2026-2027学年苏科版八年级数学上学期册9月学情自测卷（测试范围：第1～2章）

**基本信息** 八年级数学9月学情卷聚焦全等图形与实数核心知识，通过动态几何（如第9题双点运动全等）、规律探究（第5题计算器数据规律）及实际应用（第15题地砖裁剪），融合抽象能力与推理意识，实现基础巩固与创新思维的梯度考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|全等图形识别、平方根计算、三角形角平分线性质|第3题结合平行线与角平分线构造等腰三角形，考查几何直观| |填空题|6/18|无理数判断、格点面积计算、实际问题裁剪|第14题网格面积计算，培养空间观念；第15题地砖铺设，体现应用意识| |解答题|8/72|全等证明、动态几何（第23题）、阅读材料推理（第24题）|第23题等边三角形动点问题，融合运动变化思想；第24题通过倍长中线法，发展推理能力|

2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测卷 （测试范围：第1～2章） 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．在下列各组图形中，是全等图形的是（     ）． A． B． C． D． 2．若，则的平方根是（     ） A．1 B． C． D．0 3．如图，在中，，，和的平分线交于点，过点作分别交、于、，则的周长为（    ） A．12 B．10 C．8 D．不确定 4．若，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 5．利用计算器计算下列各数的结果，如下列表，观察并发现规律： … … … 25 250 … 若，则（   ） A．153 B．485 C． D． 6．如图，在中，于点，于点，与相交于点，若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 7．如图，，，垂足分别为，，，相交于点，，连接，则图中的全等三角形一共有（    ） A．对 B．对 C．对 D．对 8．如图两条笔直的公路、相交于点O，公路的旁边建三个加工厂A、B、D，已知，，C村到公路的距离为，则C村到公路的距离是（    ） A． B． C． D． 9．如图，，，，点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上由点B向点D运动，设运动时间为，当与全等时，则点Q的运动速度为（     ）． A． B．1 C．或 D．1或 10．如图，，，再添加一个条件，使得，所添加的条件不正确的是（   ）． A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．一个三位小数，四舍五入后是，这个三位小数最小是( )，最大是( )． 12．下列各数中：12，，，，，（每两个1之间的0依次加1），其中无理数有______个． 13．已知的平方根是，的立方根是2，则的算术平方根是______． 14．如图，网格中的小正方形的边长均为2，小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点都在格点上，则的面积为______． 15．用边长是的正方形地砖，铺设面积是的正方形平整地面．首先用整块地砖铺设，且保证地砖边缘与正方形地面的边缘平行，当不能铺进完整地砖时，需要把多余的部分裁掉，每块地砖裁掉部分不再使用．若铺满这个地面且所用地砖最少（地砖之间的缝隙忽略不计），则被裁掉的部分面积之和是________． 16．如图，在锐角中，D是的中点，，E是上的一点，且，与相交于点F，若的面积为3，则的最小值为___． 三、解答题（本大题共8小题，每小题9分，共72分） 17．已知的平方根是，的立方根是，是的整数部分． (1)求，，的值； (2)求的算术平方根． 18．如图，、表示两条互相交叉的公路，点处是一个大型货物批发站，现在要在内部建一个货物中转站．要求货物中转站到公路、的距离相等，且，请用尺规作图法找到货物中转站的位置．（保留作图痕迹，不写作法） 19．已知，，满足． (1)求，，的值； (2)试问以，，为边能否构成三角形？若能构成三角形，请求出三角形的周长；若不能，请说明理由． 20．如图，，是的两条高． (1)若，，求的度数； (2)，，，求的长． 21．如图，在中，，，点D是的中点，点E、F分别在上，且． (1)求证：； (2)求四边形的面积． 22．已知：在中，，，点是边上一动点，连接． (1)如图1，延长至点且，连接，，求证：； (2)如图2，当点在的延长线上时，将绕点顺时针旋转到，使得，连接交于点，若，猜想，的数量关系，并证明． 23．如图，是边长为的等边三角形，是边上一动点，由向运动（与、不重合），是延长线上一点，与点同时以相同的速度由向延长线方向运动（不与重合），过作于，连接交于． (1)当时，证明：是直角三角形； (2)若，，则______； (3)在运动过程中，线段的长是否发生变化？如果不变，求出线段的长；如果变化请说明理由． 24．阅读以下材料，完成以下两个问题． 【阅读材料】已知：如图，（）中，D、E在上，且，过D作交于点F，．求证：平分． 结合此题，，点E是的中点，考虑倍长，并且要考虑连接哪两点，目的是证明全等，从而转移边和角．有两种考虑方法：①考虑倍长，如图（1）所示；②考虑倍长，如图（2）所示 (1)请选择方法①或方法②，完成阅读材料中的证明． (2)根据上述材料，完成下列问题： 已知，如图3，在中，是边上的中线，分别以，为直角边向外作等腰直角三角形，，，，证明：； (3)与面积之间的关系，并说明理由． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级数学上学期9月学情自测卷 （测试范围：第1～2章） 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．在下列各组图形中，是全等图形的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据全等图形的定义：能够完全重合的两个图形叫全等图形，它们的形状、大小完全相同，逐一分析各选项即可． 【详解】选项：两个图形形状相同，但大小不同，所以它们不是全等图形； 选项：两个图形形状和大小都不相同，所以它们不是全等图形； 选项：两个图形形状和大小都不相同，所以它们不是全等图形； 选项：两个图形形状和大小都完全相同，所以它们是全等图形． 2．若，则的平方根是（     ） A．1 B． C． D．0 【答案】C 【分析】根据非负数的性质求出、的值，然后代入求出，最后根据平方根的定义求解即可. 【详解】解：∵ ，，且 ， ∴ ， ， 解得， ， ∴ ， ∴ 的平方根为. 3．如图，在中，，，和的平分线交于点，过点作分别交、于、，则的周长为（    ） A．12 B．10 C．8 D．不确定 【答案】B 【分析】根据等腰三角形的判定证明，即可求解． 【详解】解：∵和的平分线交于点， ∴ ，又， ∴ ， ∴， ∴， 同理可得：， 的周长 ． 4．若，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用乘方法比较正数大小，带根号的正数同时乘相同次数的方去掉根号后，结果越大则原数越大，据此依次比较得到三者的大小关系． 【详解】解：∵，，均为正数，正数乘方后大小关系与原数一致， 先比较与，将两数同时平方得： ， ， ∵ ， ∴ ， 再比较与，将两数同时立方得： ， ， ∵ ， ∴ ， 综上可得 ． 5．利用计算器计算下列各数的结果，如下列表，观察并发现规律： … … … 25 250 … 若，则（   ） A．153 B．485 C． D． 【答案】D 【分析】根据表格得到规律，被开方数的小数点（向左或者右）每移动两位，其算术平方根的小数点相应地向相同方向移动一位，即可得出结果． 【详解】解：， ． 6．如图，在中，于点，于点，与相交于点，若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据垂直的定义可知，根据同角的余角相等可得，证明，根据全等三角形的性质可证，根据角之间的关系即可求出的度数． 【详解】解：，， ， ，， ， 在和中，， ， ， ， ． 7．如图，，，垂足分别为，，，相交于点，，连接，则图中的全等三角形一共有（    ） A．对 B．对 C．对 D．对 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、． 注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 共有四对．分别为，，，，从已知条件开始结合图形利用全等的判定方法逐个寻找即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ， ∴ ， ∴，， ∵，，， ∴， ∴，， ∴，即， ∵，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴共有四对全等三角形． 故选：C． 8．如图两条笔直的公路、相交于点O，公路的旁边建三个加工厂A、B、D，已知，，C村到公路的距离为，则C村到公路的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形全等的判定和性质，角平分线的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 证明，可得，根据角平分线的性质，即可得C村到公路的距离． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴， ∴为的角平分线， ∴点到的距离与点到的距离相等， ∵C村到公路的距离为， ∴C村到公路的距离是． 故选：D． 9．如图，，，，点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上由点B向点D运动，设运动时间为，当与全等时，则点Q的运动速度为（     ）． A． B．1 C．或 D．1或 【答案】D 【分析】首先得到点P到达点B的时间为，，然后分两种情况讨论，分别根据全等三角形的性质求解即可． 【详解】解：根据题意得，点P到达点B的时间为，， 当时，，， ∴， ∴， ∴点Q的运动速度为； 当时，，， ∵， ∴， ∴， ∴点Q的运动速度为； 综上所述，点Q的运动速度为1或． 10．如图，，，再添加一个条件，使得，所添加的条件不正确的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】已知，，对照全等三角形判定定理逐一判断条件能不能证明；两边及其中一边的对角相等不能判定三角形全等． 【详解】解：已知：，， 选项A：，，，属于两边和其中一边的对角对应相等，不能判定，故此选项错误． 选项B：， ， 在和中， ， ，故此选项正确． 选项C：和都是直角三角形， 在和中， ， ，故此选项正确． 选项D：在和中， ， ，故此选项正确． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．一个三位小数，四舍五入后是，这个三位小数最小是( )，最大是( )． 【答案】 【分析】保留两位小数需观察千分位上的数字，千分位数字小于时直接舍去，千分位数字大于或等于时向前一位进，“四舍”得到的近似数比原数小，“五入”得到的近似数比原数大，分两种情况讨论即可得到结果． 【详解】解：若近似数是“四舍”得到的，则原三位小数的整数部分为，十分位为，百分位为，千分位最大取，即最大的三位小数为； 若近似数是“五入”得到的，则原三位小数的整数部分为，十分位为，百分位为，千分位最小取，即最小的三位小数为． 12．下列各数中：12，，，，，（每两个1之间的0依次加1），其中无理数有______个． 【答案】 【分析】根据无理数的定义，即无限不循环小数是无理数，逐一判断各数即可得到无理数的个数． 【详解】解：是整数，属于有理数； 是分数，属于有理数； ，是整数，属于有理数； 无理数有，，（每两个1之间的0依次加1），共个． 13．已知的平方根是，的立方根是2，则的算术平方根是______． 【答案】 【分析】根据平方根、立方根的定义求出和的值，再代入计算，最后求它的算术平方根即可． 【详解】解：∵的平方根是， ∴， 解得， ∵的立方根是， ∴， 把代入得，解得， ∴，的算术平方根为， ∴的算术平方根为． 14．如图，网格中的小正方形的边长均为2，小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点都在格点上，则的面积为______． 【答案】 【分析】此题考查了网格中求三角形的面积，利用网格的特点进行解答即可． 【详解】解：根据网格特点可知，交的延长线于点D， ∵ ∴的面积， 故答案为： 15．用边长是的正方形地砖，铺设面积是的正方形平整地面．首先用整块地砖铺设，且保证地砖边缘与正方形地面的边缘平行，当不能铺进完整地砖时，需要把多余的部分裁掉，每块地砖裁掉部分不再使用．若铺满这个地面且所用地砖最少（地砖之间的缝隙忽略不计），则被裁掉的部分面积之和是________． 【答案】 【分析】根据正方形的面积求得边长，根据，得出覆盖这个地面且所用地砖最少就需要块，进而求得被裁掉的部分面积之和． 【详解】解：∵地面的面积是， ∴其边长是．而， 覆盖这个地面且所用地砖最少就需要块，则需要的地砖的面积为． ∴被裁掉的部分面积之和是． 16．如图，在锐角中，D是的中点，，E是上的一点，且，与相交于点F，若的面积为3，则的最小值为___． 【答案】9 【分析】连接，由得到，得出，，由D是的中点推导得出，得出的面积，从而求出边上的高，根据垂线段最短得出的最小值即可． 【详解】解：如图，连接， ， ， ，， D是的中点， ，， ， ∴， ， ， 设边上的高为h， ， ， ， ， 的最小值为9． 三、解答题（本大题共8小题，每小题9分，共72分） 17．已知的平方根是，的立方根是，是的整数部分． (1)求，，的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）根据平方根和立方根的定义列出等式求出，的值，再估算的范围得到整数部分； （2）把，，的值代入中计算，再解得它的算术平方根． 【详解】（1）解：由题意可知，，， ∴， 解得， 检验，当时，，符合题意； 由题意可知，， ∴， 将代入上式，解得； ∵，即， ∴的整数部分； （2）解：由（1）可知，，，， ∴， ∴的算术平方根． 18．如图，、表示两条互相交叉的公路，点处是一个大型货物批发站，现在要在内部建一个货物中转站．要求货物中转站到公路、的距离相等，且，请用尺规作图法找到货物中转站的位置．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】如图，P点即为所求． 【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，先作的平分线，然后连接，再作的垂直平分线，与相交于点P，则点P即为建中转站的位置． 【详解】解：由作图可知点在的平分线上， ∴点到公路、的距离相等， 又∵由作图可知点在线段的垂直平分线上， ∴， ∴P点就是货物中转站的位置． 图略． 19．已知，，满足． (1)求，，的值； (2)试问以，，为边能否构成三角形？若能构成三角形，请求出三角形的周长；若不能，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)能构成三角形，周长为 【详解】（1）由题意得，，，， 解得，，； （2）， 以、、为边能构成三角形， 周长． 20．如图，，是的两条高． (1)若，，求的度数； (2)，，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角形的高线定义和三角形的内角和定理求得 ，，再根据平角定义即可求解； （2）根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：是的高线， ． ， ． 同理， ． （2）解：，是的两条高， ，， ， ． 21．如图，在中，，，点D是的中点，点E、F分别在上，且． (1)求证：； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)证明：连接． ，，D是中点， ，，，． ∴ 在和中， ， ． (2)4 【分析】（1）证明，根据全等三角形的性质即可得到结论； （2）根据全等三角形的性质得到．根据即可求出答案． 【详解】（1）略 （2）解：， ． ． ． ∴四边形的面积为4． 22．已知：在中，，，点是边上一动点，连接． (1)如图1，延长至点且，连接，，求证：； (2)如图2，当点在的延长线上时，将绕点顺时针旋转到，使得，连接交于点，若，猜想，的数量关系，并证明． 【答案】(1)证明：∵，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴； (2)解：，理由如下： 如图，作交的延长线于点， 则， ∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【分析】（1）先求出，，再证明，得出，再求出，最后结合，，即可得证； （2）作交的延长线于点，则，先证明，得出，，再证明，得出，从而即可得证． 【详解】（1）略； （2）略． 23．如图，是边长为的等边三角形，是边上一动点，由向运动（与、不重合），是延长线上一点，与点同时以相同的速度由向延长线方向运动（不与重合），过作于，连接交于． (1)当时，证明：是直角三角形； (2)若，，则______； (3)在运动过程中，线段的长是否发生变化？如果不变，求出线段的长；如果变化请说明理由． 【答案】(1) 证明：∵是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形； (2)4 (3)线段的长不会发生变化，且 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形外角性质，等腰三角形的性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． （1）根据题意，，结合， 证明，根据，可证即可证明是直角三角形； （2）根据，结合，证明是直角三角形；再利用直角三角形的性质解答即可； （3）设，则，过点P作交于点F，证明 是等边三角形，得，证明， 得到，结合，解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形； ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：4； （3）解：线段的长不会发生变化，且，理由如下： ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， 过点P作交于点F， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴， 故线段的长不会发生变化，且为． 24．阅读以下材料，完成以下两个问题． 【阅读材料】已知：如图，（）中，D、E在上，且，过D作交于点F，．求证：平分． 结合此题，，点E是的中点，考虑倍长，并且要考虑连接哪两点，目的是证明全等，从而转移边和角．有两种考虑方法：①考虑倍长，如图（1）所示；②考虑倍长，如图（2）所示 (1)请选择方法①或方法②，完成阅读材料中的证明． (2)根据上述材料，完成下列问题： 已知，如图3，在中，是边上的中线，分别以，为直角边向外作等腰直角三角形，，，，证明：； (3)与面积之间的关系，并说明理由． 【答案】(1)方法①∶证明：如图，延长至点，使，连接， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 平分； 方法②：证明：如图，延长至点，使，连接， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 平分； (2)如图，延长至点，使，连接， 是边上的中线， ， 在和中， ， ， ，， ∴， ∴， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ∴， 设与交于点H， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即． (3)与面积相等，理由如下； 由（2）可知， ∴， ∵，， ∴， 由（2）可知， ∴， ∴． 【分析】（1）方法①：延长至点，使，连接，证明，得到，，再根据等边对等角的性质和平行线的性质，得出，即可证明；方法②：延长至点，使，连接，证明，得到，，再根据等边对等角的性质和平行线的性质，得出，即可证明； （2）延长至点，使，连接，证明，得到，，进而推出，，再证明，即可得出，设与交于点H，由，即可得出，等量代换可得出，由三角形内角和定理即可得出． 【详解】（1）证明：略； （2）证明：略； （3）解：略； 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $