第1-2章综合测试试卷-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 高中数学第一、二章综合测试，以集合、不等式等知识为载体，通过基础题与探究题结合，考查抽象能力、推理能力及应用意识，如阁楼窗户面积优化与“完美集”新定义问题，体现数学思维与现实应用的融合。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择|8/40|集合运算、命题否定、不等式性质|基础巩固，梯度合理| |多项选择|3/18|集合关系、不等式解集、最值应用|部分选对得分，区分度高| |填空|3/15|补集、命题真假、最值计算|简洁考查核心概念| |解答|5/77|集合运算、充分条件、不等式应用、新定义|综合题如阁楼窗户面积优化（数学眼光）、“完美集”探究（创新意识），贴合高考命题趋势|

第一、二章综合测试 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 第I卷（选择题58分） 1、 单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题的否定是（    ） A. B. C. D. 3. 若实数a，b满足，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 4. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 设，，且，则的最小值为（ ） A. B. 5 C. D. 4 6. 已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集是（ ） A. 或 B. C. 或 D. 7. 命题“”为真命题的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 8. 设实数满足，，不等式恒成立，则实数的最大值为（   ） A．12 B．24 C． D． 二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设，若，则实数a的值为（ ） A. B. C. D. 0 10. 已知关于x的不等式的解集为，则（   ） A． B． C．不等式的解集为 D．的最小值为6 11. 已知，，，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为4 D. 的最小值为 第II卷（非选择题92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设全集，集合，则______． 13. 若命题“，使得”是假命题，则实数的取值集合是 . 14. 已知，则的最小值为________. 4、 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，，，全集为实数集． （1）求，； （2）如果，求的取值范围． 16. 已知集合，． （1）若，求实数的取值范围； （2）设，，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 17. （1）设，，且，求的最小值； （2）若，求的最小值； （3）若，，求的最小值． 18. 现要在阁楼屋顶（可视作如图所示的锐角三角形）上开一内接矩形窗户（阴影部分），设其一边长（单位：）为. （1）若要使窗户面积不小于2平方米，求的取值范围； （2）一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于，而且这个比值越大，采光效果越好. （i）若阁楼的窗户面积与地板面积的总和为16.5平方米，则当边长为多少米时窗户面积最小？最小值是多少平方米？ （ii）若同时增加相同的窗户面积和地板面积，采光效果是变好了还是变坏了？试说明理由. 19. 已知有限集，如果中的元素满足，就称为“完美集”. （1）判断：集合是否是“完美集”并说明理由； （2）是两个不同的正数，且是“完美集”，求证：至少有一个大于2； （3）若为正整数，求：“完美集”. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章《集合与常用逻辑用语》 第二章《一元二次函数、方程和不等式》 章末综合测试 参考答案 选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 A C B A C B D B ABD ACD ACD 1、 单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【解析】A 由题意有：. 2. 命题的否定是（    ） A. B. C. D. 【解析】C 命题是全称量词命题，其否定是存在量词命题， 所以所求否定是. 3. 若实数a，b满足，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【解析】B 由，， ，故A错； ，故C错； ，故D错； 由不等式的性质易知B正确. 4. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【解析】A 由，解得或， 由，解得或， 由于或是或的真子集， 故“”是“”的充分不必要条件． 5. 设，，且，则的最小值为（ ） A. B. 5 C. D. 4 【解析】C 因为，，且， 所以， 当且仅当，即时取等号. 6. 已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集是（ ） A. 或 B. C. 或 D. 【解析】B 的解集为，，的两个根为，，， 所以不等式， 即， 解得. 7. 命题“”为真命题的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 【解析】D 由，可得在上能成立， 因，故得. 由题意知，是选项的范围的真子集即可. 8. 设实数满足，，不等式恒成立，则实数的最大值为（   ） A．12 B．24 C． D． 【解析】B 由，变形可得，， 令，， 则转化为，即， 其中， 当且仅当，即，时取等号， 所以不等式恒成立，只需. 二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设，若，则实数a的值为（ ） A. B. C. D. 0 【解析】ABD 因为，且， 当时，，符合题意； 当时，，又，所以或，解得或， 综上，或或. 10. 已知关于x的不等式的解集为，则（   ） A． B． C．不等式的解集为 D．的最小值为6 【解析】ACD 对于A，根据题意，方程的两根，且，故A正确； 对于B，由，，，即，，则，故B错误； 对于C，因为，， 所以不等式为，又， 所以不等式变为，解得，即不等式的解集为，故C正确； 对于D，，，， 则， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为6，故D正确. 11. 已知，，，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为4 D. 的最小值为 【解析】ACD A选项，，，，当且仅当时，等号成立，A正确； B选项，， 故，故B错误. C选项，， 当且仅当，即时，等号成立，C正确； D选项， ， 其中，，，故， 所以 ， 故， 当且仅当，即时，等号成立，D正确. 第II卷（非选择题92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设全集，集合，则______． 【解析】由全集可得：， 因为集合，所以. 13. 若命题“，使得”是假命题，则实数的取值集合是 . 【解析】命题“，使得”是假命题， 等价于“命题"，使得”是真命题. 当时，可化为，解得， 不满足对于恒成立，不符合题意； 当时，若对于恒成立， 则，即，解得. 综上，所以实数的取值集合是. 14. 已知，则的最小值为________. 【解析】由，得， 令，得，且， 则 ， 当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 4、 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，，，全集为实数集． （1）求，； （2）如果，求的取值范围． 【解析】（1）由，， 可知，； （2）由已知，， 当时，， 所以当时，. 16. 已知集合，． （1）若，求实数的取值范围； （2）设，，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【解析】（1）集合， 若，则， 当时，则； 当时，所以， 所以实数的取值范围为. （2）因为是的充分不必要条件， 所以是的真子集， 即（等号不同时成立），解得， 所以实数的取值范围为. 17. （1）设，，且，求的最小值； （2）若，求的最小值； （3）若，，求的最小值． 【解析】（1）由，，则， 当且仅当时，等号成立， 即的最小值为； （2）由，则， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 即的最小值为； （3）由，， 则， 当且仅当、，即时，等号成立， 即的最小值为. 18. 现要在阁楼屋顶（可视作如图所示的锐角三角形）上开一内接矩形窗户（阴影部分），设其一边长（单位：）为. （1）若要使窗户面积不小于2平方米，求的取值范围； （2）一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于，而且这个比值越大，采光效果越好. （i）若阁楼的窗户面积与地板面积的总和为16.5平方米，则当边长为多少米时窗户面积最小？最小值是多少平方米？ （ii）若同时增加相同的窗户面积和地板面积，采光效果是变好了还是变坏了？试说明理由. 【解析】（1）设矩形的另一边长为，由三角形相似得且，， 所以，又矩形面积，解得， 故的取值范围为. （2）（i）设地板面积为，解不等式组，解得， 故当时，窗户面积最小，此时由（1）可得或. 故当为米或米时，窗户面积最小，最小值为平方米. （ii）设和分别表示原来窗户面积和地板面积，表示窗户和地板所增加的面积（面积单位都相同）， 由题意得：，，则. 因为，，所以. 又，所以. 因此，即. 所以窗户和地板同时增加相等的面积，采光条件变好了. 19. 已知有限集，如果中的元素满足，就称为“完美集”. （1）判断：集合是否是“完美集”并说明理由； （2）是两个不同的正数，且是“完美集”，求证：至少有一个大于2； （3）若为正整数，求：“完美集”. 【解析】（1）由，所以集合是“完美集”； （2）若是两个不同的正数， 且是“完美集”， 设， 根据根与系数关系可知相当于方程的两根， 由于，解得或（舍）， 所以， 又均为正数， 所以，当且仅当时成立 是两个不同的正数， 所以至少有一个大于2； （3）不妨设中， 由， 得， 当时，即有， 又为正整数，所以， 则，则无解，即不存在满足条件的“完美集”； 当时，即有， 故只能， 则，可求得， 于是此时“完美集”只有一个为； 当时，由， 即有， 又， 又，所以， 即， 又， 即，与矛盾， 所以当时，不存在“完美集”； 综上所述，“完美集”为. 学科网（北京）股份有限公司 $