2026-2027学年北师大版数学八年级上册第一次月考模拟培优卷

**基本信息** 以勾股定理、实数运算为核心，融合《九章算术》“折竹抵地”文化情境与梯子滑动、张角探究等现实问题，突出数学眼光、思维与语言的素养导向。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|无理数判断、勾股数识别、平方根性质|第7题数轴与垂线构造无理数，考查几何直观| |填空题|6/18|算术平方根计算、正方形面积与勾股定理|第14题数轴作图表示无理数，体现空间观念| |解答题|8/72|勾股定理应用、几何证明、数学思想|23题等腰直角三角形综合探究，3问梯度提升推理能力；24题结合分母有理化与换元思想，培养创新意识|

2026年9月份第一次月考模拟培优卷北师大版2026—2027学年八年级数学上册 (考试时间:120分钟 试卷满分:120分) 一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分） 1．下列四个数中，无理数是（    ） A．0 B． C．1.5 D． 2．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 3．下列四组数中，属于勾股数的是（    ） A．0.3，0.4，0.5 B．8，15，17 C．2，8，10 D．1，， 4．已知的三条边分别是、、，则下列条件中不能判断是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 5．下列说法正确的是（    ） A．0的平方根与算术平方根都是0 B．的算术平方根是 C．的平方根是 D．的平方根是 6．如图，在中，，若，则正方形和正方形的面积差为（   ） A． B． C． D．无法计算 7．如图，数轴上一点A，表示，过点A作数轴的垂线，并在垂线上截取，连结，以点O为圆心，为半径作弧交x轴的负半轴于点D，则点D表示的数为（　　） A． B． C． D． 8．如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何．意思是：现有一根竹子，原高一丈（10尺），一阵风将竹子折断，其竹稍恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，求折断处离地面的高度．设竹子折断处离地面的高度尺．根据题意，可列方程为（   ） A． B． C． D． 9．如图，圆柱的底面周长为16，BC＝12，动点P从A点出发，沿着圆柱的侧面移动到BC的中点S，则移动的最短距离为（　　） A．10 B．12 C．14 D．20 10．某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘D处离桌面的高度为，此时底部边缘A处与E处间的距离为，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为时（D是B的对应点），顶部边缘B处到桌面的距离为，则底部边缘A处与C之间的距离为（    ） A． B． C． D． 二．填空题（每小题3分，满分18分） 11．_____． 12．已知，则 ______． 13．如图，数字代表所在正方形的面积，则所代表的正方形的边长为______．    14．如图，数轴上的点A表示的数是1，OB⊥OA，垂足为O，且BO＝1，以点A为圆心．AB为半径画弧交数轴于点C，则C点表示的数为_______．    15．已知，则代数式的值为_______． 16．如图所示，在中，，将沿着翻折，使C点落在边上的点E处．，则的长为________． 三、解答题（17、18题每题8分，19、20、21、22每题9分，23、24每题10分，共计72分，解答题要有必要的文字说明） 17．计算： (1)； (2)． 18．已知的算术平方根是3，是的整数部分，求的平方根． 19．若实数在数轴上的对应点如图所示，试化简：． 20．如图，小区有一块三角形空地，为响应张掖市创建全国文明典范城市的号召，小区计划将这块空地种上三种不同的花卉，中间用小路、隔开，．经测量，米，米，米，米． (1)求的长； (2)求小路的长． 21．如图，一架长米的梯子，斜靠在竖直的墙上，这时梯子底端离墙米． (1)此时梯子顶端A离地面多少米？ (2)若梯子顶端A下滑米到C，那么梯子底端B将向左滑动多少米到D？ 22．如图，长方形中，，，为上一点，将沿翻折至，与相交于点，与相交于点，且． (1)求证：； (2)求的长． 23．已知△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°． （1）如图1，若D为△ACB内部一点，请判断AE与BD的数量关系，并说明理由； （2）如图2，若D为AB边上一点，AD＝5，BD＝12，求DE的长． （3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，已知∠CAE=90°，AC=AE，，AB=BC=1，求BE的长． 24．【阅读材料】阅读下列材料，然后回答问题： ①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：，以上这种化简叫做分母有理化． ②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知，，求．我们可以把和看成是一个整体，令，，则．这样，我们不用求出，就可以得到最后的结果． 【解决问题】 (1)仿照上面的解题过程，化简：______． (2)计算：． (3)已知，求的值． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D B D A B C C A D 11． 12． 14． 15．4 16． 17．【详解】（1）解： ； （2） ． 18．【详解】解：∵的算术平方根是3，是的整数部分， ∴， 解得， ∴， ∴的平方根是． 19．【解答】解：观察数轴可知：， ∵， ∴ ． 20．【详解】（1）解：米，米，米， ，， ， ， ， （米）； （2）解：， （米）． 21．【详解】（1）解：由题意得，在中，米，米，， ∴米， ∴梯子顶端A离地面米； （2）解：在中，米，米，， ∴米， ∴米， ∴梯子底端B将向左滑动米到D． 22．(1)证明：四边形是长方形， ，，， 将沿翻折至，与相交于点，与相交于点， ，， 在和中， ， ， ，； （2）解：∵， ， 即， ， 设，则，， ，， 在中，根据勾股定理得：， 即， 解得：， ． 23．（1），理由： 如图 △ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90° (SAS) ． （2）如图 △ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90° , (SAS) ， 在中， ． （3）如图：作点关于对称点，连接 则,， 又 在与中 （AAS） 在中 =， ． 24．【详解】（1）解： （2）解： （3）解：，， ， ， ， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $