20.2 第3课时 二次根式的有理化(课件PPT)-【指南针·课堂优化】2026-2027学年九年级上册数学（华东师大版·新教材）

该初中数学课件聚焦九年级二次根式的有理化，涵盖有理化因式、分母有理化及乘除混合运算。通过回顾二次根式乘除法则导入，以定义、公式为支架，衔接前后知识，帮助学生构建完整知识脉络。 其亮点在于典例探究分层设计，通过乘除混合运算、分母有理化等例题及变式训练，培养学生运算能力与推理意识。如例2对比不同有理化方法，变式训练2辨析推理路径，助力学生掌握技能，教师可借助系统资源提升教学效率。

初中数学 指南针•课堂优化·九年级数学HS 第20章二次根式 20.2二次根式的乘除 CONTENTS 景 基础导学 典例探究 3 课后演练 第3课时二次根式的有理化 基 础导 学 1.有理化因式：两个含有二次根式的代数 式相乘，如果他们的积不含 ,那么 这两个代数式就互为有理化因式.如：因为 (√2-√3)×（√2+√3）=-1，所以（√2-√3）与 (√2十√3)互为有理化因式， 2.寻找有理化因式的根据：Wa×Wa=a(a≥ 0);(a+b)(a-b)=a2-b2 3.分母有理化：把 中的根号化去 的过程称为分母有理化.如店X5 1=1×3=3 3 ★点拨：分母有理化就是为分母寻找一个 有理化因式，将分子分母都乘上该有理化因式， 就可将分母的根号化去. 典例探究 考点① 二次根式乘除混合运算 【例1】计算：(1)√12÷√27×18； (2)4V8a÷2 81号÷23×1 =××入-××= ×:-小×：八) 员贤8×号x贤，零8叶 =·÷t=八是·吕÷t) z=8Ix×I八 LZ入 8L/×T×L/=8L/×L/÷L/(I)起 规律与方法：二次根式的乘除混合运算，先 把除以一个数变为乘以这个数的倒数，将乘除法 统一成乘法，再利用乘法交换律、结合律约分 计算. 【变式训练1】计算： 13√23×(-g1)2√层， 9b2 考点② 利用分母有理化进行二次根式的除法 【例】计集：等，c2) √/75 2a (m>0,n>0); 3√2-25 (a≥0，b>0)可对简单的二次根 式的除法进行计算，分母有理化是二次根式除法运算的 一般方法 解：1)-4 3 2=-4: (2)30 5专 7525X/3 46a+ (3) (4) m-n =(m+n)(m-n)=√m-√n: √m+n √m+√n (5)2=23-D=3-1: 5+1 3-1 (6)V2 32-2W3 =233》=36-1+9, 18-12 规律与方法：二次根式的除法就是把它写成 分式形式后，据分式的基本性质先把分子、分母 中“公因式”部分约去，再找准分母的有理化因 式，分子、分母都乘以该因式，化简即成，上例(4) 用约分的方法化去分母中的根号值得借鉴， 【变式训练2】 化简时，甲的做法是 m-n =(m+m)(m-n)=√m-m, Vm +n √m+√n 乙的做法是 mn (-n)(√m-√n) (√m+√n)(√m-√n) (m-(Wm一)=√m一√n,你认为做法正确的 m-n 是 A.甲 B.乙 C.甲、乙都正确D.甲、乙都不正确 考点③ 求与二次根式有关的代数式的值 2,求x2-x 例3求值：①E知x一 +1的值； 皇求 (2)已知x=5+2 √3+√2 √x2-3xy+y2的值， 解：(1)x=√3+1，.x一1=√3， .(x一1)2=3， ,.x2-x+1=(x-1)2+x=3+√3+1=4+√3； (2)x=5+2√6，y=5-2W6, .x+y=10,xy=1, .√x2-3xy+y2=√/(x+y)2-5xy=√95. 规律与方法：求与二次根式有关的代数式的 值，先化简已知式，再结合求值式配方或因式分 解后可轻易求出代数式的值. 【变式训练3】 先化简，再求值： a2-b2 a-2ab+b +6。6其中a6满足 Wa+1+|b-√3=0. 解：原式=（日±6a已b).aw1 a-b b2 .°a+1+|b-√3=0，.a+1=0,b-√3=0， 解得a=一1，b=√/3， 当a=-16=3,原式=3-得 3 课后演练 【基础过关】 1.下列等式不成立的是 () A.6√2X3=66 B.√8÷√2=4 C.1=3 D.8一√2=√2 √3 3 2.已知a=2+1,b=1,则a与b的关系是 √2-1 () A.a=b B.ab=-1 C.a=-6 D.ab=1 3.计算 的结果为 () A. 3W3 12 B 6 C.3 3 D. 4 4.下列各数中，与2一3的积为有理数的是 () A.√3 B.2+√3 C.2-√3 D.-2+√3 5.比较大小：(1) 2 √5-3 2-3 (2)√/15-14 14-/13. 6.、 2一分母有理化后的值是 3-11 7当x2时1- 8.计算： 1)-3W1号÷v而×(-212西)： (2)-va6÷2vab·(-8vab) 9.将以下各式的分母有理化： ua (2) √3 6+3 【能力提升】 10.已知实数a,b互为倒数，其中a=2+5,则 √Ja-b+5的值为 11.如图，数轴上的点M表示实数m,且√m与 √2的积为有理数，则整数m的值为 1012 34 12.已知a2-1.求d1.2a+ a2-a a 的值. 【创新探究】 13.阅读下列解题过程， 1 √5-√4 5-√4 5+√4 (5+√4)（5-√4） 5-4 √5-√4 =√5-2： 1 /6-√5 =6-5= 6+√5(/6+√5)（√6-√5） 6-5 √6-5. (1)观察上面的解题过程，请直接写出 1 的结果为 √n+√n-1 (2)利用上面所提出的解法化简： 1 1+√2√2+√5√3+√4 +…+V98十9 1 +√99+V100 年原x=号+=号++…十 2-1 3-2 y99-98+100-99 99-98 100-99 =√2-1+√3-√2+√4-3+…+√99 -√/98+100-√99 =-1+/100 =一1十10 =9.