第5章 第3节 等比数列（配套练习Word版）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮课时作业（人教B版）

**基本信息** 以等比数列定义、通项及前n项和为核心，通过高考真题与模拟题系统训练运算能力与推理意识，覆盖基础应用与综合拓展。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|10题|基本量计算、性质判断、前n项和公式应用|从定义出发，推导通项与前n项和公式，结合公比讨论（q=1/q≠1），应用于子数列性质分析| |能力提升|4题|综合判断、实际问题、跨知识结合|通过实际情境（如再生资源产量）构建模型，强化公式逆用与逻辑推理，突出易错点（公比符号、取值范围）|

课时冲关38　等比数列 学生用书　P329 [基础训练组] 1．(2023·天津卷)已知{an}为等比数列，Sn为数列{an}的前n项和，an＋1＝2Sn＋2，则a4的值为(　　) A．3　 B．18　 C．54　 D．152 解析：C　[由题意可得：当n＝1时，a2＝2a1＋2，即a1q＝2a1＋2，　① 当n＝2时，a3＝2(a1＋a2)＋2，即a1q2＝2(a1＋a1q)＋2，　② 联立①②可得a1＝2，q＝3，则a4＝a1q3＝2×33＝54.] 2．(2023·全国甲卷)已知等比数列{an}中，a1＝1，Sn为{an}前n项和，S5＝5S3－4，则S4＝(　　) A．7　 B．9　 C．15　 D．30 解析：C　[等比数列{an}中，设公比为q， a1＝1，Sn为{an}前n项和，S5＝5S3－4， 显然q≠±1， (如果q＝1，可得5＝15－4矛盾，如果q＝－1，可得－1＝－5－4矛盾)， 可得＝5·－4，解得q2＝4，即q＝2或q＝－2， 所以当q＝2时，S4＝＝＝15. 当q＝－2时，S4＝＝＝－5.没有选项．] 3．(多选)设等比数列{an}的公比为q，则下列结论正确的是(　　 ) A．数列是公比为q2的等比数列 B．数列是公比为q的等比数列 C．数列是公比为q的等比数列 D．数列是公比为的等比数列 解析：AD　[对于A，由＝q2(n≥2)知数列{anan＋1}是公比为q2的等比数列；对于B，当q＝－1时，数列{an＋an＋1}的项中有0，不是等比数列；对于C，若q＝1时，数列{an－an＋1}的项中有0，不是等比数列；对于D，＝＝，所以数列是公比为的等比数列，故选AD.] 4．已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝(　　 ) A．16(1－4－n)　　　 B．16(1－2－n) C.(1－4－n) D．(1－2－n) 解析：C　[∵a2＝2，a5＝，∴a1＝4，q＝. ∴anan＋1＝aq2n－1＝242n－1＝8n－1， ∴a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝(1－4－n)．] 5．(2024·茂名模拟)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，公比为q，则下列选项正确的是(　　) A．若S3＝4，S6＝12，则S9＝29 B．若a1＝1，q＝，则Sn＝4－3an C．若a4＋a7＝2，a5a6＝－8，则a1＋a10＝－6 D．若a1＝1，a5＝4a3，则an＝2n－1 解析：B　[A选项中，由S3(S9－S6)＝(S6－S3)2，即4(S9－12)＝(12－4)2，解得S9＝28； B选项中，Sn＝＝4－3an； C选项中，由a5a6＝a4a7，得a4a7＝－8，a4＋a7＝2， 解得a4＝4，a7＝－2或a4＝－2，a7＝4， 当q3＝－时，a1＋a10＝＋a4q6＝＋4×2＝－7， 当q3＝－2时，a1＋a10＝＋a4q6＝＋(－2)×(－2)2＝－7； D选项中，∵a5＝4a3，∴q4＝4q2，∴q＝0(舍去)或q＝－2或q＝2， 故an＝(－2)n－1或an＝2n－1.] 6．(2024·河北统考模拟)已知等比数列{an}的首项a1＞0，公比q＜0，a2a4＝4，且an＋2－2an＝an＋1，则{an}的前2 023项和为________． 解析：因为an＋2－2an＝an＋1，所以anq2－2an＝anq，化为q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1， 又因为q＜0，所以q＝－1，又因为a2a4＝4，所以aq4＝a(－1)4＝4，得到a1＝2或a1＝－2， 又a1＞0，所以a1＝2，故an＝2×(－1)n－1， 所以S2 023＝＝2. 答案：2 7．(2024·漳州市模拟)等比数列{an}中，a1＝1，an＞0，其前n项和为Sn，若a2是－a3，a4的等差中项，则S6的值为______． 解析：假设公比为q，则可列方程2q＝－q2＋q3，解得q＝0或2或－1，其中满足条件的公比只有2.则S6＝＝63. 答案：63 8．(2024·江西高三统考)黄金比又称黄金律，是指事物各部分间一定的数学比例关系，即将整体一分为二，较大部分与较小部分之比等于整体与较大部分之比．其中，较大部分与整体之比的比值称为黄金分割数，黄金分割数被公认为最具有审美意义的比例数字．若数列{an}是以黄金分割数为公比的等比数列，且a2 024＋a2 025＝2 023，则a2 023＝_________. 解析：由题意，设整体为1，较大部分为x，则较小部分为1－x，则＝， 即x2＋x－1＝0，解得x＝(x＝舍去)，故黄金分割数为. 令q＝，则q2＋q－1＝0，即an(q2＋q－1)＝0， 所以an＋2＋an＋1－an＝0，故a2 023＝a2 024＋a2 025＝2 023. 答案：2 023 9．已知{an}是递减的等比数列，且a2＝2，a1＋a3＝5，则{an}的通项公式为________；a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1(n∈N＋)＝________. 解析：由a2＝2，a1＋a3＝5，{an}是递减的等比数列，得a1＝4，a3＝1，an＝4×n－1，则a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1是首项为8、公比为的等比数列的前n项和．故a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝8＋2＋＋…＋8×n－1＝＝×. 答案：an＝4×n－1　× 10．(2024·汕头模拟)已知公比大于1的等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＝8. (1)求{an}的通项公式； (2)记bm为{an}在区间(0，m](m∈N＋)中的项的个数，求数列{bm}的前100项和S100. 解：(1)设等比数列{an}的首项为a1，公比为q(q>1)． 因为，即，解得q＝2，a1＝2.所以an＝2n. (2)由于21＝2,22＝4,23＝8,24＝16,25＝32,26＝64,27＝128， 所以b1对应的区间为：(0,1]，则b1＝0； b2，b3对应的区间分别为：(0,2]，(0,3]，则b2＝b3＝1，即有2个1； b4，b5，b6，b7对应的区间分别为：(0,4]，(0,5]，(0,6]，(0,7]，则b4＝b5＝b6＝b7＝2，即有22个2； b8，b9，…，b15对应的区间分别为：(0,8]，(0,9]，…，(0,15]，则b8＝b9＝…＝b15＝3，即有23个3； b16，b17，…，b31对应的区间分别为：(0,16]，(0,17]，…，(0,31]，则b16＝b17＝…＝b31＝4，即有24个4； b32，b33，…，b63对应的区间分别为：(0,32]，(0,33]，…，(0,63]，则b32＝b33＝…＝b63＝5，即有25个5； b64，b65，…，b100对应的区间分别为：(0,64]，(0,65]，…，(0,100]，则b64＝b65＝…＝b100＝6，即有37个6. 所以S100＝1×2＋2×22＋3×23＋4×24＋5×25＋6×37＝480. [能力提升组] 11．(多选)已知a1，a2，a3，a4成等比数列，满足a1＋a2＋a3＋a4＝(a2＋a3＋a4)2，且a4＞1，下列选项正确的是(　　) A．a1＞a3 B．a3＞a4 C．a1＞a2 D．a2＜a4 解析：AD　[a1，a2，a3，a4成等比数列，设公比为q. ∵a1＋a2＋a3＋a4＝(a2＋a3＋a4)2， ∴＋＋＋a4＝2， ∴＋＋＋1＝a42， ∵a4＞1， ∴＋＋＋1＞2， 整理得＋＋＋＜0，即q3＋2q2＋q＋1＜0. 令f(x)＝x3＋2x2＋x＋1，则f′(x)＝3x2＋4x＋1＝(3x＋1)(x＋1)． 由f′(x)＞0，得x＞－或x＜－1；由f′(x)＜0，得－1＜x＜－， ∴f(x)在(－∞，－1)上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． ∴f(x)的极大值为f(－1)＝1，极小值为f＝＞0. 又f(－2)＝－1＜0，∴f(x)在区间(－2，－1)上有一个零点x0. 即q3＋2q2＋q＋1＜0时，q＜x0＜－1， ∴q2＞1. ∵a4＞1，∴等比数列a1，a2，a3，a4中，a1，a3均为负数，a2，a4均为正数． ∴a3＝a1q2＜a1，a4＝a2q2＞a2.] 12．随着全球的经济发展和人口增长，资源消耗和环境问题日益凸显，为了实现可持续发展，我国近年来不断推出政策促进再生资源的回收利用．某家冶金厂生产的一种金属主要用于电子设备的制造，2023年起该厂新增加了再生资源的回收生产，它每年的金属产量将由两部分构成：一部分是由采矿场新开采的矿石冶炼，每年可冶炼3万吨金属；另一部分是从回收的电子设备中提炼的再生资源，每年可生产的金属约占该厂截止到上一年末的累计金属总产量的10%.若截止2022年末这家冶金厂该金属的累计总产量为20万吨，则估计该厂2024年的金属产量为______万吨，预计到______年，这家厂当年的金属产量首次超过15万吨．(参考数据：lg 1.1≈0.041 4，lg 3≈0.477 1) 解析：设2023年为第一年，第n年该厂的金属产量为an，截止第n年末这家冶金厂该金属的累计总产量为Sn， Sn＝ a1＝20×10%＋3＝5，a2＝(20＋5)×10%＋3＝5.5，故2024年产量为5.5万吨， an＋1＝Sn·0.1＋3，an＝Sn－1·0.1＋3， 作差得an＋1－an＝an·0.1(n≥2)，所以an＋1＝an·1.1(n≥2)， a2＝a1·1.1也成立，所以an＝5·1.1n－1， 由an＝5·1.1n－1>15得1.1n－1>3， (n－1)lg 1.1>lg 3， n－1>≈≈11.5，则n取13，为2 035年． 答案：5.5　2 035 13．(2023·北京卷)我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就出现了类似于砝码的用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量(单位：铢)从小到大构成项数为9的数列{an}，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且a1＝1，a5＝12，a9＝192，则a7＝______________，数列{an}的所有项的和为_________． 解析：∵数列{an}的后7项成等比数列，an＞0， ∴a7＝＝＝48， ∴a3＝＝＝3，∴公比q＝＝＝2，∴a4＝3×2＝6， 又该数列的前3项成等差数列， ∴数列{an}的所有项的和为＋＝＋378＝384. 答案：48　384 14．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝，Sn＝Sn－1＋an－1＋(n∈N＋且n≥2)，数列{bn}满足：b1＝－，且3bn－bn－1＝n＋1(n∈N＋且n≥2)． (1)求数列{an}的通项公式； (2)求证：数列{bn－an}为等比数列； (3)求数列{bn}的前n项和的最小值． 解：(1)由Sn＝Sn－1＋an－1＋，得Sn－Sn－1＝an－1＋，即an－an－1＝(n≥2且n∈N＋)， 则数列{an}是以为公差的等差数列， 因此an＝＋(n－1)×＝n＋. (2)∵3bn－bn－1＝n＋1(n≥2)， ∴bn＝bn－1＋(n＋1)(n≥2)． 又bn－an＝bn－1＋(n＋1)－n－＝ bn－1－n＋＝(n≥2)， bn－1－an－1＝bn－1－(n－1)－ ＝bn－1－n＋(n≥2)， ∴bn－an＝(bn－1－an－1)(n≥2)． ∵b1－a1＝－10≠0， ∴数列{bn－an}是以－10为首项，为公比的等比数列． (3)由(2)得bn－an＝－10×n－1， ∴bn＝an－10×n－1＝n＋－10×n－1. 又bn－bn－1＝n＋－10×n－1－(n－1)－＋10×n－2 ＝＋20×n－1＞0(n≥2)，∴{bn}是递增数列． ∵当n＝1时，b1＝－10＜0，当n＝2时，b2＝－＜0， 当n＝3时，b3＝－＞0， ∴数列{bn}从第3项起各项均大于0，故数列{bn}的前2项之和最小． 记数列{bn}的前n项和为Tn，则T2＝＋＝－. 7 学科网（北京）股份有限公司 $