21.2 第5课时 根的判别式(课件PPT)-【指南针·课堂优化】2026-2027学年九年级上册数学（华东师大版·新教材）

该初中数学课件聚焦“根的判别式”核心内容，从一元二次方程一般形式切入，通过基础导学明确判别式概念（Δ=b²-4ac）及与根的关系，搭建起从方程解法到根的情况分析的学习支架。 其亮点在于典例分层探究（不解方程判根、已知根情况求参数），结合变式训练与中考真题，通过规律总结培养推理意识和应用意识，助力学生掌握判别式应用，教师可高效开展分层教学。

初中数学 指南针•课堂优化•九年级数学HS 第2引章一元二次方程 21.2一元二次方程的解法 CONTENTS 景 基础导学 典例探究 3 课后演练 第5课时， 根的判别式 基 础导学 1.一元二次方程ax2+bx十c=0(a≠0， a、b、c都为常数)的根的判别式：把代数式 叫做关于x的方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的根的判别式，记作 2.一元二次方程的解与根的判别式的 关系： (1)△≥0台方程有 .其中： △>0台方程有 △=0台方程有 (2)△<0台方程 ★注意：(1)准确找出a、b、c,方程必须化为一 元二次方程的一般形式(2)此判别式只适用于一 元二次方程，若无法确定是否为一元二次方程， 则应分类讨论. 典例探究 考点① 不解方程，判断已知方程的根的情况 【例1】 不解方程，判别下列一元二次方程 根的情况 (1)x2-2x+1=0;(2)3x2+4x+5=0; (3)-x2+7x+6=0;(4)3x2+5x=0. 规律与方法：(1)确定a、b、c的值，计算出△， 原方程根的情况得以确定；(2)对于一元二次方 程a.x2十bx十c=0(a≠0)，当a,c异号或c=0 时，此方程一定有两实根 【变式训练1】一元二次方程2x2+3x+1 =0的根的情况是 () A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.无法确定 【例2】设m是实数，求证：方程(x-1)(x 一2)=m2有两个不相等的实根， 规律与方法：计算△后，用因式分解或配方 即可确定△的符号，从而确定方程解的情况 考点② 已知根的情况，求待定字母的值或 范围 【例3】 k取何值时，关于x的一元二次方程 k2-12x+9=0. (1)有两个不相等的实数根？ (2)有两个相等的实数根？ (3)没有实数根？ 解：方程是关于X的一元二次方程， ,'.k0.方程的判别式为△=（一12）2一4kX9=14一36k. (1)由144一36k>0,求得k<4,又k≠0， ,,当k<4且≠0时，方程有两个不相等的实 数根， (2)由144一36k=0,得k=4. 。。当k=4时，方程有两个相等的实数根. (3)由144-36k<0,得k>4. .当k>4时，方程没有实数根. 规律与方法：题中给出已知方程的根的情况 作为条件，求a、b、c中字母的值或范围，应据根的 情况写出对应的△≥0或△>0或△≤0或△< 0,从而建立起方程或不等式，解之，求得字母的 值或范围.注意：使用判别式的前提是：①a≠0； ②原方程化成一元二次方程的一般形式： 【变式训练2】(1)若关于x的一元二次方 程方程(k一1)x2+4x+1=0有两个不相等的实 数根，则k的取值范围是 () A.k<5 B.k<5,且k≠1 C.k≤5，且k≠1 D.k>5 (2)关于x的方程2x2-(2m+1)x+m=0 的根的判别式的值是9，则m= (3)若关于x的方程ax2+2(a+2)x+a=0有 实数解，那么实数α的取值范围是 【变式训练3】已知k为实数，关于x的方 程为x2+kx-4k-16=0. (1)试判断这个方程根的情况. (2)是否存在实数k,使这个方程两个根为 连续偶数？若存在，求出k及方程的根；若不存 在，请说明理由 (2)存在实数k,使方程两个根为连续偶数。 由(1)知，原方程的根为x=一k±(k+8) 2 解得x1=4,x2=一k一4， 当-k一4=6，得k=一10； 当-k一4=2，得k=一6， ,。存在实数一10，一6，使原方程两个根为连续偶悬. 课后演练 【基础过关】 1.（自贡中考)关于x的方程x2+mx一2=0根 的情况是 () A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根 2.(北京中考)若关于x的一元二次方程x2一4x +c=0有两个相等的实数根，则实数c的值 为 () A.-16 B.-4 C.4 D.16 3.(宿迁中考)规定：对于任意实数a、b、c,有【a, b】★c=ac+b,其中等式右面是通常的乘法和 加法运算，如2,3】★1=2×1+3=5.若关于 x的方程【x,x+1】★(mx)=0有两个不相等 的实数根，则m的取值范围为 () A. B.m C.m>4且m≠0 D.m<1且m≠0 4.已知关于x的一元二次方程x2+2x+m一2 =0有两个实数根，m为正整数，且该方程的 根都是整数，则符合条件的所有正整数m的 和为 () A.6 B.5 C.4 D.3 5.(1)若一元二次方程(m-1)x2-4x-5=0没 有实数根，则m的取值范围是 (②)关于x的方程x2-4x一号-0有实数根， 测k的取值范围是 6.（济南中考)关于x的一元二次方程x2一4x+ 2a=0有实数根，则a的值可以是 (写出 一个即可). 7.已知a、b、c是△ABC的三条边，且方程cx2十 2bx+a=bx2+2ax+b有两个相等的实数根， 那么这个三角形是 8.当m为何值时，一元二次方程(m2一1)x2+2 (m-1)x+1=0: (1)有两个不相等的实数根； (2)有两个相等的实数根； (3)没有实数根. 9.关于x的一元二次方程x2一3x十k=0有实 数根. (1)求k的取值范围； (2)如果k是符合条件的最大整数，且一元二 次方程(m-1)x2十x十m-3=0与方程x2 3x十k=0有一个相同的根，求此时m的值. (2)k的最大整数为2， 方程x2一3x十k=0变形为x2一3x十2=0， 解得x1=1,2=2, ,一元二次方程(m一1)x2+x十m一3=0与方程 x2一3x十k=0有一个相同的根， 当x=1时，m-1+1+m-3=0,解得m=子： 当x=2时，4(m一1)+2+m一3=0，解得m=1, 而m一1≠0， m的值为子， 【能力提升】 10.已知a,b,c为常数，点P(a,c)在第二象限， 则关于x的方程ax2+bx+c=0根的情况是 A.有两个相等的实数根有两个不相等的实 数根 C.没有实数根 D.无法判断 11.（泰安中考)已知关于x的一元二次方程x2 -4x一a=0有两个不相等的实数根，则a的 取值范围是 12.(广州中考)关于x的方程x2一2x+4一m= 0有两个不等的实数根 (1)求m的取值范围； ②化简：“+子 2m+1 【创新探究】 13.已知关于x的一元二次方程mx2一(3m+2) x+2m+2=0(m>0). (1)求证：方程有两个不相等的实数根， (2)设方程的两个实数根分别为x1,x2(其中 x1<x2),若y是关于m的函数，且y=x2 2x1,求这个函数的解析式 (3)在(2)的条件下，结合函数的图象回答： 当自变量m的取值满足什么条件时，y ≤2m. (1)证明： ,'mu2-(3m+2)x+2m 十2=0是关于x的一元 二次方程， 0 '.△=[-(3m+2)]2--6212346 4m(2m+2)=(m+2)2, .当m>0时，(m+2)2 >0,即△>0， ,。方程有两个不等实根 (2)解：由求根公式得x=3m+2)±(m+2) 211m x=2m+2数x=1, n m>0,.2m+2=2(m+lD>1, m n <,x1=1,52=2m+2 m y=-2x,=2(m>0. m (3)解：在同一直角坐标系中分别画出y=2(m>0)与 m y=2m(m>0)的图象，由图象可得当m≥1时，y≤2m (图略)