第1章二次函数 易错集训-2026-2027学年浙教版数学九年级上册

**基本信息** 聚焦二次函数核心易错点，以题载法构建从概念到综合应用的完整认知链，强化符号意识与推理能力 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|5题|顶点式/一般式转化、判别式应用|从解析式到顶点/交点坐标的生成关系| |性质应用|6题|对称轴与增减性、函数值比较、系数与图象关系|性质推导与图象特征的对应逻辑| |综合拓展|10题|新定义转化、几何与函数结合、方程思想|概念-性质-应用的递进拓展链|

第1章二次函数易错集训-2026-2027学年数学九年级上册浙教版（2024） 一．选择题（共10小题） 1．（2025秋•天桥区期末）二次函数y＝2（x﹣1）2+3的顶点坐标是（　　） A．（1，3） B．（﹣1，3） C．（1，﹣3） D．（﹣1，﹣3） 2．（2026•府谷县三模）已知抛物线y＝x2﹣2mx﹣m（m为常数），当x＜2时，y随x的增大而减小，则抛物线的顶点在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（2026•靖边县模拟）已知二次函数（a为常数）的图象与x轴有交点，当x＞2时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是（　　） A．a≥﹣1 B． C．a D． 4．（2026•吉林校级模拟）A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝﹣（x+1）2+m上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y2＞y1＞y3 5．（2026•石河子一模）一次函数y＝ax+b的图象如图所示，则二次函数y＝ax2+b的图象（　　） A． B． C． D． 6．（2026•渭滨区校级四模）已知一个二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数y的几组对应值如表： x … ﹣2 0 1 5 … y … 0 ﹣8 ﹣9 7 … 关于它的图象和性质，下列说法正确的是（　　） A．图象开口向下 B．图象的对称轴是直线 C．当x＞3时，y随x的增大而增大 D．图象与x轴的交点坐标为（﹣2，0）和（2，0） 7．（2026•海安市校级二模）如图，在“探索二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的系数a，b，c对函数图象的影响”活动中，老师给出了坐标系中的四个点：A（0，1），B（2，1），C（4，1），D（3，2）．同学们分别画出了经过这四个点中的三个点的若干个二次函数图象，当a+b+c取得最大值时，图象经过这四个点中的（　　） A．ABC B．ABD C．ACD D．BCD 8．（2026•兴化市二模）平面直角坐标系中有点A（0，1），点B（0，﹣1），过点B作直线l⊥y轴，点P为抛物线y＝ax2（a＞0）上任意一点，若点P到直线l的距离与PA相等，则a的值为（　　） A． B． C．1 D．2 9．（2026•黄埔区二模）新定义：对于二次函数A和B，若A的顶点坐标在B的顶点坐标上方，则A是B的“仰顶函数”，例如：函数y＝（x﹣2）2+2是函数y＝2（x+3）2﹣1“仰顶函数”．若无论m取任何实数，函数y＝x2+4x+6﹣n都是函数y＝x2+2mx﹣4m的“仰顶函数”，则n的取值范围（　　） A．n＜﹣2 B．n≤﹣2 C．n＞2 D．n≥2 10．（2026•市南区校级模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OA＝OC，对称轴为直线x＝1，则下列结论：①abc＜0；②a+0.5b+0.25c＝0；③当m＜﹣1时，关于x的方程ax2+bx+c+m＝0无实根；④ac﹣b+1＝0；⑤．其中正确的结论有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 二．填空题（共5小题） 11．（2026•香坊区校级开学）二次函数y＝x2﹣mx+3的图象经过（1，0），则m＝　 　 ． 12．（2026秋•同步）若抛物线y＝x2﹣2x+k与x轴有两个交点，则k的取值范围为　 　 ． 13．（2026春•西湖区校级期末）若二次函数y＝﹣x2+6x+c的图象经过点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3），则y1，y2，y3的大小关系是　 　 （用“＜”连接）． 14．（2025秋•滨江区期末）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是已知数，且a≠0）的x与y的部分对应值如表，则当x＝4时，y＝　 　 ． x … ﹣1 0 1 2 3 … y … 15 10 7 6 7 … 15．（2026•唐山二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线，与抛物线的一个交点为A，点A的横坐标为2，点P、Q分别是抛物线L1、L2上的动点．已知点R为抛物线L1上另一个动点，当CA平分∠PCR，且OQ∥PR时，则点Q的坐标为　 　 ． 三．解答题（共6小题） 16．（2026•玄武区校级自主招生）y＝x2﹣2ax+b与x轴交于（m，0），（n，0），y＝x2+2ax+b与x轴交于（p，0），（q，0），满足mp﹣nq＝8，若a≥1，求b的取值范围． 17．（2026•义乌市校级开学）已知b为实数，y是关于x的二次函数，其函数表达式为y＝x2﹣bx+b+1． （1）当b＝4时，求该函数的顶点坐标； （2）无论b取何值，该抛物线必过定点，求出该定点坐标； （3）求该函数顶点纵坐标的最大值． 18．（2026•昌平区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2x+c（a≠0）与x轴交于点A（3，0）和点B，与y轴交于点C（0，﹣3），直线y＝mx+n经过点（1，2）． （1）求抛物线的表达式； （2）过点D（2m，0）作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线y＝mx+n于点N． ①若m＝1，求MN的长； ②若点M在抛物线上的点A与点B之间，连接BM，MA，AN，NB，当四边形NBMA的面积随m的增大而减小时，求m的取值范围． 19．（2026•科尔沁区校级三模）如图，抛物线交x轴于A（﹣5，0），B（1，0）两点，点D是抛物线的顶点． （1）求抛物线解析式及顶点D坐标； （2）抛物线上有一点N（不与C重合），使S△ABN＝S△ABC，求点N坐标； （3）在对称轴上有一点K，在抛物线上有一点L，若使A，B，K，L为顶点的四边形为平行四边形，直接写出K，L坐标． 20．（2026•乾县模拟）投壶是中国古代宴饮时的一种投掷游戏．在一次科技展上，机器人和人们展开了一场现代科技与古代智慧的投壶挑战赛，如图1，在一次投壶中，机器人和张兴站在投壶点向同一方向进行投壶，分别在点D，F处放置壶．如图2，以水平地面为x轴，以投壶点为原点O，过点O且垂直于x轴的直线为y轴建立平面直角坐标系．其中张兴箭矢的运动轨迹和机器人箭矢的运动轨迹L2均为抛物线形．已知机器人投壶时箭矢的出手点B距离地面1.2m，当箭矢在与出手点水平距离0.8m处时达到最高点，此时箭矢距离地面2m．其中壶口与地面的距离CD＝EF＝0.2m． （1）求机器人箭矢的运动轨迹L2所在抛物线的函数表达式； （2）若张兴所投箭矢恰好投入壶口C，且OF＝2OD，请你通过计算说明机器人此次投壶能否恰好投入壶口？ 21．（2025秋•武汉期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3经过点P（1，﹣4），与坐标轴分别交于A，B，C三点．直线y＝kx与抛物线交于D，E两点． （1）直接写出a的值和A，B两点的坐标； （2）如图（1），直线x＝m与直线DE相交于点F，与抛物线相交于点G，若k＝﹣1，以O，C，F，G为顶点的四边形为平行四边形时，求m的值； （3）如图（2），点M在抛物线上，DM∥AB，直线ME，PE分别交y轴于点N，Q，当k（k≠﹣4）变化时，是否为定值，若是，求其值，若不是，请说明理由． 第1章二次函数易错集训-2026-2027学年数学九年级上册浙教版（2024） 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．（2025秋•天桥区期末）二次函数y＝2（x﹣1）2+3的顶点坐标是（　　） A．（1，3） B．（﹣1，3） C．（1，﹣3） D．（﹣1，﹣3） 【解答】解：根据二次函数的顶点式的特点可知： 二次函数y＝2（x﹣1）2+3的顶点坐标是（1，3）． 故选：A． 2．（2026•府谷县三模）已知抛物线y＝x2﹣2mx﹣m（m为常数），当x＜2时，y随x的增大而减小，则抛物线的顶点在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【解答】解：由抛物线解析式a＝1＞0可知抛物线开口向上， 由对称轴公式得抛物线对称轴为， ∵当x＜m时，y随x的增大而减小，又当x＜2时，y随x的增大而减小， ∴m≥2＞0，即顶点的横坐标为正， ， ∵m≥2， ∴m2+m＞0， ∴，即顶点纵坐标为负， ∴顶点在第四象限． 故选：D． 3．（2026•靖边县模拟）已知二次函数（a为常数）的图象与x轴有交点，当x＞2时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是（　　） A．a≥﹣1 B． C．a D． 【解答】解：∵二次函数的图象与x轴有交点， ∴， 解得：， 又∵抛物线开口向上，当x＞2时，y随x的增大而增大，对称轴为直线， ∴对称轴满足﹣2a≤2， 解得a≥﹣1， ∴． 故选：C． 4．（2026•吉林校级模拟）A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝﹣（x+1）2+m上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y2＞y1＞y3 【解答】解：根据函数解析式可知，抛物线的开口向下，对称轴为直线x＝﹣1， ∵A（﹣2，y1）离直线x＝﹣1最近，C（2，y3）离直线x＝﹣1最远， ∴y1最大，y3最小， ∴y3＜y2＜y1， 故选：A． 5．（2026•石河子一模）一次函数y＝ax+b的图象如图所示，则二次函数y＝ax2+b的图象（　　） A． B． C． D． 【解答】∵一次函数y＝ax+b的图象如图所示： ∴直线y＝ax+b过一，三，四象限， ∴a＜0，b＞0， ∵y＝ax2+b， ∴抛物线的开口向下，对称轴为y轴，与y轴交于正半轴， 故符合题意的只有选项C； 故选：C． 6．（2026•渭滨区校级四模）已知一个二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数y的几组对应值如表： x … ﹣2 0 1 5 … y … 0 ﹣8 ﹣9 7 … 关于它的图象和性质，下列说法正确的是（　　） A．图象开口向下 B．图象的对称轴是直线 C．当x＞3时，y随x的增大而增大 D．图象与x轴的交点坐标为（﹣2，0）和（2，0） 【解答】解：由题意可得： ， 解得， 因此二次函数解析式为y＝x2﹣2x﹣8， A．∵a＝1＞0，∴图象开口向上，A错误； B．对称轴为，不是，B错误； C．∵开口向上，对称轴为x＝1，∴x＞1时，y随x的增大而增大，又∵3＞1，∴当x＞3时，y随x的增大而增大，C正确； D．令y＝0，得x2﹣2x﹣8＝0，因式分解得（x+2）（x﹣4）＝0，解得x＝﹣2或x＝4，因此图象与x轴交点为（﹣2，0）和（4，0），D错误． 故选：C． 7．（2026•海安市校级二模）如图，在“探索二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的系数a，b，c对函数图象的影响”活动中，老师给出了坐标系中的四个点：A（0，1），B（2，1），C（4，1），D（3，2）．同学们分别画出了经过这四个点中的三个点的若干个二次函数图象，当a+b+c取得最大值时，图象经过这四个点中的（　　） A．ABC B．ABD C．ACD D．BCD 【解答】解：∵A、B、C的纵坐标相同， ∴抛物线不会同时经过A、B、C三点，分三种情况讨论，如图所示： 抛物线可能经过A、D、C或者B、D、C或者A、B、D， 经过A、D、C三点的抛物线，当x＝1时，y的值最大， ， 故选：C． 8．（2026•兴化市二模）平面直角坐标系中有点A（0，1），点B（0，﹣1），过点B作直线l⊥y轴，点P为抛物线y＝ax2（a＞0）上任意一点，若点P到直线l的距离与PA相等，则a的值为（　　） A． B． C．1 D．2 【解答】解：由题知， 令点P坐标为（m，am2）， 则PA，点P到直线l的距离为am2+1． 因为点P到直线l的距离与PA相等， 所以， 整理得，4am2＝m2， 因为P为抛物线上任意一点， 则m不恒为零， 所以4a＝1， 解得a． 故选：A． 9．（2026•黄埔区二模）新定义：对于二次函数A和B，若A的顶点坐标在B的顶点坐标上方，则A是B的“仰顶函数”，例如：函数y＝（x﹣2）2+2是函数y＝2（x+3）2﹣1“仰顶函数”．若无论m取任何实数，函数y＝x2+4x+6﹣n都是函数y＝x2+2mx﹣4m的“仰顶函数”，则n的取值范围（　　） A．n＜﹣2 B．n≤﹣2 C．n＞2 D．n≥2 【解答】解：∵y＝x2+4x+6﹣n＝（x+2）2+2﹣n， ∴顶点坐标为（﹣2，2﹣n）； ∵y＝x2+2mx﹣4m＝（x+m）2﹣m2﹣4m， ∴顶点坐标为（﹣m，﹣m2﹣4m）， 根据新定义可知，2﹣n＞﹣m2﹣4m， ∴n＜m2+4m+2＝（m+2）2﹣2， ∵无论m取任何实数，不等式n＜m2+4m+2＝（m+2）2﹣2恒成立， ∴n＜﹣2． 故选：A． 10．（2026•市南区校级模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OA＝OC，对称轴为直线x＝1，则下列结论：①abc＜0；②a+0.5b+0.25c＝0；③当m＜﹣1时，关于x的方程ax2+bx+c+m＝0无实根；④ac﹣b+1＝0；⑤．其中正确的结论有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【解答】解：抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OA＝OC，对称轴为直线x＝1， ∵抛物线开口向下， ∴a＜0； ∵对称轴， ∴b＝﹣2a＞0； ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴c＞0； ∴abc＜0，故①正确． ∵OA＝OC，C（0，c）， ∴A（﹣c，0）； ∵A（﹣c，0）在抛物线上， ∴a（﹣c）2+b（﹣c）+c＝0； ∵b＝﹣2a， ∴ac2+2ac+c＝0； ∵c≠0， ∴ac+2a+1＝0； ∴a+0.5b+0.25c＝a+0.5（﹣2a）+0.25c＝0.25c≠0，故②错误． ∵顶点纵坐标为，b＝﹣2a， ∴； ∵a＜0， ∴c﹣a＞c； 当m＜﹣1时，﹣m可能小于顶点的纵坐标c﹣a，此时关于x的方程ax2+bx+c+m＝0有实根，故③错误． ∵ac+2a+1＝0，b＝﹣2a， ∴ac﹣b+1＝0，故④正确． ∵OA＝﹣xA，OB＝xB， ∴OA•OB＝﹣xAxB； ∵， ∴，故⑤正确． 故选：C． 二．填空题（共5小题） 11．（2026•香坊区校级开学）二次函数y＝x2﹣mx+3的图象经过（1，0），则m＝　4　 ． 【解答】解：将点（1，0）代入y＝x2﹣mx+3得， 1﹣m+3＝0， 解得m＝4． 故答案为：4． 12．（2026秋•同步）若抛物线y＝x2﹣2x+k与x轴有两个交点，则k的取值范围为k＜1　 ． 【解答】解：∵抛物线 y＝x2﹣2x+k与x轴有两个交点， ∴二次方程 x2﹣2x+k＝0 有两个不相等的实数根， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×k＝4﹣4k＞0， 解得：k＜1． 故答案为：k＜1． 13．（2026春•西湖区校级期末）若二次函数y＝﹣x2+6x+c的图象经过点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3），则y1，y2，y3的大小关系是y1＜y2＜y3 （用“＜”连接）． 【解答】解：由条件可知抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴点到对称轴的距离越大，对应的函数值越小， 点A（﹣1，y1）到对称轴的距离为|﹣1﹣3|＝4， 点B（2，y2）到对称轴的距离为|2﹣3|＝1， 点C（3，y3）到对称轴的距离为|3﹣3|＝0， ∵4＞1＞0， ∴y1＜y2＜y3． 故答案为：y1＜y2＜y3． 14．（2025秋•滨江区期末）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是已知数，且a≠0）的x与y的部分对应值如表，则当x＝4时，y＝　10　 ． x … ﹣1 0 1 2 3 … y … 15 10 7 6 7 … 【解答】解：由表格可知， 二次函数y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x2， ∴x＝4和x＝0时对应的函数值相等， ∵x＝0时，y＝10， ∴x＝4时，y＝10． 故答案为：10． 15．（2026•唐山二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线，与抛物线的一个交点为A，点A的横坐标为2，点P、Q分别是抛物线L1、L2上的动点．已知点R为抛物线L1上另一个动点，当CA平分∠PCR，且OQ∥PR时，则点Q的坐标为　或　 ． 【解答】解：抛物线，与抛物线的一个交点为A，点A的横坐标为2， ∴y＝22﹣2×2﹣3＝﹣3，即A（2，﹣3）， 当x＝0时，L1：y＝﹣3，即C（0，﹣3）， ∴CA∥x轴， 当点P在AC下方，点R在AC上方，如图所示，设P（m，m2﹣2m﹣3），R（n，n2﹣2n﹣3）， 同理可证△PEC∽△RFC，得到， ∴， ∴m+n＝4， 在Rt△PRG中，， ∴同上可得，，即， ∴，； 当点P在y轴左侧时，∠PCA＞∠OCA＝90°，∠RCA＜∠FCA＝90°， ∵当CA平分∠PCR， ∴此种情况不符合题意； 如图所示，当点P在y轴右侧时，点P在CA上方，点R在CA下方，过点P作PE⊥y轴于点E，过点R作RF⊥y轴于点F，作PG⊥FR延长线于点G，则PE∥x轴，RF∥x轴， ∴四边形EFGP是矩形， ∴PE＝FG，EF＝PG，PE∥RF， ∵点P，R在抛物线的图象上， ∴设P（m，m2﹣2m﹣3），R（n，n2﹣2n﹣3）， ∴PE＝m，RF＝n，E（0，m2﹣2m﹣3），F（0，n2﹣2n﹣3），G（m，n2﹣2n﹣3）， ∴FG＝m，EF＝PG＝|m2﹣2m﹣3﹣（n2﹣2n﹣3）|＝|（m﹣n）（m+n﹣2）|，EC＝|m2﹣2m﹣3﹣（﹣3）|＝|m2﹣2m|，CF＝|﹣3﹣（n2﹣2n﹣3）|＝|﹣n2+2n|，GR＝|m﹣n|， 根据作辅助线得到，PE∥CA∥RF， ∴∠EPC＝∠PCA，∠ACR＝∠CRF，且CA平分∠PCR， ∴∠EPC＝∠PCA＝∠ACR＝∠CRF，且∠PEC＝∠RFC＝90°， ∴△PEC∽△RFC， ∴， ∴， ∴m+n＝4， 在Rt△PRG中，， ∵点Q在抛物线的图象上， ∴设， ∵OQ∥PR， ∴如图所示，当点Q在Q1的位置时，OQ1∥PR，过点Q1作Q1H1⊥x轴于点H1，则Q1H1∥y轴， ∴， ∵OQ∥PR，PG∥y轴， ∴∠OQ1H1＝∠RPG， ∴，即，则Q1H1＝2OH1 ∴， 整理得，3q2+11q﹣6＝0， ∴， ∴，； 当点Q在Q2的位置时，OQ2∥PR，过点Q2作Q2H2⊥x轴于点H2，则Q2H2∥y轴， ∴， ∴，则Q2H2＝2OH2， 整理得，3q2+11q﹣6＝0， ∴， ∴，； ∴，， ∴或； 故答案为：或． 三．解答题（共6小题） 16．（2026•玄武区校级自主招生）y＝x2﹣2ax+b与x轴交于（m，0），（n，0），y＝x2+2ax+b与x轴交于（p，0），（q，0），满足mp﹣nq＝8，若a≥1，求b的取值范围． 【解答】解：∵y＝x2﹣2ax+b，y＝x2+2ax+b， ∴两个函数的图象关于y轴对称， ①∴m＝﹣p，n＝﹣q， ∵mp﹣nq＝8， ∴m（﹣m）﹣n（﹣n）＝8， ∴n2﹣m2＝8， ∴（n﹣m）（n+m）＝8， ∵m+n＝2a， ∴n﹣m，b＝mn[（m+n）2﹣（n﹣m）2＝a2， ∴b随a的增大而增大， ∵a≥1， ∴b≥﹣3， ②m＝﹣q，n＝﹣p， ∵mp﹣nq＝8， ∴m（﹣n）﹣n（﹣m）＝8（不合题意舍去）， 综上所述，b≥﹣3． 17．（2026•义乌市校级开学）已知b为实数，y是关于x的二次函数，其函数表达式为y＝x2﹣bx+b+1． （1）当b＝4时，求该函数的顶点坐标； （2）无论b取何值，该抛物线必过定点，求出该定点坐标； （3）求该函数顶点纵坐标的最大值． 【解答】解：（1）当b＝4时，把函数解析式化为顶点式可得： y＝x2﹣4x+4+1＝（x﹣2）2+1， 此时该函数的顶点坐标为（2，1）； （2）∵y＝x2﹣bx+b+1＝x2﹣b（x﹣1）+1， ∴当x﹣1＝0，即x＝1时，y＝2， ∴该定点坐标为（1，2）； （3）将抛物线解析式配方可得： ，且1＞0， ∴该函数顶点纵坐标为， ∵，， ∴当b＝2时，取得最大值，最大值为2， 即该函数顶点纵坐标的最大值为2． 18．（2026•昌平区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2x+c（a≠0）与x轴交于点A（3，0）和点B，与y轴交于点C（0，﹣3），直线y＝mx+n经过点（1，2）． （1）求抛物线的表达式； （2）过点D（2m，0）作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线y＝mx+n于点N． ①若m＝1，求MN的长； ②若点M在抛物线上的点A与点B之间，连接BM，MA，AN，NB，当四边形NBMA的面积随m的增大而减小时，求m的取值范围． 【解答】解：（1）将A（3，0），C（0，﹣3）代入y＝ax2﹣2x+c， ∴， 解得， ∴y＝x2﹣2x﹣3； （2）①∵m＝1， ∴D（2，0）， ∴M（2，﹣3）， ∵直线y＝mx+n经过点（1，2）， ∴m+n＝2， ∴n＝1， ∴y＝x+1， ∴N（2，3）， ∴MN＝6； ②当y＝0时，0＝x2﹣2x﹣3， 解得x＝3或x＝﹣1， ∴B（﹣1，0）， ∵点M在抛物线上的点A与点B之间， ∴﹣1＜2m＜3， ∴m， ∵直线y＝mx+n经过点（1，2）， ∴m+n＝2， ∴n＝2﹣m， ∴y＝mx+2﹣m， ∵D（2m，0）， ∴M（2m，4m2﹣4m﹣3），N（2m，2m2﹣m+2）， ∴MN＝2m2﹣m+2﹣（4m2﹣4m﹣3）＝﹣2m2+3m+5， ∴四边形NBMA的面积MN＝2（﹣2m2+3m+5）＝﹣4（m）2， ∴m时，y随m的增大而减小， ∴m时，四边形NBMA的面积随m的增大而减小． 19．（2026•科尔沁区校级三模）如图，抛物线交x轴于A（﹣5，0），B（1，0）两点，点D是抛物线的顶点． （1）求抛物线解析式及顶点D坐标； （2）抛物线上有一点N（不与C重合），使S△ABN＝S△ABC，求点N坐标； （3）在对称轴上有一点K，在抛物线上有一点L，若使A，B，K，L为顶点的四边形为平行四边形，直接写出K，L坐标． 【解答】解：（1）把A（﹣5，0），B（1，0）代入， 解得，， ∴抛物线解析式为， ∵， ∴D（﹣2，﹣3）； （2）若点N在AB下方，当S△ABN＝S△ABC时，点N的纵坐标与点C的纵坐标相同，此时点； 若点N在AB上方，S△ABN＝S△ABC， 即，得， 把代入抛物线， 解得， ∴或； 综上所述，符合条件的N的坐标共有三个，分别是或或； （3）设K（﹣2，m），， 如图，当AL、BK为对角线时， ∴， 解得， ∴L（4，9），K（﹣2，9）； 如图，当AK、BL为对角线时， ∴， 解得， ∴L（﹣8，9），K（﹣2，9）； 如图，当AB、KL为对角线时， ∴， 解得， ∴L（﹣2，﹣3），K（﹣2，3）； 综上可得共三种情况L（﹣2，﹣3），K（﹣2，3）；L（﹣8，9），K（﹣2，9）；L（4，9），K（﹣2，9）． 20．（2026•乾县模拟）投壶是中国古代宴饮时的一种投掷游戏．在一次科技展上，机器人和人们展开了一场现代科技与古代智慧的投壶挑战赛，如图1，在一次投壶中，机器人和张兴站在投壶点向同一方向进行投壶，分别在点D，F处放置壶．如图2，以水平地面为x轴，以投壶点为原点O，过点O且垂直于x轴的直线为y轴建立平面直角坐标系．其中张兴箭矢的运动轨迹和机器人箭矢的运动轨迹L2均为抛物线形．已知机器人投壶时箭矢的出手点B距离地面1.2m，当箭矢在与出手点水平距离0.8m处时达到最高点，此时箭矢距离地面2m．其中壶口与地面的距离CD＝EF＝0.2m． （1）求机器人箭矢的运动轨迹L2所在抛物线的函数表达式； （2）若张兴所投箭矢恰好投入壶口C，且OF＝2OD，请你通过计算说明机器人此次投壶能否恰好投入壶口？ 【解答】解：（1）由题意得，抛物线L2的顶点为（0.8，2）， ∴可设L2所在抛物线的函数表达式为y＝a（x﹣0.8）2+2， 又∵此时图象过点B（0，1.2）， ∴1.2＝a（0﹣0.8）2+2， ∴0.64a＝﹣0.8，则， ∴L2所在抛物线的函数表达式为； （2）由题意，设OD＝d，则OF＝2d， ∴壶口C的坐标为（d，0.2）， ∴壶口E（2d，0.2）， ∴， ∴2d﹣0.8＝±1.2， ∴d＝1（负值舍去）， ∴OD＝1，OF＝2.2． 又∵将x＝2代入L2的表达式：y＝﹣5（2﹣0.8）2+2＝﹣5×1.44+2＝﹣1.8+2＝0.2， ∴此时y＝0.2，与壶口E的高度EF＝0.2相等， ∴机器人此次投壶能恰好投入壶口． 21．（2025秋•武汉期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3经过点P（1，﹣4），与坐标轴分别交于A，B，C三点．直线y＝kx与抛物线交于D，E两点． （1）直接写出a的值和A，B两点的坐标； （2）如图（1），直线x＝m与直线DE相交于点F，与抛物线相交于点G，若k＝﹣1，以O，C，F，G为顶点的四边形为平行四边形时，求m的值； （3）如图（2），点M在抛物线上，DM∥AB，直线ME，PE分别交y轴于点N，Q，当k（k≠﹣4）变化时，是否为定值，若是，求其值，若不是，请说明理由． 【解答】解：（1）将P（1，﹣4）代入y＝ax2﹣2ax﹣3，得， ﹣4＝a﹣2a﹣3， 解得a＝1， ∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3， 将y＝0代入y＝x2﹣2x﹣3，得x2﹣2x﹣3＝0， 解得x＝﹣1或x＝3， ∴点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（3，0）； （2）∵k＝﹣1， ∴直线DE的解析式为y＝﹣x， 由题意可知，点F的坐标为（m，﹣m），点G的坐标为（m，m2﹣2m﹣3）， ∴FG＝|m2﹣2m﹣3﹣（﹣m）|＝|m2﹣m﹣3|， 将x＝0代入y＝x2﹣2x﹣3，得y＝﹣3， ∴点C的坐标为（0，﹣3），OC＝3， ∵以O，C，F，G为顶点的四边形为平行四边形， 又∵OC∥FG， ∴OC＝FG， ∴|m2﹣m﹣3|＝3，即m2﹣m﹣3＝±3； ①当m2﹣m﹣3＝﹣3时， 化简，得m2﹣m＝0， 解得m＝0或1， 当m＝0时，OC与FG重合，与题意不符，故舍去， ∴m＝1； ②当m2﹣m﹣3＝3时， 化简，得m2﹣m﹣6＝0， 解得m＝﹣2或3； 综上所述，m的值为﹣2或1或3； （3）设点D的坐标为（x1，kx1），点E的坐标为（x2，kx2）， 抛物线y＝x2﹣2x﹣3的对称轴为直线， 当直线DE与抛物线y＝x2﹣2x﹣3相交时， kx＝x2﹣2x﹣3， 化简，得x2﹣（k+2）x﹣3＝0， 由一元二次方程根与系数的关系可得，x1+x2＝k+2，x1x2＝﹣3， ∵DM∥AB， ∴点D与点M关于抛物线的对称轴对称， ∴点M的坐标为（2﹣x1，kx1）， 设直线ME的解析式为y＝k1x+b1， 将点M（2﹣x1，kx1），E（x2，kx2），代入y＝k1x+b1，得： ， 解得， ∵x1+x2＝k+2，x1x2＝﹣3， ∴， ∴直线ME的解析式为y＝（x2﹣x1）x﹣2x2﹣6， 将x＝0代入y＝（x2﹣x1）x﹣2x2+6，得y＝﹣2x2﹣6， ∴点N的坐标为（0，﹣2x2﹣6）， ∴ON＝|﹣2x2﹣6|＝|2x2+6|， 设直线PE的解析式为y＝k2x+b2， 将P（1，﹣4），E（x2，kx2）代入y＝k2x+b2，得： ， 解得， ∵x1+x2＝k+2，即k＝x1+x2﹣2， ∴， ∵x1x2＝﹣3， ∴， ∴直线PE的解析式为， 将x＝0代入，得y＝﹣x2﹣3， ∴点Q的坐标为（0，﹣x2﹣3）， ∴OQ＝|﹣x2﹣3|＝|x2+3|， ∴为定值． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $