21.2.3 公式法解一元二次方程 课件 2026-2027学年华东师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦“公式法解一元二次方程”，通过回顾配方法解特殊方程（x²+px+q=0），逐步推导一般形式（ax²+bx+c=0）的求根公式，搭建从特殊到一般的学习支架，帮助学生衔接前后知识。 其亮点在于推导过程严谨，每步变形依据明确，培养学生推理意识，例题分b²-4ac>0、=0等情况示范，规范步骤提升运算能力，分层练习（必做、选做、拓展）发展应用意识，助力学生系统掌握，教师教学更具层次性与高效性。

null 第二十一章 一元二次方程 21.2.3 公式法解一元二次方程 01 教学目标 02 新知导入 03 新知讲解 04 课堂练习 05 课堂小结 06 作业布置 01 教学目标 经历求根公式的严谨推导过程，理解每一步字母变形的数学依据，感受从特殊到一般的推理过程，提升代数推理的严谨性与逻辑性。 01 熟练掌握“判式—代入—计算—化简”的公式法解题流程，精准确定带符号的a、b、c，规范公式运算与根式化简，全面提升复杂代数运算能力。 02 建立一元二次方程通用求解模型，理解判别式与根的对应关系，能通过模型快速判断根的情况、求解方程，形成系统化解题思维。 03 02 新知导入 【思考】怎样用配方法解一元二次方程？ 1.把二次项系数化为1(方程的两边同时除以二次项系数a) 2.把常数项移到方程的右边; 3.把方程的左边配成一个完全平方式; 4.利用开平方法把原方程化成两个一元一次方程； 5.解一元一次方程，求出方程的两个解。 02 新知导入 【思考】用配方法解关于x的方程: x2+px +q=0 (p2-4q≥0). 解：原方程可化为 x2+px=-q， 配方，得x2+px+ =-q+ ，即 ∵ p2-4q≥0， ∴ 所以x1= ，x2= . 03 新知探究 探究 公式法解一元二次方程 【探索】解一般形式的一元二次方程：ax2+bx +c=0 (a≠0). 因为a≠0，方程两边都除以a，得 03 新知探究 探究 公式法解一元二次方程 【探索】解一般形式的一元二次方程：ax2+bx +c=0 (a≠0). 因为a≠0，所以4a2>0. 当b2-4ac≥0时，直接开平方，得 总结归纳 由以上研究，得到了一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式. 将一元二次方程的系数a、b、c的值，直接代入这个公式，就可以求得方程的根. 这种解一元二次方程的方法叫做公式法. 总结归纳 由以上研究，得到了一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式. 想一想：当b2-4ac<0时，方程有实数根吗？ 当b2-4ac<0时， 无意义， 所以方程没有实数根. 03 新知探究 【例6】解下列方程： (1)2x2 +x -6=0；(2) x2 + 4x =2; 解：(1)这里a=2，b=1，c=-6. 因为b2-4ac=12-4×2×(-6)=1+48=49>0, 03 新知探究 【例6】解下列方程： (1)2x2 +x -6=0；(2) x2 + 4x =2; 解：(2)将方程化为一般形式，得x2+4x-2=0. 因为b2-4ac=24>0, 03 新知探究 【例6】解下列方程： (3) 5x2 -4x -12=0；(4)4x2+4x+10=1-8x. 解：(3)这里a=5，b=4，c=-12. 因为b2-4ac=256>0, 03 新知探究 【例6】解下列方程： (3) 5x2 -4x -12=0；(4)4x2+4x+10=1-8x. 解：(4)整理，得4x2+12x+9=0. 因为b2-4ac=0， 这里b2-4ac=0，方程有两个相等的实数根. 总结归纳 用公式法解一元二次方程的步骤是什么？ ①把一元二次方程化成一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)； ②确定a，b，c的值； ③求b2－4ac的值； ④代入求根公式 : ⑤当b2－4ac≥ 0时，则将a，b，c及b2－4ac的值代入求根公式求出方程的根，若b2－4ac＜0，则方程无实数根． 04 课堂练习 【知识技能类作业】必做题： 1.如果一元二次方程x2＋px＋q＝0能用公式法求解，那么必须满足的条件是(　　) A．p2－4q≥0 B．p2－4q≤0 C．p2－4q>0 D．p2－4q<0 A 04 课堂练习 【知识技能类作业】必做题： 2. 当用公式法解方程2x2－1＝3x时，b2－4ac的值为(　　) A．-1 B．-3 C．2 D．17 D 04 课堂练习 【知识技能类作业】必做题： 3. 方程3x2－x＝4化为一般形式后，a，b，c的值分别为(　　) A．3，1，4 B．3，－1，－4 C．3，－4，－1 D．－1，3，－4 B 04 课堂练习 【知识技能类作业】必做题： 4. 用公式法解方程3x2＋2x＝1. 解：将方程化为一般形式，得_______________， 因为a＝________，b＝______，c＝______， 所以b2－4ac＝________， 3x2＋2x－1＝0 3 2 －1 16 －1 04 课堂练习 【知识技能类作业】选做题： 5. 用公式法解下列方程： (1)x2－3x－3＝0； (2)3x2＋10x＋5＝0； 04 课堂练习 【知识技能类作业】选做题： 5. 用公式法解下列方程： (1)x2－3x－3＝0； (2)3x2＋10x＋5＝0； 04 课堂练习 【知识技能类作业】选做题： 6.王刚同学在解关于x的方程x2－3x＋c＝0时，误将－3x看作＋3x，结果解得x1＝1，x2＝－4，则原方程的解为_________________． x1＝-1，x2＝4 04 课堂练习 【综合拓展类作业】 7. 已知关于x的一元二次方程x2-(4m+1)x+3m2+m=0. (1)求证：无论m取何实数时，原方程总有两个实数根； 证明：由题意得，a＝1，b＝-(4m+1)，c＝3m2+m， ∴b2-4ac=[-(4m+1)]2-4(3m2+m)=4m2+4m+1=(2m+1)2 ∵(2m+1)2≥0, ∴无论m取何实数时，原方程总有两个实数根. 04 课堂练习 【综合拓展类作业】 7. 已知关于x的一元二次方程x2-(4m+1)x+3m2+m=0. (2)若原方程的两个实数根一个大于2，另一个小于7，求m的取值范围; 解：解方程x2-(4m+1)x+3m2+m=0得x1＝3m+1，x2＝m， 由题意得 或 3m+1＞2 m<7 3m+1＞7 m<2 05 课堂小结 本节课你学到了什么？ 用公式法解一元二次方程的步骤是什么？ ①把一元二次方程化成一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)； ②确定a，b，c的值； ③求b2－4ac的值； ④代入求根公式 : ⑤当b2－4ac≥ 0时，则将a，b，c及b2－4ac的值代入求根公式求出方程的根，若b2－4ac＜0，则方程无实数根． 06 作业布置 【知识技能类作业】必做题： 1.解下列方程：①2x2- 18= 0；②2x2-12x-782= 0； ③3x2+10x+1=0；④2(5x-1)2=2(5x-1). 用较简便的方法依次是( ) A. ①直接开平方法，②配方法，③公式法，④因式分解法 B. ①直接开平方法，②公式法，③④因式分解法 C. ①④因式分解法，②公式法，③配方法 D. ①直接开平方法，②③公式法，④因式分解法 A 06 作业布置 【知识技能类作业】必做题： 2. 方程-x2+3x=1用公式法求解，先确定a，b，c的值，正确的是( ) A. a=-1，b=3，c=-1 B. a=-1，b=3，c=1 C. a=-1，b=-3，c=-1 D. a=1，b=-3，c=-1 A 06 作业布置 【知识技能类作业】选做题： 3.一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程x2-8x+15=0 的一根，则此三角形的周长是( ) A.16 B.12 C.14 D.12或16 A 06 作业布置 【知识技能类作业】选做题： 4. 对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，下列说法： ①若a+b+c=0，则b2-4ac≥0； ②若方程ax2+c=0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根； ③若c是方程a2+bx+c=0的一个根，则一定有ac+b+1=0成立; 其中正确的( ）. A.①②③ B.①② C.②③ D.①③ B 06 作业布置 【综合拓展类作业】 5.小明设计了一个魔术盒，当任意实数对(a，b)进入其中，会得到一个新的实数a2-2b+3，若将实数对(x，-3x)放入其中，得到一个新数为5，则x的值为多少？ 解：根据题意，得 x2+6x+3=5， 即x2+6x-2=0， ∴a=1，b=6，c=-2， ∴b2－4ac=36-4×1×(-2)=44>0, 06 作业布置 【综合拓展类作业】 5.小明设计了一个魔术盒，当任意实数对(a，b)进入其中，会得到一个新的实数a2-2b+3，若将实数对(x，-3x)放入其中，得到一个新数为5，则x的值为多少？ 二一教育 所以x＝＝________＝________， 即x1＝________，x2＝________． 解：(1)因为a＝1，b＝－3，c＝－3， 所以b2－4ac＝(－3)2－4×1×(－3)＝21>0， 所以x＝＝＝， 所以x1＝，x2＝. 解：(2)因为a＝3，b＝10，c＝5， 所以b2－4ac＝102－4×3×5＝40>0， 所以x＝＝＝， 所以x1＝，x2＝. $