2 第4课时 用适当的方法解一元二次方程(课件PPT)-【指南针·课堂优化】2026-2027学年九年级上册数学（北师大版·新教材）

该初中数学课件聚焦“用适当的方法解一元二次方程”，系统梳理直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法四种解法及适用场景，通过基础导学构建解法选择的知识支架，衔接换元法等拓展内容，帮助学生形成完整的解题思路。 其特色在于分层设计教学内容，从基础过关题（如选择解法解方程）到创新拓展题（如多项式对称定义应用），注重数学思维的培养，通过换元法体现转化思想，提升学生运算能力与推理意识。教师可借助此资料实现高效教学，学生能在实践中掌握解题策略，发展数学应用意识。

初中数学 指南针·课堂优化·九年级数学BS 第二章一元二次方程 2一元二次方程的解法 第4课时用适当的方法解一元二次方程 基础导学 1.解一元二次方程的四种方法： 2.公式法是解一元二次方程的通用方法， 适用于任意一个一元二次方程；配方法是公式 法的基础（求根公式是通过配方法解一元二次 方程得来的)；因式分解法可解某些特殊的一元 二次方程.因此，在没有规定方法的前提下，首 先考虑用直接开平方法和因式分解法，其次考 虑公式法，在没有特别说明的时候，一般不用配 方法 3.简单高次方程或较复杂方程可通过换元 法化为低次方程或简单方程. 课后演练 【基础过关】 知识点① 选择适当的方法解一元二次方程 1.解下列方程：①(2x一1)2一(x+9)2=0:②x2 -3x-1=0;③(x+2)(x+4)=x+2;④2(3x 一1)2=3x一1.较简便的方法是 A.依次为直接开平方法，配方法，公式法，因 式分解法 B.依次为因式分解法，公式法，配方法，直接 开平方法 C.①用直接开平方法，②③用公式法，④用因 式分解法 D.①用直接开平方法，②用公式法，③④用因 式分解法 2.对于方程x2一2x一111111=0，最简便的解法 是 A.直接开平方法 B.配方法 C.公式法 D.因式分解法 3.给出下列方程：①x2+6x-2=0;②3x2-4= 0;③2y2-3y一1=0.你认为选用哪种方法解 方程较简便（填序号）？ 开平方法：，配方法：，公式法： 4.用适当的方法解下列方程： (1)(x-2)2-16=0; (2)5x2+2x-1=0; (3)x2-3x+2=0; (4)x2-2x=4. 知识点2) 运用换元法解一元二次方程 5.用换元法解方程x-12 x2-12 =3时，设 x2-12=y,则原方程可化为 C A.y-1-3=0 B.y-4-3=0 y y C.y-1+3=0 D.y-4+3=0 6.用换元法解方程 。+2x=x2-3时，如果 1 2- 设y=x2一2x,则原方程可化为关于y的一元 二次方程的一般形式是 7.用换元法解下列方程 (1)x +2十1 _5 1x2+1 x 2 (2)(7千)2+5（千7）-6=0： 8-x+1=。 8.为解方程(x2一1)2-5(x2-1)+4=0,我们可 以将x2-1看作一个整体，然后设x2一1=y, 那么原方程可化为y2-5y+4=0①，解得y1 =1,y2=4. 当y=1时，x2-1=1,x2=2,∴.x=士√2； 当y=4时，x2-1=4,∴.x2=5,∴x=±√5. 故原方程的解为x1=√2，x2=一√2，x3=√5， x4=-√5. 在由原方程得到①的过程中，利用换元法达 到了降次的目的，体现了转化的数学方法. 根据以上阅读理解，解答下列问题： (1)利用换元法解方程：(x2一x)2一4(x2一x) -12=0; (2)若实数a、b满足(wa+√b)(√a+√b-2)= 3,求√a+√b的值 解：(1)令x2一x=t,原方程化为t2一4t一12=0， 因式分解，得(t+2)(t一6)=0， 解得t1=一2，t2=6, 当t=-2时，x2一x=一2， 整理得x2一x十2=0， .△=(-1)2一4X1X2=-7<0, .该方程无实数根； 当t=6时，x2一x=6, 整理得x2一x一6=0， 因式分解，得(x+2)(x一3)=0， 解得x1=一2，x2=3; (2)令√a+√b=m(m≥0)， 原方程化为m(m一2)=3， 整理得m2一2m一3=0， 因式分解，得(m一3)(m+1)=0, 解得m1=3,m2=一1（舍去）， 即√a+√b=3. 【能力提升】 9.已知关于x的方程a(x+m)2+b=0(a、b、m 为常数，a≠0)的解是x1=2,x2=-1,那么方 程a(x+m+2)2+b=0的解是 10.已知a+6+号c-2va-1-4√6-2- 3√c-3=-5,则(a+b)·c= 11.阅读：材料1：只含有一个未知数，并且未 知数的最高次数是2次，最高次项的系数 不为零，这样的整式方程叫做一元二次方 程，它有一种解法是利用因式分解来解 的，如解方程：x2一3x+2=0,左边分解因 式得(x-1)(x-2)=0,所以x一1=0或 x一2=0，所以原方程的解是x=1或x=2. 材料2：立方和公式用字母表示为：x3十y= (x+y)(x2-xy+y2), (1)请利用材料1的方法解方程：x一6x+5=0: (2)请根据材料2类比写出立方差公式：x3 y3 ;(提示：可以 用换元方法) (3)结合材料1和2，请你写出方程x6一9x +8=0的两个解. (2).x3+y3=(x+y)(x2-xy+y2), ..x-y =x3+(-y)3 =(x-y)(x2+xy+y2), 故答案为：(x一y)(x2+xy+y2); (3).x6-9x3+8=0, ∴.(x3-1)(x3-8)=0, '.(x-1)(x2+x+1)(x-2)(x2+2x+4)=0, '.x-1=0或x2十x+1=0或x-2=0或x2+2x十 4=0, 解得，x1=1,x2=2. 【创新拓展】 12.小明在学习有关整式的知识时，发现一个有 趣的现象：对于关于x的多项式x2一2x+3, 由于x2一2x+3=(x-1)2十2，所以当x-1 取任意一对互为相反数的数时，多项式x2一 2x+3的值是相等的，例如，当x一1=士1， 即x=2或0时，x2一2x十3的值均为3；当 x一1=士2，即x=3或一1时，x2一2x+3的 值均为6. 于是小明给出一个定义：对于关于x的多项 式，若当x一t取任意一对互为相反数的数 时，该多项式的值相等，就称该多项式关于 x=t对称.例如x2一2x十3关于x=1对称. 请结合小明的思考过程，运用此定义解决下 列问题： (1)多项式x2+6x+11关于x= 对 称；若关于x的多项式x2一2bx十5关于 x=2对称，则b= (2)关于x的多项式x2+ax+c关于x=一2 对称，且当x=a时，多项式的值为10，求关 于x的方程：x2+ax+c+1=0的根； (3)关于x的多项式x2+mx十n关于x=3 对称，且此多项式可取得最小值4，且关于x 的方程：x2+(4+m)x+n+p-17=0只 有一根大于5，求饣的取值范围. 解：(1)，x2+6x+11=(x+3)2+2, 多项式x2+6.x+11关于x=一3对称； ·关于x的多项式x2一2bx十5关于x=2对称， ∴.x2-2bx+5=(x-b)2+5-b2,.b=2; 故答案为：一3,2： (2)x+ax+c=(x+号2+e-写， ·一号=-2，解得a=4 .·当x=a时，多项式的值为10， .∴.42+4×4+c=10,..c=-22. ∴.方程为x2+4x-21=0,解得：x1=一7，x2=3; (3)由条件可知+mx+n=(x+受：+n-四， 一罗-=3，n-四=4解得m=-6,n=13. .方程x2+(4+m)px+n+p2-17=0为x2-2px +p2-4=0, (x-p一2)(x-p+2)=0,x1=p+2,x2=p一2， .方程只有一根大于5，x1>x2, .∴.p+2>5,p-2≤5，解得3<p≤7.