2.2 基本不等式（1）同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 高中数学“基本不等式（1）”同步练，以“基础巩固-灵活应用-综合提升”分层设计，覆盖概念理解、条件最值、证明推理全路径，适配新授课知识内化需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知层|基本不等式成立条件、简单最值|选择1考查前提条件，填空1强化等号成立条件，夯实抽象能力| |灵活应用层|条件最值、正负值讨论|选择6结合配凑法，填空3含变量转化，提升运算能力与推理意识| |综合提升层|多变量关系、证明推理|解答2证不等式链，选择10关联多结论辨析，发展逻辑推理与应用意识|

第二章 一元二次函数、方程和不等式 2.2基本不等式（1） 1、 选择题： 1.不等式+≥2成立的前提条件为(　　) A.x≥2y B.x>2y C.x≤2y D.x<2y 2.下列等式中最小值为4的是(　　) A．y＝x＋ B．y＝2t＋ C．y＝4t＋(t>0) D．y＝t＋ 3.若a，b为正实数，且a+b=2，则ab的最大值为(　　) A. B.1 C.2 D.2 4.若m>0，n>0，mn＝81，则m＋n的最小值是(　　) A．4 B．4 C．9 D．18 5.（2026年天津卷） 的最小值为（ ） A.10 B. 9 C. 8 D. 6 6．已知x>0，则2＋3x＋的最小值等于(　　) A．4 B．2＋2 C．2＋4 D．2 7.设x>0，则3－3x－的最大值是(　　) A．3 B．3－2 C．－1 D．3－2 8.(多选)下面四个推导过程正确的有(　　) A．若a，b为正实数，则＋≥2＝2 B．若a∈R，a≠0，则＋a≥2＝4 C．若x，y∈R，xy<0，则＋＝－≤－2＝－2 D．若a<0，b<0，则≤ab 9.(多选)设y＝x＋－2，则(　　) A．当x>0时，y有最小值0 B．当x>0时，y有最大值0 C．当x<0时，y有最大值－4 D．当x<0时，y有最小值－4 10.(多选)若正数a，b满足a＋b＝1，则下列说法正确的是(　　) A．ab有最大值 B．＋有最小值4 C．＋有最小值 D．a2＋b2有最小值 二、填空题 1.不等式a＋1≥2(a>0)中，等号成立的条件是______． 2.若0<a<2，则的最大值是　　　. 3.已知x>－2，则x＋的最小值是　　　. 4.若则的最小值是　　　. 三、解答题： 1已知x，y都是正数. (1)若3x＋2y＝12，求xy的最大值； (2)若x＋2y＝3，求＋的最小值. 2.已知a，b，c均为正实数，且互不相等，且abc＝1，求证：＋＋>＋＋. 3.已知a，b都是正数，求证：≤≤≤. 答案： 1、 选择题： 1.【答案】： B 解析：基本不等式成立的前提条件是各项均为正数， 所以不等式+≥2成立的前提条件为x-2y>0，即x>2y. 2.【答案】：C 解析：A中，当x＝－1时，y＝－5<4； B中，当t＝－1时，y＝－3<4； C中，当y＝4t＋≥2＝4，当且仅当t＝时，等号成立； D中，当t＝－1时，y＝2<4； 3.【答案】：B 解析：因为a，b为正实数，且a+b=2≥2当且仅当a=b=1时等号成立，所以ab≤1. 4.【答案】：D 解析:　∵m>0，n>0，∴m＋n≥2＝18.当且仅当m＝n＝9时取等号．故选D． 5.【答案】：B 解析:因为， 当且仅当，即，时，等号成立, 所以的最小值为9. 6.【答案】：C 解析:　∵x>0，∴3x＋≥2＝4，当且仅当x＝时取等号， 因此2＋3x＋的最小值为2＋4.故选C． 7.【答案】：D 解析：∵x>0，∴3x＋≥2＝2，当且仅当x＝时，等号成立， ∴－≤－2，则3－3x－≤3－2. 8.【答案】：AC 解析：A中，∵a，b为正实数，∴，为正实数，符合基本不等式的条件，故A正确； B中，∵a∈R，a≠0，不符合基本不等式的条件，故B错误； C中，由xy<0，得，均为负数，但在推导过程中将整体（＋）提出负号后，－，－均变为正数，符合基本不等式的条件，故C正确； D中，对任意的a，b∈R，都有a2＋b2≥2ab，即≥ab，故D错误． 9.【答案】：AC 解析：当x>0时，y＝x＋－2≥2－2＝2－2＝0，当且仅当x＝，即x＝1时，等号成立， 故A正确，B错误； 当x<0时，y＝－－2≤－2－2＝－4，当且仅当－x＝，即x＝－1时，等号成立，故C正确，D错误． 10. 【答案】 ：ABD 解析：因为正数a，b满足a＋b＝1.ab≤()2＝，当且仅当a＝b＝时取等号，ab取得最大值，故A正确； ＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当＝且a＋b＝1，即a＝b＝时取等号，＋取得最小值4，故B正确； 由A知ab有最大值，则有最大值，则(＋)2＝a＋b＋2＝1＋2≤2，当且仅当a＝b＝时取等号，＋取得最大值，故C错误； a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab≥，当且仅当a＝b＝时取等号，a2＋b2取得最小值，故D正确． 二、填空题 1.【答案】：a＝1 解析：因为a>0，根据基本不等式≤，当且仅当a＝b时，等号成立，故a＋1≥2中，当且仅当a＝1时，等号成立． 2.【答案】：1 解析：当0<a<2时，2-a>0， 则当且仅当2-a=a，即a=1时，等号成立， 因此所求的最大值为1. 3【答案】：0 解析：∵x>－2，∴x＋2>0，∴x＋＝x＋2＋－2≥2－2＝0， 当且仅当x＝－1时，等号成立．故所求最小值为0. 4. 【答案】：3 解析：当时，， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为. 三、解答题： 1.解：(1)因为3x＋2y＝12， 所以xy＝·3x·2y≤×＝6. 当且仅当3x＝2y，即x＝2，y＝3时，等号成立. 所以xy的最大值为6. (2)因为x＋2y＝3，所以1＝＋， 所以＋＝＝＋＋＋≥1＋2＝1＋. 当且仅当＝，即x＝3－3，y＝3－时取等号， 所以＋的最小值为1＋. 2. 证明 ∵＋≥2＝2； ＋≥2＝2； ＋≥2＝2. ∴以上三式相加，得＋＋≥ ＋＋. 又∵a，b，c互不相等，∴＋＋＞＋＋. 3.证明：　∵＋≥2，∴≤，即≤. 又∵()2＝≤＝， ∴≤. 又由基本不等式得≥， 故≤≤≤(当且仅当a＝b时，等号成立). ( 班级____________ 姓名_______________ 考号_____________ )人教版必修一一课一练 ( 班级____________ 姓名_______________ 考号_____________ ) 数学试卷 第5页 数学试卷 第6页 学科网（北京）股份有限公司 答案 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $