21.2 第6课时 根与系数的关系(课件PPT)-【指南针·课堂优化】2026-2027学年九年级上册数学（华东师大版·新教材）

该初中数学课件聚焦“一元二次方程根与系数的关系”，从特殊形式方程到一般形式方程，系统梳理判别式条件、两根和与积公式及常见代数式变形，通过基础导学搭建从方程解法到根与系数关系的知识支架。 其亮点在于以典例探究为核心，分考点设置例题与变式训练，如“已知一根求另一根”“求代数式值”等，结合推理意识与运算能力培养。课后演练分层设计，创新探究题引导用数学眼光发现规律，助力学生提升思维能力，也为教师提供系统教学资源。

初中数学 指南针•课堂优化•九年级数学HS 第2引章一元二次方程 21.2一元二次方程的解法 CONTENTS 景 基础导学 典例探究 3 课后演练 第6课时， 根与系数的关系 基础导 学 1.关于x的一元二次方程x2十x+q=0 (p,q为常数)有两实根x1,x2,则：(1)p2-4g 0;(2)x1+x2= ；(3)x1x2= 2.如果x1,2为一元二次方程ax2十bx+c=0 (a≠0)的两实根，那么01十x2= C1C2= ,△=8-4ac 0. 3.若ac<0,则关于x的一元二次方程a.x2 +bx+c=0一定 实根，这是因 为 注意：使用一元二次方程ax2十bx+c=0的 根与系数的关系的前提为 4.与一元二次方程根与系数的关系有关的 几种常见变形： (1)x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2; (2)(x1-x2)2=(x1十x2)2-4x1c2; (3)(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1; (4)1+1=+2, 1 (5)0+2=2十22_ (01+x2)2-2c12 T2 ℃1C2 C1 2 (6)0-2=√(-2Y=√(0十2)2-402. 典例探究 考点① 已知方程一根，不解方程求另一根 【例1】已知方程3x2+mx-5=0的一根 为2，求另一根及m的值. 规律与方法：此类题解法有：一是让根“回 原”，即将已知根代入原方程即可；二是由根与系 数的关系建立另一根和待定系数的方程组，解之 即得，注意待定系数的值不能让二次项系数为0 或判别式△<0. 【变式训练1】 (2022·益阳)若x=-1是 方程x2十x十m=0的一个根，则此方程的另一 个根是 () A.-1 B.0 C.1 D.2 考点② 已知方程，求含有两根的代数式 的值 【例2】已知方程2x2+3x-1=0的两根 为x1,x2, 求子+ 规律与方法：利用根与系数的关系求含有两 根的代数式的值，关键是把代数式转化为含有x1 十x2和x1x2的形式， 【变式训练2】( 1)已知0,2是方程x2-x- 3=0的两根，则1+1 C (2)已知一元二次方程x2一3x-4=0的两 根是m,n,则m2十n2= 考点③ 已知两实根代数式的值，求待定系数 【例3】已知方程2x2-m,x-2m+1=0的 两实根的平方和为9，求m的值 规律与方法：已知方程两根满足某个条件， 求方程中字母系数m的值，求出m值后必须代入 b一4ac中检验，看m的取值是否使方程有实根. 【变式训练3】（襄阳中考）关于x的一元 二次方程x2+2x+3一k=0有两个不相等的实 数根. (1)求k的取值范围； (2)若方程的两个根为a,B,且k2=a3+3k, 求k的值 (2),方程的两个根为a,B, a啡=日=3-k, ..k2=3一k+3k, 解得：k1=3,k2=一1（舍去）. 考点④ 已知方程两根，求作方程 【例4】 求作一方程，使其两根分别为 11 3’5 规律与方法：已知方程两根求作方程，一般 设为x2十x十q=0的形式，只需求出p,q即可. 【变式训练4】已知一元二次方程的两根 分别是2和一3，则这个一元二次方程是 A.x2-6x+8=0 B.x2+2x-3=0 C.x2-x-6=0 D.x2+x-6=0 课后演练 【基础过关】 1.已知x1、x2是一元二次方程3x2=6-2x的两 根，则x1一x1x2十x2的值是 () A.- 8 3 B. c.- D. 4-3 2.(乐山中考)若关于x的一元二次方程x2一8x +m=0两根为x1、x2,且x1=3x2,则m的值 为 () A.4 B.8 C.12 D.16 3.(内江中考)已知x1、2是关于x的方程x2 2x十k-1=0的两实数根，且2+0=心2+ 2 2x2一1，则k的值为 4.若一元二次方程ax2=b(ab>0)的两个根分 别是m+1与2m-4,则2- 5.若矩形的边长是一元二次方程x2一6x+3=0 的两根，则矩形的周长为 ,面积为 6.(鄂州中考)若实数a、b分别满足a2-4a+3 =0,2-4b+3=0,且a≠b,则2+方的值为 7.关于x的一元二次方程x2+2x-2m+1=0 的两实数根之积为负，则实数m的取值范围 是 8.（遂宁中考)已知关于x的一元二次方程x2一 (m+2)x+m-1=0. (1)求证：无论m取何值，方程都有两个不相 等的实数根； (2)如果方程的两个实数根为x1,x2,且x1十 x22一x1x2=9,求m的值. =m2+4m+4-4m+4 =m2+8. m2≥0， .△>0. ,',无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根； (2)设方程x2一(m+2)x十m一1=0的两个实裁根为 X1x2y 则x1+x2=m+2,x1x2=m一1. 'x12+x22-x12=9,即(x1十x2)2一3x1x2=9, 整理，得m2+m一2=0， ..(m+2)(m-1)=0. 解得m1=一2，m2=1. .m的值为一2或1. 【能力提升】 9.若t为实数，关于x的方程x2一4x十t一2=0 的两个非负实数根为a、b,则代数式(a2一1)》 (b2一1)的最小值是 10.(湖北中考)已知一元二次方程x2一3x+k= 0的两个实数根为x1,x2,若x1x2+2x1十 2x2=1,则实数k= 11.已知a,b是方程x2一x一3=0的两个根，则 代数式2a3+b2+3a2-11a-b+5的值 为 12.(南充中考)已知x1,x2是关于x的方程x2 一2kx+2一k+1=0的两个不相等的实 数根 (1)求k的取值范围. (2)若k<5,且k,1,x2都是整数，求k 的值 (2).1<k<5, ∴.整数k的值为2,3,4， 当k=2时，方程为x2一4x+3=0,解得x1=1,x2 =3, 当k=3或4时，此时方程解不为整数. 综上所述，k的值为2. 【创新探究】 13.我们在探究一元二次方程根与系数的关系 中发现：如果关于x的方程x2十x十q=0 的两个根是x,x2,那么由求根公式可推出 x1十x2=一p,x1x2=q,请根据这一结论，解 决下列问题： (1)若a,3是方程x2-3x+1=0的两根，则a +B=3,a3=1;若2,3是方程x2+mx+n=0 的两根，则m= ,n= (2)已知a,b满足a2-5a+3=0,b2-5b+3 -0,求号+的值： (3)已知a,b,c满足a+b+c=0,abc=5,求 正整数c的最小值. (2)°a,b满足a2-5a+3=0,b2-5b+3=0, (3).°a+b+c=0,abc=5, .a,b是方程x2一5x+3=0的解. a+b=-c.ab=> 当a≠b时，∴.a十b=5,ab=3, ∴8+2-a2+=(a+b-2ab ∴.a,b是方程x2+cx+5=0的解， a ab ab =52-2×3-19 c2-4×50,c2_20≥0， 3 31 当a=b时，原式=2： ,c是正整数， .c3-20≥0，即c≥20， ,。正整数C的最小值是3.