23.4 第1课时 解直角三角形(课件PPT)-【指南针·课堂优化】2026-2027学年九年级上册数学（华东师大版·新教材）

该初中数学课件聚焦“解直角三角形”核心内容，涵盖概念、已知条件分类、非直角三角形转化及方向角等知识点。通过基础导学填空回顾直角三角形性质，搭建从概念理解到实际应用的学习支架，衔接前后知识脉络。 其亮点是分层设计典例与演练，通过作垂线构造直角三角形培养几何直观，规律方法总结提升推理能力，实际应用问题强化模型意识。如例2将非直角三角形转化为直角三角形求解，变式训练巩固方法，助力学生提升解题能力，为教师提供系统教学资源。

初中数学 指南针•课堂优化·九年级数学HS 第3章解直角三角 形 23.4解直角三角 形 CONTENTS 景 基础导学 2 典例探究 3 课后演练 基础导学 1.在直角三角形中，由已知元素求未知元 素的过程，叫做 2.解直角三角形只有两种情况：(1)已知 ;(2)已知 和 ★注意：解决非直角三角形问题往往需要 构造直角三角形，常从非特殊角的顶点向对边 作垂线.对于较复杂的图形，往往通过“补形”或 “分割”的方法，构造直角三角形，利用解直角三 角形的方法实现问题的转化. 3.方向角 从正北方向线或正南方向线到目标方向线 所形成的小于90°的角叫做方向角 典例探究 考点① 解直角三角形 【例1】△ABC中，∠C=90°，AC=√6，BC =√2，解这个直角三角形. 规律与方法：若已知两边，可先解出第三边， 再利用边角关系，求出所有角. 【变式训练1】在Rt△ABC中，∠C=90°， 根据下列条件解直角三角形 (1)∠A=30°，b=12; (2)a=2W6,c=43. 考点② 解非直角三角形 【例2】 如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B =45°，AC=2√3，求AB的长， C 30 45° A D B 解：过点C作CD⊥ AB于D,如图. 在Rt△ACD中， ∠A=30°， 4C=2/3. CD=AC×sin4=23×2=3, AD-ACXc0sA-2/3x-3. 在Rt△BCD中，∠B=45°，则BD=CD=√3. ,.AB=AD+BD=3+√3. 规律与方法：本题考查灵活运用解直角三角 形的知识求线段长，恰当引用辅助线，把AB化到 两个直角三角形中去，把问题转化为解直角三角形 的问题来解答是解决问题的关键 【变式训练2】如图，在△ABC中，若AB= 4√2，∠B=45°，∠C=60°，AH⊥BC于点H,D为 AC上的一点，且AD=√3，则AH=,CH= DC= 考点③ 解直角三角形的应用 【例3】 如图，有小岛A和小岛B,轮船以45 km/h的速度由C向B航行，在C处测得A的方 A E 位角为北偏东60°，测得B的方位角为南偏东 60° 45°，轮船航行2h后到达小岛B处，在B处测得 小岛A在小岛B的正北方向.求小岛A与小岛B 45° 之间的距离.（结果保留整数.参考数据：√2≈ 1.41,W6≈2.45) B 解：过点C作CP⊥AB于点P, 如图。 ,·∠BCF=45°，∠ACE=60°， AB∥EF, ..∠PBC=45°，∠CAP=60°， ,轮船的速度是45km/h,轮 船航行2h,,∴，BC=90km ,BC2=BP+CP,∠PBC=45°， .BP=CP=45/2. ∠CAp=60°，∴.tan60°=CP=452 APAP ..AP=15√6， .∴AB=AP+PB=15√/6+45√2 ≈15×2.45+45×1.41≈100(km). 答：小岛A与小岛B之间的距离约为100km 规律与方法：“双直角三角形”是锐角三角函 数部分最常见的类型，一般分两种情况：一是两个 直角三角形在公共边的同侧；二是两个直角三角形 在公共边的异侧.解题的一般方法就是设公共边为 x,然后利用锐角三角函数表示一些边的长度，最 后根据题意列出方程，即可求解， 【变式训练3】墙壁及淋浴花洒截面如图所 示.已知花洒底座A与地面的距离AB为170 cm,花洒AC的长为30cm,与墙壁的夹角∠CAD 170 为43°.求花洒顶端C到地面的距离CE.(结果精 确到1cm.参考数据：sin43≈0.68，cos43°≈0.73， B E tan43°≈0.93) 解：如图，过C作CF⊥AB于点F, 则∠AFC=90°. 在Rt△ACF中，AC=30,∠CAF=43°， 0s∠C4F=4F AC’ ..AF=AC·c0s∠CAF ≈30×0.73=21.9， ..CE=BF=AB+AF=170+21.9=191.9 ≈192(cm). 答：花洒顶端C到地面的距离CE约为192cm 课后演练 【基础过关】 1.(贵港中考)如图，在4×4网格正方形中，每个 小正方形的边长为1，顶点为格点，若△ABC的 顶点均是格点，则cos∠BAC的值是 A. 5 B. V10 C. 2W5 5 5 D. 45 2.(沈阳中考)如图，一条河的两岸互相平行，为了 测量河的宽度PT(PT与河岸PQ垂直)，测量 得P,Q两点间距离为m米，∠PQT=a,则河 宽PT的长为 () A.msina B.mcosa C.mtana D. m tang 3.(乐山中考)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°， BC=√5，点D是AC上一点，连结BD.若tan∠A 2am∠D=号则D的长为 () D B A.2√/5 B.3 C.√5 D.2 4.(常州中考)如图，在Rt△ABC中，∠A=90°， 点D在边AB上，连接(n若D-(D,品 -3,则am5= A D B 5.（西宁中考)在平面直角坐标系xOy中，直线 AB与x轴交于点A(6,0),与y轴交于点B (0,6),点P在y轴上，且满足∠PAB=15°， 则OP的长为 6.(巴中中考)一艘轮船位于灯塔P的南偏东 60°方向，距离灯塔30海里的A处，它沿北偏 北 东30°方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 东 B 的北偏东67°方向上的B处，此时与灯塔P的 167 距离约为 海里.（参考数据：sin37°≈ :309 160° gcos37≈号，lan37r≈) A 7.已知Rt△ABC中，∠C=90°，由下列条件解 直角三角形. (1)已知a=4√3，b=23,求c; (2)已知∠A=60°，c=23+4,求b; (3)已知a=10,c=102,求∠B; (4)已知b=35,∠A=45°，求a. 8.(2022·淮安)如图，湖边A、B两点由两段笔直 B 的观景栈道AC和CB相连.为了计算A、B 两点之间的距离，经测量得：∠BAC=37°， ∠ABC=58°，AC=80米，求A、B两点之间的 距离.（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈ 37 0.80,tan37°≈0.75，sin58°≈0.85，cos58°≈ 0.53,tan58°≈1.60) 解：如图，过点C作CD⊥AB,垂是为 点D, 在Rt△ACD中， ∠DAC=37°，AC=80米， ∴sim∠DAC-C.cs∠DAC-A2 ,∴.CD=AC·sin37°≈80×0.60=48（米）， AD=AC·c0s37≈80X0.80=64(米)， 在Rt△BCD中， :∠CBD=58°，CD=48米， .tan∠CBD=CD BD' ..BD= CD 48 tan58°1.60 =30(米)， ,.AB=AD+BD=64+30=94(米). 答：A、B两点之间的距离约为94米. 【能力提升】 9.(深圳中考)如图，在△ABC中，AB=BC,tan ∠B=多D为BC上一点，若满足CD-8 BD,过D作DE⊥AD交AC延长线于点E, 则 B D C E 10.(齐齐哈尔中考)在△ABC中，AB=3√6，AC= 6,∠B=45°，则BC= 【创新探究】 11.一副直角三角板如图放置，点C在FD的延 长线上，AB∥CF,∠F=∠ACB=90°，∠E =45°，∠A=60°，AC=5,试求CD的长. E B 0 F M D B7=C,sin0=5,3x号-55， CM=BC·c0s30°=53x3=15 、2-2 在△EFD中， ∠F=90°，∠E=45°， ..∠EDF=45°， MD=BM=5/3 2 .CD=CM-MD=15_53=15-53 22 2