21.3 实践与探索（第1课时 一元二次方程的应用1）（教学课件）数学新教材华东师大版九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的应用，涵盖几何问题（矩形试验田小道宽度）和变化率问题（药品降价、病毒传播）。通过复习列方程解应用题步骤（审设列解检答）搭建学习支架，衔接前序解法知识，引导学生将实际问题转化为数学问题。 其亮点在于运用几何直观（平移小道简化面积计算）和模型意识（列表分析变化率数量关系），结合分层练习（基础题如相片镶彩纸、提升题如彩条设计），课堂小结结构化解题步骤，培养学生数学思维与应用能力，助力教师高效开展教学。

【新教材】华东师大版·九年级上册 第21章 一元二次方程 21.3 实践与探索 第1课时 一元二次方程的应用1 章节导读 21.1认识一元二次方程 21.2一元二次方程的解法 公式法 因式分解法 一元二次方程的应用2 一元二次方程的认识 配方法 21.3实践与探索 直接开平方法 一元二次方程根的判别式 一元二次方程的根与系数的关系 一元二次方程的应用1 2 学 习 目 标 1 2 3 学会将实际应用问题转化为数学问题，培养数学应用的意识； 会分析题目中量之间的关系，准确列出一元二次方程； 通过求解应用问题，逐步培养分析问题、解决问题的能力. 复习回顾 列方程解应用题的步骤： 审：明确已知量和未知量； 设：设未知数表示相关对象； 列：根据等量关系列出方程； 解：求解方程得到结果； 检：检验解是否符合题意（检验方程的解是否正确、 检验解是否符合实际意义）； 答：写出答案并作答. 新知探究 一元二次方程解几何问题 学校生物小组有一块长32m、宽20m的矩形试验田，为了管理方便，准备沿平行于两边的方向纵、横各开辟一条等宽的小道.要使种植面积为540m2，小道的宽应是多少？ 分析：问题中没有明确小道在试验田中的位置，我们可先设计画出草图，数形结合。 问题1 和同桌交换看一看，是否设计得一样？ 新知探究 一元二次方程解几何问题 学校生物小组有一块长32m、宽20m的矩形试验田，为了管理方便，准备沿平行于两边的方向纵、横各开辟一条等宽的小道.要使种植面积为540m2，小道的宽应是多少？ 问题1 20 32 你发现了什么？ 小道的占地面积与位置无关. 你是怎样计算小道的宽度的？ 新知探究 一元二次方程解几何问题 学校生物小组有一块长32m、宽20m的矩形试验田，为了管理方便，准备沿平行于两边的方向纵、横各开辟一条等宽的小道.要使种植面积为540m2，小道的宽应是多少？ 问题1 20 32 x x 解：设小道宽为 x m， 则两条小道的面积分别是 32x m2 和 20x m2，其中重叠部分小正方形的面积为m2， 根据题意，得 解得 ， 因为，所以 . 新知探究 如果设想把小道平移到两边，如图所示，那么小道所占面积是否保持不变？ 一元二次方程解几何问题 试一试 32 m 20m x m x m 解：设道路的宽为 x m. 则 . 整理，得 . 解得 . 当 x = 50 时，32 − x = −18，不合题意，舍去. ∴ 取 x = 2. 答：道路的宽为 2 m. 利用“图形经过平移，它的面积大小不会改变”的道理，纵、横两条路移动一下，使列方程容易些（目的是求出路面的宽，至于实施施工，仍可按原图的位置修路） 在应用一元二次方程解决实际问题时，要注意： 1. 分析题意，抓住等量关系； 2. 列出方程，把实际问题转化为数学问题来解决； 3. 求得方程的根之后，要注意检验是否符合题意，最后得到实际问题的解答. 归纳总结 归纳总结 一元二次方程解几何问题 典例分析 例1 如图，要利用一面墙(墙足够长)建羊圈，用 58 m的围栏围成面积为 200 m2 的矩形羊圈，则羊圈的边 AB 和 BC 的长各是多少米？ 解：设 AB 的长是x m.列方程，得 ， 整理,得. 解得. 当时，； 当时，. 答：羊圈的边AB和BC的长各是25 m，8 m或4 m，50 m. D C B A 一元二次方程解几何问题 新知探究 一元二次方程解变化率问题 某药品经过两次降价，每瓶零售价由56元降为31.5元.已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率. 问题2 分析：这与我们初识一元二次方程时讨论增长率问题中的数量关系是否相似？有什么不同？ 和增长率问题数量关系式形式相似： 增长率： 降价（下降率）： 区别：增长用加号，下降（降价）用减号。 对于此类问题，我们可以采用列表法，直观看出对应关系。 新知探究 一元二次方程解变化率问题 某药品经过两次降价，每瓶零售价由56元降为31.5元.已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率. 问题2 分析：设每次降价的百分率为，完成下表 降价幅度（倍） 降价后的零售价（元） 第一次降价 第二次降价 你能根据表格内容，列出方程并求解吗？ 新知探究 一元二次方程解变化率问题 某药品经过两次降价，每瓶零售价由56元降为31.5元.已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率. 问题2 降价幅度（倍） 降价后的零售价（元） 第一次降价 第二次降价 解：设每次降价的百分率为x. 根据题意，得. 解得x1＝0.25，x2＝1.75. 因为降价的百分率不可能大于1，所以x2＝1.75不符合题意，舍去． ∴x＝0.25＝25%. 答：每次降价的百分率为25%. 典例分析 例2 某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染． （1）每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？ （2）若病毒得不到有效控制，三轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？ 你能根据题意列表吗？ 一元二次方程解变化率问题 分析：设每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑. 感染数（台） 感染后总数（台） 第一轮感染 第二次降价 典例分析 一元二次方程解变化率问题 解：（1）设每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑， 依题意，得 整理，得， 则或， 解得（舍去）. 答：每轮感染中平均一台电脑会感染8台电脑； （2）． 答：三轮感染后，被感染的电脑会超过700台． 利用一元二次方程解应用题的一般步骤： (1)审题，分析题意，找出已知量和未知量，弄清它们之间的数量关系； (2)设未知数，一般采取直接设法，有的要间接设； (3)寻找等量关系，列出方程，要注意方程两边的数量相等，方程两边的代数式的单位相同； (4)选择合适的方法解方程； (5)检验，因为一元二次方程的解有可能不符合题意，如：线段的长度不能为负数等，因此，解出方程的根后，一定要进行检验． (6)写出答案，应遵循“问什么，答什么，怎么问，怎么答”的原则. 归纳总结 归纳总结 一元二次方程的应用 随堂练习 1.学生会准备举办一次摄影展览，在每张长和宽分别为 18 cm 和 12 cm 的矩形相片周围镶上一圈等宽的彩纸. 经试验，彩纸面积为相片面积的 时较美观. 求所镶彩纸的宽. (精确到 0.1 cm) 基础过关(P41) 解: 设所镶彩纸的宽为 x cm. 由题意，得 (18 + 2x)(12 + 2x)－18×12 ＝ 18×12× . 整理，得 x2 + 15x－36 ＝ 0. 解得 x1 ＝ (不合题意，舍去)， x2 ＝ ≈ 2.1 . 答:所镶彩纸的宽约为 2.1 cm . 随堂练习 2.以初速度v0竖直上抛的物体的高度与时间满足关系式 (g重力加速度， g ≈10m/s2).竖直上抛的物体以初速度v0 =20m/s上升，经过多长时间物体离地15m? 基础过关(P41) 解：根据题意代入方程，得 h= v0 t－gt2 =20t－×10×t2 移项整理，得5t2 －20t＋15 =0 解得：t1 =1 s，t2 =3 s. t=1s：物体上升过程中，第一次到达离地 15m 的高度。 t=3s：物体到达最高点后下落过程中，第二次回到离地 15m 的高度。 两个解都符合实际运动过程，均有效。 所以物体经过 1 秒或 3 秒时，离地高度为 15 米。 随堂练习 3.某工厂1月份的产值是50 000元，3月份的产值达到60 000元，这两个月产值的月平均增长率是多少?(精确到0.1%). 基础过关(P41) 解：设月平均增长率为x. 根据题意，得50000(1＋x)2＝60000. 直接开方法，得1＋x＝±， 因为增长率＞0，负数不符合题意，舍去. 答：这两个月产值的月平均增长率为9.5%. 所以x＝－1≈1.095 －1＝0.095 ＝ 9.5%， 随堂练习 4.据某初级中学对毕业班学生三年来参加市级以上各项活动获奖情况的统计，七年级时有48人次获奖，之后逐年增加，到九年级毕业时累计共有183人次获奖.求这两年中获奖人次的年平均增长率. 基础过关(P41) 解：设获奖人次的年平均增长率为x. 根据题意，得48+48(1+x)+48(1+x) 2=183. 解得x1＝－1＝0.25 ＝ 25%，x2＝－ (不符合题意，舍去). 答：这两年中获奖人次的年平均增长率为 25%. 随堂练习 能力提升 4.小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为x,根据题意，下面所列方程正确的是( ) A.200(1+x)²=242 B.200(1-x)²=242 C.200(1+2x)=242 D.200(1-2x)=242 【答案】A 【解析】解：由题意得：第一天揽件200件，第三天揽件242件， ∴可列方程为：200(1+x)²=242, 故选：A. 随堂练习 能力提升 5. 如图，要设计一个宽 20 cm，长为 30 cm 的矩形图案，其中有两横两竖彩条，横竖彩条的宽度之比为 2∶3 ，若使所有彩条的面积是原来矩形图案面积的三分之一，应如何设计每个彩条的宽度？ 解：设横向、竖向彩条的宽度分别为 2x cm、3x cm，则 则 答：横竖条的宽度分别是 解得 ∵20 - 6x＞0，30 - 4x＞0， ∴ x＜ 课堂小结 列一元二次方程解决实际问题的一般步骤: 审题，明确已知量和未知量，找出它们之间的等量关系 设未知数 根据题目中的等量关系，列出方程（注意单位要统一） 解方程，求出未知数的值 检验方程的根能否保证实际问题有意义 写出答案，应遵循“问什么，答什么，怎么问，怎么答”的原则 审 答 验 解 列 设 感谢聆听! 【新教材】华东师大版·九年级上册 $