3 一元二次方程的根与系数的关系(课件PPT)-【指南针·课堂优化】2026-2027学年九年级上册数学（北师大版·新教材）

该初中数学课件聚焦一元二次方程的根与系数的关系，通过基础导学填空回顾根与系数的基本公式及前提条件，衔接已学的一元二次方程解法与判别式知识，再以常见代数式变形作为学习支架，引导学生逐步掌握相关应用。 其亮点在于分层设计课后演练，从基础过关到创新拓展，融入中考真题，培养学生运算能力与推理意识。创新拓展题结合分式方程与一元二次方程综合应用，发展创新意识，助力学生用数学语言表达数量关系，教师可借此提升教学针对性与效率。

初中数学 指南针·课堂优化·九年级数学BS 第二章一元二次方程 3一元二次方程的根与系数的关系 基1 础导 学 1.如果x1,x2为一元二次方程ax2十bx+c =0(a≠0)的两实根，那么x1+x2= C1·C2= 2.若ac<0,则关于x的一元二次方程a.x2+ bx十c=0一定 实根，这是因为 注意：使用一元二次方程a,x2+bx十c=0的 根与系数的关系的前提为 3.一些常见的关于两根代数式的变形： (1)x2+x吃= (2)1+1 C1 (3)(0+a)(2十a)= (4)1x1-x2|= (5)2+=（x十2)2-212 X1x2 课后演练 【基础过关】 知识点① 利用一元二次方程的根与系数的关 系进行计算 1.若方程x2十x一1=0的两实根为a,B,那么下 列说法不正确的是 () A.a+B=-1 B.a3=-1 C.a2+B2=3 2.已知一元二次方程x2一2x一1=0的两根分 别为2，则1十上的值为 A.2 B.-1 c D.-2 3.方程x2一3x-6=0与方程x2-6x+3=0的 所有根的乘积是 4.已知实数a,b满足a2+2a=2,B+2b=2,求+ 名的值 知识点② 利用根与系数的关系求原方程或方 程的根 5.已知一元二次方程的两根分别是2和一3，则 这个一元二次方程可以是 A.x2-6x+8=0 B.x2+2x-3=0 C.x2-x-6=0 D.x2+x-6=0 6.已知关于x的方程x2+3x十a=0有一个根 为一2，则另一个根为 () A.5 B.-1 C.2 D.-5 7.关于x的一元二次方程x2+x十4=0的一 个解为x1=2,则另一个解x2为 ( A.1 B.-1 C.-2 D.2 8.(眉山中考)已知方程x2-2x一5=0的两根 分别为x1,x2,则(x1+1)(x2+1)的值为 9.（南充中考)设x1,x2是关于x的方程(x一1) ·（x一2)=m2的两根. (1)当x1=-1时，求x2及m的值 (2)求证：(x1-1)(x2-1)≤0. (2)证明：方程(x一1)(x一2)=m2可化为x2一3x十2 -m2=0. .'△=9-4(2-m2)=4m2+1>0, 。方程有两个不相等的实数根。 ,方程(x-1)(x-2)=m2即x2一3x+2一m2=0的 两根为x1、x2, .X1+2=3,x1X2=2-m2. .(x1-1)(x2-1) =X1x2-(x1+x2)+1 =2-m2-3+1 ,‘m2≥0， =-m2. .-m2≤0，即(x1-1)(x2-1)≤0. 知识点③ 利用根与系数的关系求未知字母的 值或范围 10.关于x的方程ax2-(3a+1)x+2(a+1)=0 有两个不相等的实根x1,x2,且有x1一x1x2 +x2=1一a,则a的值是 A.1 B.-1 C.1或-1 D.2 11.设x1,x2是关于x的一元二次方程x2一2(m +1)x+m2+2=0的两个实数根，且(x1+ 1)(x2+1)=8,则m的值为 12.已知关于x的方程x2+(2k+1)x+k一2=0 的两实根的平方和等于11，则k的值为 13.(遂宁中考)已知关于x的一元二次方程x2 一px+1=0(力为常数)有两个不相等的实 数根x1和x2. (1)填空：x1+x2= ,C1C2 (2)求1+，0+1： (3)已知x+x2=2p+1,求p的值 (2).x1+x2=p,X1x2=1, .1+1=+=p, XI X2 XIX2 关于x的一元二次方程x2一px十1=0(P为常 数)有两个不相等的实数根x1和x2, 号-px+1=0,x1-p+1=0, x+=p: (3)由根与系数的关系得，x1十2=p,x1x2=1, .x+x=2p+1, .(x1+x2)2-2x1x2=2p+1, ∴.p2-2=2p+1,∴.p2-2p-3=0, 解得p=-1或p=3, .一元二次方程x2-px+1=0为x2+x+1=0或 x2一3x+1=0, 当p=-1时，△=12-4X1×1=-3<0,不合题 意，舍去 当p=3时，△=（一3）2一4X1X1=5>0,符合 题意；∴.p=3. 【能力提升】 14.（泸州中考)若一元二次方程2x2-6x一1=0 的两根为a,3,则2a2-3a+33的值为 15.已知关于x的一元二次方程x2+kx+4k2一 3=0的两个实数根分别是x1,x2,且x1+x2 =x1·x2,那么k的值为 16.已知a,b是方程x2-x-3=0的两个根，则代 数式2a3++3a2-11a-b+5的值为 17.已知关于x的一元二次方程x2+2(a一1)元 +a2一4=0有两个不相等的实数根. (1)求a的取值范围； (2)若a为正整数，且该方程的两个根都是 整数，求a的值， (2),‘a为正整数，.a=1,2, 当a=1时，x2-一3=0，x=士√/3（舍）， 当a=2时，x2+2x=0,x1=0,x2=-2, .a=2. 【创新拓展】 18已知在关于x的分式方程二-20和一元 二次方程(2-k)x2+3mx+(3-k)n=0② 中，k,m,n均为实数，方程①的根为非负数. (1)求k的取值范围； (2)当方程②有两个整数根x1,x2,k为整数， 且k=m十2，n=1时，求方程②的整数根. 解：1)：关于x的分式方程二{=2的根为非 负数， ..x≥0且x≠1， 又x=k+1 .解得k≥一1且k≠1， 又.°一元二次方程(2-k)x2+3mx+(3-k)n=0 中2一k≠0，.k≠2， 综上可得：k≥一1且k≠1且k≠2； (2),°一元二次方程(2一k)x2+3mx+(3一k)n=0 有两个整数根x1,x2,且k=m十2，n=1时， .把k=m十2，n=1代入原方程得： -mx2+3mx+(1-m)=0, 即：mx2一3mx+m-1=0, ,'.△>0，即△=(-3m)2一4m(m-1)>0,且m≠0， ∴.△=9m2-4m(m-1)=m(5m+4)>0, 则m>0或m<-专： 由根与系装的关系：·=mm=1一品 x1,x2为整数， 1-1为整数，m=1或-1， n 由(1)知k≠1，则m十2≠1，即m≠一1， ,°.把m=1代入方程mx2一3mx+m一1=0， 得：x2-3x+1-1=0, 即x2一3x=0, ..X1=0,x2=3. 由根与系装的关系：出·：=”m=1一加 ‘x1,x2为整数， 1-为整数，m=1或-1， 由(1)知k≠1，则m+2≠1，即m≠一1， ,'.把m=1代入方程mx2一3x+m一1=0， 得：x2-3x+1-1=0, 即x2一3x=0, ..X1=0,x2=3.