光滑，弹簧a处于原长。现施加水平外力F缓慢向左拉动木块1，直至木块3刚好脱离地面。g取，下列说法正确的是（   ） A．初态时，木块3受到的支持力为 B．初态时，弹簧b处于压缩状态，压缩量为 C．当木块3刚离开地面时，木块1向左移动了 D．当木块3刚离开地面时，弹簧a左端点向左移动了 8．小区休闲区用6个同款装饰小球串接成挂饰，小球的质量均为，彼此由等长轻质细绳相连。挂饰上端系在天花板上，末端用细绳水平拉紧固定在竖直墙面上，整体保持静止。已知最上方细绳与竖直方向的夹角，重力加速度为。下列判断正确的是（     ） A．天花板处细绳的拉力大小为 B．墙面处水平细绳的拉力大小为 C．第1、2两个小球之间细绳拉力的水平分力大于第2、3两个小球之间细绳拉力的水平分力 D．墙面处水平细绳对小球6和墙面的拉力大小相等，方向相反，是一对作用力与反作用力 ▌题型03 三维空间的静态平衡问题 把所有空间力全部拆解到 x、y、z 三轴，将立体问题转化为三个独立的一维平衡问题。 空间力标准分解步骤： 第一步：将空间斜力投影到竖直z轴和水平xy平面； 第二步：将水平面内的分力再次分解为 x、y 方向分力； 第三步：分别对三轴列合力为零方程。 9．如图所示（俯视图），完全相同的四个足球彼此相互接触叠放在水平地面上处于静止状态，每个足球的质量为m，不考虑转动情况，下列说法正确的是（重力加速度为g）（     ） A．下面每个足球对地面的压力均为 B．下面的足球不受地面的摩擦力 C．下面每个足球受地面的摩擦力均为 D．上面足球对下面每个足球的压力均为 10．如图所示，三根完全相同的刚性柱竖直固定在水平地面上的、、三点上，三点恰好在一个等边三角形的三个顶点上，三角形的边长为。三根完全相同的轻绳一端分别固定在、、三点上，另一端拴接在一起，结点为。现把质量为的重物用轻绳悬挂在结点处，静止时点到平面的距离为，重物不接触地面，当地重力加速度为。则绳中的张力为（    ） A． B． C． D． 11．如图所示为一家用晾衣筐，晾衣筐的底部为半径为的圆形，在晾衣筐的边沿上固定有四条长度均为、质量可忽略的挂绳，相邻挂绳之间的距离相同。若晾衣筐和其内衣物的总质量，重力加速度为，则关于挂绳上的拉力为（　　） A． B． C． D． 12．如图所示，由光滑刚性杆组成的正四面体框架放置在水平面上，三条棱上各套有一个质量为m的小球。若侧面的棱与地面的夹角为θ，结合正四面体的特点，由几何关系可知，。三个小球通过相同的轻质弹簧连接，静止时恰好处于同一水平面。已知弹簧始终在弹性限度内，劲度系数为k，重力加速度大小为g，则正确的是（　　） A．球受到棱的弹力为 B．球受到棱的弹力为 C．每根弹簧的伸长量为 D．每根弹簧的伸长量为 ▌题型04 动态平衡（解析法） 方法：对研究对象进行受力分析，先画出受力示意图，再根据物体的平衡条件，得到因变量与自变量的关系表达式(通常要用到三角函数)，最后根据自变量的变化确定因变量的变化。 13．如图所示，表面光滑的半圆柱体固定在水平面上，小物块在拉力作用下从点沿圆弧缓慢上滑至点，此过程中始终沿圆弧的切线方向，则（　　） A．拉力逐渐变小 B．拉力先变大后变小 C．小物块受到的支持力逐渐变小 D．小物块受到的支持力先变小后变大 14．有一个固定直角支架AOB，AO水平放置，表面粗糙，OB竖直，表面光滑．AO上套有小环P，OB上套有小环Q，两环质量均为m，两环由一根质量可忽略、不可伸长的细绳相连，并在某一位置平衡（如图所示）。现将P环向左移动一小段距离，两环再次达到平衡，那么将移动后的平衡状态和原来的平衡状态比较，AO杆对P环的支持力F和摩擦力Ff的变化情况是（     ） A．F变小，Ff变大 B．F不变，Ff变大 C．F不变，Ff变小 D．F变大，Ff变小 15．某同学用如图所示的装置，将重物从地面沿竖直方向缓慢向上拉起。在该同学缓慢后退的过程中，下列说法正确的是（　　） A．绳子对人的拉力FT逐渐变大 B．地面对人的支持力FN逐渐变小 C．地面对人的摩擦力Ff先变小再变大 D．地面对人的作用力F逐渐变大 16．如图所示，甲、乙通过细绳将物体拉到一定高度时静止，此时绕过定滑轮的细绳在左右两侧与竖直方向的夹角相等。若乙缓慢释放细绳的同时保持手中细绳沿水平方向，甲始终保持静止，忽略滑轮与绳子间的摩擦和绳子质量，则下列说法正确的是（     ） A．乙手中细绳的拉力不断增大 B．甲手中细绳的拉力不断减小 C．甲受到的地面支持力不变 D．甲受到地面的摩擦力在增大 ▌题型05 动态平衡（图解法） 1.特点：物体受三个共点力，有一个力是恒力、另有一个力方向不变的问题。 2.方法： 　　 17．如图所示，细线一端固定在横梁上，另一端系着一个小球。给小球施加一力F，小球平衡后细线与竖直方向的夹角为θ，现保持θ不变，将F由图示位置逆时针缓慢转至竖直方向的过程中，则下列说法正确的是（    ） A．F的最小值为 B．F的最小值为 C．绳的拉力一直变大 D．F先变小后变大 18．如图所示，在倾角为α的斜面上，放一质量为m的小球，小球和斜坡及挡板间均无摩擦，当挡板绕O点逆时针缓慢地转向水平位置的过程中，则有（     ） A．斜面对球的支持力逐渐增大 B．挡板对小球的弹力先增大后减小 C．当挡板竖直时，它对小球的弹力大小为 D．当挡板垂直于接触面时，它对小球的弹力最小 19．《墨经》中记载古代建造房屋过程中，通过斜面提升重物，如图所示，不可伸长的轻绳跨过光滑的定滑轮拴住重物，若斜面体斜面光滑，在缓慢拉升重物的过程中（未到滑轮正下方），斜面体始终静止，则（　　） A．重物受到的支持力增大 B．重物受到的拉力减小 C．斜面受到地面的支持力不变 D．斜面受到地面的摩擦力减小 20．红旗渠被世人称为“人工天河”。某次建设活动中工程师在左侧较高的山峰平台和右侧较为低矮的山坡上分别装了两个定滑轮。简化示意图如图所示，工人通过细绳和将有一定质量的建筑材料由点沿方向缓慢提升到左侧平台上。绳始终与左侧山峰坡面平行，两绳初态夹角小于，在货物运到平台的过程中（   ） A．绳上的拉力越来越大 B．绳上的拉力先变小再变大 C．绳上的拉力越来越大 D．绳上的拉力先变大再变小 ▌题型06 动态平衡（相似三角形法） 1.特点：在三力平衡问题中，如果有一个力是恒力，另外两个力方向都变化，且题目给出了空间几何关系。2.方法：①对物体在某个位置作受力分析；②以两个变力为邻边，利用平行四边形定则，作平行四边形；③找出相似的力的矢量三角形和空间几何三角形；④利用相似三角形对应边的比例关系确定力的变化。 21．如图所示，质量为M的半球形物体B静止在粗糙的水平面上，B的半球面光滑，下表面粗糙，在半球面顶端固定一轻质细杆，在细杆顶端固定光滑小滑轮C，质量为m，可看做质点的小球A，通过细线绕过滑轮，在水平外力F作用下沿半球表面缓慢上升，物体B始终静止在水平面上，在此过程中，下列说法中正确的是（     ） A．半球面对小球A的支持力逐渐增大 B．细线对小球A的拉力F逐渐增大 C．水平面对B的支持力先减小后增大 D．水平面对B的摩擦力逐渐减小 22．如图所示，质量为m的物体由两根轻绳吊起悬在空中处于静止状态，右侧绳子的另一端固定在高墙处的A点且与竖直方向的夹角为α，左侧绳子由人拉着且与竖直方向的夹角为β，现人站立不动而把手中的长绳缓慢释放，对于在物体接触墙前的过程中，下列说法正确的是（   ） A．α有可能会大于β B．两绳子的拉力都变大 C．地面对人的摩擦力变小 D．地面对人的支持力变小 23．如图，在水平地面上竖直固定一个光滑的圆环，一个质量为的小球套在环上，圆环最高点有一小孔，细线上端被人牵着，下端穿过小孔与小球相连，使球静止于处，此时细线与竖直方向的夹角为，缓慢拉动细线，小球由经过缓慢移至点前，则（　　） A．细绳的拉力不可能等于小球的重力 B．细绳的拉力不可能等于圆环对小球的弹力 C．细绳的长度减小，细绳的拉力减小 D．细绳的长度减小，细绳的拉力不变 24．如图所示，四分之一圆柱体P放在水平地面上，圆心O的正上方有一个大小可忽略的光滑定滑轮A，一根轻绳跨过定滑轮A，一端质量为m的小球连接置于圆柱体P上，另一端系在固定竖直杆上的B点。一质量为的钩码挂在AB间的轻绳上，整个装置处于静止状态。除圆柱体P与地面之间的摩擦以外，其它摩擦不计，绳的总长不变，则（　　） A．若将B点缓慢移动到C点，且小球未动，在这个过程中，轻绳对钩码的拉力减小 B．若将竖直杆缓慢向右移动，且小球未动，在这个过程中，地面对圆柱体P的支持力不变 C．若减小钩码的质量，整个装置再次处于静止状态时，小球依然处于圆柱体P上，则轻绳的张力变大 D．若增大钩码的质量，整个装置再次处于静止状态时，小球依然处于圆柱体P上，则圆柱P对小球的支持力减小 ▌题型07 动态平衡（拉密定理法、正弦定理法或辅助圆法） 1.特点：物体受三个共点力，这三个力其中一个力为恒力，另外两个力都变化，且变化两个力的夹角不变。 2.拉密定理： 25．如图所示为运送货物常用的“L”形小推车，其底板与支架垂直。在运送圆柱状货物时保持“L”形小推车底板与地面夹角60°，到达指定地点后，固定O点并使小推车绕O点顺时针缓慢转动到底板水平为止，在小推车缓慢转动过程中支架对货物的弹力为N1，底板对货物的弹力为N2，不计货物与小推车间的摩擦，下列说法正确的是（　　） A．N2逐渐增大 B．N2先减小后增大 C．N1始终比N2大 D．货物对小推车的作用力先增大后减小 26．如图所示，把倾角为30°的粗糙斜面体C置于粗糙水平地面上，质量为2m的物块A通过跨过光滑轻定滑轮的轻绳与质量为m的小球B连接，O点为轻绳与定滑轮的接触点，初始时，小球B在水平向右的拉力F作用下，使轻绳OB段与水平拉力F的夹角为，A、B均保持静止状态。现改变拉力F，并保持夹角大小不变，将小球B向右上方缓慢拉起至OB水平，物块A始终保持静止状态。g为重力加速度，下列关于该过程的说法正确的是（　　） A．拉力F一直变小 B．拉力F最小值为 C．物块A所受斜面体C的摩擦力一直变小 D．斜面体C所受地面摩擦力先变大后变小 27．如图所示，用两根等长的细绳将一匀质圆柱体悬挂在竖直木板的点，将木板以底边为轴向后方缓慢转动直至水平，绳与木板之间的夹角保持不变，忽略圆柱体与木板之间的摩擦，在转动过程中，下列说法正确的是（　　） A．圆柱体对木板的压力先减小后增大 B．圆柱体对木板的压力先增大后减小 C．两根细绳对圆柱体拉力的合力先增大后减小 D．两根细绳对圆柱体拉力的合力先减小后增大 28．沿轴线切除一部分后的圆柱形材料水平放置，该材料的横截面如图所示，O为其圆心，，质量为m的均匀圆柱形木棒沿轴线放置在“V”形槽中。初始时，A、O、C三点在同一水平线上，不计一切摩擦，重力加速度为g。在材料绕轴线逆时针缓慢转过90°角的过程中，下列说法正确的是（　　） A．槽面OA对木棒的弹力一直增大 B．槽面OB对木棒的弹力先增大后减小 C．槽面OA对木棒的弹力的最大值为 D．槽面OA与槽面OB对木棒弹力的合力先减小后增大 ▌题型08 活结和死结问题 1．“活结”模型 模型结构 模型解读 模型特点 “活结”把绳子分为两段，且可沿绳移动，“活结”一般由绳跨过滑轮或绳上挂一光滑挂钩而形成，绳子因“活结”而弯曲，但实际为同一根绳 “活结”绳子上的张力大小处处相等 常见模型 力学关系和几何关系 端点A上下移动 挡板MN左右移动 ① ② 因为d和l都不变，所以根据可知θ也不变，则T1和T2也不变。 因为MN左右移动时，d变化，而l不变，根据可知θ将变化，则T1和T2也变。 常见模型 力学关系和几何关系 端点A左右移动 两物体质量比变 ①角度：θ4=2θ3=2θ2=4θ1 ②拉力：T=MQg ③2MQcosθ2=MP 两物体质量比不变， 左右移动轻绳端点， 角度都不变。 角度变， 但让保持原有倍数关系。 2．“死结”模型 模型结构 模型解读 模型特点 “死结”把绳子分为两段，且不可沿绳子移动，“死结”两侧的绳因结而变成两根独立的绳 死结两侧的绳子张力不一定相等 29．如图所示，轻质不可伸长的晾衣绳左端固定在晾衣架上O点，右端系在a点，光滑小滑轮悬挂一衣服可在轻绳上滑动。先将轻绳右端沿竖直杆缓慢上移到b点，然后再沿水平杆缓慢移至c点，整个过程衣服始终没与地面和杆接触，设轻绳张力为F，滑轮左侧轻绳与竖直方向夹角为θ，则轻绳右端沿杆（　　） A．由a→b的过程，F不变，θ不变，衣服的位置不变 B．由a→b的过程，F变大，θ不变，衣服的位置升高 C．由b→c的过程，F变大，θ变小，衣服的位置下降 D．由b→c的过程，F变小，θ变小，衣服的位置下降 30．如图甲所示，水平轻杆BC一端用光滑铰链固定在竖直墙上，另一端通过细绳AC固定，∠ACB＝30°，在轻杆的C端用轻绳CD悬挂一个重物P；如图乙所示，水平轻杆HG一端固定在竖直墙上，另一端G处固定一个光滑定滑轮（重力不计），一端固定的轻绳EG跨过定滑轮拴接一个与P质量相等的重物Q，∠EGH＝30°。AC、EG两轻绳的拉力大小之比为（　　） A．1：1 B．：1 C．：2 D．2：1 31．如图所示，一根轻绳绕过光滑定滑轮C，一端固定在天花板的A点，另一端吊着一个装有砂子的砂桶乙，装有砂子的砂桶甲通过光滑挂钩挂在轻绳上，稳定后挂钩下降至B点。通过增加桶中砂子的质量，可以改变砂桶的总重，则下列判断正确的是（　　） A．若AB绳和BC绳间夹角小于120°，则乙桶的总重大于甲桶的总重 B．若AB绳和BC绳间夹角等于120°，则乙桶的总重等于甲桶的总重 C．若缓慢增大甲桶的总重，则轻绳对乙桶的拉力减小 D．若缓慢增大甲桶的总重，则轻绳对乙桶的拉力增大 32．如图所示，不可伸长的轻绳一端固定在竖直墙上的O点，另一端穿过轻质光滑小环悬挂物体甲，轻质光滑小环拴牢在另一轻绳上，通过光滑定滑轮与物体乙相连。当系统平衡后，O点处轻绳与竖直墙的夹角=30°，取sin15°=，cos15°=，则甲、乙两物体的质量之比为（　　） A．（）∶2 B．（）∶2 C．2∶1 D．1∶3 ▌题型09 动杆和定杆的问题 1．动杆模型 模型结构 模型解读 模型特点 轻杆用光滑的转轴或铰链连接，轻杆可围绕转轴或铰链自由转动 当杆处于平衡时，杆所受的弹力方向一定沿杆 2．定杆模型 模型结构 模型解读 模型特点 轻杆被固定在接触面上，不发生转动 杆所受的弹力方向不一定沿杆，可沿任意方向 33．甲图中，轻杆AB一端与墙上的光滑的铰链连接，另一端用轻绳系住，绳、杆之间夹角为30°，在B点下方悬挂质量为m的重物。乙图中，轻杆CD一端插入墙内，另一端装有小滑轮，现用轻绳绕过滑轮挂住质量为m的重物，绳、杆之间夹角也为30°，甲、乙中杆都垂直于墙，则下列说法中正确的是（     ） A．甲乙两图中杆中弹力之比： B．甲图中杆的弹力更小 C．两根杆中弹力方向均沿杆方向 D．若甲、乙中轻绳能承受最大拉力相同，则物体加重时，乙中轻绳更容易断裂 34．如图甲的玩具吊车，其简化结构如图乙所示，杆AB固定于平台上且不可转动，其B端固定一光滑定滑轮；轻杆CD用铰链连接于平台，可绕C端自由转动，其D端连接两条轻绳，一条轻绳绕过滑轮后悬挂一质量为m的重物，另一轻绳缠绕于电动机转轴O上，通过电动机的牵引控制重物的起落。某次吊车将重物吊起至一定高度后保持静止，此时各段轻绳与杆之间的夹角如图乙所示，其中两杆处于同一竖直面内，OD绳沿竖直方向，γ = 37°，θ = 90°，重力加速度大小为g，则（   ）    A．α一定等于β B．AB杆受到绳子的作用力大小为 C．CD杆受到绳子的作用力方向沿∠ODB的角平分线方向，大小为mg D．当启动电动机使重物缓慢下降时，AB杆受到绳子的作用力将逐渐增大 35．如图所示，质量均为的A、B两滑块一端与两轻杆相连，另一端放在粗糙水平面上，两轻杆等长，杆与滑块、杆与杆间均用光滑铰链连接，在两杆上方施加一竖直向下的力，使整个装置处于静止状态，设杆与水平面间的夹角为。下列说法正确的是（　　） A．当一定时，越小，滑块对地面的压力越大 B．当一定时，越大，轻杆受力越小 C．当一定时，越大，滑块与地面间的摩擦力越大 D．当一定时，越小，可施加的力越大 36．如图，为细绳拉某重物M的简化装置简化图，轻杆OA为可绕O点且垂直于纸面的轴转动的杆，AB为轻绳，重物M平衡时角度关系如图所示，轻杆OA在a、b、c图中受力分别为F1、F2、F3的大小关系正确的是（　　） A． B． C． D． ▌题型10 平衡问题中的临界和极值问题 临界问题是指当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”“刚能”“恰好”等语言叙述；极值问题是指在力的变化过程中的最大值和最小值问题。 1.数学分析法： 根据物体的平衡条件列方程，在解方程时利用数学知识求极值。通常用到的数学知识有二次函数求极值、讨论公式求极值、三角函数求极值以及几何法求极值等。 2.物理分析法： 根据平衡条件作出力的矢量图，若只受三个力，则这三个力能构成封闭矢量三角形，然后根据矢量图进行动态分析，确定最大值和最小值。　 37．如图所示，半圆柱体乙置于水平地面上，圆柱体甲静置于乙和竖直挡板之间，开始时两柱体柱心连线与水平方向夹角为。现将挡板缓慢向右移动，直到甲刚要落至地面，乙始终保持静止。已知甲和乙的半径均为，质量分别为和，柱体的曲面光滑，则乙与地面间动摩擦因数的最小值为（已知）（　　） A． B． C． D． 38．小朋友在玩积木时，将两个相同的匀质方形积木放在粗糙的水平地面上。将匀质球形积木放在两方形积木之间，截面图如图所示，接触点分别为A、B。他发现当两方形积木之间的距离大到一定程度时，球形积木放上后两方形积木将发生滑动。已知球形积木的质量为方形积木质量的2倍，它们之间的摩擦忽略不计，球形积木的半径为R，两方形积木与地面之间的动摩擦因数均为0.5，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。则球形积木放上后，要使两方形积木不发生滑动，两方形积木之间的最远距离为（　　） A．1.6R B． C．1.2R D． 39．某同学用一根绳子斜向上拉着重力的书箱在水平地面上滑行，绳子与水平面夹角为，书箱与地面之间的动摩擦因数，该同学想找到一个省力的角度，于是将从逐渐增大到，此过程中书箱一直保持匀速直线运动。则在此过程中（　　） A．书箱所受的摩擦力始终为 B．书箱所受的摩擦力始终小于 C．当时最省力 D．绳子对书箱作用力一直减小 40．如图甲为通过传送带输送小麦的示意图，麦粒离开传送带后可视为竖直下落，形成的麦堆为圆锥状，如图乙所示。麦粒间的动摩擦因数为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，单个麦粒的体积、形状均近似相同，不考虑麦粒的滚动。已知麦堆的总体积为 ，圆锥体的体积公式为 (其中r为圆锥体底面圆半径，h为圆锥体的高度)，则麦堆高度的最大值为（　　） A． B． C． D． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.5 共点力的平衡（题型突破） 题型01 单个物体的静态平衡问题 题型02 多个物体的静态平衡问题 题型03 三维空间的静态平衡问题 题型04 动态平衡（解析法） 题型05 动态平衡（图解法） 题型06 动态平衡（相似三角形法） 题型07 动态平衡（拉密定理法、正弦定理法或辅助圆法） 题型08 活结和死结问题 题型09 动杆和定杆的问题 题型10 平衡问题中的临界和极值问题 ▌题型01 单个物体的静态平衡问题 1.处理平衡问题的常用方法 合成法 物体在三个共点力作用下处于平衡状态时，任意两个力的合力与第三个力大小相等、方向相反 分解法 物体在三个共点力作用下处于平衡状态时，将某个力按作用效果分解，则其分力与其他两个力分别平衡 正交 分解法 物体在多个共点力作用下处于平衡状态，应用正交分解法，则有 ∑Fx＝F1x＋F2x＋F3x＋…＋Fnx＝0， ∑Fy＝F1y＋F2y＋F3y＋…＋Fny＝0 矢量 三角形法 如果三个力首尾相接恰好构成三角形，则这三个力的合力为零。矢量三角形法可以充分利用几何边角关系求解平衡问题 2.应用共点力平衡条件解题的步骤 (1)明确研究对象(物体、质点或绳的结点等)。 (2)分析研究对象所处的运动状态，判定其是否处于平衡状态。 (3)对研究对象进行受力分析，并画出受力示意图。 (4)建立合适的坐标系，应用共点力的平衡条件，选择恰当的方法列出平衡方程。 (5)求解方程，并讨论结果。 1．如图所示，用三根轻绳将质量为m的物块悬挂在空中，已知ac和bc与竖直方向的夹角分别为30°和60°，重力加速度为g，则（　　） A．ac绳中的拉力大小是 B．ac绳中的拉力大小是 C．bc绳中的拉力大小是 D．bc绳中的拉力大小是 【答案】D 【详解】根据平衡条件可得， 故选D。 2．如图所示，轻质细绳AO和BO相交于O点，其A、B端是固定的，在O点用轻质细绳悬挂质量为m的物体，平衡时，AO水平，BO与水平方向的夹角为，已知细绳AO和BO能承受的最大拉力相同，AO和BO的力大小分别为和。则（　　） A． B． C．与的合力大小为mg，合力方向竖直向下 D．增大物体的质量，最先断的是细绳AO 【答案】B 【详解】A．对O点进行受力分析：O点受AO的拉力、BO的拉力、下方绳子的拉力（大小等于，方向竖直向下），根据共点力平衡条件正交分解：水平方向： 代入得，故A错误； B．竖直方向： 得 ，故B正确； C．O点平衡，三个力合力为0，因此与的合力与下方拉力（大小，竖直向下）等大反向，即合力大小为，方向竖直向上，故C错误； D．由，可知，两绳最大拉力相同，增大物体质量时，先达到最大拉力，因此BO最先断，故D错误。 故选B。 3．如图所示，质量为的木块能够静止于倾角为的固定斜面上，现对木块施加大小为（为重力加速度大小）、沿水平方向且平行于斜面的恒定拉力，木块恰好能在斜面上匀速运动。则木块与斜面间的动摩擦因数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】将木块的重力沿平行于斜面向下和垂直于斜面向下的方向进行分解，有， 木块匀速运动时，受到的摩擦力大小 因为木块和斜面间的弹力，又因为 解得 故选C。 4．图甲中挂钩架的相邻挂钩间距为15cm，图乙中单肩包的宽度约35cm，将包挂在挂钩上，要使包的背带受力最小，则背带之间的挂钩个数应为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】设悬挂后背包带与竖直方向的夹角为θ，背包带上的拉力为F，根据平衡条件可得 解得 在单肩包的质量一定的条件下，为了使悬挂时背包带受力最小，则cosθ最大，θ最小，由于相邻挂钩之间的距离为15cm，图乙中单肩包的宽度约为35cm，故使背包带跨过3个挂钩时，此时背包带受力最小。故选C。 ▌题型02 多个物体的静态平衡问题 系统内所有物体均处于平衡状态（静止或匀速直线运动），合外力都为0，多利用整体法和隔离法。通常的做法是： 1.先用整体法求出外部作用力； 2.再隔离其中一个物体，求出物体间内力。 5．如图所示，斜面体C静置于水平地面上，物块A悬挂在绳OP、OQ的结点O处，OP水平，OQ与竖直方向的夹角为53°且跨过轻质光滑定滑轮与斜面体C上质量为 的物块B相连，斜面体C的质量，倾角为53°，B与C之间、C与地面之间的动摩擦因数均为。改变物块A的质量，使A、B、C始终保持静止，设滑动摩擦力与最大静摩擦力相等，g取，，，当A的质量达到最大时，B与斜面间的摩擦力大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】若B所受的最大静摩擦力为 则绳OQ的最大拉力为 对结点O受力分析有 解得 对A、B、C整体，地面对C的摩擦力大小为 地面对C的支持力大小为 又 解得 所以物块A质量的最大值为，此时绳OQ的拉力为 对结点O受力分析有 解得 故选C。 6．如图所示，小球A、B大小相同，质量分别为和，竖直悬挂在丝线下方。现整个装置受到水平向右的风力影响（两球受到的风力大小相等），则两球达到平衡后的位置可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设每个球受水平风力为F，将两球看成一个整体，根据受力平衡可得，上边绳与竖直方向夹角满足 以B球为对象，根据受力平衡可得，下边绳与竖直方向夹角满足 则有，即 故选C。 7．如图所示有1、2、3三个质量为的木块，a、b为两个劲度系数为的轻弹簧。三个木块按如图连接并处于静止状态，其中水平桌面光滑，弹簧a处于原长。现施加水平外力F缓慢向左拉动木块1，直至木块3刚好脱离地面。g取，下列说法正确的是（   ） A．初态时，木块3受到的支持力为 B．初态时，弹簧b处于压缩状态，压缩量为 C．当木块3刚离开地面时，木块1向左移动了 D．当木块3刚离开地面时，弹簧a左端点向左移动了 【答案】D 【详解】AB．初始状态，对木块2受力分析可知，根据平衡条件可得 解得初始状态弹簧的压缩量为 对木块3受力分析则有 解得，故AB错误； C．当木块3刚好离开地面时，对木块3受力分析可得 解得弹簧的伸长量 则木块1向左移动了，故C错误； D．对木块2、3整体分析可知，细线的拉力大小为 对木块1受力分析可知，弹簧a的弹力大小为 弹簧a的伸长量为 弹簧a左端点向左移动了，故D正确。 故选D。 8．小区休闲区用6个同款装饰小球串接成挂饰，小球的质量均为，彼此由等长轻质细绳相连。挂饰上端系在天花板上，末端用细绳水平拉紧固定在竖直墙面上，整体保持静止。已知最上方细绳与竖直方向的夹角，重力加速度为。下列判断正确的是（     ） A．天花板处细绳的拉力大小为 B．墙面处水平细绳的拉力大小为 C．第1、2两个小球之间细绳拉力的水平分力大于第2、3两个小球之间细绳拉力的水平分力 D．墙面处水平细绳对小球6和墙面的拉力大小相等，方向相反，是一对作用力与反作用力 【答案】B 【详解】A．以6个小球组成的整体为研究对象，在竖直方向上受重力和天花板细绳拉力的竖直分力平衡，有 解得天花板处细绳的拉力大小，故A错误； B．以6个小球组成的整体为研究对象，在水平方向上受墙面细绳拉力和天花板细绳拉力的水平分力平衡，有，故B正确； C．以第2、3、4、5、6号小球及它们之间的细绳为整体，水平方向受第1、2号小球间细绳拉力的水平分力（向左）和墙面细绳拉力（向右）而平衡，则 同理以第3、4、5、6号小球及它们之间的细绳为整体，可知第2、3号小球间细绳拉力的水平分力 所以，故C错误； D．墙面处水平细绳对小球6的拉力，施力物体是细绳，受力物体是小球6；细绳对墙面的拉力，施力物体是细绳，受力物体是墙面。这两个力方向相反（一个向右，一个向左），但施力物体相同，不是一对作用力与反作用力，故D错误。 故选B。 ▌题型03 三维空间的静态平衡问题 把所有空间力全部拆解到 x、y、z 三轴，将立体问题转化为三个独立的一维平衡问题。 空间力标准分解步骤： 第一步：将空间斜力投影到竖直z轴和水平xy平面； 第二步：将水平面内的分力再次分解为 x、y 方向分力； 第三步：分别对三轴列合力为零方程。 9．如图所示（俯视图），完全相同的四个足球彼此相互接触叠放在水平地面上处于静止状态，每个足球的质量为m，不考虑转动情况，下列说法正确的是（重力加速度为g）（     ） A．下面每个足球对地面的压力均为 B．下面的足球不受地面的摩擦力 C．下面每个足球受地面的摩擦力均为 D．上面足球对下面每个足球的压力均为 【答案】A 【详解】A．把四个球作为整体，根据平衡条件有 解得与地面接触的每个球受到的支持力大小为 根据牛顿第三定律可知，下面每个足球对地面的压力均为，故A正确； B．四个球的球心连线构成了正四面体，对下面的一个球受力分析，如图 其中F为上面球对下面球弹力，因此下面的足球会受地面的摩擦力，否则不会静止．故B错误 CD．根据几何关系可求，F与mg的夹角的余弦值为，正弦值为，根据平衡条件有， 联立解得，，故CD错误。 故选A。 10．如图所示，三根完全相同的刚性柱竖直固定在水平地面上的、、三点上，三点恰好在一个等边三角形的三个顶点上，三角形的边长为。三根完全相同的轻绳一端分别固定在、、三点上，另一端拴接在一起，结点为。现把质量为的重物用轻绳悬挂在结点处，静止时点到平面的距离为，重物不接触地面，当地重力加速度为。则绳中的张力为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】三根轻绳与点组成的空间结构关于等边三角形中心轴对称，故三根绳的张力大小相等，设为，等边三角形中心到顶点的距离为 点到固定点所在平面的距离为 则 绳与竖直方向夹角为，有= 对结点和重物整体，水平方向三根绳张力的分量相互抵消，竖直方向平衡，有 解得，故C正确。 故选C。 11．如图所示为一家用晾衣筐，晾衣筐的底部为半径为的圆形，在晾衣筐的边沿上固定有四条长度均为、质量可忽略的挂绳，相邻挂绳之间的距离相同。若晾衣筐和其内衣物的总质量，重力加速度为，则关于挂绳上的拉力为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图，对点进行受力分析，其受到向上的拉力以及四根挂绳对其的拉力，大小均为。将点下方部分视作一个整体，由于挂绳质量可忽略，因此 由共点力平衡知点所受合力为零，因此竖直方向满足 由几何关系求得 推导出 故选D。 12．如图所示，由光滑刚性杆组成的正四面体框架放置在水平面上，三条棱上各套有一个质量为m的小球。若侧面的棱与地面的夹角为θ，结合正四面体的特点，由几何关系可知，。三个小球通过相同的轻质弹簧连接，静止时恰好处于同一水平面。已知弹簧始终在弹性限度内，劲度系数为k，重力加速度大小为g，则正确的是（　　） A．球受到棱的弹力为 B．球受到棱的弹力为 C．每根弹簧的伸长量为 D．每根弹簧的伸长量为 【答案】C 【详解】根据题意可知，每根弹簧的伸长量相等，设每根弹簧的伸长量为∆x，设两根弹簧对小球的弹力的合力为F，则有 对其中一个小球受力分析，如图所示 根据平衡条件可得，所以，故选C。 ▌题型04 动态平衡（解析法） 方法：对研究对象进行受力分析，先画出受力示意图，再根据物体的平衡条件，得到因变量与自变量的关系表达式(通常要用到三角函数)，最后根据自变量的变化确定因变量的变化。 13．如图所示，表面光滑的半圆柱体固定在水平面上，小物块在拉力作用下从点沿圆弧缓慢上滑至点，此过程中始终沿圆弧的切线方向，则（　　） A．拉力逐渐变小 B．拉力先变大后变小 C．小物块受到的支持力逐渐变小 D．小物块受到的支持力先变小后变大 【答案】A 【详解】对滑块受力分析，如下图所示    根据平衡条件有， 小物块从B点沿圆弧缓慢上滑至O点，在此过程中由图可知，角逐渐增大，则拉力F逐渐变小，小物块受的支持力逐渐变大。 故选A。 14．有一个固定直角支架AOB，AO水平放置，表面粗糙，OB竖直，表面光滑．AO上套有小环P，OB上套有小环Q，两环质量均为m，两环由一根质量可忽略、不可伸长的细绳相连，并在某一位置平衡（如图所示）。现将P环向左移动一小段距离，两环再次达到平衡，那么将移动后的平衡状态和原来的平衡状态比较，AO杆对P环的支持力F和摩擦力Ff的变化情况是（     ） A．F变小，Ff变大 B．F不变，Ff变大 C．F不变，Ff变小 D．F变大，Ff变小 【答案】C 【详解】 对、整体受力分析，在竖直方向上，整体受到总重力和杆的支持力，根据平衡条件有 由于不变，故不变； 对小环受力分析，设细绳与竖直方向的夹角为，在水平方向上，杆对的支持力 再对整体在水平方向分析，杆对的摩擦力与杆对的支持力大小相等，即 当环向左移动时，减小，减小，故变小。 故选C。 15．某同学用如图所示的装置，将重物从地面沿竖直方向缓慢向上拉起。在该同学缓慢后退的过程中，下列说法正确的是（　　） A．绳子对人的拉力FT逐渐变大 B．地面对人的支持力FN逐渐变小 C．地面对人的摩擦力Ff先变小再变大 D．地面对人的作用力F逐渐变大 【答案】D 【详解】A．对重物分析可知，绳子受的拉力等于重物 的重力，可知绳子对人的拉力FT不变，A错误； B．对人分析可知，可知随绳子与地面的夹角α的减小，地面对人的支持力FN逐渐变大，B错误； C．地面对人的摩擦力，可知随绳子与地面的夹角α的减小，Ff逐渐变大，C错误； D．地面对人的作用力，因FN和Ff都逐渐增大，可知F逐渐变大，D正确。 故选D。 16．如图所示，甲、乙通过细绳将物体拉到一定高度时静止，此时绕过定滑轮的细绳在左右两侧与竖直方向的夹角相等。若乙缓慢释放细绳的同时保持手中细绳沿水平方向，甲始终保持静止，忽略滑轮与绳子间的摩擦和绳子质量，则下列说法正确的是（     ） A．乙手中细绳的拉力不断增大 B．甲手中细绳的拉力不断减小 C．甲受到的地面支持力不变 D．甲受到地面的摩擦力在增大 【答案】B 【详解】AB．设甲所拉细绳的左半边绳与竖直方向的夹角为，甲所拉细绳的张力为，乙所拉细绳的张力为，重物的质量为，对甲、乙所拉细绳的结点作受力分析，有， 当乙缓慢释放细绳时，在逐渐减小，故、都在减小，故A错误，B正确； CD．由以上分析可知，减小，由于甲不动，故甲所拉细绳的右半边绳与竖直方向的夹角不变，设为，甲的重力为，地面对甲的支持力为，对甲受力分析易得， 在减小、不变的情况下，可知增大，减小，故CD错误。故选B。 ▌题型05 动态平衡（图解法） 1.特点：物体受三个共点力，有一个力是恒力、另有一个力方向不变的问题。 2.方法： 　　 17．如图所示，细线一端固定在横梁上，另一端系着一个小球。给小球施加一力F，小球平衡后细线与竖直方向的夹角为θ，现保持θ不变，将F由图示位置逆时针缓慢转至竖直方向的过程中，则下列说法正确的是（    ） A．F的最小值为 B．F的最小值为 C．绳的拉力一直变大 D．F先变小后变大 【答案】D 【详解】对小球，受力分析，如图所示 将F由图示位置逆时针缓慢转至竖直方向的过程中，在力的平行四边形中，可以看到F先变小再变大，当F与细线垂直时F最小，则F的最小值为，绳的拉力T一直变小。 故选D。 18．如图所示，在倾角为α的斜面上，放一质量为m的小球，小球和斜坡及挡板间均无摩擦，当挡板绕O点逆时针缓慢地转向水平位置的过程中，则有（     ） A．斜面对球的支持力逐渐增大 B．挡板对小球的弹力先增大后减小 C．当挡板竖直时，它对小球的弹力大小为 D．当挡板垂直于接触面时，它对小球的弹力最小 【答案】D 【详解】AB．对小球进行受力分析如图所示 是挡板对球的支持力，是斜面对球的支持力，由图可知，缓慢转动挡板至与水平位置的过程中，先减小后增大，一直减小，故AB错误； C．根据几何关系可得当挡板竖直时，它对小球的弹力大小为，故C错误； D．由图可知，当挡板与斜面垂直时，它对小球的弹力最小，故D正确。 故选D。 19．《墨经》中记载古代建造房屋过程中，通过斜面提升重物，如图所示，不可伸长的轻绳跨过光滑的定滑轮拴住重物，若斜面体斜面光滑，在缓慢拉升重物的过程中（未到滑轮正下方），斜面体始终静止，则（　　） A．重物受到的支持力增大 B．重物受到的拉力减小 C．斜面受到地面的支持力不变 D．斜面受到地面的摩擦力减小 【答案】D 【详解】AB．对重物受力分析，如图所示 缓慢拉升重物的过程中，重物所受重力大小方向不变，支持力的方向不变，而绳拉力的方向不断变化，根据图解法可知，重物所受支持力N不断减小，绳拉力F不断增大，故AB错误； CD．设连接重物的绳与水平面的夹角为α，对重物和斜面整体，在竖直方向有（M+m）g=Fsinα+FN 重物缓慢沿斜面向上移动过程中，α不断增大，sinα增大，拉力F不断增大，所以FN不断减小； 对斜面分析可知，地面对斜面的摩擦力（为斜面倾角），因不断减小，可知斜面受到地面的摩擦力减小，故C错误，D正确。 故选D。 20．红旗渠被世人称为“人工天河”。某次建设活动中工程师在左侧较高的山峰平台和右侧较为低矮的山坡上分别装了两个定滑轮。简化示意图如图所示，工人通过细绳和将有一定质量的建筑材料由点沿方向缓慢提升到左侧平台上。绳始终与左侧山峰坡面平行，两绳初态夹角小于，在货物运到平台的过程中（   ） A．绳上的拉力越来越大 B．绳上的拉力先变小再变大 C．绳上的拉力越来越大 D．绳上的拉力先变大再变小 【答案】A 【详解】以结点为研究对象，受力情况如图所示 根据平行四边形法则作出初状态的平行四边形，再结合矢量三角形法则可知：绳上的拉力越来越大，绳上的拉力先变小再变大。故选A。 ▌题型06 动态平衡（相似三角形法） 1.特点：在三力平衡问题中，如果有一个力是恒力，另外两个力方向都变化，且题目给出了空间几何关系。2.方法：①对物体在某个位置作受力分析；②以两个变力为邻边，利用平行四边形定则，作平行四边形；③找出相似的力的矢量三角形和空间几何三角形；④利用相似三角形对应边的比例关系确定力的变化。 21．如图所示，质量为M的半球形物体B静止在粗糙的水平面上，B的半球面光滑，下表面粗糙，在半球面顶端固定一轻质细杆，在细杆顶端固定光滑小滑轮C，质量为m，可看做质点的小球A，通过细线绕过滑轮，在水平外力F作用下沿半球表面缓慢上升，物体B始终静止在水平面上，在此过程中，下列说法中正确的是（     ） A．半球面对小球A的支持力逐渐增大 B．细线对小球A的拉力F逐渐增大 C．水平面对B的支持力先减小后增大 D．水平面对B的摩擦力逐渐减小 【答案】D 【详解】AB．设半球半径为，，。小球缓慢上升，可认为各位置均处于平衡状态。小球所受支持力沿方向，拉力沿方向，重力竖直向下，力的三角形与三角形相似，由相似关系得 整理得， 设与的夹角为，由余弦定理得 小球上升时逐渐减小，因而逐渐增大，逐渐减小。由前述结果知不变、逐渐减小，又因轻绳和光滑滑轮两侧张力相等，水平外力也逐渐减小，故AB错误； CD．以小球、半球形物体、细杆、滑轮和细绳组成的整体为研究对象，系统始终平衡。由平衡条件得竖直方向的 水平方向的。因此地面支持力保持不变；由前述分析知逐渐减小，故地面对整体的静摩擦力逐渐减小，故C错误，D正确。 故选D。 22．如图所示，质量为m的物体由两根轻绳吊起悬在空中处于静止状态，右侧绳子的另一端固定在高墙处的A点且与竖直方向的夹角为α，左侧绳子由人拉着且与竖直方向的夹角为β，现人站立不动而把手中的长绳缓慢释放，对于在物体接触墙前的过程中，下列说法正确的是（   ） A．α有可能会大于β B．两绳子的拉力都变大 C．地面对人的摩擦力变小 D．地面对人的支持力变小 【答案】C 【详解】AB．人站立不动而把手中的长绳缓慢释放，物体处于平衡状态，对物体受力分析， 由图可得 由相似三角形得 增大，不变，减小，可知T减小，F减小，故AB错误； C．对整体有，T减小，减小，则f减小，故C正确； D．对人，由平衡条件得 F减小，增大，则增大，故D错误。 故选C。 23．如图，在水平地面上竖直固定一个光滑的圆环，一个质量为的小球套在环上，圆环最高点有一小孔，细线上端被人牵着，下端穿过小孔与小球相连，使球静止于处，此时细线与竖直方向的夹角为，缓慢拉动细线，小球由经过缓慢移至点前，则（　　） A．细绳的拉力不可能等于小球的重力 B．细绳的拉力不可能等于圆环对小球的弹力 C．细绳的长度减小，细绳的拉力减小 D．细绳的长度减小，细绳的拉力不变 【答案】C 【详解】小球沿圆环缓慢上移可看作平衡状态，对小球进行受力分析，小球受重力G、拉力F、支持力N三个力，受力平衡，作出受力分析图如下 由图可知三角形OAF和三角形GFA相似，则 所以， 由于 故 将小球由A缓慢拉至B的过程，θ变大，则细线所受拉力F变小，圆环所受压力N不变，当时， 故选C。 24．如图所示，四分之一圆柱体P放在水平地面上，圆心O的正上方有一个大小可忽略的光滑定滑轮A，一根轻绳跨过定滑轮A，一端质量为m的小球连接置于圆柱体P上，另一端系在固定竖直杆上的B点。一质量为的钩码挂在AB间的轻绳上，整个装置处于静止状态。除圆柱体P与地面之间的摩擦以外，其它摩擦不计，绳的总长不变，则（　　） A．若将B点缓慢移动到C点，且小球未动，在这个过程中，轻绳对钩码的拉力减小 B．若将竖直杆缓慢向右移动，且小球未动，在这个过程中，地面对圆柱体P的支持力不变 C．若减小钩码的质量，整个装置再次处于静止状态时，小球依然处于圆柱体P上，则轻绳的张力变大 D．若增大钩码的质量，整个装置再次处于静止状态时，小球依然处于圆柱体P上，则圆柱P对小球的支持力减小 【答案】C 【详解】A．若将B点缓慢移动到C点，且小球未动，仍处于静止状态，在这个过程中，根据平衡可知，轻绳对钩码的拉力不变，始终平衡钩码的重力，故A错误； B．通过A点作一条竖直线，设该线与AB之间的距离为d，AB之间的绳长为L，对m0和m进行受力分析如图所示 根据图中的几何关系可得 若将竖直杆缓慢向右移动，且小球未动，在这个过程中变大，根据 解得 所以轻绳对小球的拉力变大；对m和圆柱体P整体分析绳拉力竖直向上分力变大，根据竖直方向平衡可知，地面对圆柱体P的支持力减小，故B错误； CD．由AB分析，设m所在位置为H，如图 对m，根据相似三角形法可得 若减小钩码的质量，整个装置再次处于静止状态时，小球向下运动，AH增加，因为mg及AO均不变，则轻绳的张力F变大；若增大钩码的质量，整个装置再次处于静止状态时，小球向上运动，但mg、AO、OH均不变，则圆柱P对小球的支持力FN不变；故C正确，D错误。故选C。 ▌题型07 动态平衡（拉密定理法、正弦定理法或辅助圆法） 1.特点：物体受三个共点力，这三个力其中一个力为恒力，另外两个力都变化，且变化两个力的夹角不变。 2.拉密定理： 25．如图所示为运送货物常用的“L”形小推车，其底板与支架垂直。在运送圆柱状货物时保持“L”形小推车底板与地面夹角60°，到达指定地点后，固定O点并使小推车绕O点顺时针缓慢转动到底板水平为止，在小推车缓慢转动过程中支架对货物的弹力为N1，底板对货物的弹力为N2，不计货物与小推车间的摩擦，下列说法正确的是（　　） A．N2逐渐增大 B．N2先减小后增大 C．N1始终比N2大 D．货物对小推车的作用力先增大后减小 【答案】A 【详解】AB．对货物受力分析如图所示 在小推车绕O点顺时针缓慢转动的过程中，α不变，β从150°逐渐减小到直角，γ从120°逐渐增大到180°，根据正弦定理可得 由此可知，sinβ逐渐增大，sinγ逐渐减小，所以N1减小，N2增大，故A正确，B错误； C．当β、γ相等时，N1等于N2，故C错误； D．小推车对货物的作用力始终与货物的重力等大反向，根据牛顿第三定律可知，货物对小推车的作用力不变，故D错误。 故选A。 26．如图所示，把倾角为30°的粗糙斜面体C置于粗糙水平地面上，质量为2m的物块A通过跨过光滑轻定滑轮的轻绳与质量为m的小球B连接，O点为轻绳与定滑轮的接触点，初始时，小球B在水平向右的拉力F作用下，使轻绳OB段与水平拉力F的夹角为，A、B均保持静止状态。现改变拉力F，并保持夹角大小不变，将小球B向右上方缓慢拉起至OB水平，物块A始终保持静止状态。g为重力加速度，下列关于该过程的说法正确的是（　　） A．拉力F一直变小 B．拉力F最小值为 C．物块A所受斜面体C的摩擦力一直变小 D．斜面体C所受地面摩擦力先变大后变小 【答案】D 【详解】AB．对B球受力分析，如图所示 由动态平衡的特点，根据正弦定理得 改变拉力，保持夹角大小不变，将小球向右上方缓慢拉起至水平，从钝角减小至，从大至，一直增大，拉力一直增大；最小就是初始状态，，则，故AB错误； C．从增至，由 可知，一直减小。初末位置拉力为， A球沿斜面的分力 可知 又根据平衡条件得 可知物块A所受斜面体C的摩擦力先减小后增大。故C错误。 C．以ABC三个物体为整体进行受力分析，地面所受静摩擦力大小等于拉力F的水平分力。对B做辅助圆如图 可知拉力F的水平分力先变大后变小，所以斜面体C所受地面摩擦力先变大后变小，故C错误，D正确。 故选D。 27．如图所示，用两根等长的细绳将一匀质圆柱体悬挂在竖直木板的点，将木板以底边为轴向后方缓慢转动直至水平，绳与木板之间的夹角保持不变，忽略圆柱体与木板之间的摩擦，在转动过程中，下列说法正确的是（　　） A．圆柱体对木板的压力先减小后增大 B．圆柱体对木板的压力先增大后减小 C．两根细绳对圆柱体拉力的合力先增大后减小 D．两根细绳对圆柱体拉力的合力先减小后增大 【答案】B 【详解】AB．设两绳子对圆柱体的拉力的合力为，木板对圆柱体的支持力为，绳子与木板夹角为，从右向左看如图所示 在矢量三角形中，根据正弦定理 在木板以直线为轴向后方缓慢转动直至水平过程中，不变，从逐渐减小到0，又 且 可得 则 可知从锐角逐渐增大到钝角，根据 由于不断减小，可知不断减小，先增大后减小，可知先增大后减小，结合牛顿第三定律可知，圆柱体对木板的压力先增大后减小，故A错误，B正确； CD．设两绳子之间的夹角为，绳子拉力为，则 可得 不变，逐渐减小，可知绳子拉力不断减小，故CD错误。 故选B。 28．沿轴线切除一部分后的圆柱形材料水平放置，该材料的横截面如图所示，O为其圆心，，质量为m的均匀圆柱形木棒沿轴线放置在“V”形槽中。初始时，A、O、C三点在同一水平线上，不计一切摩擦，重力加速度为g。在材料绕轴线逆时针缓慢转过90°角的过程中，下列说法正确的是（　　） A．槽面OA对木棒的弹力一直增大 B．槽面OB对木棒的弹力先增大后减小 C．槽面OA对木棒的弹力的最大值为 D．槽面OA与槽面OB对木棒弹力的合力先减小后增大 【答案】C 【详解】ABC．在材料绕轴线逆时针缓慢转过角的过程中，对均匀圆柱形木棒受力分析，由力的平衡条件可知，重力、槽面对木棒的弹力和槽面对木棒的弹力构成封闭的三角形，即三力的合力是零，如图所示 在转动中两弹力、的夹角不变，可知当由题图示位置逆时针缓慢转过时，槽面对木棒的弹力有最大值，最大值为 由解析图可知，槽面对木棒的弹力一直增大；槽面对木棒的弹力先增大后减小，故AB错误，C正确； D．由力平衡条件可知，槽面与槽面对木棒弹力的合力大小始终等于木棒的重力，合力大小不变，故D错误。故选C。 ▌题型08 活结和死结问题 1．“活结”模型 模型结构 模型解读 模型特点 “活结”把绳子分为两段，且可沿绳移动，“活结”一般由绳跨过滑轮或绳上挂一光滑挂钩而形成，绳子因“活结”而弯曲，但实际为同一根绳 “活结”绳子上的张力大小处处相等 常见模型 力学关系和几何关系 端点A上下移动 挡板MN左右移动 ① ② 因为d和l都不变，所以根据可知θ也不变，则T1和T2也不变。 因为MN左右移动时，d变化，而l不变，根据可知θ将变化，则T1和T2也变。 常见模型 力学关系和几何关系 端点A左右移动 两物体质量比变 ①角度：θ4=2θ3=2θ2=4θ1 ②拉力：T=MQg ③2MQcosθ2=MP 两物体质量比不变， 左右移动轻绳端点， 角度都不变。 角度变， 但让保持原有倍数关系。 2．“死结”模型 模型结构 模型解读 模型特点 “死结”把绳子分为两段，且不可沿绳子移动，“死结”两侧的绳因结而变成两根独立的绳 死结两侧的绳子张力不一定相等 29．如图所示，轻质不可伸长的晾衣绳左端固定在晾衣架上O点，右端系在a点，光滑小滑轮悬挂一衣服可在轻绳上滑动。先将轻绳右端沿竖直杆缓慢上移到b点，然后再沿水平杆缓慢移至c点，整个过程衣服始终没与地面和杆接触，设轻绳张力为F，滑轮左侧轻绳与竖直方向夹角为θ，则轻绳右端沿杆（　　） A．由a→b的过程，F不变，θ不变，衣服的位置不变 B．由a→b的过程，F变大，θ不变，衣服的位置升高 C．由b→c的过程，F变大，θ变小，衣服的位置下降 D．由b→c的过程，F变小，θ变小，衣服的位置下降 【答案】D 【详解】如图所示 根据几何关系可知，两段绳子间的夹角为2θ，由平衡条件得 解得 设绳子总长为L，两杆间距离为s，由几何关系得 则 由a→b的过程，L、s都不变，则θ不变，绳子张力F不变，衣服的位置升高；由b→c的过程，s变小，则θ变小，cosθ变大，F变小，衣服的位置下降。 故选D。 30．如图甲所示，水平轻杆BC一端用光滑铰链固定在竖直墙上，另一端通过细绳AC固定，∠ACB＝30°，在轻杆的C端用轻绳CD悬挂一个重物P；如图乙所示，水平轻杆HG一端固定在竖直墙上，另一端G处固定一个光滑定滑轮（重力不计），一端固定的轻绳EG跨过定滑轮拴接一个与P质量相等的重物Q，∠EGH＝30°。AC、EG两轻绳的拉力大小之比为（　　） A．1：1 B．：1 C．：2 D．2：1 【答案】D 【详解】对图甲，以点为研究对象，受力分析如图1所示， 由平衡条件有 对图乙，EG和GF是同一根没有打结的绳，且定滑轮光滑，两轻绳的拉力相等 都等于 故 故选D。 31．如图所示，一根轻绳绕过光滑定滑轮C，一端固定在天花板的A点，另一端吊着一个装有砂子的砂桶乙，装有砂子的砂桶甲通过光滑挂钩挂在轻绳上，稳定后挂钩下降至B点。通过增加桶中砂子的质量，可以改变砂桶的总重，则下列判断正确的是（　　） A．若AB绳和BC绳间夹角小于120°，则乙桶的总重大于甲桶的总重 B．若AB绳和BC绳间夹角等于120°，则乙桶的总重等于甲桶的总重 C．若缓慢增大甲桶的总重，则轻绳对乙桶的拉力减小 D．若缓慢增大甲桶的总重，则轻绳对乙桶的拉力增大 【答案】B 【详解】AB．对乙桶进行分析，根据平衡条件有 令B点AB绳和BC绳间夹角为，对甲进行分析，根据平衡条件有 解得 可知，当AB绳和BC绳间夹角小于120°，则乙桶的总重小于甲桶的总重，当AB绳和BC绳间夹角等于120°，则乙桶的总重等于甲桶的总重，故A错误，B正确； CD．结合上述可知，若缓慢增大甲桶的总重，则轻绳对乙桶的拉力大小仍然等于乙桶的重力，即轻绳对乙桶的拉力不变，故CD错误。 故选B。 32．如图所示，不可伸长的轻绳一端固定在竖直墙上的O点，另一端穿过轻质光滑小环悬挂物体甲，轻质光滑小环拴牢在另一轻绳上，通过光滑定滑轮与物体乙相连。当系统平衡后，O点处轻绳与竖直墙的夹角=30°，取sin15°=，cos15°=，则甲、乙两物体的质量之比为（　　） A．（）∶2 B．（）∶2 C．2∶1 D．1∶3 【答案】A 【详解】悬挂物体甲的轻绳的拉力等于甲所受的重力，该轻绳在光滑小环处形成的夹角为 悬挂物体乙的轻绳的拉力等于乙所受的重力，设该轻绳与悬挂甲的轻绳的上下两段形成的夹角分别为，，则根据正弦定理可得所以有 根据正交分解法有整理可得故选A。 ▌题型09 动杆和定杆的问题 1．动杆模型 模型结构 模型解读 模型特点 轻杆用光滑的转轴或铰链连接，轻杆可围绕转轴或铰链自由转动 当杆处于平衡时，杆所受的弹力方向一定沿杆 2．定杆模型 模型结构 模型解读 模型特点 轻杆被固定在接触面上，不发生转动 杆所受的弹力方向不一定沿杆，可沿任意方向 33．甲图中，轻杆AB一端与墙上的光滑的铰链连接，另一端用轻绳系住，绳、杆之间夹角为30°，在B点下方悬挂质量为m的重物。乙图中，轻杆CD一端插入墙内，另一端装有小滑轮，现用轻绳绕过滑轮挂住质量为m的重物，绳、杆之间夹角也为30°，甲、乙中杆都垂直于墙，则下列说法中正确的是（     ） A．甲乙两图中杆中弹力之比： B．甲图中杆的弹力更小 C．两根杆中弹力方向均沿杆方向 D．若甲、乙中轻绳能承受最大拉力相同，则物体加重时，乙中轻绳更容易断裂 【答案】A 【详解】C．甲图中的杆有铰链相连，可以自由转动，弹力方向沿杆方向，乙图中的杆一端插在墙里，不能自由转动，弹力方向不一定沿杆方向，而是沿两根绳合力的反方向。故C错误； AB．甲、乙图受力分析如图 图甲中，以B点为研究对象，根据平衡条件可得 图乙中，以D点为研究对象，受到重物的拉力、上边绳的拉力和CD杆的弹力，由于拉力F'和重力的夹角为120°且大小均为mg，则由几何知识可得 甲乙两图中杆中弹力之比 。故A正确，B错误； D．甲图中轻绳的拉力为 乙图中轻绳的拉力 若甲、乙中轻绳能承受最大拉力相同，则物体加重时，甲中轻绳更容易断裂。故D错误。 故选A。 34．如图甲的玩具吊车，其简化结构如图乙所示，杆AB固定于平台上且不可转动，其B端固定一光滑定滑轮；轻杆CD用铰链连接于平台，可绕C端自由转动，其D端连接两条轻绳，一条轻绳绕过滑轮后悬挂一质量为m的重物，另一轻绳缠绕于电动机转轴O上，通过电动机的牵引控制重物的起落。某次吊车将重物吊起至一定高度后保持静止，此时各段轻绳与杆之间的夹角如图乙所示，其中两杆处于同一竖直面内，OD绳沿竖直方向，γ = 37°，θ = 90°，重力加速度大小为g，则（   ）    A．α一定等于β B．AB杆受到绳子的作用力大小为 C．CD杆受到绳子的作用力方向沿∠ODB的角平分线方向，大小为mg D．当启动电动机使重物缓慢下降时，AB杆受到绳子的作用力将逐渐增大 【答案】D 【详解】A．杆AB固定于平台，杆力不一定沿杆，同一条绳的力大小相等，其合力一定在其角平分线上，由于杆力不一定沿杆，所以α不一定等于β，故A错误； B．如图所示    两个力所作力的平行四边形为菱形，根据平衡条件可得 根据几何关系可得 对角线为，则AB杆受到绳子的作用力大小为 故B错误； C．根据题意D端连接两条轻绳，两条轻绳的力不一定大小相等，且杆为铰链连接，为“活”杆，杆力沿着杆的方向，水平方向，根据 解得 故C错误； D．当启动电动机使重物缓慢下降时，即不变，变小，根据 可知变大，故D正确。 故选D。 35．如图所示，质量均为的A、B两滑块一端与两轻杆相连，另一端放在粗糙水平面上，两轻杆等长，杆与滑块、杆与杆间均用光滑铰链连接，在两杆上方施加一竖直向下的力，使整个装置处于静止状态，设杆与水平面间的夹角为。下列说法正确的是（　　） A．当一定时，越小，滑块对地面的压力越大 B．当一定时，越大，轻杆受力越小 C．当一定时，越大，滑块与地面间的摩擦力越大 D．当一定时，越小，可施加的力越大 【答案】B 【详解】A．以A、B两滑块和两轻杆为整体，根据受力平衡可得 解得 当一定时，地面对滑块的支持力保持不变，可知滑块对地面的压力保持不变，A错误； B．以杆与杆间连接点为对象，根据受力平衡可得 解得 可知当一定时，越大，越大，轻杆受力越小，B正确； C．对A分析，受重力、杆的推力、地面支持力和向右的静摩擦力，根据平衡条件，有 可知滑块与地面间的摩擦力与无关， C错误； D．根据整体法可得 可知越小，地面对滑块的支持力越小，地面对滑块的最大静摩擦力越小，根据 可知当一定时，可施加的力越小，D错误； 故选B。 36．如图，为细绳拉某重物M的简化装置简化图，轻杆OA为可绕O点且垂直于纸面的轴转动的杆，AB为轻绳，重物M平衡时角度关系如图所示，轻杆OA在a、b、c图中受力分别为F1、F2、F3的大小关系正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】轻杆为可绕点且垂直于纸面的轴转动的杆，所以杆的弹力沿杆，对图则有，对图则有，对图则有，故选项B正确，A、C、D错误． ▌题型10 平衡问题中的临界和极值问题 临界问题是指当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”“刚能”“恰好”等语言叙述；极值问题是指在力的变化过程中的最大值和最小值问题。 1.数学分析法： 根据物体的平衡条件列方程，在解方程时利用数学知识求极值。通常用到的数学知识有二次函数求极值、讨论公式求极值、三角函数求极值以及几何法求极值等。 2.物理分析法： 根据平衡条件作出力的矢量图，若只受三个力，则这三个力能构成封闭矢量三角形，然后根据矢量图进行动态分析，确定最大值和最小值。　 37．如图所示，半圆柱体乙置于水平地面上，圆柱体甲静置于乙和竖直挡板之间，开始时两柱体柱心连线与水平方向夹角为。现将挡板缓慢向右移动，直到甲刚要落至地面，乙始终保持静止。已知甲和乙的半径均为，质量分别为和，柱体的曲面光滑，则乙与地面间动摩擦因数的最小值为（已知）（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】分析可知，只要摩擦力最大时刚好不滑动，此时对应的摩擦因数最小。设地面对乙的支持力为，挡板对甲的支持力为，则对甲乙两柱体整体分析，在竖直方向上有 在水平方向上有 设两柱体柱心连线与竖直方向夹角为，单独对甲受力分析可知 则乙与地面间的摩擦力 可知越大时，越大，由几何关系得甲刚要落至地面时最大为，如下图所示 则有 将代入可知乙与地面间动摩擦因数的最小值 故选D。 38．小朋友在玩积木时，将两个相同的匀质方形积木放在粗糙的水平地面上。将匀质球形积木放在两方形积木之间，截面图如图所示，接触点分别为A、B。他发现当两方形积木之间的距离大到一定程度时，球形积木放上后两方形积木将发生滑动。已知球形积木的质量为方形积木质量的2倍，它们之间的摩擦忽略不计，球形积木的半径为R，两方形积木与地面之间的动摩擦因数均为0.5，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。则球形积木放上后，要使两方形积木不发生滑动，两方形积木之间的最远距离为（　　） A．1.6R B． C．1.2R D． 【答案】B 【详解】对小球受力分析 根据受力平衡，有 对方形积木受力分析 根据受力平衡，有 使两方形积木恰好不发生滑动，则有 解得 则两方形积木之间的距离 故选B。 39．某同学用一根绳子斜向上拉着重力的书箱在水平地面上滑行，绳子与水平面夹角为，书箱与地面之间的动摩擦因数，该同学想找到一个省力的角度，于是将从逐渐增大到，此过程中书箱一直保持匀速直线运动。则在此过程中（　　） A．书箱所受的摩擦力始终为 B．书箱所受的摩擦力始终小于 C．当时最省力 D．绳子对书箱作用力一直减小 【答案】B 【详解】AB．对书箱进行受力分析如图所示 根据平衡条件有 整理得 则书箱所受的摩擦力为 可知将从逐渐增大到，书箱所受的摩擦力逐渐减小；当时，有 可知书箱所受的摩擦力始终小于，故A错误，B正确； CD．根据 其中，根据数学知识可知，当时，最省力； 由于 可知，则最省力时，所以将从逐渐增大到，绳子对书箱作用力一直增大，故CD错误。 故选B。 40．如图甲为通过传送带输送小麦的示意图，麦粒离开传送带后可视为竖直下落，形成的麦堆为圆锥状，如图乙所示。麦粒间的动摩擦因数为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，单个麦粒的体积、形状均近似相同，不考虑麦粒的滚动。已知麦堆的总体积为 ，圆锥体的体积公式为 (其中r为圆锥体底面圆半径，h为圆锥体的高度)，则麦堆高度的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】麦粒堆积时，以麦堆侧面一粒麦粒为研究对象，当mgsinα<μmgcosα时，麦粒能够保持静止，麦堆逐渐堆积增高； 当mgsinα=μmgcosα时，麦堆的斜面倾角不再增大，由此可知μ=tanα，因 ，得 可知   得 故选B。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $