4 第1课时 抛物线与一元二次方程(课件PPT)-【指南针·课堂优化】2026-2027学年九年级上册数学（北师大版·新教材）

该初中数学课件聚焦二次函数与一元二次方程的关系，核心内容包括抛物线与方程两根的关系、根的判别式，通过抛物线与x轴交点切入，连接一元二次方程的根，搭建函数与方程的学习支架，帮助学生梳理知识脉络。 其亮点在于结合几何直观呈现抛物线与方程根的联系，推导过程强化推理意识，分层练习提升应用意识。例如用图像明确交点与根的关系，推导中运用公式推理，分层练习从基础到创新拓展。助力学生深化理解，提升数学思维，也为教师提供系统教学资源，提高教学效率。

初中数学 指南针·课堂优化·九年级数学BS 第五章二次岛数 4二次函数与一元二次方程 第1课时 抛物线与一元二次方程 基 础 导 学 1.抛物线与一元二次方程两根的关系 如图，抛物线y=ax2十bx+c与x轴交于 A(x1,0),B(x2,0),则x1,x2为一元二次方程 ax2+bx+c=0的两实根，于是： 1a+=-名： (3)ABI= 2-4ac a 2.抛物线y=ax2十bx十c(a≠0)与x轴交 点的个数 (1)抛物线与x轴有两个交点台→一元二次 方程有 的实数根台→b2一4ac>0; (2)抛物线与x轴有一个交点台一元二次 方程有两个相等的实数根台→b2一4ac 0; (3)抛物线与x轴没有交点台→一元二次方 程无实数根台→b一4ac<0. 课后演练 【基础过关】 知识点① 抛物线与一元二次方程两根的关系 1.若关于x的一元二次方程x2一8x十m=0两 根为x1,x2,且x1=3x2,则m的值为() A.4 B.8 C.12 D.16 2.已知关于x的方程x2十mx-4=0的一个根 为1，则该方程的另一个根为 3.已知方程x2一3x一4=0的根为x1,x2,则(x1 +2)·(x2+2)的值为 4.已知二次函数y=x2-(m2+8)x+2(m2+ 6),设抛物线顶点为A,与x轴交于B,C两 点，问是否存在实数m,使△ABC为等腰直角 三角形？如果存在，求；如果不存在，请说 明理由 .x1>0,x2>0,.BC=x2-x1, (x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=(m2+8)2-8(m2 +6)=(m2+4)2, ..BC=m2+4, 由抛物线的顶点坐标可和，A点 的纵坐标为8(m2+6)-(m2+8)2 4 =2(m2+6)-m2+8)2 4 .AD=m2+82-2(m2+6). 4 ,△ABC是等腰直角三角形，.BC=2AD, m2+三m8=4m2+6 解得m2=-2<0,m2=一4<0，都无意义. 故不存在实数m,使△ABC为等腰直角三角形. 知识点2 根的判别式 5.已知函数y=ax2+bx+c,若ac<0,则它的图 象与x轴的关系是 ( A.没有交点 B.有两个交点 C.一个交点 D.不能确定 6.关于x的一元二次方程x2一x一n=0没有实数 根，则抛物线y=x2一x一n的顶点在 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 7.二次函数y=a,x2+bx十c(a≠0)的图象如图 所示，下列结论：①2a+b>0;②abc<0;③b2 -4ac>0;④a+b+c<0;⑤4a-2b+c<0,其 中正确的个数是 A.2 B.3 C.4 D.5 8.已知抛物线y=x2一4x+k与x轴有两个交 点，且交点都在原点的右侧，那么k的取值范 围是 ( A.0<k<2 B.0<k≤2 C.0<k<4 D.k≥4 9.若关于x的函数y=kx2十2x一1与x轴仅有一 个公共点，则实数k的值为 10.已知函数y=mx2-6x+1(m是常数). (1)求证：不论m为何值，该函数的图象都经 过y轴上的一个定点； (2)若该函数的图象与x轴只有一个交点， 求m的值. 【能力提升】 11.函数y=ax2十bx+c(a≠0)的图象与x轴交 于点(2,0)，顶点坐标为(-1，n),其中n>0. 以下结论正确的是 ①abc>0; ②函数y=ax2+bx+c(a≠0)在x=1和x =一2处的函数值相等； ③函数y=kx+1的图象与y=ax2+bx+c (a≠0)的函数图象总有两个不同交点； ④函数y=ax2十bx十c(a≠0)在-3≤x≤3 内既有最大值又有最小值. A.①③ B.①②③ C.①④ D.②③④ 12.新定义：[a,b,c]为二次函数y=ax2+bx十c (a≠0，a,b,c为实数)的“图象数”，如：y=x2 一2x十3的“图象数”为[1，一2,3]，若“图象 数”是m,2m+4,2m+4幻的二次函数的图象与 x轴只有一个交点，则m的值为 13.已知关于x的方程x2一(2k一3)x+k2十1= 0有两个不相等的实数根x1,x2· (1)求k的取值范围； (2)试说明x1<0,x2<0; (3)若抛物线y=x2一(2k一3)x+k2+1与x 轴交于A,B两点，点A,点B到原点的距离 分别为OA,OB,且OA+OB=2OA·OB一 3,求k的值. 解：(1)由题意，可知4=[一(2k一3)]2一4(k2+1)>0, 即-12k+5>0k<: .x1十x2=2k一3<0， (2) x1x2=k2+1>0; '.x1<0,X2<0; (3)依题意，不妨设A(x1,0),B(x2,0). ∴.OA+OB=x1+|x2=-(x1+x2)=-(2k-3), OA·OB=|x1|·|x2|=x1x2=k2+1, .OA+OB=2OA·OB-3, .-(2k-3)=2(k2+1)-3, 解得k1=1,k2=一2. :k<8k=-2. 【创新拓展】 14.如图，抛物线y=ax2-3ax-4a的图象经过 点C(0,2),交x轴于点A,B(点A在点B左 侧)，连接BC,直线y=kx+1(k>0)与y轴 交于点D,与BC上方的抛物线交于点E,与 BC交于点F. (1)求抛物线的解析式及点A,B的坐标； (2) E 是否存在最大值？若存在，请求出其 最大值及此时点E的坐标；若不存在，请说 明理由. 解：(1)把C(0,2)代入 y=ax2-3ax-4a, 得一4a=2. 解得a= 2 G B 则该抛物线解析式为 y=-号2+x+2. 由于y=-2+3x+2=-2xt1Dx-4. 故A(-1,0),B(4,0)； (2)存在，理由如下： 由题意知，点E位于y轴右侧， 作EG∥y轴，交BC于点G, CD∥EG,EE=EG DE CD ‘直线y=kx+1(k>0)与y轴交于点D,则D(0,1). ①=2-1=1 =EG. 设BC所在直线的解析式为y=mx十n(m≠0). 将B(4,0),C(0,2)代入， 得 -0开 m=-2 n=2. 、.直线BC的解析式是y=-2x+2, 设E(,-2++2小则c,-21+2), 其中0<t<4. ∴G=(-2+31+2-(-2+2)=-31 -2)2+2. 那=-1-22+2. <0, 当1=2时，存在最大值，最大值为2此时点 E的坐标是(2,3).