21.1 认识一元二次方程(课件PPT)-【指南针·课堂优化】2026-2027学年九年级上册数学（华东师大版·新教材）

该初中数学课件聚焦九年级“一元二次方程”，系统涵盖定义、条件、一般形式、根及列方程等核心知识点，通过基础导学填空及注意点梳理，帮助学生从整式方程自然过渡，搭建从概念理解到实际应用的学习支架。 其亮点在于典型探究按考点分类，例题结合规律方法与变式训练，培养数学思维的推理能力和运算能力。列方程部分融入矩形面积、降价百分率等实际问题，发展数学语言的模型意识。学生能提升知识应用能力，教师可借助分层练习优化教学效率。

初中数学 指南针•课堂优化·九年级数学HS 第2引章一元二次方程 21.1认识一元二次方程 CONTENTS 景 基础导学 典型探究 3 课后演练 基础导学 1.整式方程中 ,并且 未知数的最高次数是2，这样的方程叫做一元二 次方程， 2.一元二次方程必须同时满足三个条件： 、只含有一个未知数、 3.一元二次方程的一般形式为 ,其中 是二 次项，a是二次项系数； 是一次项，b是一 次项系数； 是常数项 4.使方程左右两边 的未知数的值 就是这个一元二次方程的 ,也叫做一元 二次方程的解.。 5.列一元二次方程 (1)明确题意，设未知数；(2)根据数量关系 用代数式表示未知量；(3)根据等量关系列出一 元二次方程. ★注意： (1)一元二次方程的一般形式有两个特征： ①等式左边是二次三项式，右边是零；②a≠0. (2)要确定一元二次方程的各项系数，必须 先将一元二次方程化为一般形式，特别注意各 项系数必须包括前面的符号. (3)一元二次方程的一般形式不是唯一的， 但习惯上都把二次项的系数化成正整数. 典例探究 考点①) 一元二次方程的识别 【例1】下列关于x的方程哪些是一元二 次方程？指出它们的序号 (1)x2-1=0; (2+ 12 (3)x2+y+1=0;(4)x3-x2-x+1=0: (5)2x(3x-5)=6x2+4; (6)(x-2)(x-3)=5. 规律与方法：判断一个方程是否为一元二次 方程时，先观察其是否属于整式方程，再看其合 并同类项后是否符合“只含有一个未知数，并且 未知数的最高次数是2” 【变式训练1】下列方程中，属于一元二次 方程的是 () A2+2=-1B+-2=0 C.ax2+bx+c=0 D.(3x-1)2=2(x-1) 考点② 一元二次方程的意义 【例2】a为何值时，方程(a-3)xa-1+ (a+3)x十4=0是一元二次方程. 规律与方法：若某方程为一元二次方程，则其 未知数的最高次数为2，且二次项的系数不能为0. 【变式训练2】(1)当k 时，关于 x的方程(k2-1)x2-(k-1)x+1=0是一元二 次方程；(2)当k 时，上述方程是一元 一次方程 考点③ 一元二次方程的一般形式 【例3】把方程2(x-1)2=3x+3化成- 般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和 常数项 规律与方法：求一元二次方程的各项系数和 常数项，必须先把方程化为一般形式，特别注意 各项系数必须包括前面的符号. 【变式训练3】把方程(2y+1)(3y-2)= y2+2化成一元二次方程的一般形式后为 考点④ 根据方程的根求待定字母的值 【例4】关于x的一元二次方程x2十mx十 3=0的一个根是x=1,求m的值 规律与方法：方程的根一定满足原方程，将 根代入原方程即可得到关于待定字母的等式，从 而求出待定字母的值，此方法叫根的定义法 【变式训练4】若关于x的方程x2+(m+ 1)x+2-0的一个实数根的倒数恰是它本身， 则m的值是 () A B. 1 2 2 c.- D.1 考点⑤ 列一元二次方程 【例5】用22cm长的铁丝，折成一个面积 为30cm的矩形，求这个矩形的长和宽各是多 少？（长、宽都为整数） 围，再通过具体计算和进行两边“夹逼”即可获得近 似解 解：设矩形的长为xm,则其宽为(-x)cm,根据题 意得：x受-x)=30,化为一般形式得：-1x+30=0, :x,受-x分别为拒形的长和宽。 x>0, -x>0.0<l. 于是可列下表： 10 x2-11x+30 20 20 当矩形的长为5cm时，宽为11一x=6(cm)(不合题意)； 当矩形的长为6cm时，宽为11一x=5(cm). 答：矩形的长为6cm,宽为5cm. 规律与方法：对于实际问题的近似解，应先 根据实际问题确定其解的大致范围，再通过具体 计算进行两边“夹逼”逐步获得其近似解. 【变式训练5】（2022哈尔滨)某种商品原 来每件售价为150元，经过连续两次降价后，该 种商品每件售价为96元，设平均每次降价的百 分率为x,根据题意，所列方程正确的是() A.150(1-x2)=96 B.150(1-x)=96 .150(1-x)2=96 D.150(1-2x)=96 课后演练 【基础过关】 1.下列方程中，是关于x的一元二次方程的是 () A2+是=0 B.ax2+6x++c=0 C.(x-1)(x+2)=1 D.3x2-2xy-5y2=0 2.(重庆中考)学校连续三年组织学生参加义务 植树，第一年共植树400棵，第三年共植树 625棵.设该校植树棵数的年平均增长率为 x,根据题意，下列方程正确的是 () A.625(1-x)2=400 B.400(1+x)2=625 C.625x2=400 D.400x2=625 3.(绵阳中考)若x=3是关于x的一元二次方 程x二令ax-a2=0(a≥0)的一个根，下面对 a的值估计正确的是 () A.asl B.1<a< C. 3-2 <a<2 02<a<号 4.(凉山州中考)若关于x的一元二次方程(a十 2)x2十x十a2一4=0的一个根是x=0,则a的 值为 () A.2 B.-2 C.2或-2 D.2 5.将一元二次方程x(一2)-5化为二次项系数 为“1”的一般形式是 ,其中， 一次项系数是 ,常数项是 6.(资阳中考)若a是一元二次方程x2+2x一 3=0的一个根，则2a2+4a的值是 7.现有一块长80cm、宽60cm的矩形钢片，将 它的四个角各剪去一个边长为xcm的小正 方形，做成一个底面积为1500cm的无盖的 长方体盒子，根据题意列方程，化简成一般形 式可得 8.方程(m-2)xm-2+(m+1)x+3m-1=0. (1)如果是关于x的一元二次方程，试确定m 的值，并指出二次项系数、一次项系数及常 数项； (2)如果是关于x的一元一次方程，试确定m 的值 9.请你应用一元二次方程根的定义解决下列 问题 一个三角形的两边长分别是3cm和6cm,第 三边长是整数acm,且a满足一元二次方程 x2一8x+12=0,求这个三角形的周长. 【能力提升】 10.若等腰△ABC两边的长分别是一元二次方 程x2一22x+120=0的两个解，则等腰 △ABC底边上的高为 11.已知(m-1)xm+1-3x-5=0是一元二次 方程，则m= 12.请阅读下列材料： 问题：已知方程x2十x一1=0，求一个一元二 次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍 解：设所求方程的根为，则y=2,所以x=之： 把x=代入已知方程，得（岁）+戈-1=0. 化简，得y2+2y-4=0. 故所求方程为y2+2y一4=0. 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我 们称为“换根法”. 请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要 求：把所求方程化为一般形式). (1)已知方程x2十x一2=0，求一个一元二 次方程，使它的根分别是已知方程根的相 反数，则所求方程为： (2)已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c =0(a≠0)有两个不等于零的实数根，求一 个一元二次方程，使它的根分别是已知方程 根的倒数 【创新探究】 13.已知实数a是方程x2+4x+1=0的根. (1)计算2a2+8a+2025的值； (2)计算1一a-二的值