2.3一元二次方程的根与系数的关系 课件 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程根与系数的关系，通过“做一做”引导学生解三个方程计算两根之和与积，观察规律后猜想公式，结合求根公式推导证明，搭建从具体实例到抽象定理的学习支架，衔接方程解法与求根公式知识脉络。 其亮点在于以探究式导入培养抽象能力，严谨证明过程发展推理意识，多样例题变式强化模型应用。如“做一做”让学生自主发现规律，求根公式推导训练逻辑推理，例题中x1²+x2²等代数式变形提升应用能力。帮助学生养成数学探究习惯，教师可直接用于教学提升效率。

第二章 一元二次方程 2.3 一元二次方程的根与系数的关系 九年级上│BS 1. 了解一元二次方程的根与系数的关系. 2. 会用一元二次方程的根与系数的关系解决简单问题. 学习目标 做一做 解下列方程： 方程 x1 x2 x1＋x2 x1x2 x2﹣2x＋1＝0 x2﹣2 x﹣1＝0 2x2﹣3x＋1＝0 1 1 2 1 1 ﹣1 每个方程的两根之和与它的系数有什么关系？两根之积呢？ 新课引入 方程 两根之和 两根之积 1x2﹣2x＋1＝0 1x2﹣2 x﹣1＝0 2x2﹣3x＋1＝0 1 2 ﹣1 猜想： 新知学习 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 ( a ≠ 0 ) 当 b2－4ac≥0 时有两个根： 于是，两根之和为 x1 ＋ x2＝ ＋ ＝ ＝ . x1·x2＝ ＝ ＝ 新知学习 思 考 如果 ax2＋bx＋c＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0，x，x,是实数)，那么一元次方程ax2＋bx＋c＝0必有两个实数根x＝x1，x＝x2. 反过来，如果 x1，x2是一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0的两个实数根，那么 ax2＋bx＋c＝a(x－x1)(x－x2)一定成立吗？ (1)2x2－3x＋1＝0的两根为x1＝ ，x2＝1，那么2x2－3x＋1和2(x－ )(x－1)相等吗？ 新知学习 (1)2x2－3x＋1＝0的两根为x1＝ ，x2＝1，那么2x2－3x＋1和2(x－ )(x－1)相等吗？ 2x2－3x＋1和2(x－ )(x－1)相等 换几个一元二次方程也一定能得到这个结论吗？ 新知学习 (2)你认为ax2＋bx＋c＝a(x－x1)(x－x2)是否一定成立? 把右边展开：a(x2－x1x－x2x＋x1x2)＝ax2－a(x1＋ x2)x ＋ax1x2， ∵x1，x2是一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0的两个实数根. ∴ax12＋bx1＋c＝0 ①，ax22＋bx2＋c＝0 ②， ①-②，得 a(x12-x22)＋b(x1-x2)＝0， 若x1≠x2，则 b=-a(x1＋x2) ③， 把③代入①，可得 c=ax1x2. ∴ax2－a(x1＋ x2)x ＋ax1x2＝ax2＋bx＋c. 新知学习 两个多项式相等， 则对应次数的系数相等 思考·交流 根据上面的结论，你能发现一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0的系数与它的两个根x1，x2之间有怎样的关系吗？ 当x1，x2是一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0的两个根时，根据上面的结论有 ax2＋bx＋c＝a(x－x1)(x－x2) 所以 ax2＋bx＋c＝ax2－a(x1＋x2)＋ax1x2 所以 于是 新知学习 归纳总结 如果方程 ax2 ＋ bx ＋ c ＝ 0 ( a ≠ 0 )， 有两个实数根x1，x2，那么 x1 ＋ x2 ＝﹣ ，x1x2 ＝ . 由此我们可以得到一元二次方程的根与系数的关系： 新知学习 例1 利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积. (1) x2 ＋ 7x ＋ 6 ＝ 0； 解：这里 a ＝ 1，b ＝ 7，c ＝ 6. Δ ＝ b2 －4ac ＝ 72－ 4 × 1 × 6 ＝ 49－24＝25 > 0. 所以方程有两个实数根. 设方程的两个实数根是 x1，x2，那么 x1 ＋ x2 ＝－7，x1x2 ＝ 6. 新知学习 例1 利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积. (2) 2x2 － 3x － 2 ＝ 0； 解：这里 a ＝ 1，b ＝－ 3，c ＝－2. Δ ＝ b2 －4ac ＝ (－32)－ 4 × 2 × (－2) ＝ 9＋16＝25 > 0. 所以方程有两个实数根. 设方程的两个实数根是 x1，x2，那么 x1 ＋ x2 ＝ ，x1x2 ＝ －1. 新知学习 变 式 已知 x1，x2 是一元二次方程 x²＋ax＋16 ＝ 0的两个根， ， 求 a 的值. 解：由方程有两个实数根，得 b2－4ac ＝ a2－64 ≥0， 即 a ≥ 8或a ≤－8. 由根与系数的关系得 x1 ＋ x2 ＝－a，x1 x2 ＝ 16. ∵ ，即 ， 将x1 ＋ x2 ＝﹣a，x1 x2 ＝ 16代入，得到 解得 a ＝﹣16. 新知学习 例2 已知x1，x2 是 一元二次方程 3x²＋4x－3 ＝ 0的两个根，利用根与系数之间的关系，求下列各式的值. (1) ； (2) ； (3) ； (4) . 分析：根据根与系数的关系得： (1) ； (2) ； 新知学习 例2 已知x1，x2 是 一元二次方程 3x²＋4x－3 ＝ 0的两个根，利用根与系数之间的关系，求下列各式的值. (1) ； (2) ； (3) ； (4) . (3) ； (4) . 新知学习 归纳总结 常见求值公式变形 新知学习 1.(2025湖北)一元二次方程 x2-4x＋3＝0的两个实数根为x1，x2，下列结论正确的是 (　　) A. x1＋x2＝-4 B. x1＋x2＝3 C. x1x2＝4 D. x1x2＝3 D 2.(2025河北)若一元二次方程x(x＋2)-3＝0的两根之和与两根之积分别为m，n，则点(m，n)在平面直角坐标系中位于 (　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 C 随堂练习 3.(2025眉山)已知方程 x2－2x－5＝0的两根分别为 x1，x2，则 (x1＋1)(x2＋1)的值为            .  －2 随堂练习 4.求下列方程两个根的和与积： (1) x²＋x＝5x＋6； (2) 3x(2x＋1)＝ 8x＋2； 解：(1)方程化为x²﹣4x﹣6＝0，x1＋x2＝ ＝ 4，x1x2＝﹣6； (2)方程化为6x²﹣5x﹣2＝0，x1＋x2＝ ＝ ，x1x2＝ . 随堂练习 5.已知关于x的一次方程x2＋2mx＋m2＋m＝0有实数根. (1)求m的取值范围. 解:根据题意得 Δ＝ (2m) 2﹣4 ( m2＋m )≥0， 解得m≤0， 故m的取值范围是m≤0； 随堂练习 (2)若该方程的两个实数根分别为x1，x2，且x12＋x22＝12，求m的值. 解：根据题意得x1＋x2＝﹣2m，x1x2＝m2＋m， ∵x12＋x22＝ (x1＋x2)2﹣2x1x2＝ 12， ∴(﹣2m )2﹣2( m2＋m) ＝12，即m2﹣m﹣6＝0， 解得m1＝﹣2， m2＝3 (舍去) . 又∵m≤0， 故m的值为﹣2. 5.已知关于x的一次方程x2＋2mx＋m2＋m＝0有实数根. 随堂练习 一元二次方程的根与系数的关系 概念 常见应用 如果一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根分别为x1、 x2，那么 课堂小结 $