4 第1课时 图形问题(课件PPT)-【指南针·课堂优化】2026-2027学年九年级上册数学（北师大版·新教材）

该初中数学课件聚焦一元二次方程的应用（图形问题），涵盖静态图形（矩形、正方形等面积计算）和动态图形（动点运动）。通过基础导学明确列方程解应用题的意义，引导学生将不规则图形分割组合为规则图形，建立已知量与未知量的联系，搭建方程解法与实际应用的学习支架。 其亮点在于采用分层设计（基础过关、能力提升、创新拓展），结合具体实例如矩形地面修路、正方形铁皮做盒子、动点在三角形中运动等，培养学生的几何直观、推理能力和模型意识。通过问题驱动构建方程模型解决面积问题，学生能提升数学应用能力，教师可借助系统例题及解答提高教学效率。

初中数学 指南针·课堂优化·九年级数学BS 第二章一元二次方程 4一元二次方程的应 用 第1课时 图形问题 基酬导学 1.列一元二次方程解应用题的意义：在运用一 元二次方程解实际问题时，要注意 ,抓住 主要的 ,列出方程，把实际问题转化 为 来解决。 2.图形问题： 此类问题属于几何图形的应用问题，解决 问题的关键是将不规侧图形分割成或组合成规 则图形，找出未知量与已知量的内在联系，根据 面积、体积公式找等量关系列出方程. 课后演练 【基础过关】 知识点①) 求解静态图形问题 1.如图，在宽为20米，长为30米的矩形地面上 修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地。 若耕地面积需要551平方米，则修建的路宽 应为 20米 30米 A.1米 B.1.5米 C.2米 D.2.5米 2.将一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为 3cm的小正方形，做成一个无盖的盒子，已知 盒子的容积为300cm3,则原铁皮的边长为 ( A.10 cm B.13 cm C.14 cm D.16 cm 3.为响应市委市政府提出的建设“绿色城市”的 号召，某市某单位准备将院内一块长30m,宽 20m的长方形空地，建成一个矩形花园，要求 在花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的 小道，剩余的地方种植花草.如图所示，要使 种植花草的面积为532m,那么小道进出口 的宽度应为多少米？（注：所有小道进出口的 宽度相等，且每段小道均为平行四边形) () A.1.2米 B.15米 C.2米 D.1米 4.为改善生态环境，建设美丽乡村，某村规划将 一块长18米，宽10米的矩形场地建设成绿化 广场，如图，内部修建三条宽相等的小路，其 中一条路与广场的长平行，另两条路与广场 的宽平行，其余区域种植绿化，使绿化区域的 面积为广场总面积的80%. (1)求该广场绿化区域的面积； (2)求广场中间小路的宽： 解：(1)18×10×80%=144（平 方米). 答：该广场绿化区域的面积为 144平方米. (2)设广场中间小路的宽为x米， 依题意，得：(18一2x)(10一x)=144, 整理，得：x2一19x+18=0, 解得：x1=1,x2=18(不合题意，舍去). 答：广场中间小路的宽为1米. 5.如图，有长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的 最大可用长度为14米)，围成中间隔有一道篱 笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆 花圃时，在BC上用其他材料造了宽为1米的 墙14m 两个小门 (1)设花圃的宽AB为x米，请你用含x的代 数式表示BC的长 米； (2)若此时花圃的面积刚好为45m,求此时 花圃的宽 解：(1)BC=22+2-3x =24-3x. (2)x(24-3x)=45, 化简得：x2一8x+15=0, 解得：X1=5,x2=3. 当x=5时，24一3x=9<14,符合要求； 当x=3时，24一3x=15>14,不符合要求，舍去. 答：花圃的宽为5术. 知识点② 求解动态图形问题 6.如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm,BC =7cm.点P从点B开始沿边BA向点A以 2cm/s的速度移动，同时点Q从点C开始沿 边CB向点B以1cm/s的速度移动，当其中 一点到达终点时，另一点随即停止.当四边形 APQC的面积为11cm时，点P的运动时间 为 A.1s B.1s或2.5s C.2s D.2s或5s 7.如图，矩形ABCD中，AB=21cm,BC=8cm, 动点E从A出发，以3cm/s的速度沿AB向 B运动，动点F从C出发，以2cm/s的速度 沿着CD向D运动，当点E到达点B时，两个 点同时停止.则EF的长为10cm时点E的运 动时间是 A.3s D B.27 27 C.3s或5s B D.2.5s 8.如图，在△ABC中，AB=3cm,BC=6cm,AC =5cm,蚂蚁甲从点A出发，以2.5cm/s的 速度沿着三角形的边按A→B→C→A的方向 行走，甲出发1s后蚂蚁乙从点A出发，以 2cm/s的速度沿着三角形的边按A→C→B→A 的方向行走，那么甲出发s后，甲乙第一次 相距2.5cm. A 甲 乙 B C 9.如图，在直角坐标系中，四边形OACB为矩 形，C点的坐标为(3,6)，若点P从O点沿OA 向点A以1cm/s的速度运动，点Q从A点沿 B AC以2cm/s的速度向C点运动，如果P,Q 分别从O,A同时出发，问： (1)从开始经过多少时间P,Q的距离为6cm? (2)经过多少时间△PAQ面积为2cm? OP A △PAQ的面积能否达到3cm?试说明 理由. 解：(1)设x秒后PO的距离为6cm, 解得y=1或y=2. PA2+AO2=PO2, 当运动1秒或2秒时面积为2平方厘米. (3-x)2+(2x)2=62, r=3友x=-号（舍去）. 2PA×A0=3,23-y)·2y=3, y2-3y+3=0, 经过3秒时P,Q的距离为6厘米. °△=9一12<0.故方程无解. (2)设经过y秒时面积为2平方厘术..△PA0的面积不能达到3cm. 3PAX40=2, 23-y)…2y=2, 【能力提升】 10.如图是一张长12cm,宽10cm的矩形铁皮， 将其剪去两个全等的正方形和两个全等的 矩形，剩余部分（阴影部分）可制成底面积是 24cm的有盖的长方体铁盒.则剪去的正方 形的边长为 cm. 底面 12cm -10cm→ 11.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC= 60°，BC=2cm,D为BC的中点，若动点E 以1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B的 方向运动，设E点的运动时间为t秒(0≤t< 6),连接DE,当△BDE是直角三角形时，t 的值为 D 【创新拓展】 12.如图所示，AO=OB=50cm,OC是一条射 0 B 线，OC⊥AB,一只蚂蚁由A点以2cm/s的 速度向B爬行，同时另一只蚂蚁由O点以3 cm/s的速度沿O℃方向爬行，是否存在这样 的时刻，使两只蚂蚁与O点组成的三角形的 面积为450cm2? 解：有两种情况：(1)当蚂 整理得：t2一25t+150=0,解得t1=10,t2=15. 蚁在AO段时，设离开A 2)当蚂蚁爬究A0这段矩离用了)=25s后，开码 点ts后两只蚂蚁与O点 由O向B爬行，设从O点开始xS后组成的三角形 组成的三角形的面积是 450cm2. 的面积是450cm2,根据题意，得.2x·3(x+25)= 2 根据题意，得 450,整理得 (50-2t)·3t=450. x2+25x-150=0,解得x1=5,x2=一30（舍去）. 2 当x=5时，x+25=30,这时蚂蚁已由A点爬了 30s. 答：分别在10s,15s,30s时，两只蚂蚁与O点组成 的三角形的面积是450cm2.