22.3 第5课时 相似三角形的性质(课件PPT)-【指南针·课堂优化】2026-2027学年九年级上册数学（华东师大版·新教材）

该初中数学课件聚焦九年级“相似三角形的性质”，系统梳理对应边成比例、对应角相等及三线、周长、面积与相似比的关系。通过基础导学填空题回顾性质，衔接相似三角形判定知识，为性质应用搭建学习支架。 其亮点在于典例探究分层设计，从基础证等积式（如36°等腰三角形相似证明）到综合面积计算（梯形中面积比问题），结合中考题变式训练，培养学生推理能力与应用意识。学生能深化性质理解，提升解题技能，教师可依托系统资源实施分层教学，提高课堂效率。

初中数学 指南针•课堂优化•九年级数学HS 第22章图形相仙 22.3相似三角形 CONTENTS 景 基础导学 典例探究 3 课后演练 第5课时 相似三角形的性质 基 础 导 学 1.相似三角形 成比例， 相等. 2.相似三角形 的比， 的比， 的比都等于相 似比. 3.相似三角形的周长的比等于 4.相似三角形的面积比等于 典例探究 考点① 利用相似三角形的性质证等积式 【例1】 如图，在△ABC中， ∠A=36°，AB=AC,BD是 ∠ABC的平分线，设CD=a,AD =b,AB=c,求证：b2=ac. = C,需证△BCD∽△ABC,显然，此结论易得. 证明：，∠A=36°，AB=AC, ,∴，∠ABC=∠C=72°， 又.BD平分∠ABC,.∠1=∠2=36°=∠A, .∠3=∠1+∠A=72°=∠C ,.BC=BD=AD=b,△BCDP△ABC, 86-设即名=g6=ac 考点② 有关相似三角形的周长与面积的计算 【变式训练1】如图，E为AD上一点，若 ∠DAC=∠B,CD=CE,求证：CD·BD=AD·AE. E 证明：，'∠ACD=∠BCA, B D ∠DAC=∠B. ∴.∠CDE=∠CED,,∴.∠ADB=∠CEA, ,.△ACD△BCA, ,∠DAC=∠B,'.△ADB△CEA, CD_AC ·ADAB1 6部0部 .CD=CE, .'.CD·BD=AD·AE. 【例2】 如图所示，梯形ABCD中，AD∥ BC,对角线AC和BD相交于点O,若S△AOD： S△AcD=1：3,求S△A0D：S△B0C. B 解：过点D作AC的垂线，垂 足为E, Sn=号A0DE, 2AO-DE 2AC·DE SAm=2AC·DE, .AO:QC=1:2,又.AD∥BC,.△AODの△COB, 漂-0=分-寸 规律与方法：由线段的比求面积的比或由面 积的比求线段的比时，分两种情况：(1)这两个图形 若是相似图形，则面积的比等于相似比的平方；(2) 这两个图形不相似，则可以寻找它们的底与高之间 的关系，看是否有同底或同高 【变式训练2】 (1)(贵阳中考)如图，在 △ABC中，D是AB边上的点，∠B=∠ACD, AC:AB=1:2,则△ADC与△ACB的周长 比是 () A.1:√2 B.1:2 C.1:3 A B D D.1:4 (2)(阜新中考)如图，在矩形ABCD中，E 是AD边上一点，且AE=2DE,BD与CE相交 于点F,若△DEF的面积是3，则△BCF的面积 是 E A F B C 考点③ 相似三角形性质的综合运用 【例3】 如图，PN∥BC,AD⊥BC交PN 于点E,交BC于点D. (1)若AP:PB=1:2,S△ABc=18cm,求 △APN的面积； （2若5m、=2·求 的值 B D D 解析：由PN∥BC,可得 △APN∽△ABC,再利用相似三角形面积比等于相似比 的平方，从而得出△APN的面积. 解：(1)AP:PB=1:2,.AP:AB=1:3. 又PN∥BC,.'.∠APN=∠ABC,∠ANP=∠ACB. △ANO△ACS =()=g, Sm=w=)×18=2(cm)， (2) 、=1,SA=1 S四边形PBCN 2’ S AABC 3 B D AE:AD=√3= 规律与方法：本题考查相似三角形性质的灵 活运用，注意由面积比求相似比时要开算术平 方根. 【变式训练3】如图，□ABCD中，E是CD的 延长线上一点，BE与AD交于点F,DE= CD. (1)求证：△ABF∽△CEB; B (2)若△DEF的面积为2，求平行四边形 ABCD的面积. (1)证明：，四边形ABCD 是平行四边形， .∠A=∠C,AB∥CD, .∠ABF=∠CEB, ..△ABFp△CEB. (2)解：四边形ABCD是平行四边形， .AD∥BC,AB LCD, .,△DEF∽△CEB,△DEF∽△ABF, ∴.DE= 2 CD. .S△DEF S△EB ,'S△DEF=2,∴.S△aEB=18,S△ABr=8, .S回边形r=S△E一S△DEF=16, ∴.S回边形ABCD=S回边形DF十S△A8F=16十8=24. 课后演练 1.如图，在△ABC中，点D,E分别在边AB,AC 上，且福-A把-方则Se:sa5m的 值为 A.1:√3 B.1:2 C.1:3 B D.1:4 2.(河南中考)如图，在□ABCD中，对角线AC, BD相交于点O,点E为OC的中点，EF∥AB 交BC于点F.若AB=4,则EF的长为() A司 B.1 E B F C 4 C. D.2 3.如图，□ABCD,F为BC的中点，延长AD至 E,使DE:AD=1:3,连结EF交DC于点 G,则SADEG:S△CFG= () A.2:3 B.3:2C.9:4 D.4:9 E D G B 4.(贺州中考)如图，在△ABC中，DE∥BC,DE =2,BC=5,则S△ADE:S△ABC的值是 () D E A爱 c号 D. 35 B 5.△ABC中，BC=54cm,CA=45cm,AB=66cm, 另一个与它相似的三角形的最短边为15cm,则 另一个三角形的周长为 6.(乐山中考)如图，在平行四边形ABCD中，E 是线段AB上一点，连结AC、DE交于点F. F A E B 7.如图，△ABC是一张锐角三角形的硬纸片. AD是边BC上的高，BC=40cm,AD= 30cm,从这张硬纸片上剪下一个长HG是宽 HE的2倍的矩形EFGH,使它的一边EF在 BC上，顶点G、H分别在AC、AB上，AD与 HG的交点为M. (1)求证：AD AM HG BC (2)求这个矩形EFGH的周长. B (1)证明：，四边形EFGH 为矩形.，EF∥GH, ,.∠AHG=∠ABC, 又.∠HAG=∠BAC, .∴.△AHG∽△ABC, AM HG ·AD BC' 2)解：由(D得-化泛HE=xcm,则HG=2xcm, AM=AD-DM=AD-HE=30-x. 可得30x-2,解得x=12,2x=24. 30 409 所以矩形EFGH的周长为2X(12+24)=72cm. 【能力提升】 8.如图，在△ABC中，点D,E为边AB的三等 分点，点F,G在边BC上，且AC∥DG∥EF, 人 点H为CE与DG的交点.若AC=10,则GH E D A 的长为 B.2 C. D.3 9.(扬州中考)如图，在△ABC中，AB<AC,将 △ABC以点A为中心逆时针旋转得到 △ADE,点D在BC边上，DE交AC于点F. 下列结论：①△AFE∽△DFC;②DA平分 ∠BDE;③∠CDF=∠BAD,其中所有正确结 论的序号是 A.①② B.②③ C.①③ D.①②③ 10.(上海中考)如图所示，在矩形ABCD中，E 为边CD上一点，且AE⊥BD.求证：AD= DE·DC E C A B .'.∠ABD=∠DAE, .·∠BAD=∠ADE=90°， ..△ADE△BAD, ·ADDE ·BAAD ..AD2=DE·BA, .'AB=DC, ..AD2=DE·DC. 【创新探究】 11.(泰安中考)如图，△ABC和△CDE均是等 腰直角三角形，EF⊥AD: (1)当AF=DF时，求∠AED; F D (2)求证：△EHG∽△ADG: G (3)求证： AE AC ◇ B CH E C (1)解：'△ABC和△CDE均 (2)证明：由(1)得：AC⊥ED, 是等腰直角三角形， .∠AGD=∠AGE=90°， .∠ECD=90°，∠ACB=45°， EF⊥AD, EC=DC, .∠AFE=90°， ,.∠ACD=∠ECD-∠ACB= .∠AGE=∠AFE, 90°-45°=45°， ,'∠EHG=∠AHF, ,',AC垂直平分ED, .'.∠DAG=∠GEH, .'.AE=AD. .'.△EHG∽△ADG: EF⊥AD, .∴.AE=ED, ..AD=AE=ED. ..∠AED=60°： (3)证明：由(2)知：△EHG∽△ADG, ·AD=AG=DG ·EH EG GH .'AD=AE, ·AE-AG ·EH EG' .·∠ECD=90°，EG=DG, CG=EG=DG. ·AE AG CG ·“EH GH ·AE AC EH CH